Download Apuntes Geometría 1ºESO

Alumno:……………………………………………………………………..………Grupo:……....
LA GEOMETRÍA EN EL ENTORNO
El objetivo de esta unidad es descubrir la presencia de las formas geométricas a
nuestro alrededor. Indica aquí elementos de tu entorno cotidiano que contengan formas
planas geométricas:
Ahora añade los que han aportado tus compañeros:
Vamos a ordenarlos por grupos, buscando
en revistas imágenes que los ilustren:

Muchos seres de la NATURALEZA
surgen, crecen o se agrupan según
formas geométricas poligonales.

El hombre utiliza estas formas en
distintos aspectos de su vida. Así, el
orden geométrico encaja perfectamente en las construcciones de la
ARQUITECTURA y la INGENIERÍA.

La geometría ofrece sugerentes
soluciones en el mundo de la
DECORACIÓN y la MODA.

Los diseñadores gráficos recurren
también a estas formas. Son la base
del dibujo de los signos y señales de
la COMUNICACIÓN VISUAL, que
resultan eficaces por su simplicidad y
su claridad.

La belleza de muchas obras de
ARTE reside así mismo en ajustarse
a esquemas geométricos.
Busca fotos apropiadas y, en una lámina A4, realiza con ellas un collage que exprese la
gran variedad de campos de nuestro entorno visual en que aparecen las formas planas
geométricas. Luego inventa un título para tu composición y añádelo con diferentes tipos
de letras recortadas.
1
TRAZADOS FUNDAMENTALES
Los elementos gráficos fundamentales son los más sencillos con los que se trabaja en el
dibujo geométrico. Con ellos se realizan trazados más complejos.
PUNTO: Es el elemento geométrico más simple. Se nombra con letras mayúsculas.
LÍNEA: Es el elemento generado por el movimiento de un punto. Puede ser curva o recta.
RECTA: Es una línea en la que el punto se mueve siempre en la misma dirección. Se
nombra con letras minúsculas.
Semirrecta: Es una recta determinada por un punto en su inicio.
Segmento: Es una porción de recta limitada por dos puntos.
PLANO: Es una superficie infinita producida por el movimiento de una recta.
POSICIONES DE UNA RECTA:
VERTICAL
HORIZONTAL
OBLICUA
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS COPLANARIAS:
SECANTES
PARALELAS
PERPENDICULARES
PARALELISMO: Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.
PARALELA A UNA RECTA POR UN PUNTO EXTERIOR P:
1. Con centro en un punto A cualquiera de la recta y radio igual a AP, se dibuja un
arco de 180º que corta a r en B y C.
2. Con centro en B y C se trazan dos arcos de medida igual a BP que cortan a la
semicircunferencia en P y P’.
3. La paralela a la recta r se determina uniendo los puntos P y P’.
P
·
r
2
PERPENDICULARIDAD: Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un
ángulo de 90º.
PERPENDICULAR A UNA RECTA DESDE UN PUNTO EXTERIOR P:
1. Con centro en P se traza un arco que corte a la recta en dos puntos A y B.
2. Desde A y B trazamos dos arcos que se cortan en C.
3. Para obtener la perpendicular unimos P con C.
·P
Al
lB
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: Es la recta perpendicular al segmento por su punto
medio.
1. Trazamos un arco con centro en A mayor que la mitad del segmento.
2. Con el mismo radio se traza un segundo arco desde B que corta al otro en C y D.
3. La mediatriz se obtiene uniendo los puntos C y D.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN n PARTES IGUALES: En este ejercicio aplicamos el
Teorema de Thales: Los segmentos que se forman por la intersección de rectas
paralelas con dos rectas que se cortan son proporcionales.
1. Trazamos desde el extremo A del segmento una semirrecta cualquiera.
2. Trasladamos sobre ella n divisiones con la regla o el compás.
3. Unimos la última marca n de la semirrecta con el otro extremo B del segmento.
4. Trazando paralelas a nB hasta cortar el segmento obtenemos en éste las n partes
iguales que numeramos. Divide el segmento AB en cinco partes iguales:
A l
lB
Practica el trazado de paralelas y perpendiculares con la escuadra y el cartabón en la
lámina 1.
3
ÁNGULOS
Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos rectas que se cortan.
RECTO
AGUDO
OBTUSO
LLANO
COMPLETO
BISECTRIZ: Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.
1. Trazamos un arco cualquiera desde V que corta en B y C a los lados del ángulo.
2. Con centro en B y C trazamos dos arcos iguales que se cortan en D.
3. Uniendo V con D obtenemos la Bisectriz.
V
CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO IGUAL A OTRO (traslación):
1.
2.
3.
4.
5.
Dibujamos una semirrecta situando sobre ella el punto V’, vértice del nuevo ángulo.
Trazamos un arco cualquiera con centro en V, obteniendo A y B.
Con centro en V' trazamos el mismo arco que corta a la recta en B'.
Con centro en B' y radio AB dibujamos un arco que corta al anterior en A'.
Uniendo V' con A' obtenemos el otro lado del ángulo igual al dado.
V
a. Mide y copia en hoja aparte los dos ángulos de esta página con transportador.
b. Dibuja los ángulos de 30º, 75º, 120º y 165º.
c. Divide un ángulo recto en cuatro partes iguales empleando sucesivas
bisectrices.
d. Construye una figura igual a esta
aplicando el procedimiento de
traslación de ángulos:
4
CIRCUNFERENCIA
Es una curva cerrada y plana cuyos puntos cumplen la propiedad de que están todos a la
misma distancia del centro.
ELEMENTOS NOTABLES:
Centro: Punto fijo O que equidista de cualquier punto de la circunferencia.
Radio: Distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro.
Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el
centro. Mide el doble del radio.
Círculo: Porción de plano comprendida por la circunferencia.
Cuerda: Segmento entre dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro.
Arco : Porción de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma.
Tangente: Recta que sólo tiene un punto de contacto con la circunferencia, por el
que pasa un radio perpendicular a la recta.
Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.
Exterior: Recta que no tiene contacto con la circunferencia.
Escribe el nombre de cada elemento en esta circunferencia:
º
HALLAR EL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA CUALQUIERA:
1. Elegimos tres puntos cualesquiera A, B y C de la misma.
2. Hallamos las mediatrices de las cuerdas que hay entre ellos.
3. Donde se cortan las mediatrices obtenemos el centro O de la circunferencia.
5
POLÍGONOS REGULARES
Un polígono es una región del plano limitada por segmentos denominados lados. Los
puntos de intersección de los lados se llaman vértices. Un polígono es regular cuando
todos sus lados y ángulos son iguales. Las diagonales unen vértices opuestos.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO:
Dado el lado:
1. Trazamos dos arcos de la medida del lado L con centro en los extremos A y B.
2. Donde se cortan obtenemos C y lo unimos con A y con B.
O
º
A l
l B
L
P
Dada la circunferencia circunscrita:
1. Tomamos un diámetro cualquiera de la circunferencia y desde uno de sus
extremos P, trazamos un arco con la medida del radio r.
2. Donde corta a la circunferencia obtenemos los vértices A y B.
3. Los unimos con el otro extremo C del diámetro y aparece el triángulo buscado.
Repitiendo esta construcción desde C podemos trazar otro triángulo invertido y
tenemos la Estrella de David, o el hexágono regular uniendo las 6 divisiones
obtenidas.
C
C
º O
P
º O
P
e. Traza un triángulo equilátero de lado = 5cm.
6
CUADRILÁTEROS
RECTÁNGULO dados sus lados:
1. Levantamos dos perpendiculares al lado a desde sus extremos.
2. Sobre éstas trazamos dos arcos con la medida de b.
3. Unimos los vértices así hallados.
a
b
l
l
l
l
CUADRADO:
Conociendo la diagonal:
1. Dibujamos la mediatriz para hallar el punto medio O de la diagonal.
2. Desde éste trazamos una circunferencia de diámetro AB igual a la diagonal d.
3. Donde la circunferencia corta a la mediatriz aparecerán los otros dos vértices C y D
que unimos con A y B.
B
d
A
A l
l B
Dado el lado:
1. Trazamos perpendiculares al lado desde sus extremos A y B.
2. Con centro en estos dibujamos dos arcos con la medida del lado que cortan a las
perpendiculares en C y D.
3. Uniendo estos vértices cerramos el cuadrado. Prueba a hacerlo en hoja aparte sólo
con escuadra y cartabón.
f. Traza un rectángulo dados sus lados c= 5cm y d= 7cm.
g. Inscribe un cuadrado en una circunferencia de radio = 3cm
h. Traza con dos triángulos equiláteros un rombo de lado y diagonal menor = 4cm.
7
OCTÓGONO inscrito :
1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí.
2. Hallamos las bisectrices de los ángulos rectos formados por los diámetros.
3. Uniendo los extremos de todos los diámetros aparece el octógono. Inscribe por
este mismo método una estrella de ocho puntas en la otra circunferencia.
Oº
º O
PENTÁGONO:
Dado el lado:
1. Hallamos la mediatriz del lado L con dos arcos de la medida del lado.
2. Con el compás nos llevamos h (altura de un triángulo equilátero de lado igual a L),
desde A sobre la mediatriz y obtenemos O.
3. Con centro en O y radio OA=h trazamos una circunferencia.
4. Sobre ella marcamos la medida del lado L desde A y B.
5. Tenemos así cinco vértices que unimos.
A
O
º
P
l
A
L
l
B
Inscrito:
1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí y hallamos el punto medio M del
radio OP con la mediatriz.
2. Desde M trazamos un arco de medida MA que corta al mismo diámetro en T.
3. La distancia AT es igual al lado del pentágono. La tomamos con el compás y nos
la vamos llevando sobre la circunferencia desde A hasta obtener cinco vértices.
4. Unimos sucesivamente los vértices. Si los unimos alternativamente obtenemos el
polígono estrellado de cinco puntas (pentángulo o polígono áureo).
8
HEXÁGONO dado el lado:
1. Sabiendo que el lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia
circunscrita, trazamos dos arcos con la medida del lado desde A y B.
2. Donde se cortan los arcos obtenemos O, centro de la circunferencia circunscrita.
3. La trazamos y sobre ella nos llevamos con el compás la medida del lado para hallar
el resto de vértices y los unimos.
.O
Al
l B
DODECÁGONO inscrito:
1. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre sí.
2. Desde cada uno de sus extremos dibujamos un arco con la medida del radio.
3. Unimos las doce divisiones así obtenidas. Inscribe un dodecágono en la
circunferencia de arriba y dos estrellas de doce puntas con diferente paso en las
abajo.
. O
.O
i. Traza una estrella de dieciséis puntas en una circunferencia de r= 5cm.
j. Inscribe un pentángulo en una circunferencia de r= 3cm.
k. Busca la forma de inscribir un decágono en una circunferencia de r= 4cm
aprovechando el trazado del pentágono inscrito.
l. Dibuja un pentágono de lado = 4cm.
m. Traza una estrella de doce puntas de paso 5 en una circunferencia de r= 4cm
9
HEPTÁGONO inscrito:
1. Trazamos un radio cualquiera OB.
2. Con centro en B y la medida del radio nos llevamos un
arco que corta a la circunferencia en S y R.
3. Unimos estos puntos cortando al radio en M.
4. La medida MS es igual al lado del heptágono.
5. Marcamos las divisiones y unimos los vértices.
O
º
PROCEDIMIENTO GENERAL DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS:
1. Trazamos un diámetro vertical y lo dividimos en n partes iguales que numeramos.
2. Con centro en sus extremos A y B trazamos dos arcos de radio igual a la longitud
del diámetro que se cortan en C y D.
3. Unimos C y D con las divisiones pares (o impares) del diámetro y prolongamos
hasta cortar la circunferencia en los n vértices del polígono buscado. Traza en esta
circunferencia un eneágono (nueve lados) por el método explicado:
A
.O
B
n. Inscribe una estrella de siete puntas en una circunferencia de r=3cm.
o. Prueba a construir un polígono estrellado de once puntas inscrito en una
circunferencia de radio = 5cm.
p. Realiza un diseño decorativo en la portada de estos apuntes a base de estrellas
y polígonos. Después coloréalo.
10
IGUALDAD Y SEMEJANZA
La igualdad y la semejanza son relaciones geométricas que podemos establecer entre
dos o más figuras. Dos figuras iguales tienen el mismo tamaño y la misma forma. Las
figuras semejantes tienen la misma forma pero diferente tamaño.
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS IGUALES
Por traslación:
Por giro:
A
A’.
A
B
B
C
C
O·
1. Nos dan la figura ABC y el punto A’ ya
trasladado. Trazamos paralelas al segmento AA’ por B y C.
2. Nos llevamos la medida AA’ desde B y
C sobre las paralelas y obtenemos B’ y C’.
3. Unimos A’, B’ y C’ y observamos que
sus lados son paralelos a ABC.
1.Tenemos la figura ABC y vamos a
girarla 90º según el centro de giro O, que
unimos con cada vértice de la figura.
2. Sobre OA medimos los 90º y hallamos
A’ con un arco.
3. Realizamos el correspondiente giro con
los puntos B y C y cerramos la figura.
Por triangulación:
Por coordenadas:
A
A’.
Y
Y’
A
B
B
C
D
C
D
1. Desde A’ trazamos el lado A’B’
paralelo a AB.
2. Desde B’ trazamos un arco con la
medida BC y otro desde A’ con la medida
AC. Donde se corten ambos arcos se
encontrará C’.
3. El punto D’ se halla realizando la
misma operación.
X
X’
1. Se trazan perpendiculares a los dos
ejes X e Y desde todos los vértices de la
figura dada ABCD.
2. Se colocan los vértices A’, B’, C’ y D’ a
las mismas distancias de los ejes X’ e Y’
que en la figura original.
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CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS SEMEJANTES
Dos polígonos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales.
Por radiación desde un punto interior:
Por radiación desde un punto exterior:
· A’
A
A
A’ ·
.
P
P·
1. Unimos el punto P con cada vértice.
2. Vamos trazando paralelas a cada lado
comenzando desde A’ y obtenemos el
resto de vértices en las intersecciones.
1. Unimos el punto P con cada vértice y
prolongamos.
2. Operamos igual que en el
procedimiento anterior.
Por cuadrícula:
En la cuadrícula vacía situamos cada
vértice y cada lado en la misma posición
que ocupa en la original, contando el
número de cuadritos, hasta cerrar la
figura completa.
q. Reproduce a distinto tamaño del original una foto o dibujo que te guste por
medio de una cuadrícula.
12
SIMETRÍA
Es la relación geométrica que se establece entre las partes de una misma figura que son
iguales entre sí pero contrapuestas con respecto a un eje o un punto.
Simetría axial
La simetría axial aparece cuando los elementos iguales equidistan, es decir, se
encuentran a la misma distancia, pero opuestos, de una recta llamada eje de simetría.
Establece los ejes de simetría de estas figuras y completa el abeto de la derecha.
Simetría radial
En la simetría radial cada punto de una figura se corresponde con otro simétrico que está
opuesto en la misma recta y a igual distancia del centro de simetría.
Marca el centro y los radios de simetría en la flor y construye una con el rombo.
13
Simetría real y simetría aparente
La simetría de las formas naturales no es geométricamente perfecta por la influencia de
factores ambientales, el paso del tiempo, las deformaciones producidas por el movimiento
y los gestos, etc. Algunas formas artificiales tampoco cumplen la simetría real, sobre
todo en objetos realizados artesanalmente, donde la intervención humana esta sujeta al
pulso, el tipo de material empleado o el propio gusto personal. Este tipo de simetría se
llama simetría aparente porque, aunque es claramente perceptible, no guarda una
disposición exacta de los puntos simétricos. Compruébalo:
Copia en el recuadro inferior estas piezas de ajedrez con ayuda de sus ejes de simetría:
14