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CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO
LOS NUMEROS ENTEROS
Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)
Si un número aparece entre barras /5/, significa que su valor absoluto es un número entero al cual se le ha
eliminado el signo.
Dos números enteros que tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo se les denomina opuestos; (+
3); (- 3) La suma de un número entero y su opuesto siempre es 0.
1.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Para saber si un numero es divisible por otro, basta efectuar la operación y ver si es o no exacta, pero es
mas cómodo tener criterios que nos permitan con un solo golpe de vista o por medio de un breve calculo,
saber si un numero es divisible por otro
UN NUMERO ES
DIVISIBLE POR
2
3
9
5
10
11
SI
La cifra de las unidades es par
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
Si la cifra de sus unidades es 0 o 5, si termina en 0 o en 5
Si la cifra de las unidades es 0, si termina en 0
Se suman las cifras del lugar par por un lado y las del lugar impar por otro;
si la diferencia es 0, 11, o múltiplo de 11 , es múltiplo de 11
5841 = (5 + 4) – ( 8 + 1 ) = 0 luego es múltiplo de 11
2.- OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Los números son los números positivos y los números negativos
Primero hay que realizar las operaciones que están entre paréntesis, después las multiplicaciones, luego las
divisiones, después las sumas y por último las restas. Si no se sigue este orden los resultados pueden ser
erróneos.
2.1.- SUMAR Y RESTAR
Para sumar un número positivo y otro negativo el resultado es el mismo que si restamos del número positivo
el negativo. (+ 5) + (- 4) es lo mismo que 5 – 4 = 1.
Para restar un número negativo es la operación inversa, es decir, se suma (+ 2) - (- 3) = 2 + 3.
1
A.- Suma:
- Números con igual signo: El resultado es la suma de los valores absolutos de los dos números, con el
mismo signo.
 (+5) + (+4) = (+9)
 (-3) + (-6) = (-9)
- Números con distinto signo: El resultado es la resta de sus valores absolutos y el signo correspondiente al
número con mayor valor absoluto.
(+ 4) + (- 3) = (+ 1)
(+ 5) – (- 8 ) = (- 3)
(- 5) + (+ 2) = (- 3)
(- 751) + (+ 351) = - 400
B.- Resta: Un signo delante de un paréntesis cambia el signo de lo que hay dentro de este.
Se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
(+3) – (+4) = (-1)
(+3) – (-4) = (+7)
(-3) – (-4) = (+1)
(-3) – (+4) = (-7)
2. 2.- MULTIPLICACIÓN
El signo de multiplicar se puede escribir de varias formas: con un aspa (5 x 2), con un punto (5. 2),
últimamente por utilización en informática con un asterisco (5 * 2)
Se multiplican los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo viene dado por las
tablas siguientes.
Ejemplo: (+7) x (-2) x (- 1) = (+14)
La multiplicación de un número positivo y otro negativo, el resultado siempre es negativo.
+
x
= más por menos = menos
x + = menos por más = menos
(+ 7) x (- 2) = - 14.
La multiplicación de un número negativo y otro negativo, el resultado siempre será positivo.
+
x
más por
+ = +
más = más
x
- = +
menos por menos = más
(- 14) x (- 1) = (+ 14)
2
2.3.- DIVISIÓN
Se dividen los valores absolutos y se obtiene el valor absoluto del resultado. El signo viene dado por las
tablas siguientes.
Ejemplo. (+20): (-2): (-5) = (+2)
La división de un número positivo entre otro negativo o a la inversa siempre es negativo; es decir que la
división entre números de distinto signo siempre será negativo
+
:
= más entre menos = menos
: + = menos entre más = menos
(+ 20): (- 2) = (- 10)
Si dividimos un número negativo y otro negativo, el resultado siempre será positivo.
La División entre números del mismo signo siempre será positivo.
+
:
+
= +
más entre más = más
:
= +
menos entre menos = más
(- 10): (- 5) = (+ 2).
(+5) x (+8)
(+5) x (- 8)
(-5) x (+8)
(-5) x (- 8)
=
=
=
=
(+40)
(- 40)
(- 40)
(+40)
(+ 90): (+ 5)
(+ 90): (- 5)
(- 90): (+ 5)
(- 90): (- 5)
= (+ 18)
= (+ 18)
= (- 18)
= (+ 18)
LOS NUMEROS DECIMALES
Los números decimales tienen dos partes: parte entera y parte decimal, separadas por una coma.
a) parte entera o números enteros los que quedan a la izquierda de la comal
b) parte decimal: o números decimales los que quedan a la derecha de la coma
OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES:
Suma y Resta de números decimales: Los números decimales se suman y se restan como los enteros,
manteniendo la coma en la misma posición para todos los sumandos y el resultado.
0,03
5
4,79
+ 6,136
15,406
16,80
- 9,13
7,'67
3
A.- SUMA: Se colocan las comas debajo de las comas, quedando en la misma columna las unidades del
mismo orden. Se suman igual que los números naturales.
0,87 + 0,82 = 1,69
17,45 + 151,14 + 0,176 = 168,766
B.- RESTA: Restamos colocando los números igual que en la suma
Si al minuendo o el sustraendo le falta un decimal, ese decimal es un “0”.
6,4(0) – 5,35 = 1,05
0,25 – 0,14 = 0.11
C.- MULTIPLICACIÓN:
En la suma y resta de número decimales hay que cuidar de que las comas que separan los enteros de los
decimales y las unidades de un mismo orden vengan unas debajo de otras; esto en la multiplicación no es
necesario
Se multiplican como si fueran enteros y en el resultado se coloca la coma tantos lugares hacia la izquierda,
como cifras tiene la parte decimal de ambos números.
43,6 x 2,64 = 115,104
15,25 x 5 = 76,25
Multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros:
Se desplaza la coma tantos lugares hacia la derecha como ceros tenga la unidad (si no hay suficientes cifras
se añaden ceros).
0,33 x 1000 = 330
3,8
x 4,3
114
152
16,34
0,25 x 10 = 2,5
Los números decimales se multiplican como si fueran enteros y terminada la
operación se separaran tantas cifras decimales en el resultado como tengan el
multiplicando mas el multiplicador.
El multiplicando 3'8 tiene un solo decimal y el multiplicador 4'3 tiene también 1
decimal. Por lo tanto, el numero resultante debe tener 1+1 =2 decimales.
D.- DIVISIÓN: 4 casos
1.- Dividir un número decimal entre un entero: Se dividen igual que si los dos números fueran enteros,
separando después en el cociente tantas cifras decimales como tiene el dividendo. O dicho de otra forma: al
bajar la primera cifra decimal se pondrá una coma en el cociente
10,59: 3 = 3,53
64,12: 4 = 16,03
2.- Dividir un número entero entre un decimal: Se trasforma el decimal en entero; se añade al entero tantos
ceros como cifras tenga el número decimal y así desaparecen las comas.
4
40: 3,2 = 400: 32 = 12,5
20: 0,5 = 200: 0.5 = 40
325: 0'4 = 3250 4___
05 812'5
10
20
Antes de comenzar la operación convertimos en entero el divisor, poniendo en el dividendo tantos ceros
como cifras decimales tenga el divisor y quitamos la coma de este.
Después es una división de números enteros. Por lo tanto, la división 325: 0'4 es la misma que 3250: 4. Ya
que hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: 10.
3.- Dividir un número decimal entre otro decimal: Se multiplican el dividendo y el divisor, por la unidad
seguida de tantos ceros como cifras decimales haya en el divisor

36,2 : 5,28 = 3620 : 528
Se añade al dividendo y al divisor tantos ceros como sean necesarios, para igualar el número de cifras
decimales, se elimina la coma y se opera como si fueran enteros.
14,4: 0,02 = 14,40: 0,02 = 720
5,375: 3,2 = 5,375: 3,200 = 1,679
Igualar con ceros las cifras decimales y después quitar la coma decimal, operando como si se tratara de
números enteros. El dividendo 729'3 tiene 1 decimal y el divisor tiene 4 decimales.
729'3: 0'0033 = 7293000 :33
Para que el divisor resulte un número entero desplazamos la coma del dividendo y del divisor 4 veces. Al
número 729'3 desplazamos la coma un lugar y le añadimos 3 ceros, resultando 7293000.
El divisor resulta 33.
En realidad, hemos multiplicado el dividendo y el divisor por el mismo número: 10.000.
4.- Dividir por la unidad seguida de ceros: Desplazamos la coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros
tenga la unidad (si no hay suficientes cifras se añaden ceros).
2,35 : 1000 = 0,00235
732,5 : 100 =
7,325
6'05 : 100 = 0'0605
Si dividimos un número decimal por la unidad seguida de ceros el resultado es el número decimal con la
coma trasladada hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor.
0'0605 resulta de trasladar 2 lugares la coma, ya que 100 contiene dos ceros
5
NUMEROS MIXTOS
Son la suma de un número natural y una fracción (será sobreentendido el signo de la suma razón por la que
se prescinde de él).
3
1/ 4 = 3 + 1/4
Si se quiere expresar como fracción se multiplicará el denominador por la parte entera y se le sumará el
numerador. 3 ¼ = 13/4
A la inversa, si se quiere expresar un número racional en forma de número mixto. Bastará con dividir el
numerador entre el denominador e indicarlo así:
25/7 = 25:7 = 3 (cociente) y de resto 4 = En forma de número mixto: 3 4/7
Hallar
6 1+ 3
2 4
El primer término de esta suma es un número mixto. Consiste en la suma de un número natural y una
fracción, 6 + ½
Para pasarlo a fraccionario se aplica la definición de suma, así
6 1 = 6 + 1 = 6 + 1 = ( 6 x 2 ) + 1 = 13
2
2 1 2
2
2
O multiplicamos el número entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador. El
denominador se mantiene.
6 1 = 6 x 2 + 1 = 13
2
2
2
El resto de la suma se realiza como la suma de fracciones que es
13 + 3 = (13 x 2 ) + 3
2 4
4
=
29/4
6
NUMEROS FRACCIONARIOS
Número fraccionario es el que expresa una o varias partes de la unidad dividida en cierto número de partes
iguales.
El número fraccionario tiene dos partes:


Numerador (número de partes que contiene una fracción)
y denominador (número de partes iguales en que se divide la unidad) .
OPERACIONES CON FRACCIONES:
A.- SUMA Y RESTA:

Suma o resta de racionales con igual denominador: Se suma o restan los numeradores y se deja el
mismo denominador.
1/8 + 6/8 = 7/8
7/8 – 3/8 = 4/8
Se suman los numeradores y se deja el mismo denominador:
3
+
5
4
=
3
+
5
5
4
=
5
3+4
=
5
7
5
Se restan los numeradores y se deja el mismo denominador:
4
5
-
3
5
=
4
5
-
3
=
5
4-3
=
5
1
5
Cuando hay que sumar o restar más de dos quebrados con el mismo denominador, se deja el mismo
denominador y se suman o restan todos los numeradores.
Numerador
5 + 3 - 4 + 2=
Denominador 7 7 7 7
Aquí se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador. La fracción resultante de esta operación
tendrá el mismo denominador, siendo su numerador el resultado de sumar y restar los numeradores de las
cuatro fracciones dadas.
Numerador = 5 + 3 – 4 + 2 y el denominador será el mismo que en las fracciones anteriores. 7.
El resultado de la operación será: 6/7
La Suma o restas de fracciones cuyos denominadores sean primos entre sí: Se multiplican los denominadores
para hallar un denominador común y luego, se multiplica el numerador de la primera fracción por el
7
denominador de la segunda y se suma y resta a la multiplicación del denominador de la primera fracción por
el de la segunda.
3/5 + 7/11 = (33+35) / 55 = 68/55
5/3 – 2/5 = (25 – 6) / 15 = 19/15

Suma y resta de fracciones con distinto denominador
Para sumar o restar quebrados, si tienen distinto denominador, hay que conseguir un mismo denominador.
Para ello hay que conseguir un número que sea múltiplo común todos los denominadores, a ser posible el
más pequeño. (El mínimo común múltiplo, es el número más pequeño que es la vez divisible por los números
a los que nos referimos).
3 + 4
5
2
6 + 20
10
10
El mínimo común múltiplo es el 10, por
ello lo ponemos de denominador.
Y ya tenemos la suma
de quebrados con el
mismo denominador.
6 +
10
20
10
___ + ___
10
10
=
= 6 + 20 = 26
10
10
El denominador común por medio del mínimo común múltiplo (m. c. m.), que son los factores comunes al
mayor exponente y los no comunes, y luego se suman o restan.
El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.
3/6 + 7/12 = (6+7)/ 12 = 13/12
6=3x2x1
12 = 3 x 22 x 1
1/3 – 4/6 = (2-4)/6 = -2/6
m. c. m. = 22 x 3 = 12
Ejemplo:
3
3=3x1
6=3x2x1
m. c. m. = 3 x 2 = 6
2 + 1 + 5 - 3 =
4 2 6
Las fracciones a sumar y restar tienen distinto denominador, por lo que hay que reducirlas, primero a común
denominador
1.- Hallamos el mínimo común múltiplo de los denominadores ( de 3, 4, 2 y 6). Estos números poseen
infinitos múltiplos comunes, pero hemos de hallar el menor, el más pequeño de los comunes. En esta
ocasión es 12.
2.- Hallamos fracciones equivalentes a las del problema con denominador 12. (Se halla una fracción
equivalente a la primera si se multiplican o dividen numerador y denominador por el mismo número).
8

La fracción equivalente a 2/3 que presente 12 en el denominador, será 8/12

La fracción equivalente a 1/ 4, con denominador 12 será 3/ 12

La equivalente a 5/2 será 30/2 y la equivalente a 3/6 será 6/ 12
8 + 3 + 30 – 6 = 35
12 12 12 12 12
B.- MULTIPLICACIÓN: Se multiplican numeradores por un lado y denominadores por otro.
Los quebrados se multiplican multiplicando en paralelo:
3
x
5
4
=
2
3 x
4
5
2
=
3x4
=
5x2
12
= 1,2
10
Para multiplicar cuando hay más de dos quebrados, no hay problema ya que al ser en paralelo se pueden
realizar todos de una vez.
Ejemplo: 3 x 2 x 5
4 3 2
Se multiplicar los numeradotes entre si y los denominadores entre sí.
3 x 2 x 5 = 30, y 4 x 3 x2 = 24. El resultado es 30/24 = 5/4
Se divide numerador y denominador por (6), para reducir al máximo la fracción.
C.- DIVISIÓN: Se multiplican en cruz.
3:4
5 3
La división es la operación inversa a la multiplicación. Para resolverla se multiplicará la primera fracción por
la inversa de la segunda
Es decir, 3/5 x 3 /4 y el resultado es 9/20
Los quebrados se dividen multiplicando en aspa:
3
:
5
4
2
=
3 :
4
5
2
=
3x2
=
5x4
6
20
6/7: 1/5 = 30/7
9
= 0,3
Cuando hay que dividir más de dos conviene dividir los dos primeros y luego el resultado dividirlo por el
tercero, el resultado dividirlo por el cuarto y así sucesivamente.
Fracción decimal: Fracción cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. 3/10
71/1000
Una fracción decimal se puede escribir como un número decimal.
0,7 = 7/10
874/10000 = 0,0874
1/1000 = 0,001
De ahí que cuando tengamos que realizar una operación como:
23:0,01 = 23: 1/100 = 23 x 100
POTENCIAS
Llamamos potencia de base “a” y exponente “n” al producto de “n” factores iguales a “a”.
Base
Exponente
53
= 5x5x5
- Si una potencia tiene base negativa el resultado podrá ser: 2 2 = 4;
o
o
2 3= 8
Positiva si el exponente es par: (- 2 ) 2 = 4
Negativa si el exponente es impar: (- 2 ) 3 = - 8
- Tener en cuenta que –3 2 =- (3 x 3)=- 9 no es igual a (- 3) 2 = (- 3) x (- 3) = 9
a = b;
an = bn
(a + b) . (a – b ) = a2 - b2
( a + b )2 = a2 + b2 + 2ab
OPERACIONES CON POTENCIAS
A.- SUMA Y RESTA: se deben de hallar las potencias independientemente y sumarlas o restarlas.
Se calcula cada una de ellas por separado - 22 + 5 3 - 32 = 4 + 125 - 9 = 120;
B.- POTENCIAS DE EXPONENTE CERO:
a0 = 1
20 = 1
Cualquier número, positivo o negativo, elevado a la potencia cero dará como resultado uno.
C.- MULTIPLICACIÓN CON IGUAL BASE
Es otra potencia con la misma base y el exponente igual a la suma de los exponentes.
10
a m . a n = a m+n
33x32=35
( - 2) 2 x ( - 2) 3 = ( - 2) 2+3 = ( - 2) 5
D.- COCIENTE DE PÒTENCIAS CON IGUAL BASE
Potencia con igual base y de exponente la resta de los exponentes.
am = a m - n
44:43=41
(-3) 3 : (-3) 2 = (-3) 1 = -3 ;
4 8 : 4 2: 4 = 4 5
n
a
Si las bases son distintas hay que operar con cada una de forma independiente
2 2 x 3 2: 6 2 = 16 x 9: 36 = 144: 36 = 4
E.- POTENCIA DE UN PRODUCTO: Es el producto de los factores elevados al exponente dado.
(a . b) n = an . bn
(a . b . c )n = a n . b n . c n
(7 x 3 x 2 ) 3 = 73 x 33 x 23 = 42 3
F.- POTENCIA DE UN COCIENTE:
Dividimos los números de dicho cociente y el resultado lo elevamos a la potencia dada.
Para elevar una fracción a una potencia se elevan ambos (numerador y denominador) a dicha potencia.
(a/b) n = a n / b n
( a : b )n = an : bn
(144 : 12) 2 = 12 2 = 144
G.- POTENCIA DE OTRA POTENCIA: Es una potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los
exponentes.

( am )n = a m.n

[(3) 4 ] 7 = 3 4 x 7 = 3 28
H.- POTENCIA ELEVADA A UNA FRACCIÓN: Es una raíz que tiene como radicando la base elevada al
numerador de la fracción y como índice el denominador de dicha fracción.
11
35/3 = 3 3 5
A1/2 =
2
A1
I.- POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO: Son fracciones con numerador 1 y cuyo denominador es la
misma potencia con exponente positivo.


a – n = 1/ a n
3 - 2 = 1/3 2
- Una potencia con exponente 0 siempre es igual a 1 : 30 = 1
- Una potencia cuya base es 1 siempre será 1 : 13 = 1
- Una potencia cuyo exponente es 1 será igual a la base: 91 = 9
- Una potencia cuya base es 0 siempre es igual a 0. 09 = 0
NUMEROS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6.
CUADRADOS
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
CUBOS
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
4096
4913
5832
6859
8000
- RAICES
RAÍCES
Raíz “n” de un número “a” será otro número “b” que elevado a “n” es igual a “a”.
Índice
Raíz
n
a=
b
bn = a
12
Radicando
La raiz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado
SIGNO DE UNA RAÍZ
1.- Radicando positivo
Índice par
dos soluciones
Índice impar
raíz positiva
Índice par: no tiene solución
2.- Radicando negativo
Índice impar
raíz negativa
A.- RAÍZ DE UNA RAÍZ: Se multiplican los índices y el radical
será en mismo.
B.- POTENCIA DE RAÍCES: Se eleva el radicando a dicha
potencia
C.- MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA RAÍZ: Es otra
raíz con el mismo índice y el radicando será el producto del
radicando y el número que multiplica elevado al índice
D.- PRODUCTO DE RAÍCES: Si tienen igual índice se
mantiene el índice y se multiplican los radicandos
E.- DIVISIÓN DE RAÍCES: Con igual índice se mantiene el índice
y se dividen los radicandos
F.- SIMPLIFICAR UNA RAÍZ: Poner la raíz en
forma potencial
G.- RAÍZ DE NÚMEROS DECIMALES: La raíz de un número decimal,
se extrae como si el número fuera entero y en el número que se
obtiene, se separan tantas cifras hacia la derecha, como indique el
cociente entre la cantidad de cifras decimales que tenía el número
dado y el índice de la raíz
La Raíz de cualquier índice del número 1 es igual al mismo número 1.
13
5x5
(-5) x (-5)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ax + by = c ; Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solo para determinados valores de las
incógnitas, o letras cuyos valores queremos obtener



Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se llaman ecuaciones lineales
Una solución de una ecuación lineal es un par de valores que hace cierta la igualdad
Una ecuación lineal tiene infinitas soluciones
Hay 3 métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
1.- MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el valor obtenido en la otra; Se
obtiene así una ecuación con una incógnita.
3x – 2y = 10
x + 3y = 7
3x – 2y = 10
x = 7 - 3y
3 ( 7 – 3y ) – 2y = 10
21 – 9y –2y = 10 ;
y=1 ;x= 4
2.- METODO DE IGUALACIÓN
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas
3x – 5y = 1 ; x = 1 + 5y
3
1 + 5y = 15 – 2y
3
; y = 4; x = 7
x + 2y = 15 ; x = 15 – 2y
3.- METODO DE REDUCCION
Se Aplica cuando una incógnita tiene el mismo coeficiente en ambas ecuaciones, o bien sus coeficientes son
uno múltiplo del otro
Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga), para que una de las dos
incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas; Así al restarlas desaparece esa incógnita
3x + 5y = 76
4x – 2y = 6
Restando
; (x4) ; 12 x + 20y = 304
; (x3) ; 12 x - 6y = 18
26 y = 286;
Y = 11;
x=7
Una ecuación es una operación en la que hay una parte o dato que desconocemos, que viene expresado por
una letra o incógnita.
El planteamiento de la ecuación siempre es a modo de igualdad: 6x - 7 = 2x + 5
14
1º.- Poner todos los números que acompañan a la incógnita al mismo lado de la igualdad y el resto al otro
(Un número para cambiar de lado en la igualdad, pasa con el mismo valor absoluto pero cambiándole el
signo)


Si esta sumando en un lado pasa restando al otro
Si esta multiplicando en un lado de la igualdad pasa dividiendo y al revés 6x - 2x = +7 +5
2º.- Una vez agrupados se realizan las operaciones.
4x = 12
3º.- Despejar la incógnita, pasar 4 que está multiplicando al otro lado, y pasarlo dividiendo
x = 12 por tanto x = 3
4
Si repartimos 120 Euros entre dos amigos de forma que uno de ellos recibe triple cantidad que la otra, mas
8 Euros. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?
La suma de las dos cantidades tiene que ser el valor a
Cantidad de uno -> x repartir.
1.-28Euros
el otro -> 3x + 8
x + 3x + 8 = 120; x + 3x = 112
2.-92Euros
4x = 112; x = 112/ 4 = 28
SISTEMAS DE ECUACIONES. Es un conjunto de ecuaciones en el que hay más de una incógnita, es decir, más
de un valor desconocido.


3x + 5y = 2
x - 3y = 10
1º.- Despejar en una ecuación una incógnita y sustituir esa incógnita en la otra ecuación
x = 10 + 3y
3x + 5y = 2 ------------ 3(10 + 3y) + 5y = 2
30 + 9y +5y = 2
9y + 5y
= 2 - 30
14y = - 28
y = - 28/ 14
y = -2
Una vez obtenido uno de los valores volvemos al valor de x y sustituimos la y por su valor numérico
obteniendo así el valor de x.
X = 10 + 3. (-2)
x = 10 - 6 -> x = 4
Ejemplo: Los 320 empleados de una fabrica trabajan en tres secciones; En la sección 1 hay tantos
trabajadores como en la suma de los otras dos y la 3ª tiene 40 trabajadores menos que la 2ª ¿Cuántos
trabajadores hay en cada sección?.
x = 1ª sección;
y = 2ª sección
z = 3ª sección
La 1ª tiene tantos como las otras dos juntas: x = y + z
La 3ª tiene 40 menos que la 2ª: z = y - 40
15
Si todos son 320: x + y + z = 320
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas.
x + y + z = 320
x=y+z
z = y – 40
En la 3ª ecuación tengo el valor de z, por lo que sustituyo ese valor en la 2ª ecuación y en la primera,
quedando así:
x = y + y - 40;
x = 2 y – 40
x + y + y – 40 = 320
x + 2 y = 360
Ahora hay dos ecuaciones con dos incógnitas como en el ejemplo anterior.
x + 2y = 360
x = 2y - 40
Sustituyo de nuevo el valor de x = 2y - 40 en la 1ª ecuación
2y – 40 + 2y = 360
2y + 2y = 360 + 40
4y = 400 ----- y = 100
Si y = 50. Entonces x = 2 . 100 - 40 -> x = 160
Si x + y + z = 160, entonces 80 + 50 + z = 160; z = 60
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Ax 2 + Bx + c = 0
LA REGLA DE TRES
La regla de tres simple resuelve los problemas en los cuales se dan dos cantidades de magnitudes distintas y
que guardan entre sí una proporción directa o indirecta.
REGLA DE TRES DIRECTA
1) Compro 5 compactos por 24 euros ,Cuanto cuestan 12 mas?.
La relación entre el nº de compactos y el precio total guarda una relación directa, es decir, es directamente
proporcional, ya que a mayor número de compactos , mayor será el precio a pagar.
Planteamiento del problema:
x = 12 x 24 = 57,6 Euros
5
5 compactos -------- 24 Euros
12 compactos ------- ¿x?
Deberá pagar 57,6 Euros.
16
2) Un albañil 750 Euros al mes por su trabajo. ¿Cuánto recibe si solo ha trabajado 12 días?
La relación entre lo que cobra y los días que trabaja es directamente proporcional ya que si trabaja menos
días cobra menos dinero.
30 días -> 750 Euros.
12 días -> x
X = 750 x 12 = 300 Euros.
30
Percibirá 300 Euros
REGLA DE TRES INVERSA
Para realizar un trabajo 2 especialistas tardan 12 días. ¿Cuánto tardarán 8 especialistas?
La relación entre el número de especialistas y el tiempo empleado es inversamente proporcional porque a
menos especialistas más tiempo tenemos que emplear en hacer el trabajo
2 especialistas --------- 12 días
8 especialistas --------- x
x = 2 x 12 = 3
8
Tardarán 3 días
PORCENTAJES
El tanto por ciento


Se representa con el símbolo %
Se calcula aplicando el concepto de regla de tres directa del apartado anterior.
1.- UN PORCENTAJE ES UNA FRACCIÓN DEL TOTAL
Un porcentaje supone una proporción
Para calcular el % de una cantidad: El a % de una cantidad C


Se pone el % en forma de fracción: a/ 100
Se calcula esa fracción de la cantidad a % de C = a / 100 x C
Ejemplo: 30 % de 250; 30/100 de 250; 250 x 30: 100 = 75
Compro una moto por 7.350 Euros y me hacen un descuento del 24% ¿Cuánto he de pagar?
100 - > 7.350
24 - x
x = 7.350 x 24 = 1764
100
Total del precio = 7.350
7350 – 1764 = 5600; Lo que tengo
que abonar
17
2.- CALCULO DEL TOTAL, CONOCIDA LA PARTE


De un total desconocido sabemos la parte asociada a determinado porcentaje ¿Cuál es el total?
Nos dan el % de una cantidad, calcular dicha cantidad
Hoy han faltado a clase 6 alumnos, lo que supone un 20% del total de alumnos, ¿Cuántos alumnos
componen el total de la clase?
Total
100
x
ausentes
20
6
100 = 20 ; 600/20 = x ; x = 30
x
6
33 hombres de un pueblo, están solteros y son el 6 % de los hombres del pueblo. ¿Cuántos hombres hay en
total?
6 -> 33 hombres
100 ->
x
x = 100 x 33 = 550
6
Hay 550 hombres en el
pueblo
3.- CALCULO DEL PORCENTAJE CONOCIDOS EL TOTAL Y LA PARTE


De un total conocido, se ha tomado una parte determinada ¿ que porcentaje se ha tomado
Dada una cantidad que es un % de otra dada, calcular dicho %
En las ultimas elecciones, de un censo de 2.500 personas, el alcalde actual recibió 1.500 votos ¿Que
porcentaje de votantes apoyo al alcalde?
VOTANTES
2.500
100
VOTO FAVORABLES
1.500
X
2500/100 = 1500/X
X = 1500. 100 / 2.500 = 60
Una clase tiene una matrícula de 250 alumnos. Si faltan a clase 40, ¿Qué tanto por ciento faltó a clase?
250 alumnos - > 100
40 alumnos -> x
x = 100 x 4 = 16
25
18
Faltó el 16 % de los alumnos
PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD
Una proporción es la igualdad de dos razones
El producto de los medios es igual al producto de los
extremos
A x D = B x C
1.- CALCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO DE UNA PROPORCION
Un problema de proporcionalidad consiste en calcular uno de los términos de una proporción, conociendo
los otros tres
Ej.: 3 / 4 = 9 / X 3x = 4x9
x = 12
2.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
¿Que son magnitudes directamente proporcionales?
Dos magnitudes son directamente proporcionales si:


Al aumentar una (doble, triple,...) la otra también aumenta (doble, triple,....)
Al disminuir una (mitad, tercio,...) la otra también disminuye (mitad, tercio,....)
LITROS DE ACEITE
COSTE EN EUROS
1
3,2
3
9,6
5
16
6
19,2
8
X
Si se multiplica un valore de las magnitudes por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud
queda multiplicado por ese número
Regla de tres directa
Litros de aceite
5
8
La proporción
Coste
16
x
5 = 16 ; x = 8. 16/ 5 = 25,6
8
x
Resolución de problemas: Método de reducción a la unidad
Ej.: Un mecánico cobra 60 Euros por un trabajo de 4 horas ¿Cuanto cobrará por un trabajo de 7 horas?
 4 horas = 60 Euros
 1 hora = 60 euros /4 = 15 euros
 7 horas = 15 euros x 7 = 105 euros
19
3.- CUANDO LAS MAGNITUDES SON INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:


Al aumentar una (doble, triple,... ) la otra disminuye ( mitad, tercio, .... )
Al disminuir una (mitad, tercio, ...) la otra aumenta ( doble, triple, ...)
Caudal de un grifo (l/min.)
Tiempo de llenado (min.)
1
24
2
12
3
8
6
4
8
x
En las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplica (divide) uno de los valores de una magnitud
por un numero, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido (multiplicado) por el mismo
número
Regla de tres inversa
Caudal
6
4
Tiempo
8
x
La proporción
6 / 4 = x / 8;
x = 6. 8/ 4 = 12
Nota: se invierte una de las razones de la proporción
Ej.: los trenes actuales y los de alta velocidad; a doble velocidad se tardara la mitad de tiempo y a mitad de
velocidad se tardara el doble de tiempo
La Velocidad del tren y el tiempo del trayecto son magnitudes inversamente proporcionales
Ej.: 4 personas realizan un trabajo en 9 días , ¿Qué días tardaran en hacer ese trabajo 3 personas?
Método de reducción a la unidad



4 personas = 9 días
1 persona = 9 x 4 = 36 días
3 personas = 36 días : 3 = 12 días
4.- PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Se trata de problemas en los que intervienen más de dos magnitudes ligadas por relaciones de
proporcionalidad
Ej.: Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias, durante 5 días, ha lavado 1.000 Kg. de ropa ¿Cuantos
kilos de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias:
Horas
8
10
días
kilos
5
1.000
12
x



20
8 h. 5 días = 1.000 Kg.
8 h. 1 día = 200 Kg.
1 h. 1 día =
25 Kg.


10 h x 12 días = 120 x 25 = 3.000 Kg.
8 . 5 = 1000 ; 40
10 12
x
120
= 1.000
x
x = 120 . 1000 = 3.000.
40
Ahora veamos un ejemplo en el que interviene alguna relación de proporcionalidad inversa
Ejemplo: Un taller trabajando 8 horas diarias, durante 5 días, fabrica 1.000 equipos. Ahora tiene que servir
un pedido de 3.000 equipos, trabajando 10 horas diarias ¿Cuantos días tardará en fabricar el pedido?
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Horas
8
10
Equipos
1.000
3.000
Al ser proporcionalidad inversa en vez de
8/10, tomamos 10/ 8
Días
5
x
10
8
1.000
3.000
= . 5 .
x
10.000 / 24.000 = 5 / x
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
x = 12 días
AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES
1.- AUMENTOS PORCENTUALES
Las reservas de agua de una región, hace un mes eran de 260 hm3· y han aumentado un
15 %, Cuales son las reservas actuales?
Solución 1: Reservas actuales = 260 + 15 % de 260 =
=260 + 15 x 260 = 260 + 39 = 299
100
Solución 2: Cada 100 hm3 que habría hace un mes hay 115
hace un mes Hoy
100
115
260
x
100/260 = 115 / x ;
X = 299
Aumentar una cantidad en un a % equivale a calcular el (100 + a) % de dicha cantidad.
Las reservas de agua de una ciudad aumentan el último mes un 15 %. Si actualmente se cifran en 299 hm3
¿Cuales eran las reservas hace un mes?
115% de x = 299 115/100 de x = 299; x = 299: 1.15 = 260 hm 3
21
2.- DISMINUCIONES PORCENTUALES
En una tienda se rebaja todo un 15% ¿Cual es el precio de un abrigo que antes costase 380 Euros?
a) Precio rebajado = precio anterior – rebaja 380 - 15% de 380 =
= 380 – 380. 15/ 100 = 323
b) Cada 100 del precio antiguo queda en 85
Sin rebaja
100
380
Rebajado
85
x
100 / 380 = 85 / x
x = 380. 85 / 100 = 323
Hemos calculado el 85% de 380; 85% de 380 ---------- 0,85 x 380 = 323
He pagado 323 Euros, por unos guantes que estaban rebajados en un 15 % ¿Cuál era el precio antes de ser
rebajados?
85 % de x = 323 ; 0,85. x = 323 ; x = 323: 0,85 = 380
REPARTOS PROPORCIONALES
En estos problemas se divide un total en varias partes que han de ser proporcionales a ciertos números
dados
1.- Rafael Ana y Luis, reciben 250 Euros por repartir propaganda. Rafael ha repartido dos paquetes, Ana tres
y Luis cinco ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno?
250 Euros / 10 paquetes = 25 euros paquete; Rafael = 50; Ana = 75 y Luis = 125
La cantidad que corresponde a cada uno es directamente proporcional a los paquetes repartidos
50/2 = 75/3 = 125/5 = 250/10
2.- Tres hermanos se reparten dinero en partes proporcionales a sus edades; Juan con 23 años le han
correspondido 184 Euros, ¿Cuanto le corresponde a Luis de 15 y Ana de 12 años?
Cantidad por año 184/23 = L / 15 = A/ 12; 8 = L/15 = A/12; L = 120; A = 96
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ELEMENTALES
Doble de un numero 2 a
Un numero, mas su doble, mas su mitad m + 2m + m/2
El triple de un número mas cinco 3 x + 5
El triple del resultado de sumar cinco a un número 3 (x + 5)
El numero siguiente al número b b + 1
El anterior a un numero b - 1
22
Un número par 2n
Un numero impar 2n + 1 o bien 2n -1
Operaciones con monomios
2a . 3b= 6ab
(2 b). (-5 b) = -10 b 2
(2x). (4 x y) = 2. x . 4. x. Y = 2. 4. x. x. y = 8 x2 y
UNIDADES DE LONGITUD
km
hm
dam
1.000 m
100 m
10 m
m
dm
cm
mm
0, 1 m
0.01 m
0.001 m
UNIDADES DE SUPERFICIE
km2
hm 2
dam 2
1.000.000 m2
10.000 m2
100 m2
m2
dm 2
cm 2
mm 2
0.01 m 2
0.0001 m 2
0,000001 m 2
Las unidades de superficie aumentan de 100 en 100
Área = 1 a = 1 dam 2 = 100 m 2
Hectárea = 1 ha = 100 a = 1 hm 2 = 10.000 m 2
UNIDADES DE VOLUMEN
km 3
hm 3
dam3
m3
dm3
LITRO
x 10 3
x 1000
Cada unidad de volumen es:
o
o
1.000 veces la unidad de orden inferior
La milésima parte (0.001) de la unidad superior
1 dm 3 = 1 litro
23
cm3
mm3