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CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
Ejemplos
1. Determine
si
el
punto
1  3 
 ,

2 2 
pertenece
a
la
circunferencia
trigonométrica.
Solución
A
Se verifica que se cumpla la
1  x  1
condición
.
1  y  1
B
Se verifica que se cumpla la
condición x2  y2  1 .
C
Se da respuesta
planteado.
2.
al
1 
1
1
2
1 
 3
1
2
2
2
 3
1


  1
2
 
 2 
problema Por lo tanto el punto  1  3  sí
 ,

2 2 
pertenece
a
la
circunferencia
trigonométrica.
Encuentre el valor de x sabiendo que el punto  x, 3  pertenece a la
7

circunferencia trigonométrica y se ubica en el II cuadrante.
Solución
A Como el punto pertenece a la
circunferencia
trigonométrica
debe cumplir la igualdad
x2  y2  1 .
2
3
x2     1
7
9
 x2 
1
49
40
 x2 
49
x
2 10
7

B Si el punto se ubica en el II
2 10
cuadrante el valor de x es  x  7
negativo.
3. Encuentre el punto de la circunferencia trigonométrica correspondiente al
17
número real
.
6
Solución
A
Se busca un ángulo de referencia.
B
Se calculan los valores de seno y coseno para
el ángulo de referencia.
17 
  3
6
6

es un ángulo de

6
referencia.
 1
sen   
6 2
3

cos  
2
6
C
Como se ubica en el III cuadrante se tiene que
seno y coseno son negativos.
 17  1
sen 
 2
 6 
 17   3
cos
 2
 6 
D
Se da respuesta al problema planteado.
El punto correspondiente
  3 1 
,
es 
 .
 2
2


4. Determine cuáles de los siguientes números reales corresponden a puntos
en la circunferencia trigonométrica ubicados en el III cuadrante:
19
4
31
b)
6
22
c)
3
a)
53
6
23
e)
3
d)
Solución
A
Se analiza
19
.
4
19 
  5
4
4
Pertenece al III cuadrante.
B
Se analiza
31
.
6
31 
  5
6
6
Pertenece al III cuadrante.
C
Se analiza
22
.
3
22 
  7
3
3
Pertenece al III cuadrante.
D
Se analiza
53
.
6
53 

 9
6
6
No pertenece al III cuadrante, está
ubicado en el II.
E
Se analiza
23
.
3
23 
  8
3
3
No pertenece al III cuadrante, está
ubicado en el I.
5. Asocie cada número real con su correspondiente punto asociado en la
circunferencia trigonométrica escribiendo la letra respectiva dentro del
paréntesis.
A
21
2

 0,1
B
17
2

 0, 1
C
34
2

 1,0
D
36
2

  1,0
Solución
A
21 
  11
2
2
B
17 
  8
2
2
C
34
 17    16
2
D
36
 18  2  20
2
B 0,1
 A  0, 1
D 1,0
C  1,0
Ejercicios
1. Determine las coordenadas del punto P de la circunferencia trigonométrica
asociado al número real 37 .
6
2. Asocie cada número real con su punto correspondiente en la circunferencia
trigonométrica, escribiendo la letra respectiva dentro del paréntesis.
A
16
3

 
B
19
6

  2 ,
C
21
4

 
D
31
3

 
E
47
6

 
 2  2
,

2 
 2
1  3 

2 

  3 1
, 

 2 2
 3 1 
,

 2 2 
 1  3 
,

2 
 2
3. Determine cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la circunferencia
trigonométrica:
1 2
a)  , 
3 3


b)  5 , 2 
 3 3 


 5 11 
c)  ,
 6 6 


7 3
d)  , 
5 7 
1
4. Si el punto  , y  pertenece a la circunferencia trigonométrica y se ubica
 3

en el III cuadrante, encuentre el valor de y .
5. Determine en cuál cuadrante se ubica el punto de la circunferencia
trigonométrica asociado al número real 49 .
3
6. Determine para cuáles de los siguientes números reales el punto asociado
en la circunferencia trigonométrica tiene ambas coordenadas positivas:
25
4
55
b)
3
19
c)
6
47
d)
6
a)
Soluciones
1.
A
Se busca un ángulo de referencia.
B
Se calculan los valores de seno y coseno para
el ángulo de referencia.
37 

 6
6
6

es un ángulo de

6
referencia.
 1
sen   
6 2
3

cos  
2
6
C
Como se ubica en el IV cuadrante se tiene que
seno es negativo.
 37  1
sen 
 2
 6 
3
 37 
cos


2
 6 
D
El punto correspondiente
 3 1 
es 
.
,
 2 2 


Se da respuesta al problema planteado.
2.
A
16 
  5
3
3
B
19 

 3
6
6
C
21 
  5
4
4
B  
D
31 

 10
3
3
E 
E
47 

 8
6
6
 A  
 2  2
,

2 
 2
C  
1  3 

2 

D  2 ,
  3 1
, 
2
2 

 3 1 
,

 2 2 
 1  3 
,

2 
 2
3.
A
1 2
Se analiza  ,  .
3 3


Se verifica la primera propiedad:
1
1   1
3
2
1   1
3
Se verifica la segunda propiedad:
2
B


Se analiza  5 , 2  .


 3
3 
2
5
1
2
3  3  9
 
 
No pertenece a la circunferencia
trigonométrica.
Se verifica la primera propiedad:
5
1
3
2
1 
1
3
Se verifica la segunda propiedad:
1 
2
2
 5
 2 



 3  1
3




Sí pertenece a la circunferencia
trigonométrica.
C


Se analiza  5 , 11  .


6
6 
Se verifica la primera propiedad:
5
1   1
6
11
1
6
Se verifica la segunda propiedad:
1 
2
2
 11 
5
 6    6   1
 


Sí pertenece a la circunferencia
trigonométrica.
D
7 3
Se analiza  ,  .
5 7 
Se verifica la primera propiedad:
7
1
5
No pertenece a la circunferencia
trigonométrica.
4.
A Como el punto pertenece a la
circunferencia
trigonométrica
debe cumplir la igualdad
x2  y2  1 .
2
 1 
2
 3  y 1


1
  y2  1
9
8
 y2 
9
y
2 2
3
B Si el punto se ubica en el III
2 2
cuadrante el valor de y es  x  3
negativo.
5.
49 

 16
3
3
A
Se expresa el ángulo como una
diferencia.
B
La función seno es periódica Por lo tanto 49 está en el IV cuadrante.
con período 2 , lo cual significa
3
que 49 está en el mismo
3
cuadrante que  .
3
6.
A
Se analiza el cuadrante en
el que se ubica
B
Se analiza el cuadrante en
el que se ubica
C
25
.
4
55
.
3
Se analiza el cuadrante en
19
el que se ubica
.
6
25 

 6
4
4
Se ubica en el IV cuadrante.
55 
  18
3
3
Se ubica en el I cuadrante.
19 

 3
6
6
Se ubica en el II cuadrante.
D
Se analiza el cuadrante en
el que se ubica
47
.
6
47 

 8
6
6
Se ubica en el IV cuadrante.
E
Si ambas coordenadas son El único número real cuyo punto
positivas significa que el asociado
en
la
circunferencia
punto debe ubicarse en el trigonométrica tiene ambas coordenadas
primer cuadrante.
55
positivas es
.
3