Download UNI DAD 2

U NI DAD 2
TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Objetivos
Geometría analítica
Introducción
funciones trigonométricas
Variables:
x, y
dependientes
x
x
Constante:
numérica
z.
independientes
absoluta
arbitraria
a, b, c,
Funciones: función de una variable
2.1. Funciones circulares
49
funciones circulares





 


x
y
F(u
x y
n
n
n
n
Ejemplo 1
F(u
Solución
50
x y
Geometría analítica
F(u
F(u
F(u
F(u
F(u
=F
= F(
= F(
= F(
= F(2
F(u
F(u
F(u
F(u
F(u
=F
=F
=F
=F
=F
x y
F(u
x y
u
2.1.1. Círculo unitario
Cuando se habla de círculo unitario se considera que éste tiene un radio cuya
magnitud es la unidad.

   


51
El triángulo rectángulo ABC tiene por hipotenusa al segmento AB = c;
asimismo, como lados adyacente y opuesto del ángulo A a los segmentos AC = b
y BC = a respectivamente, además se observa que A, B y C también representan
las medidas de los ángulos del triángulo, donde el ángulo A = u es agudo.
Geométricamente se sabe que los lados y ángulos de este triángulo son
mutuamente dependientes, pero la trigonometría muestra la naturaleza de
dicha dependencia y con base en las razones de los lados define las funciones
trigonométricas. Las seis funciones trigonométricas del ángulo A, de acuerdo con
el triángulo rectángulo, se definen como:
(1)
(4)
(2)
(5)
(3)
(6)
Pero como c = 1, entonces se tiene que sen A = a y cos A = b, luego
entonces F(u) = (b, a) = (cos A, sen A), por lo que el diámetro vertical del círculo
unitario es considerado el eje de los senos, así como el diámetro horizontal el eje
de los cosenos.
Puesto que las funciones trigonométricas se pueden representar por segmentos
rectilíneos relacionados con el círculo trigonométrico o unitario, se denominan
también funciones circulares.
2.1.2. Funciones circulares directas
funciones trigonométricas de cualquier ángulo
XOB
OB
52
P
x, y
Geometría analítica
OQ = x QP = y OP = r
x
y
OP
2
radio.
2
XOB
53
circulares directas
Ejemplo 2
XOB
Solución
ángulo agudo
y
c
b
a
x
independiente de la posición
OB
OB
OX
OX
54
P
Geometría analítica
2.1.3. Signos de las funciones circulares en los diferentes cuadrantes
Signos de las funciones trigonométricas
Tomando en cuenta la regla dada en la unidad anterior, para los signos de las
abscisasy ordenadas de cualquier punto en el plano cartesiano y recordando que la
distancia OP = r es siempre positiva, y con base en las funciones trigonométricas
de la sección 2.1.2, tenemos que:
En el segundo cuadrante las funciones sen y csc son positivas, mientras que
las restantes son negativas.
En el tercer cuadrante la tan y la cot son positivas y las restantes son
negativas.
En el cuarto cuadrante el cos y la csc son positivas, pero las restantes son
negativas.
55
Ejemplo 3
Solución
F
F
F
F
F
A
A
Ángulo
56
A
A
A
sen
cos
tan
0° y 360°
0
1
0
90°
1
0
180°
0
–1
270°
–1
0
cot
sec
csc
1
0
0
1
–1
0
–1
Geometría analítica
2.1.4. Dominio e imagen de las funciones trigonométricas
T
F(t
F(t+T
T
Una función esun conjunto de paresordenadosde elementos, en losque ningún
par tiene el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los
pares ordenados se llama dominio de la función, y el de los segundos elementos
se llama imagen de la función.
En el ejemplo 1 sección 2.1 se dio la regla de correspondencia de las funciones
circulares, en donde se expresa que a cada número real le corresponde un punto de
la forma (x, y), es decir, que la recta numérica enrollada sobre la circunferencia es
una función. Para mostrarlo en forma sintética se utiliza la notación F(u) = (x, y),
donde u es un número real.
El dominio de las funciones trigonométricas son los números reales, y su
imagen son los pares ordenados (x, y) asociados a cada número real u.
Ejemplo 4
F (u
F
u F2(u
F
u
F
Solución
F
F2
u
F
F
F
F
57
2.1.5. Valores exactos de las funciones circulares en ángulos especiales
Funciones del ángulo de 45
Se puede trazar un triángulo cualquiera que satisfaga la condición de ser
rectángulo e isósceles, asignándole a los catetos la longitud que se desee, aunque
en el ejemplo se considerará que la longitud de los catetos sea la unidad, es decir,
a = b = 1. Entonces observamos lo siguiente:
c
a
b
Utilizando el teorema de Pitágorastenemosque
ademáslos
ángulos A y B son de 45°. Al aplicar las funciones circulares directas obtenemos:
58
Geometría analítica
Funciones de los ángulos de 30 y 60
Dibujamos un triángulo equilátero ABD. Se traza la perpendicular BC de B
a AD y se considera el triángulo ABC, en el que el ángulo A = 60 y el ángulo
ABC = 30 Si se toma el lado más pequeño como unidad, es decir, si b = 1, se
tendrá que c = AB = AD = 2; AC = 1; b = 1, como se observa en la figura 2.5:
a
b=
Por lo tanto:
Análogamente, del mismo triángulo:
,
,
,
,
,
.
Si escribimos estos resultados en forma de tabla tenemos:
59
Ángulo
sen
cos
30°
45°
2
2
60°
2
2
tan
cot
3
3
3
1
1
3
3
3
sec
csc
2
2
2
2
2.1.6. Gráfica de las funciones circulares
gráfica de la función
La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, y) en el plano
cartesiano, en donde x está en el dominio de la función F y y = F(x).
En este caso la gráfica de las funciones trigonométricas se da como parejas
ordenadas de la forma (u, F(u)), donde u es un número real, y F(u) es una
pareja ordenada (x, y).
Ejemplo 5
Solución
60
Geometría analítica
Ejemplo 6
Solución
61
Ejercicio 1
C = 900
ABC
A
a
a
b
2.2. Solución de ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas, lo mismo que las algebraicas, pueden ser de
cualquier grado y simultáneas, asimismo, la raíz de una ecuación trigonométrica
es el valor del ángulo que la satisface.
62
Geometría analítica
Una vez resuelta la ecuación algebraicamente, queda por resolver la parte
trigonométrica; es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un
ángulo se determina cuál es ese ángulo.
Las funciones trigonométricas de ángulos que difieren en un número exacto
de vueltas son iguales, por lo que será necesario sumar o restar a las soluciones
obtenidas, un múltiplo cualquiera de 360°.
En algunos casos es necesario utilizar identidades trigonométricas para la
solución de las ecuaciones, por lo que éstas se presentan en el apéndice “A”.
Ejemplo 7
x
x
Solución
x
x
x=
x
x
x=
x
x=
x
x
x
°.
Ejemplo 8
x
x
Solución
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
63
2.3. Ley de senos y ley de cosenos
Ley de los senos
Teorema. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos.
Demostración
a
a
b
b
c
c
CD (h
A
BCD
64
AB
CAD
AB
ACD
Geometría analítica
A
B
Ejemplo 9
ABC
C
B
b
b
c
a
Solución
c
c
c
65
A
A
A
a
a
a
Ley de los cosenos
Teorema En un triángulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto de estos dos lados por
el coseno del ángulo que forman.
a
b
c
a2 = b2 + c2
bc
A
Demostración
C
C
a
b
a
b
c
c
2
2
66
2
2
2
2
2
Geometría analítica
DB = c
2
2
2
2
2
2
2
2
AD
CAD
a2
AD
CAD
AD = b
A=
cos A =
DAC
– DAC
DAC
A
a2
AD
A = 90
A
a2 = b2 + c2
A
67
Ejemplo 10
B=
ABC
a= ,c=
b
Solución
b
b
b
b
68
Geometría analítica
2.3.1. Solución de triángulos
Cuando la solución de un problema determinado depende de la resolución
de un triángulo, se debe considerar que un triángulo está compuesto de seis
elementos, tres lados y tres ángulos.
Resolver un triángulo es encontrar los elementos que se desconocen, y puede
resolverse si se conocen tres de sus elementos (por lo menos uno de ellos debe ser
un lado). Se supone que las condiciones dadas deben ser compatibles, es decir,
que es posible la construcción del triángulo con los elementos dados.
Ejemplo 11
C = 90 A
Solución
b
a
a
a
a
c
c
B
B
B
A+ B+ C
C A
69
Observación
Ejemplo 12
ABC
a=
b
c
Solución
A
A
A
A
C
C
C
C
B
A+ B+ C
B
A+ C
B
B
B
70
Geometría analítica
B
B
B
2.3.2. Problemas de aplicación
Ejemplo 13
C
c
a
?
c=
a
?
b=?
Solución
A
A
A
A
b
b
b
B
B
B
B
71
Ejemplo 14
A B
C
AC
A B
ACB
?
Solución
AB
72
BC
Geometría analítica
Ejercicio 2
1.
ACB
2.
3.
4.
5.
.
Ejercicios resueltos
1.
?
Solución
x
2.
Solución:
73
‘
BC’ = CA
m
m
=
3.
x
x
x
x
2
0
74
x
Geometría analítica
Solución
2
x
x
x = –2
x
x
x
x
x
x
x
4.
2x,
x
x
x
2x
x.
x
x
Solución
x
x.
x
x
x
x
75
x
x
x
x
x
x
5.
Solución
76
x
x
Geometría analítica
6.
Solución:
7.
a
a
a
Solución
77
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
78
a
a
a
a
a
a
Solución
a
a
a
a
8.
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
a
2
a
Geometría analítica
C
40
b
A
c=
‘
B
B
C
b
B
B
C
B
B
A
a
A
A
a
a
79
a=
a + b +c
9.
x
x
x
x
Solución
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
80
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Geometría analítica
x
10.
Solución
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
11.
x
x
x
0
Solución
x
x
x
x
x
x
x
81
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x=
x
x
82
Geometría analítica
Autoevaluación
1.
2.
3.
h
h
h
h
a
a
a
a
4.
2
2
2
2
83
5.
6.
BC
AB
BAC
7.
8.
9.
84
0
AC
A
BAC AB
AC
Geometría analítica
10.
Ejercicios opcionales
1
?
?
L
2.
C
ABP (AB
P
C
3.
4.
5.
85
Geometría analítica
Respuestas a los ejercicios
1
c
b
B
A
B
c
2
2
a
AC
BD
b
87
Respuestas a la autoevaluación
Respuestas a los ejercicios opcionales
L
N
88
P