Download proposiciones lógicas

PROPOSICIONES LÓGICAS
Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es
verdadero (V)
Para p (Quito): Quito es la capital del Perú
es falso
(F)
b) q: y + 4 = 11 , y es número natural
Y: 0; 1; 2; 3; 4;…..
Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F)
q (7): 8+4 = 11
, es verdadero (V)
Enunciado.- Es toda frase u oración que se
utiliza en nuestro lenguaje
PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto
de la cual se puede decir si es verdadera (V) o
falsa (F)
Notación
Por lo general, a las proposiciones se las
representa por las letras del alfabeto desde la
letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.
Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes
proposiciones y su valor de verdad:
Proposición
q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima
(V)
r: El número 15 es divisible por 3.
(V)
s: El perro es un ave.
(F)
t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)
u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición
p: ¡Viva el Perú 1!
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que
es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d)
¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra
el pizarrón
Práctica Dirigida Nª 02
Determine cuales de los siguientes enunciados
son enunciados abiertos y para que valores de la
variable las proposiciones son verdaderas y
falsas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x es hermano de y
28 < 15
El es arquitecto
Tenga calma ,no se impaciente
9x + 3 = 12 , x  R
x es Ingeniero y Juan es Matemático
3x – 8 > 15
, x  R
x + y  15
, x,y
i) 2x + 5 > 11, x  R
j) 3x + 7 = 11, x  N
l)
R
x es un animal
CLASE DE PROPOSICIONES
No son proposiciones por no poder ser evaluadas
como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones,
órdenes ni las preguntas son proposiciones
Práctica Dirigida Nº 01
I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados
son proposiciones:
a) 5 + 7
= 16 - 4
( )
b) ¡Estudie lógica proposicional!
( )
c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( )
d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2  23 x 5 ( )
e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? (
)
f) 20 -18 = 2
( )
g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( )
h) Un lápiz no es un cuaderno
( )
i) ¿Eres estudiante de matemática?
( )
j) 15 < 13
( )
k) Ponga atención
( )
ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos
enunciados que constan de variables. Se convierte
en una proposición cuando se le asigna un valor
específico a la variable". Ejemplos:
a) p: x es la capital del Perú
A) Proposición Simple o Atómicas.- Son
aquellas proposiciones que constan de un solo
enunciado proposicional .
Por ejemplo, sea la proposición
p: 3 + 6 = 9
B) Proposición Compuesta o molecular.- Son
aquellas proposiciones que constan de dos o más
proposiciones simples.
Ejemplo:
r: Pitágoras era griego
p
y
era geómetra
q
encontramos dos enunciados. El primero (p) nos
afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q)
que Pitágoras era geómetra.
Ejemplo:
p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto
Donde podemos observar que la proposición p,
se divide en dos proposiciones simples:
r: Juan es profesor y
s : Manuel es arquitecto
Es decir ,
p : r o s
CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan
proposiciones simples
A partir de proporciones simples es posible
generar otras, simples o compuestas. Es decir
que se puede operar con proposiciones, y para
ello se utilizan ciertos símbolos llamados
conectivos lógicos
Símbolo
Operación asociada
Significado
Negación
~
no p o no es cierto
que p


Conjunción o
producto lógico
pyq
Disyunción o suma
lógica
p o q (en sentido
incluyente)
Doble implicación

La negación de
p: todos los alumnos estudian matemática es
~p: no todos los alumnos estudian matemática
o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos
estudian matemática
~p: hay alumnos que no estudian matemática
2.-CONJUNCIÓN
p implica q, o si p
entonces q
Ejemplo.
p si y sólo si q
Sea la declaración
p o q (en sentido
excluyente)
i) 5 es un número impar y 6 es un número par

p
q
vemos que está compuesta de dos proposiciones
a las que llamaremos p y q, que son
Diferencia simétrica

Ejemplo.
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina
conjunción de estas proposiciones a la
proposición p  q (se lee "p y q")
Implicación

Se trata de una operación unitaria, pues a partir
de una proposición se obtiene otra, que es su
negación.
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones
en el sentido siguiente: dadas dos o más
proposiciones, de las que se conoce los valores
veritativos, se trata de caracterizar la proposición
resultante a través de su valor de verdad. A tal
efecto, estudiaremos a continuación el uso y
significado de los diferentes conectivos lógicos
mencionados arriba:
1.-NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la
negación de p a otra proposición denotada por
~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo
opuesto al de p. Por ejemplo:
P : Diego estudia matemática
~p : Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla
de verdad:
p
~p
V
F
F
V
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
y por ser ambas verdaderas, la conjunción de
ellas (que no es sino la declaración i) es
verdadera.
Tabla de verdad
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
La tabla que define esta operación, establece que
la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso,
es falsa.
Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7
q : Todo número par es múltiplo de dos
Entonces :
p  q : 3 es mayor que 7 y todo número par es
múltiplo de dos
Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas
es verdadera
3.-DISYUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de
las proposiciones p y q es la proposición p  q ,
se lee ” p o q “
Ejemplo 1.
Tiro las cosas viejas o que no me sirven
El sentido de la disyunción compuesta por p y q
(p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no
me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y
que además no me sirve, la disyunción es V.
La disyunción o es utilizada en sentido
excluyente, ya que la verdad de la disyunción se
da en el caso de que al menos una de las
proposiciones sea verdadera
Tabla de verdad
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
al cumplimiento del compromiso. Es evidente
que si p es F, es decir si no apruebo el examen,
quedo liberado del compromiso y preste o no el
apunte la implicación es verdadera.
Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen,
y no presto el libro, el compromiso no se cumple
y la proposición i) es falsa. Si p y q son
verdaderas, entonces la proposición i) es
verdadera pues el compromiso se cumple.
Tabla de verdad
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es
falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL
Ejemplo2
Si p : Hace frió en Invierno , y
q : Napoleón invadió Lima
p  q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió
Lima
Por ser al menos una de la proposiciones
verdadera la conjunción es verdadera
4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Implicación de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (si p entonces q). La
proposición p se llama antecedente, y la
proposición q se llama consecuente de la
implicación o condicional.
Ejemplo.
Doble implicación de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (se lee "p si y sólo si q")
Ejemplo 1:
p : Karina ingresa a la universidad
q : Karina estudia mucho
Entonces:
p  q : Karina ingresa a la universidad si y
sólo si estudia mucho.
Ejemplo 2:
Sea i) a = b si y sólo si a² = b²
El enunciado está compuesto por las
proposiciones:
p: a = b
q: a² = b²
Supongamos la implicación
i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro
p

q
La implicación está compuesta de las
proposiciones
p: apruebo
q: te presto el libro
Nos interesa conocer la verdad o falsedad
de la implicación i), en relación a la verdad o
falsedad de las proposiciones p y q. El
enunciado puede pensarse como un compromiso,
condicionado por p, y podemos asociar su verdad
Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V.
En los demás casos es V.
Tabla de verdad
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La doble implicación o bicondicional sólo es
verdadera si ambas proposiciones tienen el
mismo valor de verdad.
La doble implicación puede definirse como la
conjunción de una implicación y su recíproca. De
este modo, la tabla de valores de verdad de p 
q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)
 (q  p), como vemos:
p
q
p 
q
qp
(p  q)  (q  p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
La verdad de p  q está caracterizada por la
verdad de una y sólo una de las proposiciones
componentes.
Ejemplo.
Sea
i) o vamos a Lima o vamos a Ica
queda claro que sólo podremos ir a uno de los
dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el
enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de
las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no
ir a ninguna, el enunciado es Falso.
PROPOSICIONES LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si
sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se
denota: p  q
Ejemplo.
Sea p: p  q, recordamos su tabla de
verdad
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Ahora bien , si analizamos la
proposición q: ~p  q, su tabla de verdad resulta:
Diferencia Simétrica
Diferencias simétrica o disyunción en sentido
excluyente de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (se lee "p o q en sentido
excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:
p
p
q
~p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Como vemos, luego de realizar las tablas de valor
veritativo encontramos que ambas proposiciones
tienen el mismo resultado final. Con esto,
decimos que ambas proposiciones son
logicamente equivalentes, y en este caso
particular lo simbolizamos:
(p  q)  (~p  q)
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y
CONTINGENCIA
Al conjunto de proposiciones, conectivos
lógicos y símbolos de agrupación lo
denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:
~{ (p  q)  (s  t) }
Tautología
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que
todos los valores de verdad resultantes son
siempre V para cualquier combinación de sus
valores veritativos, decimos que dicha fórmula
es una Tautología o Ley lógica.
Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p  ~p realizando
su tabla de verdad:
p
~p
p  ~p
V
F
F
V
V
V
Vemos que para cualquier combinación de las
proposiciones p y su negación ~p, la proposición
t: p  ~p es siempre verdadera. Entonces, la
proposición t es una tautología.
Involución
~(~p)  p
(se lee "no, no p, equivale a p")
Ejemplo.Analizemos ahora la fórmula lógica
{(pq)p}q
Idempotencia
p
q
pq
qp
{(pq)p}q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
(p  ~p)  p
(p  ~p)  p
Conmutatividad
a) de la disyunción: p  q  q  p
b) de la conjunción: p  q  q  p
Asociatividad
a) de la disyunción: (p  q)  r  p  (q  r)
b) de la conjunción: (p  q)  r  p  (q  r)
En este caso comprobamos también que
independientemente de la combinación de
valores de verdad de las proposiciones p y q, el
resultado de la fórmula lógica es siempre V.
Decimos, aquí también, que esta fórmula es una
tautología o ley lógica.
Contradicción
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de
los ejemplos anteriores resulta que para cualquier
valor de verdad de las proposiciones
intervinientes el resultado de dicha fórmula es
siempre falso, decimos que dicha fórmula es una
Contradicción.
Distributividad
a)de la conjunción respecto de la disyunción:
(p  q)  r  (p  r)  (q  r)
b)de la disyunción respecto de la conjunción:
(p  q)  r  (p  r)  (q  r)
Leyes de De Morgan
~( p  q )  ~p  ~q
" La negación de una disyunción equivale a la
conjunción de las negaciones"
Ejemplo
Analizemos la fórmula lógica p  ~p
p
~p
p  ~p
V
F
F
V
F
F
~( p  q )  ~p  ~q
"La negación de una conjunción equivale a
la disyunción de las negaciones"
1.1 Negación de una Implicación
Contingencia
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es
entonces una Contradicción.
Si una proposición no es una tautología ni una
contradicción (es decir que contiene al menos un
valor V y otro F) es una contingencia.
LEYES DEL ÁLGEBRA
PROPOSICIONAL
Las proposiciones p  q y ~(p  ~q) son
equivalentes, como vemos realizando la tabla de
valores correspondientes:
p
q
pq
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
Como bien dijimos arriba, aquellas
fórmulas lógicas que resultan ser siempre
verdaderas no importa la combinación de
los valores veritativos de sus componentes, son
tautologías o leyes lógicas. En el cálculo
proposicional existen algunas tautologías
especialmente útiles cuya demostración se
reduce a la confección de su correspondiente
tabla de verdad, a saber:
(p  ~q)
F
V
F
F
~(p  ~q)
p  q  ~(p  ~q)
V
F
V
V
V
V
V
V
Con esto, comprobamos que la negación de la
primera equivale a la negación de la segunda, es
decir ~(p  q)  ~{ ~(p  ~q)}, y podemos
concluir entonces que:
~( p  q )  ( p  ~q)
Es decir, la negación de una implicación no es
una implicación sino la conjunción del
antecedente con la negación del consecuente.
Funciones proposicionales y cuantificadores
Cuantificadores
A partir de funciones proposicionales es posible
obtener proposiciones generales mediante un
proceso llamado de cuantificación. Asociados a
la indeterminada x, introducimos los símbolos  x
y  x, llamados cuantificador universal y
cuantificador existencial respectivamente. Las
expresiones
Cuantificador Universal:
Para todo x, se verifica p(x)
,se denota por
Nos damos cuenta pronto que se trata de la
implicación de dos funciones proposicionales:
p(x) : es alumno de mi colegio
q(x) : es aplicado
Tenemos:
 x : p(x)  q(x)
Teniendo en cuenta la forma de negar una
función proposicional cuantificada universalmente
y una implicación resulta:
 x / p(x)  ~q(x)
Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta:
Existen alumnos de mi colegio que no son
aplicados
 x : p(x)
I.E. “Esther Cáceres Salgado”
UGEL 02 – Rímac
PRIMERA PRÁCTICA DE MATEMÁTICA
Cuantificador existencial
Profesor Juan L. Capristano Gonzales
Existe x, tal que se verifica p(x) , se denota por
 x / p(x)
1.-Halle el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
corresponden a una función proposicional p(x)
cuantificada universalmente en el primer caso, y
existencialmente en el segundo.
a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se
encuentra ubicada en América del Sur.
b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5
c).- 24 es un número par y 42 es un número
impar
d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú
limita con Chile.
Ejemplo.
Una función proposicional cuantificada
universalmente es V si y sólo si son V todas las
proposiciones particulares asociadas a aquella.
Para asegurar la verdad de una proposición
cuantificada universalmente es suficiente que sea
verdadera alguna de las proposiciones asociadas
a la función proposicional.
Un problema de interés es la negación de
funciones proposicionales cuantificadas. Por
ejemplo, La negación de
"Todos los enteros son impares" Es
"Existen enteros que no son impares"
y en símbolos:  x / ~p(x)
Entonces, para negar una función proposicional
cuantificada universalmente se cambia el
cuantificador en existencial, y se niega la función
proposicional.
Ejemplo.
Supongamos la proposición:
Todos los alumnos de mi colegio son aplicados
La vamos a escribir en lenguaje simbólico,
negarla y retraducir la negación al lenguaje
ordinario.
2.- Formalice las siguientes proposiciones
a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine
b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para
el futuro
c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y
tener 18 años cumplidos son condiciones para
poder ejercer la docencia
d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas
bien con todas las personas del colegio entonces
no has perdido el tiempo"
e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he
descansado un poco al mediodía, trabajo hasta
las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta
las doce. Por tanto, será que no he descansado
al mediodia
f) Si te cuesta entender las cosas , pero te
esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes
g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o
si no estudio Física entonces estudio Aritmética
h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia
entonces trabaja . En consecuencia , Roxana no
trabaja
hoy no es lunes
4.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas
moleculares:
a)[(pΛ q) → q ] v p
b) (p→q) v p
c) p→(pΛq)
d) ˜(p v q) Λ p
e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q
f) ˜p v ˜( p v q )
5.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente , halle el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
a) p V ( p → q )
b) ( p V q ) → p
c) p Λ ( p→ q )
d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
5.- Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares:
a) (p Λ q ) → ( ˜ p V r )
c) p Λ q → r
e) ( p ↔ ˜ q ) → r
b) ˜ r Λ [p →( r V q ) ]
d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ˜ p
f) ( ˜ p V q ) →( ˜ r Λ q )
6.- a)Si la proposición p → ( ˜ p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ˜ (p V q )
b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q→r ) , es falsa determine el valor de : p V r
7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o
indeterminaciones(contingencias)?
a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo
razón. Por tanto, no estoy loco.
b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo
razón. Por tanto, no tengo razón.
c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar
Equivocado. Por tanto, estoy equivocado.
d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si
Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo
Tiempo.
e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan
torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta.
1. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto, enunciado
I) 35 – 17 = 18
(…………….) II) 2 + 5 > 3
(…………….)
III) ¿Estudias Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….)
V) ¡Eres grande Perú!
(………… ..) VI) 27 - x = 40
(……………)
2.-Formalice la siguiente proposición:
Es falso que, estudie y no voy al cine
3.- Decir si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción:
( p  q)  (
p
q)
4.- Dada las siguientes premisas:
p: Hoy es feriado
q: Mañana es día laborable
r: Voy a clase
Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista a clase. Por lo tanto voy a
clase.
p  q ) , es falsa indicar el valor de verdad de la proposición:
5.-Si la proposición: p  (
( p  q)   p  ( p  q) 
6.-A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado. Por tanto,
estoy equivocado
CONECTIVOS LÓGICOS
^ conjunción
~
negación
V
disyunción
p
P
q
implicación
SINÓNIMOS















y
También
Aún
A la vez
No obstante
Además
Pero
Sin embargo
Aunque
No es cierto que
Es falso que
No es el caso que
No sucede que
O
A menos que








p es condición suficiente para q
Si p , q
q si p
Que p siempre que q
Cuando p , q
q es condición necesaria para p





q
En caso de que p entonces q
p solo si q
Si y sólo si
Cuando y sólo cuando
Equivale a
Es necesario y suficiente para
En el caso , y sólo en el caso , de que
1.- Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Determine su valor de
verdad:
a) El pisco es peruano
b) 3 es un número racional
c) ¡ Viva el Perú!
d) Un triángulo es un polígono de tres lados
e) x es hermano de y
f) 28 < 15
g)¿Te gusta la Matemática?
h) El es arquitecto
2
i) 36  2   
8
2
1
j)Tenga calma ,no se impaciente
k) 9x + 3 = 12 , x  R
l)18 es múltiplo de 3
ll) x  R, x  x 1
m)x es Ingeniero y Juan es Matemático
1
3
n) x  Q /  .x  1
ñ)Los cuadriláteros tienen 3 lados
o)3x – 8 > 15
, x  R
p) x + y  15
, x,y
q) 2x + 5 > 11, x  R
r) 3x + 7 = 11, x  N
R
t)x es un animal
2.a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p→q
b)Si p es falsa p vq
c) Si p es falsa , entonces ~p  q es
d) Si la proposición (p ^ q)→r es falsa , determina el valor de las proposiciones:
d .1( p  r )  q
d .3( p  q)  r
d .2 ( p  q )   r
d .4(r  p)  (q  p)
3.- Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la siguiente información :
[(p v q ) ^ ~q]→q es falsa y
[(~p ^ ~q )→ q ] ^ (p v q ) es verdadera
1.- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a ) x  N , x  1  2
b ) x  N / x  7  0
c ) x  Q , x 2  4
d ) Si.x  , x 2  0
e)x  R, x 0  1
i )x  Q / 2 x  1  0
1
x
2
x 4
g )x  R /
 x2
x2
h)x  R / x 2  9  0
j )x  Z , x  2 x  1  0
f )x  R / x 1 
2
k )x  I / x  3  0
l )x  x  0
2
ll )x   / x  4  4
m)x  R  , x  x
n)x  R  , x   x
ñ)x  R, x 1 
1
x