Download Líneas , ángulos y circulos

LECCIÓN 15
Lección 15: Líneas ,
ángulos y circulos
En esta lección revisaremos algunos conceptos que usted muy
probablemente conoce bien.
Líneas y ángulos
Una línea puede ser curva, como la de la izquierda, o recta,
como la de la derecha. En el segundo caso decimos que
tenemos una línea recta, o, simplemente, una recta.
Las líneas se extienden por ambos lados indefinidamente.
A veces se recuerda esto con flechas en ambos extremos,
como se muestra enseguida con la recta m:
m
Un segmento es una porción de línea recta que está limitada
por dos puntos que son sus extremos. Por ejemplo, los
extremos del siguiente segmento son los puntos A y B:
A
B
157
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Como las líneas se extienden indefinidamente, no se
pueden medir. Los segmentos sí se pueden medir. Cuando
dos segmentos tienen la misma medida se dice que son
congruentes. Por ejemplo, los segmentos CD y EF son
congruentes:
C
F
E
D
También puede haber porciones de línea recta que sólo
estén limitadas en un extremo. En este caso se habla de
semi- rectas. Por ejemplo, la siguiente semi-recta está
limitada por el punto P y se extiende indefinidamente hacia
el otro lado:
P
Dos rectas que están en el mismo plano y nunca se cruzan son
paralelas, como las siguientes:
158
LECCIÓN 15
Dos rectas que no son paralelas se cruzan en un punto
(también se dice que se cortan en ese punto), y entonces
forman cuatro ángulos. Si O es el punto en el que se cortan
las rectas, A y B son dos puntos en una de las rectas y C y D
son dos puntos en la otra, los ángulos se pueden denotar así:
AOC, COB, BOD y DOA.
O
A
C
D
B
Se puede entonces considerar a un ángulo como dos
semi-rectas que parten del mismo punto; a ese punto se le
denomina vértice del ángulo. Los ángulos son más grandes
o más pequeños, dependiendo de la apertura que guardan
entre sí las dos semi-rectas. Por ejemplo, en el dibujo de
arriba los ángulos AOD y BOC (marcados con dos pequeños
arcos) son más grandes que los ángulos COA y DOB (marcados
con un solo arco).
Cuando los cuatro ángulos que se forman entre dos rectas
son iguales, se dice que las dos rectas son perpendiculares,
como en el siguiente ejemplo:
159
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Al ángulo que forman entre sí dos semi-rectas perpendiculares
se le llama ángulo recto; se suele denotar con un cuadrito
junto al vértice:
Consideremos ahora una recta y un punto P en ella. El punto
P se puede considerar como el vértice de un ángulo entre
dos semi-rectas, y al ángulo que se forma se le llama ángulo
llano:
P
Un ángulo que es menor que un ángulo recto se denomina
ángulo agudo, como el que tiene vértice en el punto A de
la siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo
recto pero menor que un ángulo llano se denomina ángulo
obtuso, como el que tiene vértice en el punto B de la
siguiente figura. Un ángulo que es mayor que un ángulo
llano se denomina ángulo entrante, como el que tiene
vértice en el punto C de la siguiente figura.
C
A
160
B
LECCIÓN 15
Indique cómo son los siguientes ángulos:
a)
c)
b)
d)
e)
f)
Medición de ángulos
Las categorías de ángulos agudos, rectos, obtusos y entrantes
permiten describir qué tan pequeños o grandes son los ángulos.
Sin embargo, con mucha frecuencia es necesario hacer
mediciones más finas. Para hacer esto, se acostumbra dividir
el círculo en 360 ángulos iguales, que se denominan grados.
Así, un ángulo recto tiene 90 grados, lo que se acostumbra
escribir así: 90º. Análogamente, un ángulo llano mide 180º.
Para medir ángulos se utiliza un transportador, que es un
instrumento en forma de semicírculo con la graduación de
grados de 0 a 180 y a veces también en sentido inverso.
Algunos transportadores son circulares y tienen la graduación
de 0 a 360.
Observe que el transportador tiene en su parte inferior (o en
la parte media, si es circular) una línea recta cuyos extremos
161
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
van a dar a las graduaciones
de 0º y 180º, a la mitad de la
cual hay una pequeña marca,
generalmente en forma de cruz.
Para usar el transportador se
hace coincidir el vértice del
ángulo que se desea medir con
esa marca, y se hace coincidir
uno de los lados del ángulo con
la línea recta.
Por ejemplo, el ángulo de la izquierda
mide 120º. Usted puede comprobarlo
utilizando su transportador como se ha
indicado. Cuando los lados del ángulo no
están marcados suficientemente largos,
usted puede alargarlos utilizando su regla:
esto no modifica el tamaño del ángulo,
puesto que no cambia su apertura.
La medición de un ángulo entrante
utilizando un transportador semicircular
se puede realizar de dos maneras. Una es
medir el complemento del ángulo (la parte
del círculo que no está marcada) y restar
el resultado a 360º. La otra es prolongar
uno de los lados del ángulo más allá del
vértice, medir el ángulo que forman esta
prolongación y el otro lado, y agregar 180º
al resultado. Por ejemplo, el ángulo de la
izquierda mide 228º. Verifíquelo utilizando
su transportador.
162
LECCIÓN 15
Mida en grados los ángulos del ejercicio 1.
¿Cuánto miden los ángulos de las
escuadras de un juego
de geometría?
Exprese cuántos grados, o bien entre cuántos y cuántos
grados, miden:
a) Un ángulo agudo.
d) Un ángulo llano.
b) Un ángulo recto.
e) Un ángulo entrante.
c) Un ángulo obtuso.
f) Todo el círculo.
Trace ángulos que midan:
a) 45º
b) 60º
c) 30º
d) 120º
163
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
En cada uno de los siguientes incisos, mida los ángulos en
los que se ha repartido el círculo. Después, considerando a
360 como el 100%, exprese la medición de los ángulos como
porcentaje del total.
a)
b)
Trace un círculo como los del ejercicio anterior, en el que
los sectores midan, respectivamente, una tercera parte, una
octava parte, tres octavas partes y una sexta parte del total.
Circunferencia y círculo
Una circunferencia es una línea cerrada en la que todos los
puntos están a la misma distancia de otro punto, que no
pertenece a ella.
circunferencia
A ese punto se le
centro
denomina centro
de la circunferencia.
El interior de la
circunferencia recibe
el nombre de
círculo
círculo.
164
LECCIÓN 15
En la vida cotidiana se utiliza frecuentemente la palabra
círculo para referirnos por igual al círculo y a la circunferencia.
Algunos segmentos y algunas líneas rectas, relacionadas
con un círculo, merecen particular atención. Un radio de
una circunferencia (o de un círculo) es un segmento que va
desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un
segmento que va de un punto de la circunferencia a otro.
Un diámetro es un segmento que va de un punto de la
circunferencia a otro, pasando por el centro. Una tangente
a una circunferencia es una recta que toca a la circunferencia
en un solo punto.
E
m
A
C
O
D
arco
B
En la figura anterior, el punto O es el centro del círculo, el
segmento OA es un radio, el segmento BC es una cuerda,
el segmento DE es un diámetro, y la recta m es una tangente
a la circunferencia.
Un diámetro separa el círculo en dos porciones iguales,
denominadas semicírculos. Una cuerda separa la circunferencia
en dos porciones; a la menor de las dos se la denomina arco
de circunferencia; así, podemos hablar del arco BC de la
figura anterior.
165
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
La manera usual de trazar una circunferencia es utilizando un
compás. Cuando lo hacemos así, colocamos la punta de metal
en el centro, y giramos la punta de lápiz hasta volver a
encontrar el punto inicial. El hecho de mantener constante
la apertura del compás garantiza que todos los puntos que
pintamos están a la misma distancia del centro. Hay otras
maneras de trazar circunferencias; por ejemplo utilizando un
objeto circular (como un vaso
o una moneda) y dibujando
su entorno. Para trazar
circunferencias más grandes,
como la de la parte central
de una cancha de futbol,
o el contorno de la fuente
de una plaza, se clava en
el centro un pivote alrededor
del cual se amarra un cordón,
y en el otro extremo del
cordón se coloca lo que va a
pintar, por ejemplo, un bote
con cal; la distancia entre
el bote y el pivote es igual a
la longitud del radio.
a) Si el radio de una circunferencia mide 4 cm., ¿cuánto
mide el diámetro?
b) En general, ¿cuál es la relación entre la longitud del radio
y la del diámetro? Si r es la longitud del radio y d es la
longitud del diámetro, exprese esta relación con una
fórmula.
166
LECCIÓN 15
Trace con un compás una circunferencia y llame r a la longitud de su radio y da la longitud de su diámetro.
a) ¿Es posible trazar una cuerda que mida menos que r? Si,
sí lo es, trácela.
b) ¿Es posible trazar una cuerda que mida lo mismo que r?
Si, sí lo es, trácela.
c) ¿Es posible trazar una cuerda que mida más que r y
menos que d? Si, sí lo es, trácela.
d) ¿Es posible trazar una cuerda que mida lo mismo que d?
Si, sí lo es, trácela.
e) ¿Es posible trazar una cuerda que mida más que d? Si,
sí lo es, trácela.
f) ¿Cuánto mide la cuerda más grande que se puede trazar?
Utilice el ejercicio anterior para encontrar un procedimiento
que permita ubicar el centro de una moneda.
167