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2º BACHI.
FÍSICA
PROBLEMAS DE VECTORES
1. - Expresar con sus componentes cartesianas un vector de módulo 5


que forma un ángulo de 37º con el eje OX.
Sol: 4 i + 3 j .



2. - Dibujar el vector F = 4 i - 3 j , hallar su módulo y su vector unitario.


Sol: 5 ; 0,8 i - 0,6 j .
3. - Sumar gráfica y analíticamente los vectores:




Sol: 6 i .
b = 3i - 3 j .



a = 3i + 3 j ;
4. - Sumar analíticamente los vectores de la figura. Hallar el módulo y la
dirección del vector resultante. Datos: sen 53º = cos 37º = 0,8 ; cos 53º =
sen 37º = 0,6.
y
a=5
b = 10
c=2
a
b
127º
37º
x
c


Sol: - 2 i + 9 j
;
9,2 ,
102º 32´ .








5. - Dados los vectores a = 2 i + 4 j - 5 k y b = - i + 5 j +2 k hallar: a)




 
 
 

Sol: a) i + 9 j - 3 k ; b) 3 i - j - 7 k ;
a + b ; b) a - b y c) 3 a .



c) 6 i + 12 j - 15 k .


6.- Sumar al vector 3 i - 4 k el que parte del punto (2,5,-4) con extremo
en (1,7,0), y el que con módulo 6 forma un ángulo de 70º con el eje X.


Sol: 4 i + 7,64 j .



 



7. - Dados los vectores a = 2 i - 3 j - 4 k y b = - i + 2 j + k calcular: a)

 


 
 
a  b ; b) a . b y c) el ángulo que forman a y b . Sol: a) 5 i + 2 j + k ; b) - 12
; c) 155,57º.




8. - Dado el vector de posición r = (2t 2 + 1) i + (t 2 - 2t) j + ( 3t-1) k
calcular la velocidad y la aceleración del móvil en el instante t = 1s.




Sol: 4 i + 3 k ; 4 i + 2 j .




9. - Dado el vector r = 3t 3 i - 2t j + t 2 k , determinar : a) la derivada del


vector r respecto de t ; b) el módulo de dicha derivada ; c) comprobar si r y su



derivada con respecto de t son perpendiculares.
Sol: a) 9t 2 i - 2 j + 2t k ;
b)
81t 4  4t 2  4 ; c) no son perpendiculares.
10. - Sean A ( -1,0,1) , B (1,1,3) , C ( -2,1,-1) , D ( 2,5,1) cuatro
 puntos

del espacio. a) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y CD .
Sol: a) 27º 16´ .
 

 






11. -Dados los vectores a = 2 i - 3 j + k ; b = i - 7 j + 2 k y c = 2 i - 7 j
, determinar: a) el módulo y ángulos que forman con los ejes coordenados el

 

vector suma de los tres vectores; b) a . b y b  c ; c) el ángulo que forman




entre sí a y c ; d) un vector unitario perpendicular a los vectores a y b .



Sol: a) 18 ,73º 52´ , 160º 49´ , 80º 24´ ; b) 25 , 14 i + 4 j + 7 k ; c) 23º 24´ ; d)



1/ 131 ( i - 3 j - 11 k ) .
12. - Dado un vector de módulo 3 y punto de aplicación A (2,3,0) que
forma ángulo de 30º , 60º y 90º con los ejes coordenados x,y,z. Se pide
determinar el momento del
 vector respecto al punto B (5,3,-7).


Sol: - 21/2 i + 21 3 /2 j - 9/2 k .
13.- Una partícula de masa 2 kg posee una velocidad 𝑣⃗ = (2𝑖⃗ - 5𝑗⃗ ) m/s
cuando se encuentra situada en el punto 𝑟⃗ (2,3,1) m. Calcular su momento
⃗⃗ ) kg.m2/s.
angular respecto del origen de coordenadas.
Sol: (10𝑖⃗ + 4𝑗⃗ - 32𝑘
14.- Cuando una partícula se encuentra en el punto (2,3,1) m, poseer
⃗⃗ (SI). Si en ese instante su momento angular
una velocidad 𝑣⃗ = 3𝑖⃗ - 2𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗ ) kg.m2 /s, ¿cuál es el
⃗⃗ = (15𝑖⃗ + 3𝑗⃗ - 39𝑘
respecto al origen de coordenadas es 𝐿
valor de su masa?.
Sol: 3kg.
2º BACH
FÍSICA
PROBLEMAS DE INTERACCIÓN GRAVITATORIA
-------1.- Conociendo el valor del radio de la Tierra, R T = 6400 Km,
determinado por Eratóstenes, y el valor de G = 6,67.10 11 N.m 2 /Kg 2 ;
determinado por Cavendish, calcular la masa de la Tierra y su densidad,
sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es 9,8
m/s2.
Sol: 6.10 24 Kg ; 5,5.10 3 Kg/m 3 .
-------2.- La masa de la Luna es igual a 0,01255 veces la de la Tierra y su
radio es igual a 0,273 veces el de la Tierra. ¿Cuál es la aceleración de un
cuerpo que cae libremente en la superficie de la Luna?. Dato: g0 = 9,8 m/s 2 .
Sol: 1,64 m/s 2 .
--------3.- ¿En qué punto se equilibran las atracciones que ejercen la Tierra y la
Luna sobre un cuerpo de masa m colocado entre ambas?. Distancia entre los
dos centros de los astros 390480 Km. La masa de la Tierra es 81,3 veces
mayor que la de la Luna.
Sol: 351753,8 Km.
---------4.- Un objeto de masa m1 = 100 Kg está situado en el punto A de
coordenadas (6,0 ) m. Un segundo objeto de masa m 2 = 300 Kg está situado en
el punto B de coordenadas
( -6,0) m. Calcular: a) el punto sobre el eje x
para el cual el campo gravitatorio es nulo; b) el trabajo realizado por el campo
gravitatorio cuando la masa m1 se traslada desde el punto A hasta el punto C
de coordenadas ( -6, 6 ) m. Dato: G = 6,7.10-11 N.m2/Kg2.
Sol: a) 7,6 m de
m2 ; b) 1,67.10-7 J.
-------5.- Una estrella de neutrones, presenta una masa aproximada de 10
masas solares y un radio de aproximadamente 100 Km. Se pide: a) calcular la
aceleración de la gravedad en su superficie; b) calcular la velocidad de escape
para cualquier cuerpo situado en su superficie y c) calcular el peso de 1 gramo
de materia de dicha estrella. Datos: G = 6,67.10 11 N.m 2 / Kg 2 , masa del Sol =
1,96.10 30 Kg.
Sol: a) 1,3.10 11 m/s 2 ; b) 163000 Km/s ; c) 1,3.10 8 N.
---------6.- Calcular la altura sobre la superficie de la Tierra a la que debe
colocarse un satélite artificial de masa m en el plano del ecuador para que sea
visto como un punto fijo desde la Tierra (órbita geoestacionaria ). Datos: R T =
6400 Km ; g0 = 9,8 m/s2.
Sol: 35954,35 Km.
---------7.- Un satélite artificial de 100 Kg gira en órbita circular alrededor de la
Tierra a una altura de 3200 Km sobre la superficie. a) Demostrar que a esa
altura el valor de la aceleración de la gravedad es 4/9 del valor correspondiente
a la superficie terrestre, b) calcular la velocidad lineal y la energía cinética del
satélite; c) calcular su periodo de revolución. Datos: R T = 6400 Km; g0= 9,8
m/s2.
Sol: b) 23292 Km/h , 2,09.109 J; c) 2,6 h.
---------8.- Sabiendo que el planeta Venus tarda 224,7 días en dar una
revolución completa alrededor del Sol y que la distancia de Neptuno al Sol es
de 4501.10 6 Km y asimismo que la Tierra invierte en dar una revolución
completa alrededor del Sol 365,256 días y que la distancia a éste es de
149,5.10 6 Km. Se pide: a) Distancia de Venus al Sol, b) duración de una
revolución completa de Neptuno alrededor del Sol.
Sol: a) 108.10 6
Km ; b) 165,2 años.
---------9. - Un satélite de 500 Kg de masa se mueve alrededor de Marte,
describiendo una órbita circular de 9.106 m de radio. Sabiendo que la
aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio
es 3400 Km, se pide: a) fuerza gravitatoria sobre el satélite; b) velocidad y
período del satélite y c) ¿a qué altura debería encontrarse el satélite para que
su período fuese el doble?.
Sol: a) 265 N ; b) 2180 m/s , 2,6.104 s; c)
1,09.107 m.
---------10.- Un satélite de 2500 Kg describe una órbita circular de radio 1,5 R T .
Determínese: a) Período de revolución del satélite ; b) velocidad lineal del
satélite; c) energía mecánica total del mismo y d) La energía necesaria para
elevarlo a dicha órbita, lanzándolo desde la superficie terrestre.
Datos: R T
= 6400 Km ; m T = 6.10 24 Kg; G = 6,7.10-11 N.m2/Kg2.
b) 6466,4 m/s ; c) - 5,21.10 10 J ; d) 5,2.10 10 J.
Sol: a) 9328 s ;
--------11.- Se pretende situar un satélite artificial de masa 50 Kg en una órbita
circular de 500 Km de altura sobre la superficie terrestre. Calcular: a) la
velocidad que ha de poseer el satélite para girar en esa órbita, b) su período de
revolución, c) su energía mecánica total . Datos: R T = 6400 Km ; masa de la
Tierra = 6.10 24 Kg; G = 6,7.10-11 N.m2/Kg2.
Sol: a) 7616 m/s , b) 5689,6 s ;
9
c) -1,45.10 J.
---------
12.- Un satélite artificial de 1´2 T se eleva a una distancia de 6500 Km
del centro de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para
que describa una órbita circular alrededor de la Tierra: a) ¿qué velocidad deben
comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento?; b) ¿cuánto vale
el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a esa altura?; c)
¿cuál es la energía total del satélite?. Datos: G = 6,67.10 11 N.m 2 / Kg 2 , m T =
6.10 24 Kg , R T = 6,36.10 6 m.
Sol: a) 7850 m/s , b) 1,62.10 9 J , c) 3,69.10 10 J.
--------13.- Un sistema estelar es una agrupación de varias estrellas que
interaccionan gravitatoriamente. En un sistema estelar binario, una de las
estrellas, situada en el origen de coordenadas, tiene una masa m 1= 1.1030 kg,
y la otra tiene una masa m2 = 2.1030 kg y se encuentra sobre el eje X en la
posición (d,0), con d = 2.106 km. Suponiendo que dichas estrellas se pueden
considerar masas puntuales, calcula: a) El módulo, dirección y sentido del
campo gravitatorio en el punto intermedio entre las dos estrellas. b) El punto
sobre el eje X para el cual el potencial gravitatorio debido a la masa m1 es igual
al de la masa m2. c) El módulo, dirección y sentido del momento angular de m 2
respecto del origen, sabiendo que su velocidad es (0,v), siendo v = 3.10 5 m/s.
Dato: G= 6,67.10-11 N.m2/kg2.
Sol: a) 66,7 𝑖⃗ N/kg ; b) 6,67.108 m ; c)
⃗⃗ ) kg.m2/s.
(1,2.1045 𝑘
-----------