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P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Profesional Técnico-Bachiller Manual Teórico Práctico del Módulo Autocontenido Integrador: MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Capacitado por: e-cbcc Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas Todas las Carreras I P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Carreras y Claves del Módulo de 1 Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (I-MATE2-00) 01 Electricidad y electrónica Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave Electricidad Industrial I10112030446MATE200 Electrónica Industrial I10212030446MATE200 Mecatrónica I10312030446MATE200 Redes de Distribución Eléctrica I10412030446MATE200 Sistemas Electrónicos de Aviación I10512030446MATE200 02 Mantenimiento e Instalación Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave Automotriz I20112030446MATE200 Electromecánica I20212030446MATE200 Mantenimiento de Motores y Planeadores I20312030446MATE200 Motores a Diesel I20412030446MATE200 Mantenimiento de Sistemas Automáticos I20512030446MATE200 Refrigeración y Aire Acondicionado I20612030446MATE200 1 Un mismo siglema para un módulo, significa que tiene el mismo programa de estudios, la clave cambia en otros dígitos de acuerdo a la carrera, semestre en que se imparte y posición del módulo en el plan de estudios. II Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 03 Procesos de Producción y Transformación Física Carrera de Profesional TécnicoBachiller en Clave Construcción I30112030446MATE200 Control de Calidad I30212030446MATE200 Industria del Vestido I30312030446MATE200 Máquinas Herramienta I30412030446MATE200 Metalmecánica I30512030446MATE200 Producción de Calzado I30612030446MATE200 Productividad Industrial I30712030446MATE200 Textil I30812030446MATE200 04 Procesos de Producción y Transformación Químico Biológicos Carrera de Profesional Técnico-Bachiller Clave Artes Gráficas I40112030446MATE200 Control de la Contaminación Ambiental I40212030446MATE200 Curtiduría I40312030446MATE200 Metalurgia I40412030446MATE200 Minero Metalurgista I40512030446MATE200 Plásticos I40612030446MATE200 Procesamiento Industrial de Alimentos I40712030446MATE200 Producción y Transformación de Productos Acuícolas I40812030446MATE200 Químico Industrial I40912030446MATE200 05 Tecnologías de la Información Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave Informática I50112030446MATE200 Todas las Carreras III P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Mantenimiento de Equipo de Cómputo y Control Digital I50212030446MATE200 Telecomunicaciones I50312030446MATE200 06 Contaduría y Administración Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave Administración I60112030446MATE200 Asistente Directivo I60212030446MATE200 Contaduría I60312030446MATE200 07 Turismo Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave 01 Alimentos y Bebidas I70112030446MATE200 02 Hospitalidad Turística I70212030446MATE200 08 Salud Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave 01 Dental I80112030446MATE200 02 Enfermería General I80212030446MATE200 03 Optometría I80312030446MATE200 04 Salud Comunitaria I80412030446MATE200 05 Terapia Respiratoria I80512030446MATE200 IV Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría PARTICIPANTES Coordinadores Suplente del Director General Secretario Académico Director de Diseño Curricular de la Formación Ocupacional Coordinadores de Área Joaquín Ruiz Nando Marco Antonio Norzagaray Gustavo Flores Fernández Ma. Cristina Martínez Mercado Rubén Ramírez Arce Jaime Gustavo Ayala Arellano Revisor Contenidos Revisor Pedagógico Revisores de la Contextualización Ana Elizabeth García Hernández Patricia Toledo Márquez Agustín Valerio Armando Guillermo Prieto Becerril Centro de Procuración y de Servicios, S.C. Directora General Ma. del Carmen Padilla Longoria Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Manual Teórico-Práctico del Programa de Estudios de las Carreras de Técnico-Bachiller. D.R. © 2003 CONALEP. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin autorización por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratería intelectual perseguido por la ley penal. E-CBCC Av. Conalep n° 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P. 52140 Metepec, Estado de México. Todas las Carreras V P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría ÍNDICE VI PÁG. 1 2 4 5 6 7 8 I II III IV V VI VII Mensaje al Alumno Como utilizar este manual Imágenes de referencia Propósito del Módulo Integrador Normas Técnicas de Competencia Laboral Especificaciones de evaluación Mapa curricular del Módulo Capítulo 1 Solución de problemas reales utilizando la geometría 9 1.1.1 Elementos geométricos básicos • Segmento rectilíneo • Rayo • Ángulos • Planos 11 1.1.2 Mediciones de ángulos • Grados • Radianes • Transformación de grados a radianes 13 1.1.3 Tipos de ángulos • Ángulo recto • Ángulo agudo • Ángulo llano • Rectas perpendiculares • Ángulos suplementarios • Ángulos complementarios • Ángulos verticales • Ángulos adyacentes • Recta transversal • Ángulos externos • Ángulos internos • Ángulos alternos • Ángulos externos alternos • Ángulos internos alternos • Ángulos correspondientes • Teorema de los ángulos 16 1.2.1 Triángulos • Definición • Clasificación propiedades de los triángulos • Definición de igualdad de triángulos • Mediana de un triángulo • Centroide de un triángulo • Fórmula de Herón de la altura de un triángulo • Área de un triángulo 22 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría PÁG. • Teorema de Pitágoras 1.2.2 Polígonos • Cuadrilátero • Definición y clasificación de cuadriláteros • Áreas y perímetros de cuadriláteros • Definición y clasificación de polígonos de más de 5 lados • Propiedades de los ángulos en un polígono • Ángulos exteriores • Propiedades de los ángulos de los polígonos • Área y perímetro de los polígonos 27 1.2.3 Círculos y circunferencias • Definición de circunferencia • Elementos de la circunferencia • Ángulos • Arcos • Relación entre dos circunferencias • Circunferencia y área de un círculo 33 1.3.1 Prismas y pirámides • Definición de prisma • Clasificación de prismas • Áreas y volúmenes de prismas • Definición de pirámides • Clasificación de pirámides • Áreas y volúmenes de pirámides 37 1.3.2 Esferas cilindros y conos • Definición de cono • Área y volumen del cono • Definición de cilindro • Área y volumen del cilindro • Definición de la esfera • Área y volumen del esfera 40 Resultados de ejercicios Prácticas y Listas de Cotejo Resumen 43 45 69 Capítulo 2 Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 70 2.1.1 Funciones definidas de un triangulo rectángulo • Razón • Definición de las funciones trigonométricas • Funciones trigonométricas inversas • Funciones trigonométricas de ángulos complementarios • Signos de las funciones trigonométricas • Círculo trigonométrico 72 Todas las Carreras VII P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría PÁG. • Resolución de triángulos rectángulos • Gráficas de las funciones trigonométricas 2.1.2 Identidades trigonométricas • Del teorema de Pitágoras • De la suma de ángulos • De la diferencia de ángulos • Del doble de un ángulo • De la mitad de un ángulo • Del triple de un ángulo • Suma y diferencia de seno y coseno • Cálculo de ángulos en función de ángulos conocidos • Procedimiento para mostrar que una ecuación es una identidad 84 2.2.1 Ecuaciones trigonométricas • Solución de ecuaciones trigonométricas usando identidades • Solución de ecuaciones trigonométricas usando calculadora 91 2.2.2 VIII Triángulos oblicuángulos • Ley de los senos • Ley de los cosenos • Resolución de triángulos oblicuángulos 93 Resultados de los ejercicios Prácticas y Listas De Cotejo Resumen Autoevaluación de Conocimientos Respuestas de Autoevaluación de Conocimientos Referencias Documentales 99 101 114 115 118 120 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría I. MENSAJE AL ALUMNO ¡CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR MATEMÁTICAS II! EL CONALEP, a partir de la Reforma Académica 2003, diseña y actualiza sus carreras, innovando sus perfiles, planes y programas de estudio, manuales teórico-prácticos, con los avances educativos, científicos, tecnológicos y humanísticos predominantes en el mundo globalizado, acordes a las necesidades del país para conferir una mayor competitividad a sus egresados, por lo que se crea la modalidad de Educación y Capacitación Basada en Competencias Contextualizadas, que considera las tendencias internacionales y nacionales de la educación tecnológica, lo que implica un reto permanente en la conjugación de esfuerzos. Este manual teórico práctico que apoya al módulo autocontenido integrador, ha sido diseñado bajo la Modalidad Educativa Basada en Competencias Contextualizadas, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que contribuyan a elevar tu potencial productivo y, a la vez que satisfagan las demandas actuales del sector laboral, te formen de manera integral con la oportunidad de realizar estudios a nivel superior. Esta modalidad requiere tu participación e involucramiento activo en ejercicios y prácticas con simuladores, vivencias y casos reales para promover un aprendizaje integral y significativo, a través de experiencias. Durante este proceso deberás mostrar evidencias que permitirán evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de competencias laborales y complementarias requeridas. El conocimiento y la experiencia adquirida se verán reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeño laboral y social, lo cual te permitirá llegar tan lejos como quieras en el ámbito profesional y laboral. Todas las Carreras 1 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL Las instrucciones generales que a continuación se te pide que cumplas, tienen la intención de conducirte a vincular las competencias requeridas por el mundo de trabajo con tu formación de profesional técnico. 2 • Redacta cuáles serían tus objetivos personales al estudiar este cursomódulo autocontenido integrador. • Analiza el Propósito del cursomódulo autocontenido integrador que se indica al principio del manual y contesta la pregunta ¿Me queda claro hacia dónde me dirijo y qué es lo que voy a aprender a hacer al estudiar el contenido del manual? Si no lo tienes claro, pídele al docente te lo explique. • Revisa el apartado Especificaciones de evaluación, son parte de los requisitos por cumplir para aprobar el curso-módulo. En él se indican las evidencias que debes mostrar durante el estudio del mismo para considerar que has alcanzado los resultados de aprendizaje de cada unidad. • Es fundamental que antes de empezar a abordar los contenidos del manual tengas muy claros los conceptos que a continuación se mencionan: competencia laboral, competencia central, competencia básica, competencia clave, unidad de competencia (básica, genéricas específicas), elementos de competencia, criterio de desempeño, campo de aplicación, evidencias de desempeño, evidencias de conocimiento, evidencias por producto, norma técnica de institución educativa, formación ocupacional, módulo autocontenido integrador, módulo autocontenido integrador, unidad de aprendizaje, y resultado de aprendizaje. Si desconoces el significado de los componentes de la norma, te recomendamos que consultes el apartado Glosario, que encontrarás al final del manual. • Analiza el apartado Normas Técnicas de Competencia Laboral, Norma Técnica de Institución Educativa. • Revisa el Mapa Curricular del curso–módulo autocontenido integrador. Esta diseñado para mostrarte esquemáticamente las unidades y los resultados de aprendizaje que te permitirán llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales requeridas por la ocupación para la cual te estás formando. • Revisa la Matriz de Competencias del curso-módulo autocontenido integrador. Describe las competencias laborales, básicas y claves que se contextualizan como parte de la metodología que refuerza el aprendiza lo integra y lo hace significativo Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría • Analiza la Matriz de contextualización del curso-módulo autocontenido integrador. Puede ser entendida como la forma en que, al darse el proceso de aprendizaje, el sujeto establece una relación activa del conocimiento y sus habilidades sobre el objeto desde un contexto científico, tecnológico, social, cultural e histórico que le permite hacer significativo su aprendizaje, es decir, el sujeto aprende durante la interacción social, haciendo del conocimiento un acto individual y social. • Realiza la lectura del contenido de cada capítulo y las actividades de aprendizaje que se te recomiendan. Recuerda que en la educación basada en normas de competencia laborales la responsabilidad del aprendizaje es tuya, pues eres quien desarrolla y orienta sus conocimientos y habilidades hacia el logro de algunas competencias en particular. • En el desarrollo del contenido de cada capítulo, encontrarás ayudas visuales como las siguientes, haz lo que ellas te sugieren. Si no lo haces no aprendes, no desarrollas habilidades, y te será difícil realizar los ejercicios de evidencias de conocimientos y los de desempeño. Todas las Carreras 3 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría III. IMÁGENES DE REFERENCIA 4 Estudio individual Investigación documental Consulta con el docente Redacción de trabajo Comparación de resultados con otros compañeros Repetición del ejercicio Trabajo en equipo Sugerencias o notas Realización del ejercicio Resumen Observación Consideraciones sobre seguridad e higiene Investigación de campo Portafolios de evidencias Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría IV. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR Al finalizar el curso-módulo, el Alumno utilizará la geometría y la trigonometría, para la solución de problemas científicos, laborales y personales mediante procedimientos y estrategias matemáticas. Todas las Carreras 5 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría V. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL Para que analices la relación que guardan las partes o componentes de la NTCL o NIE con el contenido del programa del curso–módulo autocontenido de la carrera que cursas, te recomendamos consultarla a través de las siguientes opciones: • 6 Acércate con el docente para que te permita revisar su programa de estudio del curso-módulo autocontenido de la carrera que cursas, para que consultes el apartado de la norma requerida. • Visita la página WEB del CONOCER en www.conocer.org.mx en caso de que el programa de estudio del curso - módulo ocupacional esta diseñado con una NTCL. • Consulta la página de Intranet del CONALEP http://intranet/ en caso de que el programa de estudio del curso - módulo autocontenido está diseñado con una NIE Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría VI. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN Durante el desarrollo de las prácticas de ejercicio también se estará evaluando el desempeño. El docente, mediante la observación directa y con auxilio de una lista de cotejo, confrontará el cumplimiento de los requisitos en la ejecución de las actividades y el tiempo real en que se realizó. En éstas quedarán registradas las evidencias de desempeño. Las autoevaluaciones de conocimientos correspondientes a cada capítulo, además de ser un medio para reafirmar los conocimientos sobre los contenidos tratados, son también una forma de evaluar y recopilar evidencias de conocimiento. Al término del curso-módulo deberás presentar un Portafolios de Evidencias2, el cual estará integrado por las listas de cotejo correspondientes a las prácticas de ejercicio, las autoevaluaciones de conocimientos que se encuentran al final de cada capítulo del manual y muestras de los trabajos realizados durante el desarrollo del curso-módulo, con esto se facilitará la evaluación del aprendizaje para determinar que se ha obtenido la competencia laboral. Deberás asentar datos básicos, tales como: nombre del Alumno, fecha de evaluación, nombre y firma del evaluador y plan de evaluación 2 El portafolios de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el Alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función específica (CONALEP. Metodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en competencias, Pág. 180). Todas las Carreras 7 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría VII. MAPA CURRICULAR Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Módulo 72h 1. Solución de problemas usando la geometría 2. Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 37 h 37 h Unidad de Aprendizaje Resultados de Aprendizaje 8 1.1. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades 1.2. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades 1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades 15 h 2.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo con sus características y propiedades 20 h 2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos 17 h Todas las Carreras 15 h 7h P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO LA GEOMETRÍA Este capítulo se ha elaborado con la finalidad de manejar un lenguaje matemático- gráfico que permita al Alumno identificar el tipo de operación necesaria para resolver un problema abstracto Todas las Carreras 9 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría VII. MAPA CURRICULAR Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Módulo 72h 1. Solución de problemas usando la geometría 2. Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 37 h 37 h Unidad de Aprendizaje Resultados de Aprendizaje 10 1.3. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades 1.4. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades 1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades 15 h 2.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo con sus características y propiedades 20 h 2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos 17 h Todas las Carreras 15 h 7h P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría extremo o punto final. 1.1.1 Elementos geométricos básicos. • Punto Un punto indica el cruce de varias líneas, el punto no tiene dimensiones sólo indica posición. Al estar indicada la dirección por la ubicación de cada punto en el segmento, podemos deducir que la suma de un segmento AB a un segmento BC es igual al segmento. En la siguiente figura, cada uno de las dos rectas es un conjunto de puntos y su intersección contiene exactamente un punto. AB + BC = AC • Rayo o semirrecta A las rectas y a los planos se les considera un conjunto de puntos. De hecho, todas las figuras geométricas se consideran como un conjunto de puntos. Si en una recta, se determina un punto O, que se llama origen, al conjunto formado por este punto y todos los que le siguen se le llama rayo o semirrecta. • Recta La línea recta no tiene límites, es decir no se conoce su punto inicial ni su punto final. Si los puntos están sobre una misma recta se dice que estos puntos son colineales, en la siguiente figura A, B y C son colineales. • Segmento rectilíneo A la parte de una línea recta comprendida entre dos puntos se le llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. La longitud del segmento AB se representa por AB . El segmento AB esta dirigido de A hacia B ; el punto A se llama origen o punto inicial y al punto B se llama Todas las Carreras 11 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría • Planos Tres puntos no colineales determinan un y sólo un plano. Su extensión es ilimitada La intersección entre dos planos es una recta. • Rectas paralelas A dos rectas que están en un mismo plano y no se intersecan, se les llama rectas paralelas. En la siguiente figura se muestran a las rectas paralelas AB y MN, este hecho se expresa como: En la siguiente figura los puntos E, F y G determinan un plano • Ángulos Un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Este origen común se llama vértice del ángulo y las dos semirrectas se llaman lados. 12 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Los ángulos se miden usando diferentes sistemas. Las dos unidades más comunes son el grado y el radián. • Grados Una forma de pensar en un ángulo es concebirlo como generado mediante el movimiento de una semirrecta de una posición inicial a una posición final. Si este ángulo generado estaba situado dentro de un círculo, con su origen en el centro del círculo. Este ángulo tiene varios nombres posibles: ∠θ , ∠AOD , ∠DOA , donde el símbolo ∠ significa ángulo. Estudio individual 180º lad o fin al 90º 0º (360º) lado inicial Competencia lógica. Identificar las figuras de los elementos geométricos básicos con su representación. El Alumno: 1. Realizará un plano donde esquematice el trayecto de su casa a la escuela. 2. Identificará los elementos geométricos que intervienen. 3. Los representará en el esquema. Estudio individual Competencia lógica. Identificar las figuras de elementos geométricos básicos con representación. El Alumno: los su 270º Un grado es el ángulo que corresponde a dividir la circunferencia en 360 partes y cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos y el minuto en otras 60 partes que son los segundos. La herramienta para medir ángulos en forma manual es el transportador, el centro o referencia de inicio debe partir del punto de intersección y alinearse a algún segmento rectilíneo. Los grados se miden desde el punto de intersección de las dos rectas que forman el ángulo Para medir un ángulo mediante el uso del transportador se debe poner la marca central sobre el vértice. 1. Analizará la figura tridimensional de un refresco tetrapack. 2. Marcará puntos sobre sus caras, 3. Realizará un dibujo de la figura tridimensional donde indique las líneas y planos que se forman. 1.1.2 Mediciones de ángulos Todas las Carreras 13 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Comparación de resultados con otros compañeros Competencia para la vida Identificar ángulos en su vida cotidiana y laboral El ángulo de una vuelta completa es igual a 2π rad ; de manera que la medida en radianes del ángulo que subtiende una circunferencia es el número 2π . π es el valor resultante de dividir el valor de la circunferencia entre el valor de su diámetro. π 3.1416 = perímetro diámetro . El Alumno: 1. Realizará un plano de su plantel. 2. Medirá con ayuda de un transportador los ángulos que intervienen. 3. Los representará en el plano. la do fin a l 90º= π/2 180º= π Investigación de campo 0º (360º=2π) lado inicial Competencia emprendedora 270º= 3π/2 Graficará las devaluaciones de los últimos 10 años. El Alumno: 1. Investigará las devaluaciones del peso en los últimos 10 años (www.banxico.gob.mx). 2. Trazará una gráfica, usando un par de ejes • Transformación de grados a radianes y viceversa. a 90°, colocando en el eje horizontal x el año y en el eje vertical y, el valor del peso. 3. Indicará los puntos y los unirá con una línea. 4. Indicará si hay ángulos de elevación o de Para cambiar de radianes a grados, multiplique el número de radianes por 5. Comentará sus conclusiones. 180º π ≈ 180º = 57.296º 3.1416 Para cambiar de grados a radianes, multiplique π • Radianes por Radian: Es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio de una circunferencia. Es decir, 14 π o sea, 1 rad = depresión y los medirá. 180º 180º Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 1º = π 2. Convertirá a grados los ángulos siguientes: 3.1416 = 0.01745 rad 180º 180º a) Ejemplo: Cambie radianes: 40º = 40º 60º = 60º 90º = 90º 40º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º a π 180º π = = 180º π = 180º π 3 π 2 rad rad = π = π rad 180º 5π 3π π Cambie , , , 1.8 radianes a grados: 6 4 12 180º = 180º 4 rad π rad 6 c) 2π rad 3. Realizará un dibujo, donde grafique cada uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes. 4. Escribirá la ecuación de conversión grados a radianes. 5. Convertirá a radianes los ángulos siguientes: a) 135° b) 270° c) 45° 6. Realizará un dibujo, donde grafique cada uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes. 2π rad 180º 3 π 5π 150º = 150º rad = 180º 6 120º = 120º π 2π rad 9 b) π Realización del ejercicio Competencia Tecnológica 5π 5π 180º = 150º rad = 6 6 π 3π 3π 180º = 135º rad = 4 4 π π π 180º = 15º rad = 12 12 π 180º = 103.13º 1.8 rad = 1.8 3.1416 Convertir ángulos de radianes a grados y viceversa, usando la calculadora. Realización del ejercicio Competencia Analítica Expresar ángulos en grados y en radianes El Alumno: 1. Escribirá la ecuación de conversión radianes a grados. El Alumno: 1. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones. 2. Usará su calculadora para cambiar: a) 120º y b) 83º a radianes. 3. Realizará un dibujo con los ángulos anteriores y su representación en grados y en radianes. 4. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones. 5. Usará su calculadora para cambiar: a) 9π rad y b) 3.98 rad a grados. 8 6. Realizará Todas las Carreras un dibujo con los ángulos 15 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 7. 8. 9. 10. anteriores y su representación en grados y en radianes. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en la computadora usando el Softaware Excel. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0º a 360º con paso de 10º y sus conversiones a radianes, Redactará la estrategía a seguir para convertir de radianes a grados en la computadora usando el Softaware Excel. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0 a 2π rad con paso de π 16 rad y sus conversiones a grados. Investigación documental Competencia tecnológica Identificar instrumentos que sirven para la medición ángulos con gran precisión. El Alumno: 1. Investigará en libros y en el Internet cómo esta constituido un teodolito. 2. Realizará un reporte ilustrado acerca del manejo del teodolito. 3. Indicará en que actividades se usa comúnmente el teodolito. 4. Realizará una exposición al grupo resultado de su investigación. numérica. 5. Realizará un escrito breve donde señale la ayuda de la geometría en la solución de problemas. Problemas: a) Determinará la velocidad angular del cuerpo y la velocidad tangencial del cuerpo. Si se sabe que un cuerpo realiza un movimiento circular de 8 cm de radio, ejecuta 2 rev/s, Nota: En un movimiento circular la velocidad la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es v = ω r . b) Determinará la frecuencia angular si se sabe que la frecuencia es de 60 Hz. Nota: La frecuencia angular ω de una corriente alterna es ω = 2π f . c) Determinará la velocidad angular de una rueda de engrane que gira 285º en 10 s. Nota: La velocidad angular está relacionada con el desplazamiento angular a través de ω= t , para un la relación movimiento circular uniforme. d) Determinará la velocidad angular de una rueda de engrane que gira 3 π en 5 s. 4 1.1.3 TIPOS DE ÁNGULOS Realización del ejercicio Competencia Científico teórica Resolver problemas de física usando elementos geométricos.. Los ángulos se clasifican y denominan en función de la medida de sus grados. Ángulo agudo es un ángulo cuya medida está entre 0º y 90º. El Alumno: 1. Identificará a que parte de la física se refiere cada uno de los problemas siguientes. 2. Realizará un esquema para cada uno de los problemas. 3. Usando sus conocimientos geométricos resolverá cada uno de los problemas. 4. Escribirá sus conclusiones para cada uno de los problemas, en base a su solución 16 θ Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Ángulo recto es un ángulo que mide 90º. Ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90º, pero menos de 180º Ángulo colineal o llano es un ángulo que mide 180º • Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios y conjugados • Consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común y están en un mismo plano. Ángulo cóncavo o entrante es un ángulo mayor de 180° y menor de 360° • Complementarios: Son dos ángulos que suman 90º Ángulo perigonal es un ángulo que mide 360° Todas las Carreras 17 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría • Suplementarios: Son dos ángulos que suman 180º • Adyacentes Son pares de ángulos consecutivos, cuya suma es igual a 180º, además estos ángulos son suplementarios. En la figura son consecutivos: α yγ γ yβ β yθ θ yα • Conjugados: Son dos ángulos que suman 360º Por tanto: α + γ = 180º γ + β = 180º β + θ = 180º θ + α = 180º • Opuestos por el vértice Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice Si dos rectas de un plano se cruzan en un punto, se forman cuatro ángulos que de acuerdo con su posición reciben el nombre de adyacentes y opuestos por el vértice. • Son los ángulos que comparten el vértice y quedan el uno frente al otro. Además estos ángulos son iguales. De la figura son opuestos por el vértice: α yβ θ yγ Entonces: Demostración: Sabemos que: 18 Todas las Carreras α=β θ =γ P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría α + γ = 180º γ + β = 180º • Ángulos formados por dos rectas y una transversal que se cortan: Las paralelas y la transversal forman ocho ángulos. Cuatro son internos por estar situados en el espacio comprendido entre las paralelas: Entonces: α +γ = γ + β ⇒α = β y γ + β = 180º β + θ = 180º Entonces: γ + β = β +θ ⇒ γ = θ • Líneas perpendiculares Las líneas perpendiculares son dos líneas que se cortan en ángulo recto. El símbolo ⊥ significa perpendicularidad. La perpendicular es la mediatriz de un segmento, es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del segmento. Y cuatro son externos por estar situados en el espacio externo a las paralelas: Trabajo en equipo Competencia lógica Identificar las definiciones verbales con cada tipo de ángulo. El Alumno: 1. Realizará un recorrido por su escuela y medirá los ángulos de las tuberías y ventanas. 2. Realizará un esquema donde indique los ángulos. 3. Identificará el tipo de ángulo. Ángulos correspondientes: Son dos ángulos , uno interno y otro externo, que están situados de un mismo lado de la transversal y en distinta paralela: Todas las Carreras 19 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Son correspondientes: entonces: β yφ , se puede ver que son iguales al efectuar una traslación rectilínea, tomando a la transversal como la directriz: β = φ entonces: δ = η Los ángulos correspondientes son iguales. Ángulos alternos internos: Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela. α = ε Los ángulos alternos internos son iguales. χ =φ ε =δ Demostración de la igualdad: χ =φ entonces: 20 χ = γ Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Por ser opuestos por el vértice: χ=β Por ser opuestos por el vértice: y por ser correspondientes α =δ β =φ entonces: y por ser correspondientes δ =η χ =φ entonces: Ángulos alternos externos: Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela. α =η Ángulos colaterales internos: Son dos ángulos internos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Ángulos colaterales externos son dos ángulos externos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela. Los ángulos alternos externos son iguales. α =η β =γ Demostración de la igualdad: α =η Todas las Carreras 21 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Un soldador debe unir las piezas, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo x? Los ángulos paralelos son suplementarios Demostración de la igualdad: δ + φ = 180º 1.2.1 TRIÁNGULOS Polígonos El polígono es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta de varios segmentos. De la figura: Clasificación: Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo con su número de lados y de ángulos Triángulo: 3 ángulos y 3 lados β + δ = 180º Pero: β =φ por ser correspondientes Cuadrilátero: 4 ángulos y 4 lados entonces: Pentágono: 5 ángulos y 5 lados Hexágono: 6 ángulos y 6 lados δ + φ = 180º Realización del ejercicio Heptágono: 7 ángulos y 7 lados Competencia de calidad Octágono: 8 ángulos y 8 lados Eneágono: 9 ángulos y 9 lados Decágono:: 10 ángulos y 10 lados Examinemos como primer punto a los triángulos. Diseñar métodos y algoritmos para • Definición El triángulo es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta por tres segmentos. calcular variables. El Alumno: Ejemplo: 22 1. Identificará ángulos difíciles de medir. 2. Usará rectas paralelas y transversales. 3. Determinará ángulos desconocidos usando las propiedades de los ángulos. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Escaleno: los tres lados del triángulo tienen diferente longitud. AB , BC y AC son los lados de un triángulo ABC ΔABC , â , b̂ y ĉ son los ángulos ΔABC d̂ ê fˆ interiores del y exteriores del ΔABC . , y son los ángulos • Clasificación de los triángulos por la magnitud de sus lados: • Clasificación de los triángulos por la magnitud de sus ángulos: Rectángulo: Uno de los ángulos del triangulo es recto. (Se denota por un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto). Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la misma magnitud. Oblicuángulo: El triángulo no tiene ningún ángulo recto. Los triángulos oblicuángulos pueden ser: Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos. Isósceles: Dos de sus lados son iguales y el otro desigual. Obtusángulo: Si tiene un ángulo agudo. Todas las Carreras 23 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Baricentro o centroide: es el nombre del punto donde se intersecan las medianas. • Rectas y puntos notables de un triángulo Alturas: La distancia que existe desde el vértice de un triángulo hasta la recta del lado opuesto se llama altura del triangulo correspondiente a ese lado. Ortocentro: es el punto donde se intersecan las alturas. Mediatrices: La mediatriz correspondiente a un lado es la perpendicular de los lados que pasa por el punto medio del mismo. Circuncentro: es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia cincunscrita. Bisectriz: La bisectriz correspondiente a un ángulo es la recta que une al vértice con un punto que indica la mitad del ángulo. En un triángulo obtusángulo es necesario prolongar los lados para obtener las alturas. Medianas: El segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto se llama mediana correspondiente a ese lado. Incentro: es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. En un triángulo equilátero el centroide, el circuncentro y el ortocentro son el mismo punto. 24 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría En un triángulo isósceles la mediana, la mediatriz y la altura de A serán la misma línea. Comparación compañeros de resultados con otros los triángulos son proporcionales: Competencia Analítica. Verificar propiedades triángulos. Los triángulos semejantes son los que tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En la siguiente figura los triángulos ACB y EDF son semejantes ya que sus lados correspondientes de de 12 9 6 = = =3 4 3 2 los El Alumno: 1. Dibujará tres triángulos de la forma que desee y con medidas aleatorias. 2. Medirá sus tres ángulos con ayuda de un transportador y los sumará. 3. Comparará con sus compañeros y observará que no importa cuantos triángulos diferentes realicen siempre sus ángulos suman 180º. Realización del ejercicio Realización del ejercicio Competencia Laboral Competencia Laboral Usar la problemas laborales. geometría para Usar la geometría para resolver problemas laborales. resolver El Alumno: 1. Dibujará un plano de un terreno triangular de lados 140 m, 140 m y 140 m 2. Determinará geométricamente, el punto equistante a los tres vértices de con el fin colocar una antena. 3. Identificará a este punto por su nombre. • Igualdad de triángulos El Alumno: 1. Identificará un problema laboral a resolver. 2. Usando propiedades de los triángulos lo resolverá. 3. Realizará un escrito con sus conclusiones. Ejemplo: Calculará la altura de una torre de televisión que proyecta una sombra que tiene 150 m de longitud, sabiendo que a la misma hora, un poste vertical que tiene 1.5 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m de longitud. Un triangulo es congruente o igual a otro, si tienen todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos de otro. • Triángulos semejantes Todas las Carreras 25 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 1. Identificará terreno triangular en su comunidad. 2. Medirá sus lados con ayuda de un flexo metro. 3. Calculará su área, usando la fórmula de Herón. Ejemplo: Calculará el área de un terreno triangular cuyos lados son a = 51.75 pies, b = 42.75 pies y c = 82.5 pies. Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo de lados a , b y c es igual: P = a + b + c Área de un triángulo El área de un triángulo se determina mediante la siguiente fórmula: A= Triángulos rectángulos Los lados del triangulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. bh 2 donde h es la altura del triangulo y b el lado opuesto, llamado la base del triángulo. • Fórmula de Herón Cuando no se conoce la altura. Se puede determinar el área de un triángulo usando la fórmula de Herón de Alejandría: A = s ( s − a )( s − b )( s − c ) donde : a+b+c 2 y a , b y c , son los lados del triangulo. s= • Teorema de Pitágoras Pitágoras fue un político, filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI A. de C. El teorema de Pitágoras establece que: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. c2 = a 2 + b2 Demostración: Realización del ejercicio Competencia Laboral Usar la geometría para resolver problemas laborales. El Alumno: 26 Por construcción CD ⊥ AB Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Puesto que son ACD y ACB son triángulos semejantes: c b = b x entonces: cx = b 2 (1) Y como ACB y CDB son triángulos semejantes: c a = a y entonces: cy = a 2 (2) El Alumno: 1. Identificará un problema laboral que involucre triángulos rectángulos. 2. Resolverá el problema usando el teorema de Pitágoras. 3. Realizará un reporte escrito del problema y sus resultados. Ejemplo: Una casa tiene 10 m de ancho y el caballete del tejado es 4 m más alto que las paredes laterales. Si las vigas, r, se extienden 0.5 m más allá de los costados de la casa, ¿cuál es la longitud de las vigas? Sumando las ecuaciones (2) y (1) cy + cx = a 2 + b 2 Factorizando a c : c ( y + x ) = a 2 + b2 Pero por construcción: c = x+ y Entonces 1.2.2 POLÍGONOS c2 = a 2 + b2 El teorema de Pitágoras expresar como: también se puede c = a 2 + b2 A partir de esta ecuación se pueden determinar los catetos ⎧⎪⇒ b = c 2 − a 2 c2 = a 2 + b2 ⎨ ⎪⎩⇒ a = c 2 − b 2 • Cuadriláteros Es todo polígono de cuatro lados. • Clasificación de cuadriláteros Los cuadriláteros se dividen en: PARALELOGRAMOS TRAPECIOS Ejemplo: Usando el teorema de Pitágoras determinar el cateto b: b = c2 − a2 Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados opuestos son paralelos. Cuadrado: es un paralelogramo de lados iguales y Sustituyendo valores: ángulos rectos. b = 52 − 42 = 25 − 16 = 9 = 3 Realización del ejercicio Competencia Laboral Usar la geometría para resolver problemas laborales. Rectángulo: es un paralelogramo de contiguos desiguales y ángulos rectos. Todas las Carreras lados 27 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Rombo: es un paralelogramo de ángulos oblicuos. lados iguales y Romboide: es un paralelogramo de lados contiguos desiguales y dos ángulos oblicuos. Trapecio isósceles, es un trapecio en el cual los lados paralelos son iguales. Trapezoide, es un trapecio que no tiene ningún lados paralelo a su opuesto. Los trapecios son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos. Trapecio: es un cuadrilátero de dos lados paralelos. Propiedades de los paralelogramos: 1. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360º. Demostración: Trapecio rectángulo, es un trapecio con dos ángulos rectos. Por construcción, se forman dos triángulos ΔABC y ΔACD . El segmento AC es común 28 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría para los triángulos ΔABC y ΔACD . La suma de cada uno de los ángulos interiores de un es de 180º entonces la suma de los ángulos de los triángulos ΔABC y ΔACD , es de 360º 2. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales θ + φ = 180º 3. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto medio Demostración: Demostración: Por ser ángulos alternos internos: Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo. α=β γ =δ Por tener ángulos iguales, los triángulos ΔABC y ΔCDA son iguales, entonces: AB = DC Puesto que: AD = BC Por ser ángulos alternos internos: β =δ α =γ AD = BC entonces α=β γ =δ entonces ΔAOD = ΔBOC OA = OC En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. θ =α +γ = β +δ =θ Los ángulos contiguos son suplementarios. OD = OB 4. Las diagonales de un rectángulo son iguales Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo. AD = BC Todas las Carreras 29 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría α=β entonces AB = DC Y por ser los suplementos de Por la definición de un rectángulo α y β ∠ADC = ∠BCD ∠DAB = ∠ABC = 90º entonces los triángulos ΔABC = ΔDAB por tanto: Perímetros y áreas de cuadriláteros AC = BD Propiedades de los trapecios 1. Los lados contiguos a cada uno de los lados no paralelos de un trapecio son suplementarios. Paralelogramo El perímetro de un paralelogramo es igual a la suma de sus lados: P = l1 + l2 + l3 + l4 El área de un paralelogramo cualquiera es igual al producto de su base por su altura_ A = bh Demostración: Cuadrado: Por ser colaterales internos: α + δ = 180º χ + β = 180º 2. Los lados contiguos a una misma base de un trapecio isósceles son iguales. Demostración: Perímetro: P = 4l Área: A = l En términos de la diagonal, el área del cuadrado también se puede expresar como: 2 Por definición de trapecio isósceles: AD = BC y puesto que los puntos MDCN forman un rectángulo A= d2 2 DM = CN Rombo: Entonces por tener hipotenusa y un cateto respectivamente iguales Perímetro: P = 4l ΔAMD = ΔBNC entonces 30 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Área: A = dd ' 2 Trapecio: La apotema de un polígono regular es la perpendicular bajada desde el centro a uno cualquiera de los lados, es decir es la altura de uno de los triángulos iguales en que se puede descomponer el polígono considerando el lado como base. Área del polígono regular El área de un polígono regular es la igual a la mitad del producto de la apotema por el perímetro. Perímetro: P = 2l + b + b ' ⎛ b +b'⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠ A= Área: A = h ⎜ Polígonos de cinco o más lados Polígonos regulares Un polígono es regular cuando todos sus lados son iguales. Centro El centro de un polígono regular es el punto interior del mismo en el que se intersecan las diagonales. El centro equidista de todos los vértices y de todos los lados. Apotema anl 2 Polígonos irregulares Un polígono es irregular, tiene lados desiguales. Área de un polígono irregular Para determinar el área de un polígono irregular, se divide el polígono en triángulos, se determina el área de cada triángulo y la suma de las áreas es igual al área del polígono. Propiedades de los ángulos en un polígono 1. A todo polígono regular corresponde una circunferencia circunscrita y otra inscrita que tienen el mismo centro. Todas las Carreras 31 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Por construcción AD y AC son diagonales 2. La suma de los ángulos centrales de un polígono regular es igual a 360º En cualquier polígono se forman n − 2 triángulos. La suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de los triángulos ΔABC , ΔACD y ΔADE Y puesto que la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º, en este caso se forman tres triángulos , entonces la suma de los ángulos de los triángulos será de 3(180º) = 540º, en general, se forman n-2 polígonos y la suma de los ángulos interiores de un polígono irregular es 180º(n-2). También podemos afirmar que para un polígono regular de n lados, cada ángulo interior es igual a α α 4. La suma de los ángulos exteriores es 360º α α 180º ( n − 2 ) . n α nα = 360º ⇒ α = 360º n 3. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º ( n − 2 ) Demostración: Cada ángulo exterior es suplemento de su correspondiente ángulo interior. Entonces la suma total de los ángulos interiores y exteriores es igual a n180º . Pero ya hemos demostrado que la suma de los ángulos interiores es igual a 180º ( n − 2 ) . Entonces la suma de los ángulos exteriores es igual a: n180º − ( n − 2 )180º = 2 (180º ) = 360º 5. El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a la mitad del producto de n por n − 3 Demostración: 32 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 2. Realizará un reporte escrito de los problemas con los datos, las fórmulas empleadas, un esquema para cada problema y sus resultados. 1.2.3 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA Demostración: De cada vértice del polígono se pueden trazar n − 3 diagonales. Hay n vértices y las diagonales están repetidas 2 veces, el total de diagonales es: Circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia. 2n = n ( n − 3 ) n= n ( n − 3) 2 Un polígono regular es equilátero y equiángulo a la vez. Realización del ejercicio • Elementos de la circunferencia Radio: es la recta que une el centro de un punto cualquiera de la circunferencia. Competencia analítica. Determinar áreas y perímetros de un polígono. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro de polígonos para resolver los siguientes problemas: a) Calculará el perímetro y área de un octágono, donde cada lado mide 12.5 cm y la apotema 15.1 cm. b) Obtendrá el perímetro y área de un rectángulo de 7 cm de largo por 5 cm de ancho. Diámetro: Recta que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. Todas las Carreras 33 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Cuerda: Recta que une dos puntos de la circunferencia . Secante: es una recta que interseca a la tangente en dos puntos. Arco: es una parte de la circunferencia en la figura. • Ángulos en la circunferencia Los ángulos que se trazan en una circunferencia reciben diferentes nombres de cuerdo con la posición que presenta el vértice. Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. Tangente: es una recta que interseca a la circunferencia en un punto. 34 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Ángulo inscrito: su vértice coincide con cualquier punto de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de la circunferencia. Ángulo semi-inscrito: su vértice está sobre una tangente y una cuerda de la circunferencia. Arcos El arco es una sección de un círculo que con frecuencia se le describe en términos del tamaño de su ángulo central. Como ya hemos mencionado un arco de longitud igual al radio es 1 rad. Un ángulo central divide al arco en un arco menor y en un arco mayor. Ángulo excéntrico: esta dentro de la circunferencia pero su vértice no coincide con el centro. Ángulo exterior: su vértice se encuentra en la parte exterior a la circunferencia sus lados pueden ser secantes o tangentes . Longitud del arco Un arco formado por un círculo de radio r y un ángulo central de θ rad tiene una longitud de Todas las Carreras 35 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría arco: Demostración: s = rθ Propiedades de los círculos 1. Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de éste, la recta es tangente al círculo. OA y OC son radios. Puesto que OA y OC son radios del mismo círculo. OA = OC Demostración: En C el segmento AD es perpendicular al segmento OD y OC es el radio del círculo. Por construcción B es un punto cualquiera de la recta AD distinto de C . Puesto que la perpendicular es la distancia más corta entre un punto y una recta OC < OB Y como la distancia desde el punto B al centro es mayor que la longitud del radio, el punto B es un punto externo al círculo. C es el único punto común de AD y el círculo, por tanto AD es tangente al círculo. Como consecuencia de esta propiedad podemos afirmar también que: Toda tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto. Por construcción el segmento OE es lado común a los triángulos rectángulos ΔOEA y ΔOEC . Los triángulos ΔOEA y ΔOEC .son triángulos iguales, por tener lados hipotenusa y catetos iguales. ΔOEA = ΔOEC entonces AE = EC y ∠AOB = ∠BOC entonces concluimos que: En un mismo círculo, ángulos centrales iguales intersecan arcos iguales, entonces El arco AB es igual al arco BC . 3. En todo círculo, dos paralelas intersecan arcos iguales Demostración: La perpendicular a una tangente en el punto de contacto pasa por el centro del círculo. 2. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos. CD , AB y EG son paralelas. Por construcción 36 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría F es tangente al círculo y FP es el diámetro. Y sabemos que la perpendicular trazada por el centro de una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos entonces: FC = FD FA = FB Realización del ejercicio Competencia Analítica Determinar áreas y perímetros del círculo. Entonces: 1. FC − FA = FD − FB Aplicará las fórmulas del área y del perímetro Pero por construcción: de polígonos para resolver los siguientes problemas: FC − FA = AC a) Calculará la cantidad de tela que se lleva y un mantel circular de 1.5 m de diámetro. FD − FB = BD b) Calculará el perímetro de un anillo de 0.5 entonces: cm. de radio. AC = BD 2. Realizará un reporte escrito de los problemas con los datos, las fórmulas empleadas, un esquema Circunferencia y área de los círculos para Las fórmulas para la circunferencia (perímetro de un círculo) y el área de un círculo implican el uso del número irracional π . La circunferencia C de un círculo es: C = π d = 2π r donde d es la longitud de un diámetro y r es la longitud del radio. El área de un círculo es: A = π r2 = πd 4 2 cada problema y sus resultados. 1.3.1 PRISMAS Y PIRÁMIDES El espacio que ocupa un sólido se llama volumen y con frecuencia se obtiene usando fórmulas en las que intervienen sus dimensiones. • Prismas Un prisma es un cuerpo geométrico cuyas bases son dos polígonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos. Todas las Carreras 37 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Volumen: es el producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura : V = Bh Ejemplo: Calcular el volumen del prisma triangular anterior. V = Bh = ( 97.5 cm 2 ) ( 20 cm ) = 1950 cm3 Repetición del ejercicio Competencia Analítica Determinar áreas y volúmenes de prismas. • Clasificación de los prismas Por la forma de su base los prismas pueden ser: Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro de polígonos para resolver los siguientes problemas: a) Determinará el área lateral, el área superficial • Magnitudes de un prisma Altura: La altura de un prisma es la perpendicular bajada de una base a la otra o su prolongación en caso de que el prisma no sea recto. Área: es la suma de las áreas de todas las caras del prisma: De las dos bases. Y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras del prisma. Ejemplo: Determinar el volumen de un prisma recto triangular cuya altura es 20 cm; el lado del triangulo de la base es igual a 15 cm y la altura del triangulo es de 13 cm. 1. Determinamos el área de la base Ab = total siguientes figuras. bh (15 cm )(13 cm ) = = 97.5 cm 2 2 2 2. El área de cada una de las tres caras laterales es: Al = bh = (15 cm )( 20 cm ) = 300 cm 2 3. El área total es entonces: At = 2 Ab + 3 Al = 195 cm 2 + 900 cm 2 = 1095 cm 2 38 y el volumen de los sólidos de las Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Se clasifican en función de la forma de la base y en consiguiente el número de caras. Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales. 2. Realizará un reporte escrito con los datos de cada figura, las fórmulas empleadas, un esquema para cada figura y sus resultados. • Pirámides Son cuerpos geométricos cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que concurren a un mismo punto llamado vértice de la pirámide. Magnitudes de una pirámide Altura: La altura de una pirámide es la perpendicular bajada desde el vértice de la pirámide a la base o su prolongación. Área: es la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide: De la base y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras de la pirámide. Volumen: es un tercio del producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura : V= Bh 3 Trabajo en equipo Competencia lógica. . Identificar construcciones con formas de prismas y pirámides. Competencia Analítica Calcular áreas laterales y volúmenes de prismas y pirámides. El Alumno: • Realizará un recorrido por su comunidad e identificará construcciones con formas de prismas y pirámides. • Tomará medidas. • Calculará el área lateral y volumen de dichas construcciones. Realización del ejercicio • Clasificación de las pirámides Por su forma de su base las pirámides pueden ser: Competencia Tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la Todas las Carreras 39 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría solución de problemas geométricos. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del volumen y del área de pirámides para resolver los siguientes problemas: a) Determinar el volumen de un prisma pentagonal que tiene 3 cm de apotema, 5 cm de lado y 8 cm de altura. 1.3.2 ESFERAS, CILINDROS Y CONOS • Cilindro El cilindro de revolución o cilindro circular recto es el cuerpo engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. b) Con el mismo polígono por base y la misma altura ¿qué tendrá mayor volumen un prisma o una pirámide? 2. Usará la calculadora para realizar sus cálculos. 3. Realizará un reporte escrito con los datos de cada problema, las fórmulas empleadas, un esquema para cada problema y sus resultados. Investigación de campo Competencia de calidad Usar elementos geométricos para maximizar recursos. El Alumno: 1. Aplicará las fórmulas del volumen y del área de pirámides para calcular el volumen y el área total de dos muestras de envases con la misma base y altura, la primera es un prisma cuadrangular y la segunda una pirámide cuadrangular, para regalar muestras de un nuevo producto de limpieza: 2. Redactará sus conclusiones en las que responderá las siguientes preguntas: ¿qué cuerpo ocupa menos material para su fabricación?, ¿Qué envase tiene menor volumen? 40 El cilindro de la figura ha sido engendrado por el rectángulo ABOO’ girando alrededor del segmento OO’. • Magnitudes de un cilindro: Eje: El segmento OO’ es el eje del cilindro. Altura: El segmento OO’ también representa la altura del cilindro, la que también puede definirse como la distancia entre las dos bases. Radio: El segmento O’A es el eje del cilindro. Generatriz: el segmento AB es la generatriz del cilindro, los lados AO’ y BO son los radios iguales de las bases del cilindro, cuando el cilindro es recto la magnitud de la generatriz es igual a la altura. Área: es la suma de las áreas de las dos bases más el área lateral del cilindro. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría El cono de la figura ha sido engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo SOA alrededor del cateto SO. • Magnitudes de un cono: Vértice: El punto S es el vértice del cono. Radio: El cateto OA es el radio del círculo de la base. Generatriz: la hipotenusa SA es la generatriz del cono. Altura: La altura del cono es el segmento SO, que se puede definir como la perpendicular bajada desde su eje. Área: es la suma del área de la base más el área lateral del cono. El área lateral del cono esta dada por: Al = π rs donde: r es el radio de la base del cono s es la altura oblicua del cono. Área lateral: 2π rh Área de una de las bases: π r2 Y el área de la base es: 2 Área total: 2π r + 2π rh Volumen: es el producto de su base que es un círculo por la altura del cilindro Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura : V = Bh = π r 2 h El área total es: de un triangulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. At = π rs + π r 2 . Volumen: es un tercio del producto de su base que es un círculo por la altura del cono. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura: • Cono El cono de revolución o cono circular recto es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución Ab = π r 2 . V= Bh π r 2 h = 3 3 • Esfera Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. • Magnitudes de una esfera: Todas las Carreras 41 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Radio: Los segmentos OB, OA , ó OC es el radio de la esfera. Centro: Su centro es el punto O.. Área: su área es igual a: A = 4π r 2 3. Realizará un reporte escrito con los datos de cada figura, las fórmulas empleadas, un esquema para cada figura y sus resultados. Realización del ejercicio 4 3 Volumen: V = π r 3 Realización del ejercicio Competencia laboral Aplicar modelos geométricos para resolver Competencia Analítica Determinar áreas y volúmenes de cilindros, conos y esferas. El Alumno: 1. Calculará las fórmulas del volumen y del área , del área lateral, del área superficial total y del volumen de las figuras que se muestran: problemas del área de su especialidad. El Alumno: 1. Investigará problemas del área de su especialidad en las que se calculen áreas y volúmenes de prismas pirámides, cilindros, esferas. 2. Realizará un reporte escrito con los datos de cada problema, las fórmulas empleadas, un esquema para cada problema e identificará el área de su especialidad donde aparece dicho problema. 2. 42 Determinará el área y el volumen de una esfera de 10 cm de radio. Ejemplos: 1. ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento de un tanque cilíndrico de gas que tiene un radio de 48 pies y una altura de 140 pies? 2. ¿Cuánta sopa puede contener el bote (en mm3)? y ¿Cuántos milímetros cuadrados de papel son necesarios para elaborar la etiqueta si los extremos se traslapan 5 mm? Para un bote cilíndrico de sopa tiene un diámetro de 66 mm y una altura de 100 mm. 3. ¿Qué cantidad de aire contiene una pelota cuyo diámetro es de 20 cm? 4. ¿Cuál es la densidad del azúcar? Si se sabe que un terrón de azúcar de 3 cm por 2 cm y por 1 cm pesa 9.6 g . Nota la densidad es igual a masa sobre volumen. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 5. ¿Cuál es la masa de un pedestal? Si se sabe que es una columna de mármol cuya densidad es de 2.7 kg/m3 , que tiene la forma de un prisma regular de base octagonal y que la altura del pedestal es de 5 m, el perímetro de la base es de 198.82 cm y la apotema de la base es de 30 cm. 130 2.26893333 140 2.44346667 150 2.618 160 2.79253333 170 2.96706667 Respuestas Unidad I 180 3.1416 1.1.2 190 3.31613333 Transformación de grados a radianes y viceversa. 200 3.49066667 3. 210 3.6652 220 3.83973333 230 4.01426667 240 4.1888 250 4.36333333 260 4.53786667 270 4.7124 π 280 4.88693333 4 290 5.06146667 300 5.236 310 5.41053333 320 5.58506667 4. a) 45° b) 30° c) 360° 3π 4 a) 3π 2 b) c) Competencia tecnológica 1. 2.0944 rad, 1.4486 rad 2. 3.5343°, 228.04° 3. 0 0 330 5.7596 10 0.17453333 340 5.93413333 20 0.34906667 350 6.10866667 30 0.5236 6.2832 40 0.69813333 360 1. 50 0.87266667 60 1.0472 0π 0 70 1.22173333 0.125π 22.5 80 1.39626667 0.25π 45 90 1.5708 0.375π 67.5 100 1.74533333 0.5π 90 110 1.91986667 0.625π 112.5 120 2.0944 0.75π 135 0.875π 157.5 Todas las Carreras 43 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 1π 180 1.125π 202.5 1.25π 225 1.375π 247.5 1.5π 270 1.625π 292.5 1.75π 315 1.875π 337.5 2π 360 Está a 80.827m de cada vértice. Realización del ejercicio 120 m Realización del ejercicio 16748ft2 Realización del ejercicio 6.9031 m 1.2.2 Realización del ejercicio 1. P=100 cm; A=750cm2 2. P=24 cm; A=35cm2 Competencia científico teórica rad cm , 16π s s rad 120π s 19π rad 120 s 3π rad 20 s 2π 1. 2. 3. 4. 1.2.3 Realización del ejercicio 1. 1.77 m2 3.1415 cm Repetición del ejercicio a) Al =735 cm2; At =2049.9 cm2; V =13807 cm3; 1.1.3 b) Al =144 cm2; At =288 cm2; V =288 cm3; 150° Pirámides 1.2.1 Realización del ejercicio Realización del ejercicio 1. 60 cm3 2. Un prisma 3. Investigación de campo 4. Prisma>pirámide 1.3. 2 1. a) Al =678.58 cm2; At = 904.78 cm2; V =2035.8 cm3; b) Al =427.6 cm2; At =628.32 cm2; V =1005.3 cm3; 2. A = 1256.6 cm2; V =4188.8 cm3; Realización del ejercicio 1. 1013400 ft3 2. 342120 mm3, 21235 mm2; 3. V =4188.8 cm3; 4. 16g/ cm3; 5. 4.0262 kg; 44 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 1 Nombre de la práctica Medición de ángulos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno medirá ángulos y los expresará en diferentes sistemas de unidades usando las fórmulas de conversión Escenario Aula Duración 2h Materiales • Bitácora Maquinaria y equipo Herramienta • Calculadora • Lápiz • Papel • Juego de geometría Todas las Carreras 45 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van medir ángulos y a representarlos en los diferentes sistemas de medición. 1. Usar el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un ángulo llano. 2. Medir el ángulo recto con el transportador. 3. Medir el ángulo agudo con el transportador. 4. Medir el ángulo obtuso con el transportador. 5. Medir un ángulo llano con el transportador. 6. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a grados centesimales. 7. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a radianes. NOTA: 90º sexagesimales equivalen a 100 grados centesimales. NOTA: Sabemos que la longitud de una circunferencia es igual a 2π r por lo que aceptamos que subtiende un ángulo central de 2π radianes así como también sabemos que la circunferencia subtiende un ángulo de 360º, convierte los ángulos que mediste a radianes. 8. Registrar resultados en una tabla. 9. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 46 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1: Medición de Ángulos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Uso el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un ángulo llano 2. Midió el ángulo recto con el transportador 3. Midió el ángulo agudo con el transportador 4. Midió el ángulo obtuso con el transportador 5. Midió el ángulo llano con el transportador 6. Transformó las medidas de los ángulos de grados a grados centesimales 7. Transformó las medidas de los ángulos de grados a radianes 8. Registro sus resultados en una tabla 9. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: Todas las Carreras 47 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 2 Nombre de la práctica Determinación de ángulos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará ángulos de acuerdo con sus propiedades en diferentes configuraciones. Escenario Aula Duración 2h Materiales Maquinaria y equipo • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 48 Todas las Carreras Herramienta P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Medir con el transportador el ángulo 1 de la siguiente figura. 2. Determinar el valor de los demás ángulos, justificar su respuesta. 3. Registrar los valores en la bitácora. 4. Medir con el transportador el ángulo EOA de la siguiente figura. 5. Determinar el valor de los demás ángulos, justifica tu respuesta 6. Calcular el ángulo T de la siguiente figura en la que AB || CD, EI es una transversal, GH es la bisectriz del ángulo AGI; el ángulo AGH = 35º. Todas las Carreras 49 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 7. Responder las siguientes preguntas usando la figura siguiente, en donde AB || GH, IJ es una transversal. ¿Cuáles son los ángulos alternos internos y como son entre si? ¿Cuáles son los correspondientes? 8. Presentar conclusiones por equipo. 9. Exponer al grupo los resultados. 10. Resolver dudas en grupo. 11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 50 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 2: Determinación de Ángulos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Midió con el transportador el ángulo1 2. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta 3. Registró los valores en la bitácora 4. Midió con el transportador el ángulo EOA 5. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta 6. Calculó el ángulo T 7. Respondió las preguntas 8. Presentó conclusiones por equipo 9. Expuso al grupo los resultados 10. Resolvió dudas en grupo 11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: Todas las Carreras 51 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 3 Nombre de la práctica Determinación de ángulos en triángulos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará los ángulos de diferentes triángulos, de acuerdo con sus propiedades Escenario Aula Duración 4h Materiales Maquinaria y equipo • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 52 Todas las Carreras Herramienta P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 3: Determinación de Ángulos en Triángulos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de 1. 2. 3. 4. 5. 6. trabajo Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 1 Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 2 Calculó la distancia A B de la figura 3 Expuso sus conclusiones, utilizando sus cartulinas para una explicación con el material de tipo mural Estableció conclusiones en grupo Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: Todas las Carreras 53 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 4 Nombre de la práctica Determinación de rectas y puntos notables de un triángulo Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará gráficamente al incentro, circuncentro, ortocentro y gravicentro en un triángulo de acuerdo con sus definiciones Escenario Aula Duración 2h Materiales Maquinaria y equipo • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 54 Todas las Carreras Herramienta P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Realizar el triangulo PQR que se muestra en la figura 1. Figura 1 2. Determinar el incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, cuyos lados son tangentes a la circunferencia para esto traza las bisectrices de los tres ángulos, el punto de concurrencia de la bisectrices es el incentro. 3. Realizar el dibujo que se muestra en la figura 2: Figura 2 Todas las Carreras 55 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 4. Determinar el circuncentro, el circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de tal manera que los tres vértices del triangulo tocan la circunferencia. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del triángulo? 5. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 3? Figura 3 6. Determinar el circuncentro. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del triángulo? 7. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 4. Figura 4 8. Determinar las alturas del triangulo. La altura del triangulo es el segmento que se traza desde un vértice perpendicularmente a su lado opuesto. 9. Determinar el ortocentro. El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres alturas del triangulo. 56 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 10. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 5: Figura 5 11. Determinar las medianas del triangulo. La mediana del triangulo es el segmento que se traza desde un vértice al punto medio del lado opuesto. 12. Determinar el gravicentro. El gravicentro es el punto de concurrencia de las tres medianas del triangulo. 13. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con el material de tipo mural. 14. Presentar conclusiones por equipo. 15. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Todas las Carreras 57 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 4: Determinación de rectas y puntos notables de un triángulo Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. trabajo Realizó el triangulo PQR que se muestra en la figura 1 Determinó el incentro del triángulo de la figura 1 Realizó el dibujo que se muestra en la figura 2 Determinó el circuncentro, del triángulo que se muestra en la figura 3 Realizó el dibujo que se muestra en la figura Determinó las alturas del triangulo del triángulo de la figura 4 Determinó el ortocentro del triángulo de la figura 4 Realizó el dibujo que se muestra en la figura 5 Determinó las alturas del triángulo de la figura 5 Determinó el ortocentro de la figura 5 Determinó el gravicentro de la figura 5 Determinó las medianas del triángulo Determinó el gravicentro 14. Cada equipo nombró un relator 15. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 16. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 58 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 5 Nombre de la práctica Identificación de propiedades, postulados y teoremas de los círculos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno identificará las propiedades, postulados y teoremas de los círculos mediante su construcción Escenario Aula Duración 4h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría Todas las Carreras 59 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Trazar 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás. 2. Colocar un hilo a lo largo de cada uno de los círculos. 3. Medir la longitud de cada hilo 4. Realizar una cuadrícula sobre cada uno de los círculos, lo más fina que sea posible. 5. Contar el número de cuadros N . 6. Calcular el área de cada uno de los cuadros 7. Calcular las cantidades P = 2π r y Ac A = π r 2 para cada uno de los valores del radio. 8. Registrar datos en la siguiente tabla r l 2π r NAc π r 2 9. Escribir las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante. 10. Ilustrar los elementos de la circunferencia. 11. Escribir las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo excéntrico, ángulo exterior, ángulo semi-inscrito Ilustrar en un círculo estos ángulos. 12. Comprobar mediante construcción los siguientes postulados del círculo: Postulado 1: Dos círculos son iguales si tienen radios iguales. Postulado 2: Los radios de un mismo círculo son iguales. Postulado 3:Dos arcos son iguales cuando tienen los mismos los mismos radios y coinciden sus extremos. 60 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 13. Comprobar mediante construcción los teoremas del círculo: Teorema 1. Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de éste, la recta es tangente al círculo. Teorema 2. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, bisecta la cuerda y los arcos subtendidos. Teorema 3. En todo círculo, dos paralelas intersecan arcos iguales, se presentan 3 casos: a) dos secantes, dos tangentes, tangente y secante. 14. Exponer resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural. 15. Presentar conclusiones. 16. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. Todas las Carreras 61 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 5: Identificación de propiedades, postulados y teoremas de los círculos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de 1. 2. 3. 4. 5. trabajo Trazó 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás Coloco un hilo a lo largo de cada uno de los círculos Midió la longitud de cada hilo Realizó una cuadrícula sobre cada uno de los círculos Contó el número de cuadros N 6. Calculó el área de cada uno de los cuadros Ac 7. Calculó las cantidades P = 2π r y A = π r para cada uno de los valores del radio 8. Registró datos en la siguiente tabla 9. Escribió las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante 10. Ilustró los elementos de la circunferencia 11. Escribió las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo excéntrico, ángulo exterior, ángulo semi-inscrito 12. Ilustró en un círculo estos ángulos 13. Comprobó mediante construcción los postulados del círculo 14. Comprobó mediante construcción los teoremas del círculo 15. Expuso resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural 16. Presentó conclusiones 17. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 2 62 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Desarrollo Si No No Aplica 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: Todas las Carreras 63 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 6 Nombre de la práctica Determinación de áreas y volúmenes de sólidos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará áreas superficiales y volúmenes de sólidos usando fórmulas Escenario Aula Duración 2h Materiales Maquinaria y equipo • Bitácora • Lápiz • Papel • Cartulina • Resistol • Juego de geometría 64 Todas las Carreras Herramienta P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. En ésta práctica se van a identificar determinar superficies y volúmenes de sólidos. 1. Redactar las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro, cono y esfera. 2. Construir con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal. 3. Construir con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal. 4. Construir con la cartulina un cilindro, cono. 5. Registrar para los prismas: su altura y los lados de su base 6. Registrar para las pirámides: su altura y los lados de su base. 7. Registrar para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo 8. Registrar para el cono; su altura y su radio. 9. Responder las siguientes preguntas: para los prismas ¿A qué es igual el área lateral?, ¿a qué es igual el área total? Y ¿a qué es igual su volumen? 10. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para prismas. 11. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para las pirámides. 12. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y piramidales construidas. 13. Registrar resultados. Todas las Carreras 65 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 14. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para el cilindro. 15. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido. 16. Registrar resultados. 17. Responder las preguntas ¿Qué es la generatriz? , ¿por qué recibe ese nombre? 18. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen, para el cono,. 19. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del cono. 20. Registrar resultados. 21. Elaborar el reporte individual de la práctica. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 66 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 6: Determinación de áreas y volúmenes de sólidos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. trabajo Redactó las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro, cono y esfera Construyó con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal Construyó con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal Construyó con la cartulina un cilindro, cono Registró para los prismas: su altura y los lados de su base Registró para las pirámides: su altura y los lados de su base Registró para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo Registró para el cono; su altura y su radio Respondió las siguientes preguntas: para los prismas Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para prismas Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para las pirámides Calculó el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y piramidales construidas Registró resultados Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para el cilindro Calculó el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido Registró resultados Respondió las preguntas para el cilindro Todas las Carreras 67 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Desarrollo Si No No Aplica 1. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen, para el cono 2. Calculó el área lateral, el área total y el volumen del cono 3. Registró resultados 4. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 68 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría RESUMEN A lo largo de esta unidad el Alumno ha aprendido a reconocer los elementos de la geometría Como punto, segmento, ángulo y plano cartesiano para analizar y trabajar las figuras geométricas y los cuerpos geométricos. La compresión de estos elementos por su forma y el uso de sus perímetros áreas y volúmenes es una herramienta muy valiosa para diseñar, cotizar y fabricar toda clase de productos en diversos materiales, para pasar del patrón en dos dimensiones a la prenda en tres dimensiones, saber seguir una indicación o un plano, elaborar un nuevo empaque o evaluar las dimensiones de un contenedor y sacar su volumen para identificar su capacidad de carga. Todas las Carreras 69 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS . Este capítulo se ha elaborado con la finalidad de utilizar las identidades trigonométricas y sus funciones como una valiosa herramienta en diversas áreas de la vida profesional y cotidiana 70 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría VII. MAPA CURRICULAR Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Módulo 72h 1. Solución de problemas usando la geometría 2. Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas 37 h 37 h Unidad de Aprendizaje Resultados de Aprendizaje 1.5. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades 1.6. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades 1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades 15 h 2.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo con sus características y propiedades 20 h 2.2 Solucionar ecuaciones trígonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos 17 h Todas las Carreras 15 h 7h 71 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 2.1.1 FUNCIONES DEFINIDAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO cot θ = b 1 = a tan θ La secante es la función recíproca del coseno: • Razón secθ = Al cociente de un número entre otro distinto de cero se le llama razón. En un triangulo rectángulo hay seis razones posibles para un ángulo dado. A estas razones se les conoce como funciones trigonométricas. • Funciones trigonométricas Como ya se mencionó en el tema 1.2.1 los lados del triangulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. c 1 = b cos θ La cosecante es la función recíproca del seno: cscθ = c 1 = a sen θ • Identidades trigonométricas básicas Una identidad es una igualdad, a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas se tienen las siguientes identidades trigonométricas. sen θ cos θ tan θ cot θ = 1 cos θ secθ = 1 sen θ cscθ = 1 tan θ = • Funciones trigonométricas de ángulos complementarios α y β decir α + β = 90º . Los ángulos Denotando por co al cateto opuesto, por ca al cateto adyacente y por h a la hipotenusa Las seis funciones trigonométricas se definen como: co a = h c ca b cos θ = = h c co a tan θ = = ca b ca b cot θ = = co a h c sec θ = = ca b h c csc θ = = co a son complementarios, es sen θ = De la figura: a = cos β c b cos α = = sen β c α + β = 90º : Puesto que sen α = sen α = cos ( 90º −α ) • Funciones trigonométricas reciprocas La cotangente es la función recíproca de la tangente: 72 cos α = sen ( 90º −α ) De la figura: Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría −1 a = cot β b b cot α = = tan β a Puesto que α + β = 90º : por cot . La función inversa de la secante es la función arco cuyo secante es y se denota por arcsec o por tan α = sec −1 . La función inversa de la cosecante es la función arco cuyo cosecante es y se denota por arccsc. o tan α = cot ( 90º −α ) −1 por csc . cot α = tan ( 90º −α ) Generalmente en las calculadoras las funciones arco de las funciones trigonométricas se denotan como: De la figura: c = csc β b c csc α = = sec β a Puesto que α + β = 90º : sec α = sen -1θ = arcsen θ cos -1θ = arccos θ tan -1θ = arctan θ sec α = csc ( 90º −α ) csc α = sec ( 90º −α ) Realización del ejercicio En conclusión: Competencia tecnológica. sen α = cos ( 90º −α ) Usar la calculadora o la computadora para la solución de problemas trigonométricos. cos α = sen ( 90º −α ) tan α = cot ( 90º −α ) cot α = tan ( 90º −α ) sec α = csc ( 90º −α ) csc α = sec ( 90º −α ) • Funciones trigonométricas inversas La función inversa del seno es la función arco cuyo −1 seno es y se denota por arcsen o por sen . La función inversa del coseno es la función arco cuyo coseno es y se denota por arccos o por cos −1 . La función inversa de la tangente es la función arco cuyo tangente es y se denota por arctan o −1 por tan . La función inversa de la cotangente es la función arco cuyo cotangente es y se denota por arccot o El Alumno: 1. Resolverá los siguientes ejercicios: a) Obtener los valores de las funciones α, trigonométricas del ángulo considerando que a = 20 y b = 30. Obtenga el valor del ángulo α en grados y en radianes. b) Calcular el valor de β si α mide 48.35º. c) Determinar el valor de la hipotenusa si, α es de 40° y el cateto adyacente es de 20. d) Determinar el valor de la cosecante si el valor del seno es de 0.9702. 2. Realizará un reporte escrito con los datos de cada ejercicio, las fórmulas o conceptos Todas las Carreras 73 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría empleados, un esquema ejercicio y sus resultados. para cada Realización del ejercicio Sugerencias o Notas Competencia laboral Resolver problemas laborales usando funciones trigonométricas Competencia Científico-teórica Identificar el uso de las funciones trigonométricas para calcular variables en física. El Alumno: 1. Analizará la siguiente nota: En ausencia de fricción el ángulo de peralte apropiado de una carretera depende de la velocidad del automóvil y de la curvatura del camino. El Alumno: 1. Investigará problemas del área de su especialidad en los que se usen para su solución funciones trigonométricas. 2. Realizará un reporte escrito con los datos de cada problema, las funciones empleadas, un esquema para cada problema e identificará el área de su especialidad donde v2 Rg donde v es la velocidad del automóvil R el radio m g = 9.81 2 s , la aceleración de la de la curva y tan θ = gravedad. 2. Identificará la dependencia de las variables físicas con la función trigonométrica. Realización del ejercicio Competencia Científico-teórica Determinar variables físicas usando funciones trigonométricas. El Alumno: 1. Determinará el ángulo de peralte para una carretera con una radio de la curva de 100 m y una velocidad del automóvil de 60 km/h. 2. Redactará sus conclusiones. 74 aparece dicho problema. Ejemplos: El Alumno: 1. Determinará la altura de una torre. Si una persona esta parada a 60 m de la base de una torre, la persona mide 1.6 m y el ángulo de elevación es de 70º (El ángulo de elevación es el ángulo, medido desde la horizontal, al que una persona tendría que elevar su línea de visión para ver un objeto} 2. Determinará la longitud de un cable que se debe tender desde la azotea de un edificio a un punto en el suelo que está a 30 m en línea recta. Si una persona acostada sobre la azotea observa el punto con un ángulo de depresión de 70° (el ángulo de depresión, es el ángulo, medido desde la horizontal, al que una persona tendría que bajar su línea de visión para ver un objeto). • Sistema coordenado cartesiano Para obtener una gráfica en un plano, se necesitan dos rectas dirigidas. Las dos rectas son perpendiculares entre sí y se intersecan en el número cero, al punto de intersección se le llama origen. A la línea horizontal se le llama eje de las x, Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría o de las abscisas y a la línea vertical se le llama eje de las y ó de las ordenadas. Al conjunto se le conoce como sistema de coordenadas cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. En el eje de las abscisas, los números positivos se encuentran a la derecha del origen y los números negativos a la izquierda. En el eje de las ordenadas los números positivos se encuentran arriba del origen y los valores negativos debajo de él. Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Un punto P en este plano se determina con las dos coordenadas (x, y). En el triángulo BOD: BD BD = = BD OB 1 OD OD = = OD cos α = OB 1 sen α = En el triángulo COT: tan α = CT CT = = CT OC 1 En el triángulo AOR: • Círculo trigonométrico Con la finalidad de recordar con facilidad los signos que tienen las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes y de observar las variaciones de las funciones en estos cuatro cuadrantes, se construye el círculo trigonométrico. Este es un círculo de radio uno que se traza de manera de que su centro coincida con el origen de las coordenadas. cot α = AR AR = = AR OA 1 De lo anterior, la representación de estas funciones por líneas queda como se muestra a continuación: En el primer cuadrante: Aplicando las definiciones de las funciones sen, cos, tan, cot, y puesto que: OC = OB = OA = 1, se tiene que: En el segundo cuadrante: Todas las Carreras 75 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría En el triángulo BOD: BD BD = = BD OB 1 OD OD = = OD cos α = OB 1 sen α = En el triángulo BOD: BD BD = = BD OB 1 OD OD = = OD cos α = OB 1 sen α = En el triángulo COT: tan α = En el triángulo COT: tan α = En el triángulo AOR: CT CT = = CT OC 1 cot α = AR AR = = AR OA 1 AR AR = = AR OA 1 De lo anterior, la representación de estas funciones por líneas queda como se muestra a continuación: En el triángulo AOR: cot α = CT CT = = CT OC 1 De lo anterior, la representación de estas funciones por líneas queda como se muestra a continuación: En el tercer cuadrante: 76 En el cuarto cuadrante: Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría identificar el valor de cada función en los cuadrantes. Del análisis del círculo trigonométrico en los cuatro cuadrantes podemos concluir que: El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante y negativo en el tercer y cuarto cuadrante. El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantes, y negativo en el segundo y tercer cuadrantes. La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes, y negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. La cotangente es positiva en el primero y tercer cuadrante, y negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. Recordando que la secante es la función reciproca del coseno y que la cosecante es la función reciproca del seno, toda esta información la podemos expresar en la siguiente tabla: En el triángulo BOD: BD BD = = BD OB 1 OD OD = = OD cos α = OB 1 sen α = En el triángulo COT: tan α = CT CT = = CT OC 1 En el triángulo AOR: cot α = AR AR = = AR OA 1 De lo anterior, la representación de estas funciones por líneas queda como se muestra a continuación: sen θ cos θ tan θ cot θ sec θ csc θ 1o + + + + + + 2o + + 3o + + - 4o + + - • Identidades trigonométricas de reducción Con frecuencia se presentan problemas en los que intervienen funciones de ángulos mayores de 90º y sus valores se pueden relacionar con los valores de las funciones de ángulos menores de 90º. Es en estos casos es conveniente el uso de las identidades trigonométricas de reducción: sen ( −θ ) = −sen θ cos ( −θ ) = cos θ • Signos de funciones trigonométricas en los cuadrantes tan ( −θ ) = − tan θ cot ( −θ ) = −cot θ sec ( −θ ) = sec θ A partir del círculo trigonométrico se pueden Todas las Carreras 77 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría csc ( −θ ) = −csc θ • Resolución de los triángulos rectángulos Se entiende por resolución de un triangulo, la determinación de todos los ángulos y de todos los lados del triangulo. Debemos recordar que las funciones trigonométricas y el teorema de triángulos Pitágoras son aplicables en los rectángulos. A continuación mostraremos los cuatros casos que se nos pueden presentar en la resolución de triángulos rectángulos. 1. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo dado. 2. Calcular uno de los catetos usando el ángulo obtenido en el punto anterior y la hipotenusa dada, usando la función seno. 3. Calcular el otro cateto usando el teorema de Pitágoras. Por ejemplo: Encontrar todos los valores de un triángulo donde el cateto adyacente mide 24 m y el ángulo entre el cateto adyacente y la hipotenusa 65°. Caso 1: Se conocen dos catetos. La estrategia a seguir es: 1. Calcular la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras. 2. Calcular uno de los ángulos agudos usando el la función tangente. 3. Calcular el otro ángulo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo ya obtenido. Caso 2: Se conoce un cateto y la hipotenusa. 4. Calcular el cateto desconocido usando el Teorema de Pitágoras. 5. Calcular uno de los ángulos agudos usando la función seno. 6. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo ya obtenido. Caso 3: Se conoce un cateto y un ángulo agudo. 1. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo dado. 2. Calcular el otro cateto usando el ángulo obtenido en el punto anterior y el cateto dado, usando la función tangente, o bien calcular la hipotenusa usando la función coseno. 3. Calcular la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras. Caso 4: Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo. 78 Planteamiento Análisis Usando la función tangente, obtenemos el valor del otro cateto: tan 65º = a ⇒ a = ( 24 )( tan 65º ) = 51.46 24 La hipotenusa se obtiene usando el teorema de Pitágoras: c = 242 + 51.462 = 56.78 β es el complemento del ángulo de 65º, entonces: β = 90º −65º = 25º Realización del ejercicio Competencia tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la solución de problemas trigonométricos. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Competencia lógica Identificar las operaciones necesarias para determinar los lados o ángulos en los triángulos rectángulos. El Alumno: Consideraremos el triángulo rectángulo: 1. Resolverá los siguientes ejercicios: 2. Identificará el tipo de caso. 3. Redactará su solución, mostrando un esquema, y las fórmulas empleadas. a) Calcular todos los lados y ángulos del triángulo rectángulo con un Ángulo de 0º Con este triángulo haciendo ángulo ángulo agudo de 35° e hipotenusa obtiene b =c y a = 0, entonces: α = 0º , se de 42 mm. b) Encontrar la altura de un edificio si a las 9 am, su sombra es de 11.34 m y el ángulo de la sombra es de 57.8°. c) Determinar la altura de un árbol si Sabiendo que la hipotenusa mide 0 =0 b c cos 0º = = 1 b 0 tan 0º = = 0 c 28.5 cm y un ángulo agudo de 38° Ángulo de 90º su sombra tiene una longitud de 5 m a las 14:00 horas y forma un ángulo de 45° con respecto al tronco. d) ¿Cuánto miden los otros sen 0º = b → ±∞ 0 b sec 0º = = 1 c c cot 0º = → ±∞ 0 csc 0º = dos lados? e) Determinar, el valor de la superficie de un cuadrado si su diagonal mide 42 m. • Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante. A continuación obtendremos las funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante. Con este triángulo haciendo ángulo α = 90º , se obtiene b = a y c = 0, entonces: Todas las Carreras 79 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Ángulo de 270º a =1 b 0 cos 90º = = 0 b a tan 90º = =→ ±∞ 0 sen 90º = b =1 a b sec 90º = → ±∞ 0 0 cot 90º = = 0 a csc 90º = Con este triángulo haciendo ángulo α = 270º , se obtiene a = b y c = 0, entonces: Ángulo de 180º sen 270º = − Con este triángulo haciendo ángulo α = 180º , obtiene b = c y a = 0, entonces: se a = −1 b 0 =0 b −a → ±∞ tan 270º = 0 cos 270º = b = −1 −a b sec 270º = → ±∞ 0 b = −1 cot 270º = −a csc 270º = Del ángulo de 360º, son las mismas que las del ángulo de 0º. 0 =0 b −c cos 180º = = −1 b 0 tan 180º = =0 −c sen 180º = 80 b → ±∞ 0 b sec 180º = = −1 −c b cot 180º = → ±∞ 0 csc 180º = • Funciones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º. Para los ángulos de 30º y de 60º, trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades de lado, bisecamos el ángulo C y formamos dos triángulos rectángulos iguales: Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría isósceles, con MO y OP iguales entre sí, e iguales a uno, usando el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa, que es igual a Calculamos el segmento CD usando el teorema de Pitágoras: 2 2 2 2 2 2 AC = AD + CD AC − AD = CD 2 2: sen 45º = 1 2 = 2 2 csc 45º = 2 cos 45º = 1 2 = 2 2 sec 45º = 2 tan 45º = 1 cot 45º = 1 Funciones trigonométricas del ángulo de 120º. 180º-120º = 60º, entonces el ángulo DAC = 60º y está en el segundo cuadrante 2 CD = AC − AD = 4 − 1 = 3 Entonces las funciones trigonométricas del ángulo de 30º son: sen 30º = 1 2 csc 30º = 2 cos 30º = 3 2 sec 30º = 2 2 3 = 3 3 tan 30º = 1 3 = 3 3 cot 30º = 3 3 2 1 cos 60º = 2 csc 60º = tan 60º = 3 cot 60º = sen 60º = 3 2 1 cos 120º = − 2 csc 120º = tan 120º = − 3 cot 120º = − sen 120º = Del ángulo de 60º 2 2 3 = 3 3 sec 60º = 2 1 3 = 3 3 2 2 3 = 3 3 sec 120º = −2 1 3 =− 3 3 Funciones trigonométricas del ángulo de Para el ángulo de 45º trazamos un triángulo 135º Todas las Carreras 81 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 180º-135º=40º, entonces el ángulo AOP = 45º y está en el segundo cuadrante sistema de coordenadas rectangulares Tabulamos los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 15º en 15º. A cada uno de los pares de valores de la tabla anterior, los consideramos como las coordenadas de un punto. Seno: sen 135º = 1 2 = 2 2 1 2 =− 2 2 cos 135º = − tan 135º = −1 csc 135º = 2 sec 135º = − 2 cot 135º = −1 Funciones trigonométricas del ángulo de 150º 180º-150º=30º, entonces el ángulo AOD = 30º y está en el segundo cuadrante sen 150º = 1 2 cos 150º = − tan 150º = csc 150º = 2 3 2 1 − 3 sec 150º = − =− 3 3 2 2 3 =− 3 3 cot 150º = − 3 Gráficas de funciones trigonométricas Para la construcción de las gráficas, se empleara un 82 Todas las Carreras 0º 0 15º .2588 30º .5 45º .7071 60º .8660 75º .9559 90º 1 105º .9659 120º .8660 135º .7071 150º .5 165º .2588 180º 0 195º -.2588 210º -.5 225º -.7071 240º -.8660 255º -.9659 270º -1 285º -.9659 300º -.8660 315º -.7071 330º -.5 345º -.2588 360º 0 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Gráfica del seno : 5 4 1 .5 3 2 1 1 0 0.5 0º 15º 3 0º 45º 6 0º 75º 9 0º 1 05 º 1 2 0º 135º 1 5 0º 165º 1 8 0º 1 9 5º 2 1 0º 225º 2 4 0º 255º 2 7 0º 285º 3 00º 315º 3 3 0º 345º 3 6 0º -1 0 -2 0º 15º 3 0º 45º 6 0º 75º 9 0º 1 05 º 1 2 0º 1 35 º 1 5 0º 165º 1 80º 195º 2 1 0º 225º 2 4 0º 255º 2 7 0º 285º 3 00º 315º 3 3 0º 345º 3 6 0º -3 -0.5 -4 -5 -1 -1 .5 Gráfica de la secante Repitiendo el mismo proceso, obtenemos: 5 4 Gráfica del coseno 3 2 1 0 0º 1.5 15º 3 0º 45º 6 0º 75º 9 0º 1 05 º 1 2 0º 135º 1 5 0º 1 6 5 º 1 8 0º 195º 2 1 0º 225º 2 4 0º 2 5 5 º 2 7 0º 2 8 5 º 3 00º 315º 3 3 0º 345º 3 6 0º -1 -2 1 -3 -4 0.5 -5 0 0º 15º 30º 45º 60º 75º 9 0º 1 05 º 1 20º 13 5 º 1 50º 165º 18 0º 1 9 5º 21 0º 2 2 5º 24 0º 2 5 5º 2 7 0º 2 85 º 3 00º 3 15 º 3 3 0º 3 45 º 3 6 0º -0.5 Gráfica de la cosecante -1 -1 .5 5 4 Gráfica de la tangente 3 2 1 0 0º 15º 3 0º 45º 6 0º 75º 9 0º 1 05 º 1 2 0º 135º 1 5 0º 165º 1 8 0º 195º 2 1 0º 225º 2 4 0º 255º 2 7 0º 285º 3 00º 315º 3 3 0º 345º 3 6 0º -1 5 -2 4 -3 3 -4 2 -5 1 0 0º 15º 3 0º 45º 6 0º 75º 9 0º 1 05 º 1 2 0º 135º 1 5 0º 165º 1 8 0º 195º 2 1 0º 225º 2 4 0º 255º 2 7 0º 285º 3 00º 315º 3 3 0º 345º 3 6 0º Investigación documental -1 -2 -3 -4 Competencia tecnológica -5 Gráfica de la cotangente: Usar programas de software como Excel para obtener las gráficas de las funciones trigonométricas. El Alumno: 1. Realizará una tabla en Excel con los valores de las funciones trigonométricas Todas las Carreras 83 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 2. Trazará en éste programa sus gráficas. 3. Elaborará un reporte donde indique las características de cada gráfica. 2.1.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonometrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifican para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Del teorema de Pitágoras 1. sen θ + cos θ = 1 2 2 Demostración: De la figura: sen A = a b y cos A = c b y tan A = a c entonces: a sen A b a = = cos A c c b De la figura: a a2 sen A = ⇒ sen2 A = 2 b b a a2 2 cos A = ⇒ cos A = 2 b b tan A = sen A cos A De aquí: a 2 c 2 b2 + = =1 b2 b2 b2 sen 2 A + cos 2 A = 1 sen A = tan A cos A sen A cos A = tan A cos A 3. cot A = sen A De aquí: Demostración: Entonces: sen 2 A + cos 2 A = sen A = 1 − cos A 2 2 cos 2 A = 1 − sen 2 A sen A tan A = cos A 2. Demostración: 84 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría De la figura: sec A = b b2 ⇒ sec 2 A = 2 c c Por el teorema de Pitágoras De la figura: cos A = c b y sen A = a b entonces: c cos A b c = = sen A a a b c cot A = a cos A cot A = sen A b2 = a 2 + c2 a2 + c2 a2 sec2 A = = 2 +1 c2 c a tan A = c Entonces: sec2 A = tan 2 A + 1 De aquí: sec2 A − tan 2 A = 1 tan 2 A = sec2 A − 1 5. csc2 A = 1 + cot 2 A Demostración: De aquí: cos A = cot A sen A cos A sen A = cot A 2 2 4. sec A = 1 + tan A Demostración: De la figura: csc A = b b2 ⇒ csc 2 A = 2 a a Por el teorema de Pitágoras b2 = a 2 + c 2 a2 + c2 c2 2 csc A = = 1+ 2 a2 a c cot A = a 2 csc A = 1 + cot 2 A Todas las Carreras 85 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría De aquí: sen b = cot 2 A = csc 2 A − 1 csc2 A − cot 2 A = 1 CD OC y cos b = OC OD entonces: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b 2. cos ( a + b ) = cos a cos b − sen a sen b • De la suma de ángulos De la figura: 1. sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b De la figura: ON OD OM = ON + NM ON = OM − NM NM = HC ON = OM − HC OM − HC OM HC cos ( a + b ) = = − OD OD OD cos ( a + b ) = ND OD ND = NH + HD NH = MC ND = MC + HD sen ( a + b ) = entonces: sen ( a + b ) = Multiplicando por 1 los términos del lado derecha MC + HD MC HD = + OD OD OD de ésta ecuación: multiplicando por 1 los términos del lado derecha OM OC HC CD − OD OC OD CD OM OC HC CD = − OC OD CD OD cos ( a + b ) = de ésta ecuación: MC OC HD CD + OD OC OD CD CM OC DH CD = + OC OD CD OD sen ( a + b ) = y sen a = 86 CM OC y cos a = DH CD y HC CD CD sen b = OD sen a = entonces: Todas las Carreras OM OC OC y cos b = OD y cos a = P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría cos ( a + b ) = cos a cos b − sen a sen b 3. tan ( a + b ) = cot ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a tan b • De la diferencia de ángulos Demostración: tan ( a + b ) = cot a cot b − 1 cot b + cot a sen ( a + b ) cos(a + b) 1. sen ( a − b ) = sen a cos b − sen b cos a Sustituyendo las identidades 1 y 2 de suma de Demostración: ángulos: Sustituimos –b en la identidad 1 de la suma de sena cos b + cos a senb cos a cos b − sen a sen b sena cos b cos a senb + = cos a cos b cos a cos b cos a cos b sen a sen b − cos a cos b cos a cos b ángulos: tan ( a + b ) = sen ( a − b ) = sen a cos ( −b ) + cos a sen ( −b ) Usando las propiedades: sen ( −b ) = −sen b cos ( −b ) = cos b entonces: Pero: sen ( a − b ) = sen a cos b − sen b cos a sena tan a = cos a sen b y tan b = cos b tan a + tan b tan ( a + b ) = 1 − tan a tan b cot a + cot b − 1 4. cot ( a + b ) = cot a + cot b 2. cos ( a − b ) = cos a cos b + sen a sen b Demostración: Sustituimos –b en la identidad 2 de la suma de ángulos: Demostración: cos ( a − b ) = cos a cos ( −b ) − sen a sen ( −b ) cot ( a + b ) = Usando las propiedades: cos ( a + b ) sen (a + b) sen ( −b ) = −sen b Sustituyendo las identidades 1 y 2 de suma de ángulos cot ( a + b ) = cos ( −b ) = cos b entonces: cos ( a − b ) = cos a cos b + sen a sen b cos a cos b − sen a sen b sen a cos b + cos a sen b 3. tan ( a − b ) = Dividimos el numerador y el denominador entre tan a − tan b 1 + tan a tan b sen a sen b : Sustituimos –b en la identidad 3 de la suma de cos a cos b sen a sen b − cot ( a + b ) = sen a sen b sen a sen b sen a cos b cos a sen b + sen a sen b sen a sen b ángulos entonces: tan ( a − b ) = tan a + tan ( −b ) 1 − tan a tan ( −b ) Usando la propiedad: tan ( −b ) = − tan b entonces: Todas las Carreras 87 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría tan ( a − b ) = tan a − tan b 1 + tan a tan b A + B = 2a ⇒ a = y restándolas, obtenemos cot a cot b + 1 4. cot ( a − b ) = cot b − cot a A − B = 2b ⇒ b = Sustituimos –b en la identidad 4 de la suma de ángulos cot ( a − b ) = A− B 2 Sustituyendo en (*) ⎛ A+ B ⎞ ⎛ A− B ⎞ sen A + sen B = 2 sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞ 2. sen A − sen B = 2 sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ cot a cot ( −b ) − 1 cot ( −b ) + cot a Usando la propiedad: cot ( −b ) = −cot b Usamos las identidades (1) de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de ángulos: entonces: Sumamos miembro a miembro: − cot a cot b − 1 − cot b + cot a − ( cot a cot b + 1) cot ( a − b ) = − ( cot b − cot a ) cot ( a − b ) = cot ( a − b ) = A+ B 2 sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = 2sen a cos b y restando miembro a miembro las identidades (1) de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de cot a cot b + 1 cot b − cot a ángulos: sen ( a + b ) − sen ( a − b ) = 2sen b cos a (*) • Suma y diferencia de senos y cosenos ⎛ A+ B ⎞ ⎛ A− B ⎞ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 1. sen A + sen B = 2 sen ⎜ Usamos las identidades (1) de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de ángulos: sen ( a + b ) = sen a cos b + cos a sen b Sustituyendo las mismas A y B de la identidad anterior, encontramos: ⎛ A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞ sen A − sen B = 2 sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ A+ B ⎞ ⎛ A− B ⎞ 2. sen A + sen B = 2 sen ⎜ ⎟ cos ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ • Del doble de un ángulo (Ángulos dobles) sen ( a − b ) = sen a cos b − sen b cos a 1. sen ( 2a ) = 2 sen a cos a Sumamos miembro a miembro: sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = 2sen a cos b Usamos la identidad (1) de la suma de ángulos con y sumando miembro a miembro las identidades (1) de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de ángulos: a=b : sen ( a + b ) + sen ( a − b ) = 2 cos b sen a (*) sen ( 2a ) = sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a si hacemos 2. A = a +b y B = a −b cos ( 2a ) = cos 2 a − sen 2 a = 1 − 2 sen 2 a = 2 cos 2 a − 1 Sumando estas ecuaciones , obtenemos: Usamos la identidad (2) de la suma de ángulos con 88 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría a 1 + cos a = 2 2 a=b : cos ( 2a ) = cos 2 a − sen 2 a 1. cos y usando la identidad: En las identidades hacemos sen 2 a + cos 2 a = 1 sen 2 b + cos 2 b = 1 tenemos que: cos 2 b − sen 2 b = cos 2b cos ( 2a ) = 1 − 2 sen a 2 a + cos 2 2 a cos 2 − sen 2 2 cos ( 2a ) = 2 cos 2 a − 1 sen 2 2 tan a 1 − tan 2 a Usamos la identidad (2) de la suma de ángulos con a=b : tan ( 2a ) = 2 a= 2 tan a 1 − tan 2 a a =1 2 a = cos a 2 cos a = 1 + cos a 2 a 1 + cos a = 2 2 a 1 − cos a = 2 2 2. sen De la identidad (2) del doble de un ángulo sen 2 a : Ahora restando las ecuaciones (**) que usamos en cos ( 2a ) = 1 − 2 sen 2 a la identidad anterior: ⇒ 2 sen 2 sen 2 a = 2. cos 2 1 − cos ( 2a ) 2 a= sen a 1 − cos a = 2 2 3. tan cos ( 2a ) = 2 cos 2 a − 1 De la identidad (2) del doble de un ángulo cos 2 a : a 1 − cos a = 2 1 + cos a Usando la identidad a sen a 2 tan = 2 cos a 2 cos ( 2a ) = 2 cos 2 a − 1 ⇒ cos 2 a = a = 1 − cos a 2 entonces: 1 + cos ( 2a ) 2 despejamos (**) entonces: 1 − cos ( 2a ) 2 despejamos : Sumando miembro a miembro estas ecuaciones: 2 cos 2 • Funciones cuadráticas 1. sen a : 2 entonces: o bien 3. tan ( 2a ) = b= 1 + cos ( 2a ) 2 y las dos identidades anteriores: • De la mitad del ángulo (Medios ángulos) Todas las Carreras 89 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 1 − cos a 1 − cos a a 2 tan = = 2 1 + cos a 1 + cos a 2 d) csc x − cot x = 1 2 2 Estudio individual Competencia Tecnológica Estudio individual Usar la calculadora o la computadora para Competencia tecnológica. demostrar la validez o no de identidades trigonométricas. El Alumno: Buscar en Internet más identidades 1. Demostrará que las siguientes trigonométricas. Competencia de información expresiones no son identidades Buscar en libros de trigonometría más identidades con trigonométricas. el ángulo dado como contraejemplo. Internet identidades x 1 a) sen ≠ sen x; con θ =30º 2 2 x 1 b) cos ≠ cos x; con θ =45º 2 2 x 1 c) tan ≠ tan x; con θ =60º 2 2 trigonométricas del triple de un Realización del ejercicio El Alumno: 1. Buscará en los libros que se encuentran en la biblioteca en el ángulo. 2. Demostrará la validez de dichas identidades. Competencia analítica Usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones en problemas del área de su especialidad. Competencia lógica El Alumno: Demostrar identidades 1. Identificará las identidades que se trigonométricas. deben usar para resolver los El Alumno: 1. Demostrará las siguientes identidades: siguientes ejercicios. 2 tan 3 x 1 − tan 2 3 x 2 2 b) cos x = sen x + cos 2 x 2 2 c) sec x − tan x = 1 a) tan 6 x = 90 2. Resolverá los siguientes ejercicios. 3. Comentará con el PSA el área de especialidad de cada uno de los ejercicios. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Ejercicios: y calculamos la función inversa del seno entonces: 1. En un circuito de ca con reactancia, la potencia instantánea está dada por: α = sen −1 ⎜ ⎟ = 19.47º = 19º 28.2' 3 Demuestre que: • Solución de ecuaciones trigonométricas usando la calculadora P = Vmáx I máx cos ω t sen ω t P = 2Vmáx I máx sen 2ω t 2. Un cable vibra con amplitud decreciente dada por: A = e −4 x (1 + sen 2 x ) Demuestre que: A = e −4 x ( sen x + cos x ) 3. El alcance de un proyectil disparado un ángulo de elevación a una velocidad está dado por: ⎛1⎞ ⎝ ⎠ En la calculadora personal con que se trabaje hay que identificar los pasos para determinar las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Generalmente en las calculadoras se presentan las funciones inversas del seno, coseno y tangente. Entonces un paso conveniente es plantear la solución del problema como funciones inversas del seno, coseno y tangente. Por ejemplo en la ecuación: 2v 2 cos θ senθ R= g csc y − 2 = 0 Recordamos que la cosecante es la función inversa del seno, entonces: Demuestre que: v 2 sen ( 2θ ) R= g 2.2.1 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre funciones trigonométricas de un mismo ángulo que sólo se satisface para un valor o valores dados del ángulo. En la solución de las ecuaciones trigonométricas se aplican los mismos métodos que en las ecuaciones algebraicas, pero hay que despejar alguna de las funciones trigonométricas: Como un primer ejemplo, consideraremos ecuaciones de primer grado en donde intervengan las funciones trigonométricas: 1 −2=0 sen y ⇒ 1 =2 : sen y ⇒ sen y = 1 2 Tomamos la función inversa den seno: ⎛1⎞ y = sen −1 ⎜ ⎟ = 30º ⎝2⎠ En algunos casos para despejar a la función trigonométrica se deben usar identidades. Ahora consideraremos ecuaciones de segundo grado de funciones trigonométricas, por ejemplo la ecuación: 3 sen α − 1 = 0 Despejamos a sen α : sen α = 1 3 2cos 2 θ − cosθ − 1 = 0 Esta ecuación es del tipo: ax 2 + bx + c = 0 Todas las Carreras 91 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría su solución está dada por la fórmula general: x= 80 -1.11333982 −b ± b − 4ac 2a 2 90 -0.99999633 100 -0.76603763 Entonces, para la ecuación que nos interesa 110 -0.42401431 resolver: cos θ = 120 1 ± 1 − 4 ( 2 )( −1) 2 ( 2) 0 130 0.46915395 1± 9 1± 3 = = 4 4 140 0.93970755 150 1.36603907 Se tienen como era de esperar dos soluciones: 1+ 3 cos θ = =1 4 1− 3 1 cos θ = =− 4 2 160 1.70574769 entonces: 200 1.70572378 θ1 = cos −1 170 1.92450632 180 2 190 1.92449372 (1) = 0 210 1.36600627 ⎛ 1⎞ ⎝ ⎠ 220 0.93966916 θ 2 = cos −1 ⎜ − ⎟ = 120º 2 230 0.46911375 Para determinar las soluciones gráficamente, usando calculadora o graficadora, se debe graficar la función igualada que esta igualada a cero, Para el ejemplo que acabamos de realizar la función que se grafica es: 240 0 250 -0.424047 260 -0.76606215 270 -1.00001102 f (θ ) = 2cos θ − cos θ − 1 2 280 -1.11334424 290 -1.10806049 Para graficar esta función hemos usado Excel. 300 -0.9999894 1. Tabulamos la función 310 -0.81642056 0 320 -0.59237894 10 -0.04511534 330 -0.36600881 20 -0.17364895 340 -0.17363508 30 -0.36602691 350 -0.04510784 40 -0.59239843 360 0 0 50 -0.81643824 60 -1.00000212 Y con estos valores graficamos, 70 -1.10806557 92 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 2.5 2 Competencia científico teórica. Resolver problemas de física en donde intervengan ecuaciones trigonométricas. 1.5 1 El Alumno: 0.5 0 -0.5 0 120 240 360 -1 -1.5 Ejercicios: 1. Determinará el ángulo de refracción Comparación de resultados con otros compañeros ecuaciones trigonométricas. Competencia tecnológica. 1. Determinará analíticamente las soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas: 2. Graficará las siguientes ecuaciones trigonométricas. 3. Redactará un reporte escrito, con su solución analítica, con su solución gráfica y sus conclusiones. 1. 4 sen x − 3 = 0 ; 2 2. 4 sen x − csc x = 0 3. de un refracción establece que a medida que un rayo de luz pasa de un medio a otro, la razón del seno del ángulo de incidencia con el seno del ángulo de refracción está dada por: n= Usar la calculadora o la computadora para determinar gráficamente las soluciones de una ecuación trigonométrica. El Alumno: θf rayo de luz que choca contra un medio con índice de refracción n = 1.61 , y ángulo de incidencia θ i = 30º . Nota: La ley de Snell o ley de la Competencia analítica. Resolver 1. Consultará con el PSA los fundamentos teóricos para la solución del siguiente ejercicio. 2. Resolverá el siguiente ejercicio. 3. Redactará un reporte escrito con la solución, un esquema, sus resultados y sus conclusiones. sen θ i sen θ f donde n es el índice de refracción. 2.2.2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Hemos ya resuelto triángulos rectángulos usando las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Ahora mostraremos como resolver triángulos oblicuángulos, que como ya sabemos son aquellos que no tienen un ángulo recto. Para resolverlos, es decir, para determinar todos sus lados y todos sus ángulos se necesitan conocer las leyes que a continuación se presentan:. • Ley de los senos 3 cos 2 x + cos x = 0 4. tan x − 2 sen x = 0 5. 3 tan a − 4 3 tan a = −3 2 Consulta con el docente En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de ángulos opuestos. a b c = = sen α sen β sen χ Todas las Carreras 93 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Demostración: sen χ sen β = c b Por tanto: a b c = = sen α sen β sen χ • Ley de los cosenos En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble del producto de tales lados por el coseno del ángulo que forman. Sea el triángulo ABC : CD ⇒ CD = b sen α b CD sen β = ⇒ CD = a sen β a sen α = a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos χ Demostración entonces: b sen α = a sen β sen α sen β = a b AD ⇒ AD = b cos α b DB cos β = ⇒ DB = a cos β a cos α = Aplicando el teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos de la figura: AF ⇒ AF = b sen χ b AF sen β = ⇒ AF = c sen β c sen χ = entonces: b sen χ = c sen β 94 DB 2 + DC 2 = a 2 AD 2 + DC 2 = b 2 Restando miembro a miembro estas ecuaciones : DB 2 − AD 2 = a 2 − b 2 Factorizando ( DB − AD )( DB + AD ) = a 2 − b 2 Pero por construcción: AD + DB = c entonces: Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría ( DB − AD ) c = a 2 − b 2 cos χ = Resolvemos el sistema: CF ⇒ CF = b cos χ b Por el teorema de Pitágoras a 2 − b2 c DB + AD = c DB − AD = AF 2 + FC 2 = b 2 AF 2 + FB 2 = c 2 Sumando las dos ecuaciones anteriores: Restando miembro a miembro estas ecuaciones: a −b c + a −b 2 DB = c + = c c ⇒ ( FC + FB )( FC − FB ) = b2 − c 2 2 c + a −b DB = 2c AD = c − DB 2 2 2 2 2 c 2 + a 2 − b2 2c 2 2 c − a + b2 AD = 2c AD = c − 2 2 FC 2 − FB 2 = b 2 − c 2 Por construcción: FC + FB = a Resolvemos el sistema: FC + FB = a b2 − c 2 FC − FB = a Sumando estas ecuaciones: 2 FC = a + Pero: ⇒ entonces: FC = AD = b cos α b cos α = c2 − a 2 + b2 2c ⇒ a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α Por otra parte: DB = a cos β entonces: c 2 + a 2 − b2 a cos β = 2c ⇒ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Pero: b2 − c 2 a 2 + b2 − c 2 = a a a 2 + b2 − c2 2a FC = CF = b cos χ entonces: b cos χ = a2 + b2 − c2 2a ⇒ c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos χ • Ley de las tangentes 1 (α + β ) a + b 2 = 1 tan (α − β ) a − b 2 1 tan ( β + χ ) b+c 2 = 1 tan ( β − χ ) b − c 2 tan Todas las Carreras 95 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 1 tan (α − β ) a −b 2 = a + b tan 1 α + β ( ) 2 1 (χ +α ) c + a 2 = 1 tan ( χ − α ) c − a 2 tan Demostración: Por ley de los senos: Por tanto: 1 (α + β ) a + b 2 = 1 tan (α − β ) a − b 2 a b = sen α sen β ⇒ a sen α = b sen β tan Siguiendo procedimientos similares se obtienen: De aquí: 1 (β + χ ) b + c 2 ¡Error! = 1 tan ( β − χ ) b − c 2 1 tan ( χ + α ) c+a 2 = 1 tan ( χ − α ) c − a 2 tan sen α b sen β a= entonces: a −b a+b a −b a+b a −b a+b sen α b−b sen β = sen α b+b sen β sen α sen α − sen β −1 b sen β sen β = = b sen α + 1 sen α + sen β sen β sen β sen α − sen β = sen α + sen β • Resolución de triángulos oblicuángulos Usando las identidades de la suma y diferencia de senos: a −b a+b a −b a+b 1 1 (α − β ) cos (α + β ) 2 2 = 1 1 2sen (α + β ) cos (α − β ) 2 2 1 1 = tan (α − β ) cot (α + β ) 2 2 2sen Pero cot 1 1 (α + β ) = 1 2 tan (α + β ) 2 entonces: A continuación mostraremos las estrategias para resolver triángulos oblicuángulos. Un triangulo oblicuángulo tenemos seis posibles valores a determinar, los tres lados y los tres ángulos. Si se tienen como datos conocidos tres elementos de los triángulos en los que se incluya por lo menos uno de los lados, se pueden presentar los casos siguientes: Caso: Estrategia de solución: 1 Ley de senos 2 Ley de senos 3 Ley de cosenos 4 Ley de tangentes ó ley de cosenos 96 Todas las Carreras Datos Dos lados y un ángulo Dos ángulos y un lado Los tres lados Dos lados y el ángulo comprendido. P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Ejemplo caso 1: Se conocen dos lados y un ángulo. Datos: α = 25.43º Datos: β = 47º α = 57.36º a = 31.5 a = 13.24 b = 24.47 a b = sen α sen β ⇒ sen β = Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo es igual a 180º: χ = 180º −25.43º −47º = 107.57º b sen α ⎛ b sen α ⎞ ⇒ β = sen −1 ⎜ ⎟ a ⎝ a ⎠ Usando ley de senos: Sustituyendo valores: ⎛ 24.47 sen 57.36 ⎞ ⎟ = 40.85º 31.5 ⎝ ⎠ β = sen −1 ⎜ Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo es igual a 180º: a c = sen α sen χ ⇒ a sen χ c= sen α χ = 180º −57.36º −40.85º = 81.79º Sustituyendo valores: Usando nuevamente ley de senos: c= a c = sen α sen χ ⇒ a sen χ c= sen α Usando nuevamente ley de senos a b = sen α sen β ⇒ a sen β b= sen α Sustituyendo valores: c= (13.24 ) sen (107.57º ) = 29.39 sen ( 25.43º ) ( 31.5) sen 81.79º = 37.02 sen 57.36º Sustituyendo valores: Ejemplo caso 2: Se conocen dos ángulos y un lado. b= (13.24 ) sen ( 47º ) = 22.55 sen ( 25.43º ) Todas las Carreras 97 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría ⎛ − (14 )2 + (13)2 + (18 )2 ⎞ β = cos ⎜ ⎟ = 50.61º ⎜ ⎟ 2 13 18 ( )( ) ⎝ ⎠ Ejemplo caso 3: Se conocen los tres lados. −1 Datos: a = 13 Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo b = 14 c = 18 es igual a 180º: χ = 180º −45.85º −50.61º = 83.54º Ejemplo caso 4: Se conocen los dos lados y el ángulo comprendido Datos: a = 20 b = 50 χ = 25.43º Se usa ley de cosenos: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α Despejamos cos α : −a 2 + b2 + c 2 cos α = 2bc entonces: ⎛ −a 2 + b 2 + c 2 ⎞ α = cos ⎜ ⎟ 2bc ⎝ ⎠ −1 Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo es igual a 180º. Se tiene que: Sustituyendo valores: 2 2 2 ⎛ ⎞ −1 − (13 ) + (14 ) + (18 ) α = cos ⎜ ⎟ = 45.85º ⎜ ⎟ 2 (14 )(18 ) ⎝ ⎠ α + β + χ = 180º entonces: α + β = 180º − χ = 180º −25.43º = 154.57º Usando nuevamente ley de cosenos: b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Despejamos cos β : cos β = −b + a + c 2ac 2 2 2 entonces: ⎛ −b 2 + a 2 + c 2 ⎞ ⎟ 2ac ⎝ ⎠ β = cos −1 ⎜ Usando ley de tangentes: 1 (α + β ) a + b 2 = 1 tan (α − β ) a − b 2 tan Sustituyendo valores: Sustituyendo valores: 98 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría teóricos para la solución de los siguientes ejercicios. 2. Resolverá los siguientes ejercicios. 3. Redactará un reporte escrito con la solución, un esquema, sus resultados y sus conclusiones. Ejercicios: a) Determinará la magnitud de la fuerza resultante, para dos fuerzas que actúan sobre un objeto. La magnitud de una fuerza es de 35 lb y la de la otra 50 lb. Si el ángulo entre las dos fuerzas mide 32.15º. 1 (154.57º ) 20 + 50 7 2 = =− 1 20 50 3 − tan (α − β ) 2 ⇒ tan 1 3 1 (α − β ) = − tan ⎛⎜ (154.57º ) ⎞⎟ 2 7 ⎝2 ⎠ 1 tan (α − β ) = −1.899 2 tan entonces: 1 (α − β ) = tan −1 ( −1.899 ) = −62.23º 2 α − β = −124.46º Resolvemos el sistema: α + β = 154.57º α − β = −124.46º Sumando estas dos ecuaciones: b) En la siguiente figura se muestran dos 2α = 30.10º ⇒ α = 15.05º uuur fuerzas representadas por los vectores AB uuur y β = 154.57º −α = 154.57º −15.05º = 139.519º y BC . Si AB = 12 N y BC = 23 N y ∠ABC = 121.27º , encuentre la magnitud Usando ley de senos de ur R y la medida de θ . a c = sen α sen χ ⇒ a sen χ c= sen α Sustituyendo valores c= 20 sen 25.43º = 33.07 sen 15.05 Realización del ejercicio Respuestas de la Unidad 2 Competencia científico teórica 2.1.1 Resolver problemas de involucren triángulos oblicuángulos. física que El Alumno: 1. Consultará con el PSA los fundamentos Realización del ejercicio α = 33.69° = 0.588 rad 2. β = 41.65° 1. Todas las Carreras 99 P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría 3. h = 26.108 4. 1.0307 Realización del ejercicio 15.8° Realización del ejercicio 1. 166.45 m 2. 82.424 m Realización del ejercicio 1. 35°, 55°, 90°, 24.09 mm, 34.405 mm. 2. 7.14 m 3. 1 m 4. 22.458 cm, 17.546 cm 5. 881.97m2 2.2.1 Comparación de resultados con otros compañeros 18.093° 2.2.2 Realización del ejercicio 81.782lb Realización del ejercicio 30.977 100 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 7 Nombre de la práctica Uso del círculo trigonométrico Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará las funciones trigonométricas con ayuda del círculo trigonométrico Escenario Aula Duración 2h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 101 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Construir un círculo trigonométrico. NOTA: Círculo trigonométrico: En un sistema de ejes coordenados, se traza un círculo de manera que su centro coincida con el origen de las coordenadas y con un radio que vale una unidad de longitud y se trazan los triángulos siguientes: Un ángulo α positivo cualquiera con vértice en el origen, tal que su lado inicial coincida con la parte positiva del eje x. Los puntos C y B son intersecciones de la circunferencia con los lados inicial y final, respectivamente, del ángulo α. Desde B se traza el segmento BD que es perpendicular al eje x. En C se traza una tangente a la circunferencia que interseca el lado final del ángulo α en T. En A, que es el punto de intersección de la circunferencia con la parte positiva de las Y, se traza una tangente a la circunferencia que interseca el lado final del ángulo α en el punto R. Los triángulos rectángulos BOD, COT y AOR son semejantes por tener dos ángulos y el lado correspondiente iguales. 2. Representar las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente mediante líneas, en cada uno de los cuatro cuadrantes. 3. Responder las siguientes preguntas: a) En el primer cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?, b) En el segundo cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?, c) En el tercer cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?, d) En el cuarto cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas? 102 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento 4. Usar el círculo trigonométrico, para determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos siguientes: 30º, 45º , 60º, 120º, 135 y 150º. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 103 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 7: Uso del círculo trigonométrico Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos 1. 2. 3. 4. 5. de trabajo Construyó el círculo trigonométrico Representó las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente en cada uno de los cuatro cuadrantes Respondió las preguntas acerca de las funciones trigonométricas Determinó los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos siguientes: 30º, 45º , 60º, 120º, 135 y 150º Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 104 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 8 Nombre de la práctica Construcción de gráficas de funciones trigonométricas Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno construirá gráficas de funciones trigonométricas en un sistema coordenado y siguiendo el procedimiento que se establece Escenario Aula Duración 3h Materiales • Bitácora Maquinaria y equipo Herramienta • Calculadora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 105 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. NOTA: Para la construcción de las gráficas se empleara un sistema de coordenadas rectangulares y se seguirá el siguiente procedimiento: A) Elaborar una tabla donde se tabule el ángulo θ y usar la calculadora para evaluar la función trigonométrica para los siguientes valores de θ : 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 330º, 360º. B) Considerar como coordenadas de cada punto a cada uno de los pares de valores que corresponden a los valores anteriores, (los ángulos sobre el eje de las x en este caso igualmente espaciados cada división corresponde a un ángulo de 30º y la función correspondiente sobre el eje de las y). C) Trazar en sistema coordenado, todos los puntos representados por cada par de valores. D) Unir los puntos trazados mediante una curva y así se obtiene así la grafica correspondiente de la función trigonométrica. La curva se puede extender indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda. 1. Construir las gráficas para las funciones seno, coseno y tangente, siguiendo el procedimiento anterior. 2. Responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el valor máximo y cuál el valor mínimo del seno y del coseno? b) ¿Cómo varían los valores de las funciones a través de los cuatro cuadrantes? c) ¿Para qué valores de θ la función tangente no esta definida? 3. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 8: Construcción de gráficas de funciones trigonométricas 106 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica • Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo 1. Construyó las gráficas siguiendo el procedimiento para cada una de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente 2. Respondió las preguntas 3. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 107 DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 9 Nombre de la práctica Resolución de triángulos Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno determinará los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos y oblicuángulos usando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos y la ley de senos y cosenos para los triángulos oblicuángulos Escenario Aula Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría 108 Todas las Carreras Herramienta P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Usar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras resolver los siguientes ejercicios de triángulos rectángulos: a. A 57 m del pie de una antena de radiodifusión, el ángulo de elevación en su extremo superior es de 29º37'. ¿Cuál es la altura de la antena si la del aparato con que se mide el ángulo es de 1.45 m? b. A 27 m de la base de una columna, se miden los ángulos de elevación del borde superior de la columna y del extremo más alto de una estatua. Los ángulos medidos son 57º32’ y 56º 101. Determina cuál es la longitud de la estatua. c. El tirante de un puente forma un ángulo de 38º50' con la horizontal. ¿Cuál es la altura del puente donde está colocado el tirante si tiene una longitud de 64 m? d. Calcula la longitud de uno de los lados de un hexágono regular que está circunscrito en un círculo de 238 m de diámetro. e. El radio de una circunferencia mide 352 m. Determina la longitud de la cuerda que subtiende un ángulo de 21 radianes. 2. Usar las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: a) b) c) d) e) Dados a = 46.65, b = 33.65 C = 52º25’, obtener A, B y c. Dados a = 35.20, b = 62.4 C = 65º20’, obtener A y c. Dados b = 32.65, c = 42.25 A = 35º22’, obtener a. Dados a = 872.5, b = 632.7 C = 80º, obtener c. Dados A = 35º26’, B = 47º34’ a =13.24, obtener c. 3. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural. 4. Presentar conclusiones 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 109 LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9: Resolución de triángulos Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica 1. 2. 3. 4. 5. • Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo Usó las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver los ejercicios de triángulos rectángulos Usó las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver los triángulos oblicuángulos Expuso sus resultados al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural Presentó conclusiones Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 110 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 10 Nombre de la práctica La circunferencia de la Tierra Propósito de la práctica Al finalizar la práctica el Alumno encontrará un valor aproximado de la circunferencia de la tierra a partir de las funciones trigonométricas. Escenario Su región Duración 3h Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Cuaderno • Lápiz • Papel • Juego de geometría • 2 palos de un metro • 2 Cintas métricas • Calculadora 111 Procedimiento Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. Trabajo en equipo 1. Ubicar dos lugares lo más lejanos posibles dentro de la ciudad. 2. Establecer la distancia entre ellos a través de un mapa a escala y su conversión. 3. Usar dos palos rectos de la misma medida, idealmente de un metro pero puede ser mayor. 4. Fijar una hora exacta para realizar el experimento en las dos locaciones(entre más distante del medio día sea la hora fijada la sombra será mas amplia). 5. Parar cada palo perpendicularmente al piso formando un ángulo de 90º con el suelo y medir la sombra que proyecta. 6. Obtendrán todos los valores del triángulo formado por el palo y su sombra. 7. Registrar en su carpeta la hora, el lugar, la medida del palo y la medida de la sombra. 8. Al reunirse los equipos resolverán, mediante las ecuaciones trigonométricas previamente vistas la diferencia de ángulo en ambos triángulos. 9. El resultado lo usarán sobre la distancia entre los puntos bajo la premisa de a X distancia, θ apertura de ángulo. ¿Cuál será la distancia para 360º? 10. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural. 11. Presentar conclusiones. 12. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje. 112 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10: La circunferencia de la Tierra Portafolios de evidencias Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño. Desarrollo Si No No Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. • Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo Tomo los datos y las medidas necesarias durante la investigación de campo Usó las funciones trigonométricas para resolver el triángulo rectángulo Uso las funciones de diferencia de ángulos para sacar la razón de distancia por grado Uso el planteamiento correcto para sacar la circunferencia Expuso sus resultados al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural Presentó conclusiones Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma 4 Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas Observaciones: PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación: 113 RESUMEN En este segundo capítulo se ha analizado la relación entre los lados y los ángulos del triángulo, Desde las identidades trigonométricas que aportan una sencilla y clara relación entre uno de un ángulo del triangulo rectángulo con los lados de la misma figura considerados desde el vértice del ángulo en mención hasta niveles de resolución y análisis más complejos como el uso y despeje de las funciones trigonométricas para resolver situaciones concretas y aprovechar de forma óptima las herramientas de trabajo y medición de la vida moderna. 114 El poder completar la información de un triángulo oblicuángulo por medio de la trigonometría es en sí mismo una herramienta intelectual de gran valia para el estudio de figuras irregulares y resolver ecuaciones de física con todo lo que estas pueden aportar a la ciencia, la tecnología y la forma de vida cotidiana de nuestra civilización. Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 1. Convertir 25º15’16” sexagesimales en grados centesimales. 2. Convertir 28’6’3” centesimales en grados sexagesimales. 3. Convertir en grados sexagesimales a π 5 radianes. 4. ¿Cuál es el ángulo complementario de 35º? 5. ¿Cuál es el ángulo suplementario de 30º? 6. ¿Cuál es el ángulo conjugado de 120º? 7. Enuncia el teorema de Pitágoras. 8. Calcula el cateto x en: 9. Calcula el cateto x en la figura: 115 AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 10. Calcula el valor de la altura h en la figura 11. Cuatro ángulos interiores de un pentágono irregular miden respectivamente 120º, 90º, 75º y 135º ¿cuánto mide el quinto ángulo? 12. En un heptágono regular, calcula a) la suma de los ángulos interiores, b) el número de diagonales, c) el valor de un ángulo interior. 13. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo lado interior es de 60º? 14. Calcular el área y el volumen de un ortoedro con: largo 5 cm, ancho 4 cm, altura 3 cm. 15. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular cuya arista base mide 3 cm y su apotema 6 cm. 16. Calcular el área total de un cilindro cuyo radio de la base mide la altura 6 cm. 17. Calcular el área total de un cono con un radio de la base de 5 cm, y una generatriz de 6 cm. 18. Calcular el volumen de una esfera de 3 m de radio. 19. Una escalera de 8.50 m de longitud está apoyada en una pared. ¿Qué altura alcanzará si forma con el suelo un ángulo de 65º? 20. Un rectángulo mide 21 cm de largo por 13 cm de ancho. Calcula la longitud de la diagonal y el ángulo formado por ésta y el mayor de los lados. 21. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles, si su base mide 3.25 cm y su altura 1. 15 cm? 22. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles cuya base mide 2.34 m y cada uno de los lados iguales 2.5 m? 116 Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 23. Un triángulo equilátero está inscrito en un círculo de 12 cm de radio. Obtener la longitud del lado. 23. Determina el ángulo de elevación del Sol, si un poste de 7 m de altura proyecta una sombra de 2.5 m. 24. Resuelve la ecuación trigonométrica “ sen a + cos a = 0 ”, para los valores positivos del ángulo a , menores que 360º. 25. Resuelve la ecuación trigonométrica “ 2 sen a − 1 = 0 ”, para los valores positivos del ángulo a , menores que 360º. 26. Resuelve la ecuación trigonométrica “ sec 2 a= 4 ”, para los valores positivos del ángulo a , menores 3 que 360º. 27. Obtén b, c y C dados A = 25º 26’ B = 47º y a = 13.24 en un triángulo oblicuángulo. 28. Obtén a, C y c dados A = 70º 26’ B = 58º30’ y b = 0.725 en un triángulo oblicuángulo 29. Obtén B, C y c dados a = 31.50, b = 24.47 y A = 57º22’ en un triángulo oblicuángulo 117 RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 1. 28º6'3" centesimales 2. 25º15’14’’ 3. 36º 4. 55º 5. 150º 6. 240º 7. En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 8. x = 24 9. x = 448 10. h = 160 11. 120º 12. a) 900º, b) 128º34’17’’,c) 14 13. 3 14. Área = 94 cm2, Volumen = 60 cm3 15. Área total = 45 cm2 16. Área total = 169.64 cm2 17. Área total = 172.78 cm2 18. Área total = 113.09 m3 19. 7.7 m 20. 118 610,31º 45' Todas las Carreras P T-Bachiller Matemáticas II: Geometría y Trigonometría RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS 21. 35º22'; 35º22'; 109º16' 22. 62º6' ; 62º6'; 55º48' 23. 20.784 m 24. 70º21' 25. a1 = 45º ,315º a2 = 135º , 225º 26. 30º, 150º 27. 150º, 210º 28. C = 107º34’, b = 22.55, c = 29.39 29. a = 0.8011, C = 51º4’, c = 0.6613 30. B= 40º50’, C = 81º 48’ c = 37.02 119 REFERENCIAS DOCUMENTALES 1. Peterson, John C. Matemáticas Básicas, México, CECSA, 2004. 2. Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio, México, Publicaciones Culturales, 2002. 3. Smith, Stanley A. y otros. Algebra, trigonometría y geometría analítica, México, Pearson Education, 1998. 4. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffrery A. Algebra y trigonometría con geometría analítica, México, Grupo Editorial Iberoamérica, 1996. 5. 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Geometría y Trigonometría Manual Teórico-Práctico del Módulo Autocontenido Integrador Matemáticas II Geometría y Trigonometría e-cbcc EducaciónCapacitación Todas las Carreras conalep
