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Introducción
Volvamos ahora considerar los orígenes del campo magnético B. Las primeras fuentes
conocidas del magnetismo fueron los imanes permanentes. Un mes después de que Oersted
anunciarse su descubrimiento acerca de la desviación de la aguja de una brújula por la
acción de una corriente eléctrica, Jean Baptiste Biot y Felix Savart describieron los
resultados de sus medidas sobre la fuerza que actúa sobre un imán próximo a un conductor
largo por el que circula corriente y analizaron estos resultados en función del campo
magnético producido por cada elemento de la corriente. André Marie Ampére amplió estos
experimentos y demostró que los propios elementos de corriente experimentan una fuerza
en presencia de un campo magnético; en particular demostró que dos corrientes ejercen
fuerzas entre sí.
a) Si no hay corriente en el alambre las brújulas apuntan en la misma dirección. B) Si hay corriente en
el alambre las brújulas apuntan en la dirección del campo magnético creado alrededor del alambre.
Campo magnético creado por cargas puntuales
móviles.
Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v, se produce un campo magnético B
en el espacio dado por
en donde
es un vector unitario que apunta desde la carga q al punto del campo P (figura
1) y
valor
es una constante de proporcionalidad llamada permeabilidad del espacio libre, de
Figura 1
Una carga puntual q moviéndose con velocidad v produce un campo magnético B en un punto del campo P en
la dirección
, en donde
es el vector unitario dirigido desde la carga al punto del campo.
(La cruz en el punto del campo indica que la dirección del campo es perpendicular al papel y hacia dentro.)
Las unidades de
son de tal índole que cuando q se expresa en coulomb,
en metros por
segundo y r en metros, resulta B en teslas. La unidad
procede del hecho de que
1T=1N / A
La constante 1/
se incluye arbitrariamente en la ecuación a fin de que
el factor
no aparezca en la ley de Ampere. La ecuación corresponde al campo
magnético debido a una carga móvil es análoga a la ley de Coulomb del campo eléctrico
producido por una carga puntual:
El campo magnético creado por una carga móvil tiene las siguientes características:
1. La magnitud de B es proporcional a la carga q y a la velocidad
con el cuadro de la distancia desde la carga al punto del campo.
y varía inversamente
2. El campo magnético es cero a lo largo de la línea de movimiento de la carga. En otros
puntos del espacio es proporcional a
siendo el ángulo formado por el vector
velocidad v y el vector r desde la carga al punto del campo.
3. La dirección de B es perpendicular a ambos, la velocidad v y el vector r. Posee la
dirección dada por la regla de la mano derecha cuando v gira hacia r.
Ley de Biot y Savart
Como hicimos en el tema anterior al terminar la fuerza ejercida sobre cargas y elementos de
corriente, podemos obtener el campo magnético
producido por un elemento de
corriente
. Así resulta
reemplazando qv en la ecuación 8.1 por
La ecuación es conocida como ley de Biot y Savart, fue también deducida por Ampere.
Esta ley, es análoga a la ley de Coulomb correspondiente al campo eléctrico de una carga
puntual. La fuente del campo magnético es una carga móvil qv
un elemento de corriente
, del mimo modo que la carga q es la fuente del campo electrostático. El campo
magnético decrece con el cuadro de la distancia desde la carga móvil o elemento de
corriente, de igual modo que el campo eléctrico decrece con el cuadrado de la distancia
desde una carga puntual. Sin embargo, los aspectos direccionales de los campos eléctrico y
magnético son completamente distintos.
Campo magnético debido a una espira de corriente
Un cálculo relativamente directo es la determinación del campo magnético en el centro de
una espira circular. La figura 2 muestra un elemento de corriente
de una espira de
corriente de radio R y el vector unitario dirigido desde el elemento al centro de la espira.
El campo magnético en el centro de la espira debido a este elemento está dirigido a lo largo
del eje de la misma y su magnitud viene dada por
Figura 2
Elemento de corriente para el cálculo del campo magnético en el centro de una espira circular. Cada elemento
produce un campo magnético dirigido a lo largo del eje de la espira.
La figura 3 muestra la geometría para calcular el campo magnético en un punto del eje de
una espira circular de corriente a la distancia x de su centro. Consideremos en primer lugar
el elemento de corriente situado en la parte superior de la espira. Aquí, como en todos los
puntos de la espira,
es tangente a la misma y perpendicular al vector r dirigido desde el
elemento de corriente al punto del campo P. El campo magnético
debido a este
elemento se encuentra en la dirección mostrada en la figura, perpendicular a r y también
perpendicular a
.La magnitud de
es
Figura 3
Geometría para el cálculo del campo magnético en un punto sobre el eje de una espira de corriente circular.
La integral de
alrededor de la espira es
. Por tanto,
Campo magnético debido a una corriente en un solenoide
Calcularemos el campo magnético de un solenoide, es decir, de un alambre arrollado
estrechamente en forma de una hélice, como indica la figura 4. El solenoide se usa para
producir un campo magnético intenso y uniforme en la región rodeada por sus espiras.
Juega un papel en magnetismo análogo al que jugaba el condensador de placas paralelas
con objeto de proporcionar un campo electrostático uniforme e intenso entre sus placas.
Figura 4
Un solenoide estrechamente arrollado puede considerarse como una serie de espiras de corriente circulares
situadas paralelamente que transportan la misma corriente. En su interior se produce un campo magnético
uniforme.
Para un solenoide largo
Campo magnético debido a una corriente en un
conductor rectilíneo
La figura 5 muestra la geometría que es necesario considerar para calcular el campo
magnético B en un punto P debido a la corriente en el segmento de conductor que se indica
en la figura. Escojamos el conductor de modo que coincida con el eje x y de tal modo que el
eje y sea perpendicular al mismo pasando por el punto P. Se indica un elemento de
corriente típico
situado a una distancia x del origen. El vector r señala desde el
elemento hasta el punto de campo
Figura 5
Geometría para el cálculo del campo magnético en el punto P causado por un segmento rectilíneo de
corriente. Cada elemento del segmento contribuye al campo magnético total en el punto P, que está dirigido
hacia fuera del papel.
La dirección del campo magnético en P debido a este elemento está dirigida hacia el vector
según queda determinada por la dirección del producto
. Obsérvese que todos los
elementos de corriente del conductor dan contribuciones en esta misma dirección y sentido
y así sólo necesitamos calcular la magnitud del campo.
Ley de Ampere
El reactor de fusión Tokamak es un gran toroide que produce un campo magnético para
confinar partículas cargadas. Las bobinas que contienen unos 100 Km de alambre de cobre,
refrigerado por agua, transportan una corriente pulsante con un valor pico de 73000 A y
produce un campo magnético de 5.2 T durante 3 segundos
En el Tema 2, estudiamos la ley de Gauss, que relaciona el componente normal del campo
eléctrico, sumado sobre una superficie cerrada con la carga neta interior a la superficie.
Existe una ecuación análoga para el campo magnético, llamada ley de Ampere, que
relaciona el componente tangencial de B, sumando alrededor de una curva cerrada C con la
corriente
que pasa a través de la curva. En forma matemática, la ley de Ampere es
cualquier curva cerrada
en donde
es la corriente neta que penetra en el área limitada por la curva C. La ley de
Ampere es válida para cualquier curva C en tanto las corrientes sean continuas, es decir, no
comiencen o terminen en cualquier punto finito. Como la ley de Gauss, la ley de Ampere
puede utilizarse para obtener una expresión del campo magnético en situaciones de alto
grado de simetría.
La ampliación más simple de la ley de Ampere es la determinación del campo magnético
creado por un conductor infinitamente largo y rectilíneo portador de una corriente. Así se
obtiene: