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 GPT-04_M2AA2L1_Identidades
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Pérez
Identidades trigonométricas Por Sandra Elvia Pérez Márquez
Cuando se habla de una identidad
expresiones son iguales, por lo tanto,
identidad trigonométrica entonces
expresiones que están formadas
trigonométricas son iguales.
se dice que dos
si se refiere a una
se dice que dos
por expresiones
Existen varias identidades que ya están definidas y que se utilizan para poder hacer comprobaciones o
simplificaciones de identidades más complejas. Estas simplificaciones además de utilizar las
identidades básicas necesitan de las habilidades algebraicas que permiten hacer manipulaciones de las
mismas para lograr una expresión que se pueda manejar más fácilmente.
Identidades trigonométricas básicas o fundamentales Las identidades trigonométricas básicas son fundamentales para la comprobación de otras identidades.
Se usarán continuamente en este curso porque aparecen con frecuencia en áreas como la mecánica, la
electrónica y la óptica, entre otras.
Las identidades trigonométricas básicas o fundamentales se pueden clasificar en:
Identidades
trigonométricas
básicas o
fundamentales
Recíprocas
De razón
Pitagóricas
Figura 1. División de las identidades básicas o fundamentales.
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escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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Identidades trigonométricas recíprocas ¿Recuerdas que ya conoces las funciones trigonométricas reciprocas?
Las utilizaste para poder calcular los valores de las funciones cotangente, secante y cosecante por
medio de la calculadora en el módulo 1.
Ahora recuerda ¿en qué se parecen la función tangente y la función cotangente?
Tangente
tan( F) =
Cotangente
co
=
ca
cot( F) =
ca
=
co
Al observar estas funciones trigonométricas, puedes apreciar que
son recíprocas entre sí porque dos números son recíprocos si al
multiplicarse son iguales a la unidad.
Multiplica la tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad.
 co  ca  (co )(ca )
=1
   =
 ca  co  (ca )(co )
Tabla1. Definición de función recíproca.
En la tabla 2 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas.
𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
ℎ
𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝐴 =
ℎ
𝑐𝑜
𝑡𝑎𝑛 𝐴 =
𝑐𝑎
Funciones trigonométricas
es recíproca de
es recíproca de
es recíproca de
ℎ
𝑐𝑜
ℎ
𝑠𝑒𝑐 𝐴 =
𝑐𝑎
𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑡 𝐴 =
𝑐𝑜
𝑐𝑠𝑐 𝐴 =
Esto implica que:
𝑠𝑒𝑛 𝐴 ∗ csc 𝐴 = 1
𝑐𝑜𝑠 𝐴 ∗ sec (A) = 1
𝑡𝑎𝑛 𝐴 ∗ cot 𝐴 = 1
Tabla 2. Funciones trigonométricas.
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A estas tres expresiones se les llama identidades reciprocas y, dependiendo de qué función se
requiera, se pueden derivar varias expresiones al realizar los despejes.
Identidades trigonométricas de razón Estas identidades surgen a partir de la función trigonométrica tangente y su definición.
co
ca , divides tanto el numerador como el denominador entre la
Si en la función trigonométrica
hipotenusa, obtendrás las relaciones seno y coseno, de tal forma que:
tan( A) =
co
tan( A) = h
ca
h
tan( A) =
Por lo tanto:
y como
sen( A) =
co
h
y
cos( A) =
ca
h
sen( A)
cos( A)
De la misma forma:
ca
cos( A)
cot( A) = h =
co sen( A)
h
A estas dos identidades se les denomina identidades de razón.
y
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Identidades trigonométricas pitagóricas Como su nombre lo indica, estas identidades están basadas en el teorema de Pitágoras.
¿Lo recuerdas?
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del
cuadrado de los catetos.
Una igualdad no se altera siempre y cuando los dos lados de la igualdad se dividan entre la misma
cantidad (propiedades de la igualdad).
Las identidades pitagóricas surgen de las relaciones que resultan al dividir el teorema de Pitágoras
entre cada uno de los elementos.
La tabla 3 muestra cómo se obtienen estas identidades.
Teorema de Pitágoras
2
2
h = co + ca
Esto implica que
2
Si se divide entre la hipotenusa
al cuadrado
2
h2
h 2 co
ca
= 2 + 2
2
h
h
h
2
Se obtiene la identidad
trigonométrica pitagórica
2
 co   ca 
1=   + 
h  h 
2
Sustituyendo las funciones
trigonométricas:
sen( A) =
1 = sen 2 ( A) + cos 2 ( A)
co
ca
cos( A) =
h y
h
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Si se divide entre el cateto
opuesto al cuadrado
2
h2
co
ca
= 2 + 2
2
co
co
co
co
2
2
h

 co
2

 ca 
 = 1 + 

 co 

2
Sustituyendo las funciones
trigonométricas:
csc( A) =
csc2 ( A) = 1 + cot 2 ( A)
h
ca
cot( A) =
co y
co
Si se divide entre el cateto
adyacente al cuadrado
2
2
h
co
ca
= 2 + 2
2
ca
ca
ca
2
ca 2
h

 ca
2
2
  co 
 = 
 +1
  ca 
sec 2 ( A) = tan 2 ( A) + 1
Sustituyendo las funciones
trigonométricas:
sec( A) =
h
co
tan( A) =
ca y
ca
Tabla 3. Identidades pitagóricas.
Con estas identidades trigonométricas básicas puedes realizar simplificaciones y demostraciones.
Es muy común que después de haber realizado operaciones con expresiones trigonométricas se
presenten expresiones muy extensas o complicadas por lo que se recurre a las identidades
trigonométricas para hacer una simplificación y de esta forma realizar los cálculos más fácilmente, pero,
¿cómo puedes hacer una simplificación o una demostración?
Te sugiero que tomes en consideración los pasos que aparecen en la figura 2; sin embargo,
dependiendo de tu habilidad para manejar las identidades puedes ir creando tu propia estrategia.
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1) Elige el lado de la
identidad que te parezca
más fácil manejar.
2) Realiza las operaciones
que se indican (sumas,
restas, multiplicaciones,
divisiones, productos
notables, etcétera). 4) En algunos casos es
más sencillo si conviertes
las funciones
trigonométricas a senos y
cosenos.
3) Recuerda que puedes
aplicar las leyes del
álgebra, pero debes
respetar las identidades
trigonométricas.
Figura 2. Pasos para demostrar o simplificar una identidad trigonométrica.
A continuación se presentan algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
sen( A) sec( A) = tan( A)
Solución
Comienza por elegir el lado izquierdo, donde se presenta una multiplicación y demuestra que el
producto de las dos funciones es igual a la tangente.
sen( A) sec( A) = tan( A)
De la identidad reciproca: cos( A) sec( A) = 1
sec( A) =
Despeja la secante:
1
cos( A)
Sustitúyela en el lado izquierdo de la ecuación.
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 1 

sen( A) sec( A) = sen( A)
 cos( A) 
Efectuando la multiplicación:
sen( A) sec( A) =
sen( A)
cos( A)
tan( A) =
Si observas la identidad de razón
sen( A)
cos( A)
Puedes comprobar que:
sen( A) sec( A) =
sen( A)
= tan( A)
cos( A)
Ejemplo 2
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
csc 2 ( A)(1 − sen 2 ( A)) = cot 2 ( A)
Solución
Toma el lado izquierdo de la identidad y efectúa las operaciones. Luego observa que es la
multiplicación de un monomio por un polinomio.
csc 2 ( A)(1 − sen 2 ( A)) = csc 2 ( A) − csc 2 ( A) sen 2 ( A)
De las identidades reciprocas, tienes que csc( A) sen( A) = 1
csc( A) =
Si despejas la cosecante
1
sen( A) y sustituyes en el segundo término.
2
 1 
 sen 2 ( A)
csc ( A) − csc ( A) sen ( A) = csc ( A) − 
 sen ( A) 
2
2
2
2
Realizando las operaciones:
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2
 1 
sen 2 ( A)
 sen 2 ( A) = csc 2 ( A) −
csc ( A) − 
sen 2 ( A)
 sen ( A) 
2
sen 2 ( A)
csc ( A) −
= csc 2 ( A) − 1
2
sen ( A)
2
2
2
De la identidad pitagórica. csc ( A) = 1 + cot ( A)
Despeja la cotangente
csc2 ( A) − 1 = cot 2 ( A)
Puedes demostrar que:
csc 2 ( A)(1 − sen 2 ( A)) = csc 2 ( A) − 1 = cot 2 ( A)
Ejemplo 3
Demuestra que la siguiente expresión es una identidad trigonométrica.
1 − (cos( A) − sen( A))2
= 2sen( A)
cos( A)
Solución
Tomando el lado izquierdo de la ecuación y desarrollando el binomio al cuadrado, obtienes la siguiente
expresión.
(
1 − (cos( A) − sen( A))2 1 − cos 2 ( A) − 2 cos( A) sen( A) + sen 2 ( A)
=
cos( A)
cos( A)
)
Observa que dentro del paréntesis se tienen tres términos, los cuales se puedes reacomodar para
2
2
obtener la identidad pitagórica: 1 = sen ( A) + cos ( A)
Reacomodando la expresión anterior:
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(
1 − (cos( A) − sen( A))2 1 − sen 2 ( A) + cos 2 ( A) − 2 cos( A)sen( A)
=
cos( A)
cos( A)
2
)
2
Sustituyendo la identidad pitagórica: 1 = sen ( A) + cos ( A)
1 − (cos( A) − sen( A))2 1 − (1 − 2 cos( A) sen( A) )
=
cos( A)
cos( A)
Quita el paréntesis tomando en cuenta que los signos de los términos que se encuentran dentro de él
cambiarán.
1 − (cos( A) − sen( A))2 1 − 1 + 2 cos( A) sen( A)
=
cos( A)
cos( A)
Realizando las operaciones del numerador:
1 − (cos( A) − sen( A))2 2 cos( A) sen( A)
=
cos( A)
cos( A)
Simplificando el coseno del numerador con el coseno del denominador:
Con ello puedes demostrar que la identidad es verdadera.
1 − (cos( A) − sen( A))2
= 2sen( A)
cos( A)
Además de las identidades trigonométricas básicas, existen otras identidades trigonométricas que
permiten relacionar los ángulos (como sumas, restas, multiplicaciones o productos), ángulos dobles o
semiángulos, entre otras; las cuales permiten resolver algunos problemas como el que vimos al inicio
de la clase.
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Bibilografía Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C.
Trad.). México: McGraw-Hill.
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.).
México: McGraw-Hill.
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y trigonometría con Geometría Analítica
(10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Thomson.
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