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Espacio Gen{v} y Gen{u,v}
Si v1, ..., vp están en R-n, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1,...,vp se denota
mediante Gen{v1,...,vp} y recibe el nombre de subespacio de R-n generado por v1,...,vp. Esto es, Gen{v1,.
..,vp} es la colección de todos los vectores que pueden escribirse en la forma
c1v11+c2v2+...+cpvp
donde c1,...,cp son escalares.
Preguntar si un vector b está en Gen{v1,...,vp} equivale a preguntar si la ecuación vectorial
c1v1+c2v2+...+cpvp=b
tiene una solución o de manera equivalente, si el sistema lineal con matriz aumentala [v1 ... vp b] tiene
una solución.
Ejemplo 1: Sea a1, a2 y b como siguen, entonces Gen{a1,a2} es un plano que pasa por el origen en R-3.
¿Está b en el plano?
Solucionamos la ecuación x1a1+x2a2=b, para contestar esto, formamos la matriz aumentada [a1 a2 b ]
(1)
(1)
Como vemos, el sistema no tiene solución, por lo que concluimos que el vector b no se encuentra en Gen
{a1,a2}.
Ejemplo2: Sean v1, v2 y w como siguen. Determine si w está en el subespacio de R-3 generado por v1 y
v2.
Formamos la matriz aumentada [v1 v2 w ] y vemos si es consistente
(2)
(3)
Es sistema no es consistente, entonces w no está en Gen{v1 ,v2 }
Ejemplo 3: Sean v1, v2, v3 y u como siguen. Determine si u está en el subespacio de R-4 generado por
{v1, v2 y v3}
Formamos la matriz aumentada [v1 v2 v3 w] y vemos si es consistente
(4)
Es sistema no es consistente, entonces u no está en Gen{v1 ,v2,v3}