Download Números reales

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Lección 1:
Números reales
Los números irracionales
En los grados anteriores estudiamos distintas clases de números:
• Vimos en primer lugar: los naturales, que son aquellos
que sirven para contar. Ejemplos de los números
naturales son:
0, 1, 2, 3, 4, ......, 37, ......, 186, ......, 1999, ......
• Después, estudiamos los números enteros, que
están formados por los naturales y por los números
negativos. Con ellos podíamos indicar pérdidas,
temperaturas bajo cero o distancias bajo el mar
o la tierra. Ejemplos de los números enteros son:
......, -154, ......, -13, ......, -2, -1, 0, 1, 2, ......, 18, ......, 189723, ......
• Posteriormente, conocimos a los números racionales,
que están formados por los enteros, las fracciones
(que siempre se pueden presentar en forma decimal),
y los decimales. Ejemplos de los números racionales son:
10
LECCIÓN 1
......, -
187
5
, ....., -2.2, ....., -1, ....., -0.5, .....0,
......, 0.5, ...... 3 , ....., 1, ......, 621 , .....
4
13
Cuando estudiamos fracciones y decimales, vimos que para
convertir fracciones a decimales se divide el numerador entre el
denominador. Por ejemplo:
1
2
= 1 ÷ 2 = 0.5
621
13
= 621 ÷ 13 = 47.769230769230...
A veces el cociente tiene una infinidad de cifras, pero hemos
visto que estas cifras en algún momento empiezan a aparecer
repetidas en un mismo orden, así que, aunque sean infinitas, es
posible escribir el número indicando el conjunto de cifras que se
repite, y que se llama período, poniendo una curvita arriba de
las cifras que lo forman. Por ejemplo:
1
3
= 0.33333… pero escribimos
y la curvita arriba del 3
indica que éste se repite;
0.3,
1
6
= 0.1666… pero escribimos
y la curvita arriba del 6
indica que es el período;
0.16,
2
7
= 0.285732857328573… pero escribimos
y la curvita arriba de 28573 indica que
es el período, o sea las cifras que se
repiten.
0.28573,
11
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Con los números racionales ya podemos representar casi
todas las cantidades que encontramos en la vida cotidiana. Sin
embargo, hay otra clase de números, que se escriben con una
infinidad de decimales pero que no tienen un período, es decir,
no tienen cifras que se repitan en el mismo orden. Los números
de esta clase reciben el nombre de irracionales y, a diferencia de
los racionales, no pueden ponerse en forma de fracción, sino sólo
en forma decimal. Los racionales y los irracionales juntos forman
el conjunto de los números reales y son los números con los que
trabajaremos en este curso.
Hay una infinidad de números irracionales, pero en este curso
trabajaremos sólo con algunos de ellos, que son los más usados.
Tal vez usted se pregunte cómo vamos a escribir la infinidad de
cifras que tienen los números irracionales. La respuesta es que
cuando trabajamos con números irracionales, nos conformamos
con una aproximación, o bien utilizamos algunos símbolos
especiales.
El primer número irracional que presentaremos es un número
que de hecho ya conoce. Usted ha usado el número π (pi) para
expresar las fórmulas de la longitud de la circunferencia, del área
del círculo y del volumen de la esfera. El número π representa
las veces que cabe el diámetro de un círculo en la longitud de
la circunferencia. Es decir, si tuviéramos las medidas exactas
de la longitud (C) de una circunferencia y de su diámetro, (d),
podríamos decir que π = C ÷ d, pero si quisiéramos hacer la
división no terminaríamos nunca: podríamos tener tantas cifras
decimales como quisiéramos, pero nunca llegaríamos a un residuo
igual a cero, ni encontraríamos cifras que formen un período. Esto
es, si intentáramos escribir π exactamente, nunca terminaríamos
de escribir cifras decimales, por lo que decimos que π es un
12
LECCIÓN 1
número irracional. A continuación se expresa el número π con sus
primeras 54 cifras decimales:
π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399
375105820...
En la práctica, sin embargo, cuando queremos calcular
longitudes de circunferencias, áreas de círculos, volúmenes de
esferas o para hacer cualquier otro cálculo, en el que aparezca π,
podemos usar la aproximación π = 3.1416 o bien, como lo hemos
hecho en los dos libros anteriores de este curso, la aproximación
π = 3.14.
Otro número irracional
es √2. El número √2 es la
medida de la hipotenusa de
un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden una unidad de
longitud.
√2 u
1u
1u
Si necesitamos hacer
cálculos con √2, utilizamos 1.41,
que es una aproximación. (Usted puede verificar que
1.412 = 1.9881, que se acerca bastante a 2.)
Otros números irracionales son √3 y el número e. Una
manera de encontrar aproximaciones a estos números es
utilizando la calculadora. Para encontrar el primero sacamos
la raíz cuadrada de 3, y para encontrar el segundo pulsamos
la tecla ex que tienen algunas calculadoras y encontramos así
la aproximación e = 2.7182818.
13
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Ejercicio 1
a) En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3;
escriba cada uno de los resultados observados en la
pantalla que son aproximaciones para los números
irracionales √5, √7, √2 y √3.
b) Si su calculadora tiene la
tecla π, oprímala para ver
con qué aproximación
representa este número
irracional.
c) Exprese en forma decimal,
indicando en cada caso el
período, los siguientes
números racionales:
3
4
,
8
9
,
5
6
,
3
7
,
1
9
,
4
7
,
6
15
.
Aproximaciones
En la sección anterior hemos dicho que cuando se trabaja con
números irracionales se usan con aproximaciones, ya que es
imposible escribir todas sus cifras decimales pues son una
infinidad. A veces también es conveniente usar aproximaciones
14
LECCIÓN 1
con los números racionales. Hay dos maneras de hacer las
aproximaciones: por truncamiento y por redondeo.
El método del truncamiento consiste en considerar sólo las
cifras decimales que nos interesan y "eliminar" las demás. Primero
debemos saber con cuántas cifras decimales queremos trabajar o
cuántas nos están pidiendo.
Supongamos que necesitamos efectuar una multiplicación de
decimales y nos piden que expresemos
0.124
el resultado con tres cifras decimales,
x 2.37
usando truncamiento. Por ejemplo,
0868
la multiplicación que se muestra a la
0372
derecha.
0248
0.29388
El resultado tiene cinco cifras
decimales y sólo queremos tres, así
que "eliminamos" los ochos y escribimos 0.124 x 2.37 ≈ 0.293.
Observe que en lugar del signo "=" hemos escrito el signo "≈"
porque el producto 0.124 x 2.37 no es exactamente igual a 0.293,
es casi igual, una aproximación. Esto se indica usando el signo "≈",
que se lee "aproximadamente igual a".
De manera que "truncar" números es deshacerse de las
cifras que no interesan. Para comprender mejor esto, veamos
dos ejemplos más, en los que realizaremos operaciones y
expresaremos los resultados con las cifras decimales que
se indican.
Resolvamos la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235
y expresemos el resultado con dos cifras decimales
mediante truncamiento. El resultado exacto de la suma
15
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
es 62.3297, y al truncar para quedarnos con dos cifras
decimales eliminamos las dos últimas, esto es, al 9 y 7.
Escribimos entonces:
12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.32
Resolvamos ahora la división 1.971 ÷ 8 y expresemos
el resultado con tres cifras decimales mediante
truncamiento. Al hacer la división obtenemos
1.971 ÷ 8 = 0.246375, pero como sólo queremos
tres cifras decimales eliminamos el 375 que aparece
al final y nos quedamos con 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.
Otra manera de aproximar números es el redondeo. Para
comprender este método regresemos a nuestro ejemplo de la
multiplicación 0.124 x 2.37 = 0.29388. Si utilizamos la recta
numérica para representar este resultado, obtenemos un
esquema como el siguiente, en el que la ubicación del número
que nos interesa está señalada con una flecha
vertical:
0.293 0.2931 0.2932 0.2933 0.2934 0.2935 0.2936 0.2937 0.2938 0.2939 0.294
Si queremos utilizar solamente tres cifras decimales para
expresar el número 0.29388, vemos que este número está entre
0.293 y 0.294, pero está mucho más cerca de 0.294 que de 0.293.
Es decir, si decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.293 mentimos, y si
16
LECCIÓN 1
decimos que 0.124 x 2.37 ≈ 0.294 también mentimos, pero
mentimos menos en el segundo caso que en el primero. Entonces
la aproximación por redondeo de 0.29388 es 0.294, y escribimos
0.29388 ≈ 0.294: hemos utilizado tres cifras decimales pero a la
tercera le hemos aumentado 1.
Veamos otro ejemplo. Consideremos ahora la multiplicación
0.124 x 2.38 = 0.29512, y representemos este resultado en un
esquema como el anterior:
0.295 0.2951 0.2952 0.2953 0.2954 0.2955 0.2956 0.2957 0.2958 0.2959
0.296
Si queremos utilizar tres cifras decimales para expresar el
número 0.29512, vemos que este número está entre 0.295 y
0.296, pero que está mucho más cerca de 0.295 que de 0.296.
Ahora la aproximación por redondeo de 0.29512 es 0.295 y
escribimos 0.29512 ≈ 0.295: hemos utilizado tres cifras decimales
y a la tercera no le hemos aumentado nada.
Vemos entonces que con el método de aproximación por
redondeo se "eliminan" cifras, pero a veces hay modificaciones
en las cifras originales y a veces no. El método se puede resumir
de acuerdo con las siguientes reglas:
• Se cuentan las cifras que interesa dejar y se
observa la primera cifra que se va a eliminar.
• Si la primera cifra que se va a eliminar es menor
que 5 no hay modificaciones en las cifras que se dejan.
• Si la primera cifra que se va a eliminar es igual o
mayor que 5, la última cifra no eliminada aumenta en 1.
17
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS
III
Veamos unos ejemplos más de redondeo:
Al hacer la suma 12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42.235
encontramos como resultado 62.3297. Si queremos redondear
este resultado a dos cifras decimales, nos fijamos en la
tercera, que es 9; como 9 es mayor que 5, entonces
la última cifra no eliminada, que es 2, aumenta en 1.
Escribimos entonces:
12.5465 + 0.8129 + 6.7353 + 42. 235 ≈ 62.33
Observe que este resultado difiere del que habíamos obtenido
cuando hicimos la aproximación por truncamiento.
Al hacer la división 1.971 ÷ 8 tenemos como resultado
0.246375. Si queremos redondear este número a tres cifras
decimales, nos fijamos en la cuarta, que es 3; como 3 es
menor que 5, entonces la última cifra no eliminada, que es 6,
permanece como está. Escribimos entonces 1.971 ÷ 8 ≈ 0.246.
Observe que en este caso el resultado es el mismo del que
habíamos obtenido cuando hicimos la aproximación por
truncamiento.
Redondeemos ahora el número 15.3129635401 a seis cifras
decimales. Nos fijamos en la séptima cifra, que es 5; como 5 es
igual o mayor que 5, entonces le aumentamos 1 a la última cifra
no eliminada, que es 3. Tenemos entonces que 15.3129635401 ≈
15.312964.
Por último, redondeemos el número
7.4296085 a tres cifras decimales. Nos
fijamos en la cuarta, que es 6; como es
mayor que 5 le aumentamos 1 a la última
18
7.429
+ 0.001
7.430
LECCIÓN 1
cifra no eliminada, que es 9. Pero como 9 + 1 = 10, ahora
tenemos que aumentar 1 a la penúltima cifra no eliminada,
que es 2. Tenemos entonces que 7.4296085 ≈ 7.430.
Ejercicio 2
Trunque los siguientes números a tres cifras decimales:
a) 0.356783258 c) 897.46789
e) 7.00006
g) 10009.9001
b) 11.1111111
f) 235.654
h) 0.189675872
d) 3.145578
Ejercicio 3
En una calculadora calcule las raíces de 5, 7, 2 y 3; escriba
cada uno de los resultados observados en la pantalla (que son
aproximaciones para los números irracionales √5, √7, √2 y √3),
truncando a 5 cifras decimales.
Ejercicio 4
Redondee a tres cifras decimales los números de los incisos
del ejercicio 2. Compare los resultados con los que obtuvo
en el ejercicio 2.
Ejercicio 5
Redondee a cinco cifras decimales las raíces del ejercicio 3
y compare los resultados con los obtenidos ahí.
19