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INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA
Relación 3: DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS BIDIMENSIONALES
1.- De los datos correspondientes a las tablas y los pesos de los alumnos de una clase se ha
elaborado la siguiente tabla:
X \ Y 160 162 164 166 168 170
48
3
2
2
1
0
0
51
2
3
4
2
2
1
54
1
3
6
8
5
1
57
0
0
1
2
8
3
60
0
0
0
2
4
4
Calcular:
a) Peso medio.
b) % de los alumnos que pesan menos de 55 kg. y miden mas de 165 cm.
c) Dentro del conjunto de los que miden mas de 165 cm, ¿Cual es el % de los que pesan
mas de 52 kg.?
SOL: a) 54'17,
b) 28'57% ,
c) 86'05%
2.- Las variables X e Y observadas conjuntamente 100 veces, han presentado los siguientes
resultados:
X
Y
ni
3
0
13
6
0
13
10
1
30
11
1
24
12
2
20
Calcular:
a) Las medias y varianzas marginales.
b) Media y varianza de X condicionada a Y≤1.
SOL: a) 9'21 ; 0'94 ; 8'866 ; 0'456
b) 8'51 ; 8'65
3.- En una encuesta a 95 familias, sobre el número de individuos que la componen (X) y el número
de personas activas que hay en ellas (Y), se han obtenido los siguientes resultados:
X\Y
1
2
3 4
1
7
0
0 0
2
10
2
0 0
3
11
5
1 0
4
16
6
6 0
5
8
6
4 2
6
1
2
3 1
7
1
0
0 1
8
0
0
1 1
a) Hallar las distribuciones marginales de X e Y respectivamente. Calcular la media y la
varianza de Y.
1
b) Calcular la distribución de Y condicionada a que una familia este compuesta por cinco
miembros.
c) Calcular la distribución del número de miembros de la familia condicionada a que sea
tres el número de miembros activos de ella. Calcular la media.
d) Calcular los siguientes momentos conjuntos: a10, a01, m11, m02, m01, m10. Explicar en
cada caso, si coinciden con algún otro concepto conocido.
SOL: a) 1'69 ; 0'8596
c) 4'86
d) 3'85 ; 1'69 ; 0'7567 ; 0'8597; 0 ; 0
4.- Se han lanzado dos dados varias veces. Denotando por X el resultado del primer dado y por Y
el del segundo, se obtuvo lo siguiente:
X
1
2
2
3
5
4
1
3
Y
2
3
1
4
3
2
6
4
X
3
4
1
2
5
4
3
4
Y
1
6
6
5
1
2
5
1
X
4
5
3
1
6
5
4
6
Y
1
2
6
6
2
1
2
5
a) Construir la tabla de correlación.
b) Calcular:
b1) Medias marginales.
b2) Varianzas marginales.
b3) Media obtenida en el primer dado, condicionada a haber obtenido 6 en el
segundo.
b4) Media obtenida en el segundo dado, condicionada a haber obtenido 4 en el
primero.
SOL: b1) 3'375 ; 3'21
b2) 2'32 ; 3'665
5.- Sea la siguiente distribución bidimensional:
X\Y 1
100
2
200
1
300
3
400
4
SOL
2
4
2
6
8
3
6
3
9
12
b3) 2
4
10
5
15
20
a) Calcular la media y la varianza marginal de Y.
b) Calcular la varianza de Y condicionada a X=200.
c) ¿Son las variables estadísticamente independientes?.
d) Calcular la covarianza.
e) Calcular a32 y a11.
a) 3'6 ; 1'44
b) 1'44
d) 0
2
b4)- 2'33
5
8
4
12
16
e) 499680000; 1044
6.- Dada la siguiente distribución:
X\Y
-1
0
1
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1
0
1
0
2
1
0
1
3
0
1
0
Calcular las medias de Y y de X.
Calcular la covarianza.
Calcular todas las medias de Y condicionada a cualquier valor de X.
¿Son X e Y independientes?.
Determinar el coeficiente de correlación lineal.
Calcular a23, m12, y a32.
Sea Z=X+2, W=3Y. Determinar e) y f) para Z y W.
SOL: a) 0 ; 2
e) 0
b) 0
f) 4 ; 0 ; 0
c) 2 ; 2 ; 2
d) no
g) 0 ; 1296 ; 0 ; 432
7.- De una distribución bidimensional (X,Y) conocemos la distribución marginal de X:
X
1
2
3
Frec. Absoluta 10
20 15
Y las distribuciones condicionadas de Y a cada valor de X:
Y/X=1
Frec. Relativa
Y/X=2
Frec. Relativa
2
0.2
4
0.5
6
0.3
2
0.45
4
0.3
6
0.25
Y/X=3
Frec. Relativa
2
0.4
4
0.6
6
0
a) Determinar la distribución conjunta (en forma de frecuencias absolutas) de {X,Y}, la
distribución marginal de Y y la condicionada de X al valor Y=2 (en forma esta última de
frecuencias relativas).
b) Calcular la media y la varianza de la variable X condicionada a Y=2 y la de la variable 2X1 condicionada al mismo valor.
SOL: a)
X\Y
1
2
3
b) 2'23 ; 0'42 ; 3'47 ; 1'66
8.- A partir de la siguiente distribución
X\Y
-2
1
4
2
2
9
6
-1
0
1
0
4
5
6
9
1
2
3
0
3
6
3
5
0
3
2
4
2
5
0
0
2
Calcular:
a)
b)
c)
d)
El momento a23.
La covarianza.
m30 y m12
El coeficiente de correlación.
SOL: a) 324´875
b) 1´5
c) 0; 1´85
d) 0´458
9.- Dada la siguiente distribución:
X\Y
-2
1
3
1
2
1
2
2
4
2
4
3
6
3
6
a) Calcular la distribución marginal de Y.
b) Obtener la distribución de frecuencias relativas de X condicionada a que Y=3.
c) ¿Son X e Y independientes?. ¿Son incorreladas?.
10.- En la siguiente distribución bidimensional, la variable X representa la longitud de una pieza en
mm y la de Y el ser buena (A) o defectuosa (B):
X\Y A B
71
2
3
72
4
1
73
6
5
Calcular las distribuciones condicionadas Y/X=72 y X/Y=B tanto de frecuencias absolutas como
relativas.
11.- Dada la distribución siguiente
Y\X
-1
0
1
0
3
5
a
1
1
b
3
Calcular:
a) El valor de a y b, sabiendo que la distribución marginal de Y de frecuencias relativas es
Y
-1
0
1
Frec. Relativa 0.25 0.3125 0.4375
b) Si a=3 y b=2, calcular
b1) La media de X condicionada a que Y≤0.
b2) ¿Tiene Y una distribución simétrica?.
b3) Covarianza de X e Y.
SOL: a) a=4, b=0
12.- Dada la distribución siguiente
4
X\Y
-4 - 0
0-2
2-6
1
3
0
1
3
1
2
2
5
2
1
3
Calcular:
a) El intervalo que define al 40% central de la distribución marginal de X.
b) La distribución de frecuencias relativas de X condicionada a que Y≥3.
SOL: a) –2 y 2
5