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Olimpiada Estatal de Matemáticas 2014
Quinta Etapa
Sesión de entrenamiento de verano
TEORÍA DE NÚMEROS
1. ¿Cuánto es 20142 − 20132 + 20122 − 20112 + ⋯ + 22 − 12 ?
2. Empiezas con el número 1. Una “operación” consiste en multiplicar el número 1 por
3 y sumarle 5, luego, multiplicar el resultado anterior por 3 y sumarle 5, y así
sucesivamente. ¿Cuál es el dígito de las unidades después de aplicar la operación
2014 veces?
3. Demostrar que no existen enteros positivos de dos dígitos menores que el producto
de sus dígitos
4. ¿Cuántos números de cuatro cifras N =abcd cumple las siguientes tres condiciones?
 3000 ≤ N ≤ 5000
 N es múltiplo de 5
 3 ≤b<c≤6
5. Mi clave secreta es un número de tres dígitos. Si lo divido entre 9 tengo como
resultado un número cuya suma de dígitos disminuye en 9 con respecto a la suma
de los dígitos de mi clave. ¿Cuántos números pueden ser mi clave secreta?
6. Pruebe que n(n + 1)(n + 2) es múltiplo de 6 para cualquier entero n.
7. Demostrar que el número
1…1 − ⏟
⏟
2…2
2𝑟 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
𝑟 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
es un cuadrado perfecto para todo r
8. Halle el menor número natural n tal que 10n es un cuadrado perfecto y 6n es un
cubo perfecto.
9. Cinco números enteros se escriben alrededor de un círculo de manera que la suma
de dos o de tres números adyacentes no sea nunca múltiplo de 3. ¿Cuántos de los
cinco números son múltiplos de 3?
10. ¿Cuál es la mayor potencia de 11 que divide a 2014! sin dejar residuo?
Nota: 2014! = 2014 ∙ 2013 ∙ 2012 ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
11. Halle el menor entero mayor que 1 tal que al dividirlo entre 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 deja
residuo 1.
12. Dé un contraejemplo de la afirmación: si a divide a bc y a no divide a c, entonces a
divide a b.
13. ¿Cuáles son las últimas 3 cifras del número 52014?
14. Escribimos el número 2014 como la suma de diferentes potencias de 2. ¿Cuántos
términos se usarían en esta suma de 2014? (por ejemplo, al representar el 7 de
esta manera, obtenemos 7 = 20 + 21 + 22 , y entonces tendríamos 3 términos)
15. Un entero es tartamudo si todas sus cifras son iguales a 1. ¿Cuántos enteros
positivos menores que 10,000,000 cumplen que al multiplicarlos por 33 se obtiene
un entero tartamudo?
16. Sean p y q números primos distintos. ¿Cuántos divisores tiene el número 𝑝2 𝑞2 ?
17. Si 1 ∙ 2 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 = 215 ∙ 36 ∙ 53 ∙ 72 ∙ 11 ∙ 13, ¿cuál es el valor de n?
18. Luis, Daniel y Cesar compraron bolsas de galletas. Luis compró bolsas con 50
galletas, Daniel con 45 y Cesar con 36. Si al final los tres compraron la misma
cantidad de galletas, ¿cuál es el mínimo número de bolsas que compraron entre los
3?
19. ¿Cuántas parejas (a, b) hacen que el número 23a219b2 múltiplo de 72?
20. Demostrar que no existe un número n tal que n! termina en 30 ceros pero no en 31
21. La OMM es un evento que se realiza cada año. Este año se lleva a cabo la edición
número 28. Un año se dice superolímpico si la edición del concurso divide al año
en que se realiza (por ejemplo, 2014 no es un año superolímpico pues 28 no divide
a 2014). ¿Cuántos años superolímpicos existen?