Download PA 1 2 ,PB 1 3 y PA Þ B

13.- Se tiene dos sucesos aleatorios A y B y se sabe que la probabilidad de A, de B y AWB son:
PÝAÞ = 1 , PÝBÞ = 1 y PÝA W BÞ = 2 .¿Son compatibles? ¿Son independientes?Razonar la
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3
respuesta.
A y B son incompatibles si PÝA V BÞ = 0; es decir; PÝA W BÞ = PÝAÞ + PÝBÞ.
PÝAÞ + PÝBÞ = 1 + 1 = 5 ® PÝA W BÞ öA y B son compatibles
2
3
6
A y B son independientes si PÝA V BÞ = PÝAÞ 6 PÝBÞ y tenemos que
PÝA V BÞ = PÝAÞ + PÝBÞ ? PÝA W BÞ = 1 + 1 ? 2 = 1 = 1 6 1 = PÝAÞ 6 PÝBÞ öA y B son
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3
6
2 3
2
independientes.
14.- En un dado se cumple que: PÝ2Þ = PÝ4Þ = PÝ6Þ = a, PÝ1Þ = PÝ3Þ = PÝ5Þ = b. Se lanza el
dado una vez y se considera el suceso A= el número obtenido es mayor o igual que 4 .Hallar a y
b para que PPÝAÞ = 5 .
2
PÝAÞ = PÝ4 W 5 W 6Þ = PÝ4Þ + PÝ5Þ + PÝ6Þ = a + b + a = 2a + b = 5
2
PÝEÞ = PÝ1 W 2 W 3 W 4 W 5 W 6Þ = PÝ1Þ + PÝ2Þ + PÝ3Þ + pÝ4Þ + PÝ5Þ + PÝ6Þ = 3a + 3b = 1
2a + b = 5
a=
2 ö
Entonces:
b=
3a + 3b = 1
15.-Sabiendo que PÝAÞ = 0, 3; PÝBÞ = 0, 6 y PÝAlBÞ = 0, 32.Calcular:
1. PÝA V BÞ
2. PÝA W BÞ
3. PÝAlBÞ
4. PÝA W BÞ
PÝBÞ = 1 ? PÝBÞ = 1 ? 0, 6 = 0, 4
PÝA V BÞ
PÝAlBÞ =
ö PÝA V BÞ = PÝBÞ 6 PÝAlBÞ = 0, 4 6 0, 32 = 0, 13
PÝBÞ
PÝA W BÞ = PÝAÞ + PÝBÞ ? PÝA V BÞ = 0, 3 + 0, 4 ? 0, 13 = 0, 57
PÝA V BÞ
PÝAÞ ? PÝA V BÞ
PÝAlBÞ =
=
= 0, 3 ? 0, 13 = 0, 28
1 ? 0, 4
1 ? PÝBÞ
PÝBÞ
PÝA W BÞ = 1 ? PÝA W BÞ = 1 ? 0, 28 =
16.- La probabilidad de que un hombre viva diez años más es 1 y la probabilidad que su esposa
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viva diez años más es 1 .Hallar:
3
La probabilidad de que ambos estén vivos dentro de diez años
La probabilidad de que al menos uno esté vivo dentro de diez años
La probabilidad de que niguno esté vivo dentro de diez años
La probabilidad de que solamente la esposa esté viva dentro de diez años
Sean: H = ”hombre vivo dentro de 10 años”
M = ”mujer viva dentro de 10 años”. Los sucesos H y M son incependientes, entonces:
1
aÞPÝH V MÞ = PÝHÞ 6 PÝMÞ = 1 1 = 1
4 3
12
CÞPÝH V MÞ = PÝHÞ 6 PÝMÞ = Ý1 ? 1 Þ 6 Ý1 ? 1 Þ = 1
4
3
2
bÞPÝH W MÞ = 1 ? PÝH W MÞ = 1 ? PÝH V MÞ1 ? 1 = 1
2
2
dÞPÝH V MÞ = PÝHÞ 6 PÝMÞ = Ý1 ? 1 Þ 6 1 = 1
4
3
4
17:- En un determinado pais los ascensos de barrendero a jefe de escoba son disputados.La
probabilidad de ascenso por oposición es 0,2; la de ascenso por concurso de méritos es 0,8 y la de
ascenso por enchufe1.¿Cual es la probabilidad de que un jefe de escoba ascendiese por oposición;
si el 70% son opositores, el 25% concursantes de méritos y el 5% enchufados?
Sean: O = ” individuo opositor”
M = ” individuo concursante de mérito”
F = ” individuo con enchufe”
Los sucesos O, M y F son incompatibles dos a dos y O W M W F = E
Si B = ”individuo que asciende” nos preguntan: PÝOlBÞ entonces por el teorema de Bayes:
PÝOÞ 6 PÝBlOÞ
0, 70 6 0, 2
=
PÝOlBÞ =
0, 70 6 0, 20 + 0, 25 6 0, 8 + 0, 5 6 1
PÝOÞ 6 PÝBlOÞ + PÝMÞ 6 PÝBlMÞ + PÝEÞ 6 PÝBlMÞ
18.- A un congreso internacional asisten 150 personas. Se sabe que 65 personas son mujeres, 50
son europeas y 30 personas son mujeres europeas. Se elige una persona al azar. Calcula:
La probabilidad de que sea hombre europeo
Si se sabe que es una persona europea ¿cual es la probabilidad que sea mujer?
Sean: M = ” persona es mujer”
H = ” persona es hombre”
E = ” persona europea”
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a) PÝH V EÞ = PÝHÞ 6 PÝElHÞ = 150 ? 65
= 2
150
15
150 ? 65
b) Por el teorema de Bayes:
65 30
PÝMÞ 6 PÝElMÞ
65
PÝMlEÞ =
= 65 30 150150?65
PÝMÞ 6 PÝElMÞ + PÝHÞ 6 PÝElHÞ
+ 150
150 65
20
150?65
= 3
5
19.- Los sucesos X e Y de un espacio muestral son tales que P(XVY) = 0,2; PÝXÞ = 0, 3 y
PÝYÞ = 0, 6.
¿Son X e Y independientes?
X e Y son independientes si PÝX V YÞ = PÝXÞ 6 PÝYÞ
PÝXÞ = 1 ? PÝXÞ = 1 ? 0, 3 = 0, 7
PÝYÞ = 1 ? PÝYÞ = 1 ? 0, 6 = 0, 4
Entonces: PÝXÞ 6 PÝYÞ = 0, 7 6 0, 4 = 0, 28 ® 0, 2 = PÝX V YÞ ö X e Y son dependientes.
20.- Una enfermedad puede ser producida por 2 virus A y B. En un laboratorio se tiene 3 tubos de
A y 5 de B. L a probabilidad de que A producca la enfermedad es 2 y la de B 1 . Se inocula un
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virus a un animal eligiendo al azar un tubo y contrae la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de
que fuese el virus de B?
2
Sean los sucesos: A = ” con el virus A”
B = ” con el virus B”
C = ” contraer la enfermedad”. Nos preguntan PÝBlCÞ.
PÝBÞ 6 PÝClBÞ
=
Por el teorema de Bayes: PÝBlCÞ =
PÝBÞ 6 PÝClBÞ + PÝAÞ 6 PÝClAÞ
5 1
8 7
5 1
8 7
+
3 2
8 3
= ....
21.- Dos tiradores hicieron un disparo cada uno. La probabilidad de que el primer tirador haga
blanco es de 0,8 y la del segundo 0,7. Hallar la probabilidad de que por lo menos uno de los
tiradores haya dado en el blanco.
Sean: A = ” individuo 1 o hace blanco”
B = ”individuo 2 o hace blanco”
Los sucesos A y B son independientes y nos preguntan por la probabilidad del suceso A W B.
PÝA W BÞ = PÝAÞ + PÝBÞ ? PÝA V BÞ = PÝAÞ + PÝBÞ ? PÝAÞ 6 PÝBÞ = 0, 8 + 0, 7 ? 0, 8 6 0, 7 = ....
22.- En una clase de bachillerato se han celebrado elecciones para elegir un delegado y se
presentaron 3 candidatos, Pedro, Ana y Juan que han obtenido respectivamente el 20%, el 30% y el
50% de los votos. El 25% de los votos de Pedro, el 5% de los de Ana y el 40% de los de Juan
corresponden a varones. Se elige al azar un alumno ¿cuál es la probabilidad de que haya votado por
Ana sabiendo que es varón?
Sean los sucesos: P = ” persona que vota a Pedro”
A = ”persona que vota a Ana”
J = ” persona que vota a Juan”. Los sucesos P, A y J son incompatibles dos a dos
y su unión es el espacio muestral, si V = ”voto de varón” tenemos por el teorema de Bayes:
PÝAÞ 6 PÝVlAÞ
0, 30 6 0, 05
=
PÝAlVÞ =
0, 30 6 0, 05 + 0, 20 6 0, 25 + 0, 50 6 0, 40
PÝAÞ 6 PÝVlAÞ + PÝPÞ 6 ÝVlPÞ + PÝJÞ 6 PÝVlJÞ
23.- El 5%, 8% y 32% de los habitantes de una ciudad han votado respectivamente a los candidatos
A, B y C y el resto se han abstenido. El 2% de los votantes de A hablan francés, 8% de los de B, el
12% de los de C y el 60% de los que no han votado. Se elige al azar un ciudadano:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya votado a C sabiendo que habla francés?
Sean: A = ” habitante que vota a A”
B = ” habitante que vota a B”
C = ” habitante que vota a C”
D = ” habitante que se abstiene”
Los sucesos A, B, C y D son incompatibles dos a dos y A W B W C W D = E. Si F = ” habitante que
habla francés”; tenemosS:
a) Por el teorema de la probabilidad total
PÝFÞ = PÝAÞ 6 PÝFlAÞ + PÝBÞ 6 PÝFlBÞ + PÝCÞ 6 PÝFlCÞ + PÝDÞ 6 PÝFlDÞ =
0.05 D 0, 02 + 0, 08 D 0, 08 + 0, 32 D 0, 12 + 0, 55 D 0, 60 = ...
b) Por el teorema de Bayes:
PÝCÞ 6 PÝFlCÞ
PÝClFÞ =
= ...
PÝAÞ 6 PÝFlAÞ + PÝBÞ 6 PÝFlBÞ + PÝCÞ 6 PÝFlCÞ + PÝDÞ 6 PÝFlDÞ
24.- Se propone a Juan y a Pedro la resolución de un problema. Se estima, en función de sus
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evaluaciones, que la probabilidad de que lo resuelva Juan es de 1 y la de que lo resuelva Pedro, de
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1 .¿Cuál es la probabilidad de que el problema sea resuelto? ¿Y de que no sea resuelto?
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Sean los sucesos J = ”Juan resuelve el problema” y P = ”Pedro resuelve el problema”.Los
sucesos J y P son independientes, entonces:
a) La probabilidad de que el problema sea resuelto es:
PÝJ W PÞ = PÝJÞ + PÝPÞ ? PÝJ V PÞ = PÝJÞ + PÝPÞ ? PÝJÞ 6 PÝPÞ = 1 + 1 ? 1 1 = 1
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3 4
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3
b) La probabilidad de no ser resuelto es:
PÝJ W PÞ = 1 ? PÝJ W PÞ = 1 ? 1 = 1 O PÝJ V PÞ = PÝJÞ 6 PÝPÞ = Ý1 ? 1 Þ 6 Ý1 ? 1 Þ = 1
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