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ELEMENTOS DE CIRCUITO PASIVOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (IMPEDANCIA Y REACTANCIA)
La aplicación sistemática de la transformada fasorial en el análisis de circuitos requiere llevar a cabo dos
pasos sucesivos. En primer lugar, debemos establecer la relación entre el fasor de corriente y el fasor de
tensión en los terminales de los elementos de circuito pasivos. En segundo lugar, debemos desarrollar la
versión de las leyes de Kirchhoff en el dominio de los fasores.
Relación V-I para una resistencia
Aplicando la ley de Ohm, si la corriente en una resistencia varía sinusoidalmente con el tiempo, es decir,
si i = Im cos(ωt + θi), la tensión en las terminales de la resistencia, como se muestra en la Figura 13.1, será
(13.1)
donde Im es la amplitud máxima de la corriente en amperios y θi es el ángulo de fase de la corriente.
Figura 13.1 Elemento resistivo atravesado por una corriente sinusoidal.
El fasor correspondiente a esta tensión es
(13.2)
Pero
es la representación como fasor de la corriente sinusoidal, por lo que podemos escribir la
Ecuación (13.2) como
(13.3)
que indica que el fasor de tensión en las terminales de una resistencia es simplemente la resistencia
multiplicada por el fasor de corriente. La Figura 13.2 muestra el diagrama de circuito para una
resistencia en el dominio de la frecuencia.
Figura 13.2 Circuito equivalente de una resistencia en el dominio de la frecuencia.
Las Ecuaciones (13.1) y (13.3) nos proporcionan también otra información importante, que es que en los
terminales de una resistencia no hay desplazamiento de fase entre la corriente y la tensión. La Figura
13.3 muestra esta relación de fase, siendo en la figura el ángulo de fase tanto de la tensión como de la
corriente igual a 60o. Decimos que las señales están en fase porque ambas alcanzan valores
correspondientes de sus respectivas curvas al mismo tiempo (por ejemplo, ambas alcanzan su máximo
positivo en el mismo instante).
Figura 13.3 a) Gráfica que muestra que la tensión y la corriente en las terminales
de una resistencia están en fase. b) Representación factorial.
Relación V-I para un inductor (bobina)
Podemos determinar la relación entre el fasor de corriente y el fasor de tensión en las terminales de una
bobina suponiendo una corriente sinusoidal y utilizando Ldi/dt para hallar la correspondiente tensión.
Así, para i = Im cos(ωt + θi), la ecuación correspondiente a la tensión será
(13.4)
Reescribimos la ecuación (13.4) utilizando la función coseno:
(13.5)
La representación corno fasor de la tensión dada por la Ecuación (13.5) es
Observe que al deducir la Ecuación (13.6) hemos utilizado la identidad
La Ecuación (13.6) indica que el fasor de tensión en los terminales de una bobina es igual a jωL
multiplicado por el fasor de corriente. La Figura 13.4 muestra el circuito equivalente en el dominio de la
frecuencia para una bobina. Es importante observar que la relación entre el fasor de tensión y el fasor
de corriente para una bobina se aplica también a la inductancia mutua en una bobina debido a la
corriente que fluye en otra bobina acoplada. Es decir, el fasor de tensión en los terminales de una
bobina, dentro de una pareja de bobinas con acoplamiento mutuo, es igual a jωM multiplicado por el
fasor de corriente de la otra bobina.
Figura 13.4 Circuito equivalente de una bobina en el dominio de la frecuencia.
Se puede reescribir la ecuación (13.6) como
que indica que la tensión y la corriente están desfasadas exactamente 90' . En particular, la tensión
precede (se adelanta) a la corriente en 90°, lo que es lo mismo que decir que la corriente está retardada
90° con respecto a la tensión. La Figura 13.5 ilustra este concepto de que la tensión precede a la
corriente o de que la corriente está retardada con respecto a la tensión. Por ejemplo, la tensión alcanza
su pico negativo exactamente 90° antes de que la corriente lo haga. Esta misma observación puede
hacerse con respecto al paso por cero en sentido positivo o al pico positivo.
Figura 13.5 a) Gráfica que muestra la relación de fase entre la corriente
y la tensión en los terminales de una bobina (θi = 60o). b) Representación factorial.
También podemos expresar el desplazamiento de fase en segundos. Un desplazamiento de fase de 90o
corresponde a un cuarto del período, por lo que la tensión precederá a la corriente en T/4 o 1/(4f)
segundos.
Relación V-I para un condensador (capacitor)
Podemos obtener la relación entre el fasor de corriente y el fasor de tensión en las terminales de un
condensador a partir del proceso de deducción que nos llevó a la Ecuación (13.6). En otras palabras, si
tenemos en cuenta que para un condensador
y suponemos que
entonces
(13.8)
Ahora, si despejamos la tensión en la Ecuación (13.8), para expresarla en función de la corriente,
obtenemos
La Ecuación (13.9) indica que el circuito equivalente de un condensador en el dominio de los fasores es
el que se muestra en la Figura 13.6.
Figura 13.6 Circuito equivalente de un condensador en el dominio de la frecuencia.
La tensión entre las terminales de un condensador está retardada 90" con respecto a la corriente.
Podemos mostrar fácilmente esta relación reescribiendo la Ecuación (13.9) como
La forma alternativa de expresar la relación de fase contenida en la Ecuación (13.10) consiste en decir
que la corriente precede a la tensión en 90". La Figura 13.7 muestra la relación de fase entre la corriente
y la tensión en las terminales de un condensador.
Figura 13.7 Gráfica que muestra la relación de fase entre la corriente
y la tensión en los terminales de un condensador (θi = 60o). b) Representación factorial.
Impedancia y Reactancia
Se concluyen estas explicaciones sobre los elementos de circuito pasivos en el dominio de la frecuencia
con una observación de gran importancia. Si comparamos las Ecuaciones (13.3), (13.6) y (13.9),
observamos que todas tiene la forma
donde Z representa la impedancia del elemento de circuito. Despejando Z en la Ecuación (13.11),
podemos ver que la impedancia es el cociente entre el fasor de tensión y el fasor de corriente de un
elemento de circuito. Así, la impedancia de una resistencia es R, la impedancia de una bobina es jwL, la
impedancia de la inductancia mutua es jωM y la impedancia de un condensador es l ljωC. En todos los
casos, la impedancia se mide en ohmios. Observe que, aunque la impedancia es un número complejo,
no se trata de un fasor. Recuerde que un fasor es un número complejo que aparece como coeficiente de
ejωt. Por tanto, aunque todos los fasores son números complejos, no todos los números complejos son
fasores.
La impedancia en el dominio de la frecuencia es la magnitud análoga a la resistencia, inductancia y
capacitancia en el dominio del tiempo. La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia. La
Tabla 13.1 resume los valores de la impedancia y la reactancia para cada uno de los componentes de
circuito básicos.
Nota: Si la dirección de referencia de la corriente en un elemento de circuito pasivo está en la dirección
del incremento de tensión entre las terminales del elemento, es necesario insertar un signo menos en la
ecuación que relaciona la tensión con la corriente.
Tabla 13.1 Valores de impedancia y de reactancia.
LEYES DE KIRCHHOFF EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Ley de Kirchhoff de las tensiones en el dominio de la frecuencia
Comenzamos suponiendo que v1, v2, ... y vn representan tensiones alrededor de un lazo cerrado en un
circuito. Suponemos también que el circuito está operando en régimen permanente sinusoidal. Por
tanto, la ley de Kirchhoff de las tensiones requiere que
que en régimen permanente sinusoidal nos queda
Usamos ahora la identidad de Euler para escribir la Ecuación (13.13) como
que podemos escribir en la forma
Si sacamos como factor común el término ejωt nos queda
o
pero como ejωt ≠ 0, se tiene que
que es el enunciado de la ley de Kirchhoff de las tensiones aplicado a los fasores de tensión. En otras.
palabras, la Ecuación (13.12) se aplica a un conjunto de tensiones sinusoidales en el dominio del tiempo,
mientras que la Ecuación (13.18) es el enunciado equivalente en el dominio de la frecuencia.
Ley de Kirchhoff de las corrientes en el dominio de la frecuencia
Se puede aplicar un proceso de deducción similar a un conjunto de corriente sinusoidales. Así, si
entonces
donde I1, I2, ..., In son las representaciones en forma de fasor de las corrientes individuales i1, i2, ..., in.
Las Ecuaciones (13.11), (13.18) y (13.20) forman la base para el análisis de circuitos en el dominio de la
frecuencia. Observe que la Ecuación (13.11) tiene la misma forma algebraica que la ley de Ohm,
mientras que las Ecuaciones (13.18) y (13.20) enuncian las leyes de Kirchhoff para fasores. De este
modo, podemos utilizar todas las técnicas desarrolladas para el análisis de circuitos resistivos con el fin
de determinar los fasores de corriente y de tensión. No es necesario aprender ninguna nueva
herramienta analítica; las herramientas básicas de análisis y simplificación de circuitos que se han
presentado anteriormente pueden emplearse para analizar circuitos en el dominio de la frecuencia. El
análisis de circuitos mediante fasores comprende dos tareas fundamentales: (1) es preciso ser capaz de
construir el modelo en el dominio de la frecuencia de un circuito; y (2) hay que saber manipular
algebraicamente magnitudes y/o números complejos.
SIMPLIFICACIONES SERIE, PARALELO Y DELTA-ESTRELLA
Las reglas para combinar impedancias en serie o paralelo y para realizar transformaciones delta-estrella
son iguales que para las resistencias. La única diferencia es que la combinación de impedancias significa
la manipulación algebraica de números complejos.
Combinación de impedancias en serie
Las impedancias en serie pueden combinarse en una única impedancia simplemente sumando las
impedancias individuales. El circuito mostrado en la Figura 13.8 define el problema en términos
generales. Las impedancias Z1, Z2, ..., Zn están conectadas en serie entre las terminales a y b. Cuando las
impedancias están en serie, las atraviesa el mismo fasor de corriente I. A partir de la Ecuación (13.11),
vemos que la caída de tensión en cada impedancia es Z1I, Z2I, ..., ZnI, y aplicando la ley de Kirchhoff de las
tensiones tenemos que
La impedancia equivalente entre las terminales a y b es
Figura 13.8 Impedancias en serie.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Combinación de impedancias en serie
Combinación de impedancias en paralelo
Las impedancias conectadas en paralelo pueden reducirse a una única impedancia equivalente mediante
la relación recíproca
La Figura 13.11 ilustra la conexión en paralelo de impedancias. Observe que, cuando las impedancias
están en paralelo, todas ellas tienen la misma tensión entre sus terminales. Podemos deducir la
Ecuación (13.23) directamente a partir de la Figura (13.11) simplemente combinando la ley de Kirchhoff
de las corrientes con la versión para fasores de la ley de Ohm, es decir, la Ecuación (13.11). A partir de la
Figura 13.11,
o bien
Cancelando el término común V en la Ecuación (13.24), e invirtiendo para obtener Zab , nos queda la
Ecuación (13.23).
Figura 13.11 Impedancias en paralelo.
A partir de la Ecuación (13.23), para el caso de sólo dos impedancias en paralelo,
También podemos expresar la Ecuación (13.23) en términos de la admitancia, definida como el
recíproco de la impedancia y designada mediante la letra Y. Así,
La admitancia es, por supuesto, un número complejo, cuya parte real, G, se denomina conductancia y
cuya parte imaginaria, B, se denomina susceptancia. Al igual que la admitancia, la conductancia y la
susceptancia se miden en siemens (S). Utilizando la Ecuación (13.26) en la Ecuación (13.23), obtenemos
Conviene conocer la admitancia de cada uno de los elementos de circuito pasivos ideales, por lo cual
hemos incluido un resumen en la Tabla 13.2.
Tabla 13.2 Valores de admitancia y susceptancia.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Combinación de impedancias en serie y en paralelo
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Transformaciones Delta-Estrella
La transformación delta estrella que se vio anteriormente con respecto a los circuitos resistivos también
se aplica a las impedancias. La Figura 13.14 define una serie de impedancias conectadas en delta junto
con su circuito equivalente en estrella.
Figura 13.14 Transformación delta-estrella.
Las impedancias del circuito en estrella en función de las impedancias del circuito en delta son:
La transformación delta-estrella también puede hacerse a la inversa; es decir, podemos empezar con la
estructura en estrella y sustituirla por una estructura en delta equivalente. Las impedancias del delta en
función de las impedancias de la estrella son
El proceso utilizado para deducir las Ecuaciones (13.28) - (13.30) y las Ecuaciones (13.31) - (13.33) es el
mismo que el que ya se utilizó para deducir las ecuaciones correspondientes para circuitos puramente
resistivos.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo: Utilización de una transformación delta-estrella en el dominio de la frecuencia
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