Download tamaño de la muestra y teoría estadística

TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
CARACTERÍSTICAS DE LA POBLACIÓN. Una pregunta práctica en gran parte
de la investigación de mercado tiene que ver con el tamaño de la muestra. La
encuesta, en principio, no puede ser aplicada sin conocer el tamaño de la muestra.
Supongamos que estamos interesados en las actitudes de los poseedores de
boletos para la temporada operística en el Teresa Carreño, al cambiar la hora de
inicio de las ejecuciones de los días de la semana. La población se compone de
10000 poseedores de boletos de la temporada. De los poseedores de los boletos,
3000 respondieron “definitivamente si” (lo cual se codifica como +2). Otros 2000
“preferirían si” (codificado como + 1), y así sucesivamente. La información
necesaria es la respuesta promedio o la respuesta media en la población (los
10000 poseedores de los boletos para la temporada), la cual se denomina como:
μ = media de la población = 0.3
Pero esta media de la población generalmente es desconocida, y nuestra meta
consiste en determinar su valor lo más aproximadamente posible tomando una
muestra de la población.
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
Otra característica poblacional de interés es la varianza de la población, 2, y su
raíz cuadrada, la desviación estándar de la población, . La varianza de la
población es una medida de la dispersión de la población, es el grado en el que los
distintos poseedores de boletos de temporada difieren entre sí en términos de
actitudes. Se basa en el grado en el que una respuesta difiere de la respuesta
promedio de la población. En nuestro ejemplo, la varianza de la población es:
= la varianza de la población = 2.22
= la desviación estándar de la población = 1.49
2
Resultados de la codificación de las respuestas de los poseedores de boletos (población)
Respuesta
R
Frecuencia de
la respuesta
f
+2
+1
0
-1
-2
Total
0.3
0.2
0.2
0.1
0.2
Promedio
ponderado
Rf
0.6
0.2
0
-0.1
-0.4
0.3 = μ
Media de la
Población
μ
Diferencia
entre la
respuesta
R-μ
Diferencia
elevada al
cuadrado
(R – μ)2
Promedio
ponderado
(R – μ)2f
0.3
0.3
0.3
0.3
0.3
1.7
0.7
0.3
1.3
2.3
2.89
0.49
0.09
1.69
5.29
0.87
0.10
0.02
0.17
1.06
2.22 =
2
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
CARACTERÍSTICAS DE LA POBLACIÓN. Pero el problema realmente
es que la media de la población no es conocida y debe ser estimada a
partir de una muestra. Considere una muestra aleatoria sencilla de tamaño
10 la cual es tomada de la población. La diez personas seleccionadas y
sus actitudes respectivas se muestran a continuación.
Resultados de la codificación de las respuestas de los poseedores de boletos (muestra)
María Virginia
Luís
Mayra
Idmare
David
Yohama
Rubén
Vanesa
Jean
El profe
X1 = +1
X2 = +2
X3 = +2
X4 = 0
X5 = +1
X6 = +1
X7 = -1
X8 = +1
X9 = -2
X10= 0
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
El cálculo correspondiente a la media, varianza, y desviación estándar pero ahora
con respecto a la muestra será mediante la aplicación de las siguientes fórmulas.
Media:
Varianza: S2 =
= 1.61
Desviación estándar: S =
S2 será pequeña si las respuestas de la muestra son simulares, y grandes si se
encuentran dispersas. Nuevamente, es importante hacer una distinción entre la
varianza de la población ( 2) y la varianza de la muestra (S2).
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CONFIABILIDAD DE LA MUESTRA. Desde luego, todas las muestras no
generaran el mismo valor x (o S). Si otra muestra aleatoria simple con tamaño de
10 fuera tomada de la población, x podrá ser de 0.3, 1.2, 0.4, o cualquier otra
cantidad. El punto importante es que x variara de muestra en muestra.
Intuitivamente será lógico pensar que la variación en x será más grande a medida
que la varianza de la población, 2 sea más grande. En un extremo, si no hay
población, no habrá tampoco variación en x. También es razonable pensar que, a
medida que aumenta el tamaño de la muestra, la variación en x disminuirá.
Cuando la muestra es pequeña, se necesitan sólo uno o dos valores extremos
para afectar sustancialmente la media muestral, generando de este modo una x
relativamente grande o pequeña. A medida que aumenta el tamaño de la muestra,
estos valores extremos tendrán un menor impacto cuando aparezcan, porque
serán promediados con más valores. La variación en es medida por su error
estándar, es cual es:
x
= el error estándar de x =
x/
n = 1.49 / 10 = 0.47
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( x puede escribirse simplemente como ). Note que el error estándar x depende
de n, el tamaño de la muestra. Si n se altera, el error estándar cambiará de
acuerdo a ello, como se demuestra en el siguiente cuadro:
Tamaño de la muestra
10
40
100
500
σx
1.49
1.49
1.49
1.49
X
= σx / n
0.470
0.235
0.149
0.067
La variable X tiene una distribución de probabilidad similar a la forma acampanada
de la distribución normal. Con la media de la muestra x pasa lo mismo. En otras
palabras, indica que x generalmente se acercará a la media de la población (μ) y
que tiene iguales posibilidades de ser más grande que μ o más pequeña. En la
siguiente figura se muestra como el área bajo la curva normal es dividida. Por
ejemplo, la probabilidad de que x se encuentre dentro 2 X de la media de la
población (μ) es de 0.95. Similarmente la probabilidad de que x se encuentre
dentro de una X de la media de la población (μ) es del 68,20%.
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La distribución normal en función de X
En nuestro ejemplo de la sinfonía, suponga que se obtuvieron 100 muestras
diferentes de 10 sujetos. Aproximadamente el 95% de las medias muestrales
resultantes x estarían dentro de ± 2 errores estándar ( X = 0.47) de la media de la
población (μ = 0.3).
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ESTIMACIÓN DEL INTEVALO DE CONFIANZA. La media de la muestra, x, es
usada para estimar la media de la población desconocida (μ). Debido a que x varía
de muestra en muestra, no es desde luego, igual a la media de la población (μ).
Ello porque como se explicó anteriormente hay un error de la muestra. Es útil
proporcionar una estimación de intervalo en torno a el cual refleje nuestro juicio
acerca del alcance del este error muestral.
± error de la muestra = estimación del intervalo de μ
El tamaño del intervalo dependerá de qué tan confiados queramos estar de que el
intervalo contenga la media de la población verdadera y desconocida. Si fuera
necesario tener una confianza del 95% de que la estimación del intervalo
contuviera a la media poblacional verdadera, la estimación del intervalo seria:
= estimación de intervalo del 95% de μ
En nuestro ejemplo el intervalo seria
= 0.5 ± 2 * 0.47 = 0.5 ± 0.94
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
El tamaño del intervalo se basa en 2 X porque, tal como se muestra en la figura
de campana, la probabilidad de que X esté entre X de la media poblacional es
0.95 (note que el intervalo anterior incluye la media poblacional μ. Además:
Interpretación de z
(Puntaje z, número de desviaciones estándar normales)
Como la distribución de la muestra es normal, se puede afirmar que:
a) El 68,27% de las veces, los promedios de la muestra caerán dentro de ± 1
b) El 95,45% de las veces, los promedios de la muestra caerán dentro de ± 2
c) El 99,73% de las veces, los promedios de la muestra caerán dentro de ± 3
Ejercicio: construya el intervalo de confianza para 1 X y 3 X y establezca el
porcentaje de probabilidad correspondiente.
Importante: Si la desviación estándar ( X = ) es desconocida es necesario
estimarla con la desviación estándar de la muestra, S.
X
X
X
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Estimación del intervalo de confianza cuando (
X ± 1S/ n
X ± 2S/ n
X ± 3S/ n
X
= ) es desconocida
estimación del intervalo de confianza de 68,27 % con
estimación del intervalo de confianza de 95,45 % con
estimación del intervalo de confianza de 99,73 % con
desconocida
desconocida
desconocida
En nuestro ejemplo, sería
0.5 ± 2 (1.27/ 10) = 0.50 ± 0.80
Intervalo con 95% de confianza, una z de 2 y un tamaño de muestra de 10.
Ojo: De este modo, el tamaño de la estimación del intervalo dependerá de tres
factores. El primero es el nivel de confianza. Si estamos dispuestos a tener menos
confianza de que la estimación del intervalo incluya a la media de la población
verdadera y desconocida, entonces el intervalo será más pequeño. El segundo
factor es la desviación estándar de la población. Si hay poca variación de la
población, entonces la estimación del intervalo de la media poblacional será más
pequeña. El tercero el es tamaño de la muestra. Conforme esta aumenta, el error
de la muestra se ve reducido y el intervalo se volverá más pequeño.
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LA PREGUNTA DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA. Ahora, estamos finalmente
listos para usar estos conceptos para que nos ayuden a determinar el tamaño de la
muestra. Para proceder, el análisis debe especificar:
• El tamaño del error de la muestra que se desea
• El nivel de confianza, por ejemplo, un nivel de confianza del 95%.
Ojo: Esta especificación dependerá de las intercomposición entre el valor de la
información más exacta y el costo por un incremento en el tamaño de la muestra.
Para un nivel de confianza dado, un error muestral más pequeño tendrá un “costo”
en términos de un tamaño de muestra más grande. Similarmente, para un error de
la muestra dado, un nivel de confianza más alto tendrá un “costo” en términos de
un tamaño muestral más grande. Estas afirmaciones se entenderán más
fácilmente con algunos ejemplos.
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
Usando la fórmula general para la estimación del intervalo (recuerde que
las mismas)
x ± error muestral, ó x ± z / n
Asu vez sabemos que
y
X son
error muestral = z / n
Dividiendo toda la expresión entre el error de la muestra y multiplicando por n,
nos queda
n = z / error muestral
Despejando n tenemos
n = z2
2
/ (error muestral)2
Esta n representa la fórmula del tamaño de la muestra.
En nuestro ejemplo n es 99 (con desviación estándar de la población ( = 1.49)
conocida, una z = 2, y un 95% de confianza teniendo un error muestral de 0.3.
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Cuando la desviación estándar de la población ( ) no es conocida, se utilizan
varios enfoques. a) utilizar una proveniente de estudios anteriores, b) usar la
desviación estándar de la muestra (S), tomada de una encuesta anterior o de una
encuesta piloto, c) ponerse en el “peor de los casos”.
• Usar la desviación estándar de la muestra (S)
n = z2S2 / (error muestral)2
Esta n representa la fórmula del tamaño de la muestra cuando no se conoce la
desviación estándar de la población.
n = (22*1.272) / 0.802
En nuestro ejemplo n es 10 (con desviación estándar de la población (S = 1.27)
conocida, una z = 2, y un 95% de confianza teniendo un error muestral de 0.80.
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• Ponerse en el “peor de los casos”
En nuestro ejemplo, la varianza poblacional más grande ocurrirá si la mitad de la
población respondiera con un +2 y la otra mitad con un -2. La varianza de la
población seria entonces 4, y el tamaño de la muestra recomendado, a un nivel de
confianza del 95% y un error permitido de 0.3, seria 178. Note que el tamaño de la
muestra sería más grande que lo deseado, y por lo tanto la exactitud deseada se
vería excedida. Lo lógica indica que es admisible cometer errores cuando se ha
optado por ser demasiado exacto.
σ2P = (π * (1 – π)) / n
donde
La varianza de la población sería de 0.5(2-0)2 + 0.5 (-2-0)2 = 0.5 x 4 +
0.5 x 4 = 4 Puesto que el 0.5 de la población respondió con +2, y la
media de la población, o el promedio poblacional, sería cero.
= la proporción de la población
P = la proporción de la muestra
(correspondiente a x), usada para estimar la
proporción de la población desconocida)
2 = la varianza de la población de P
P
La fórmula para el tamaño de la muestra es entonces
n = (z2 π* (1 – π)) / (error muestral)2
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
Para nuestro ejemplo la varianza de la población sería de 0.5 (2-0)2 + (-2-0)2 = 0.5
* 4 + 0.5 * 4 = 4, puesto que el 0.5 de la población respondió con un +2, y la media
de la población, o el promedio poblacional, seria cero.
El cálculo del error muestral en nuestro caso sería:
0.25
0.20
π(1 – π)
0.15
0.10
0.05
0.25
0.50
0.75
π
(1 – ) = 0.25
= 0.50
1.00
Como lo muestra la figura,
el peor de los casos, es
donde la varianza de la
población está a su
máximo, y esto ocurre
cuando la proporción
poblacional es igual a 0.50
TAMAÑO DE LA MUESTRA Y TEORÍA ESTADÍSTICA
Debido a que la proporción poblacional es desconocida, un procedimiento común
consiste en supone el peor de los casos. La fórmula para el tamaño de muestra se
simplifica a
n = (z2x0.25) / (error muestral)2
De este modo, si la proporción de la población debe ser estimada dentro de un error,
de 0.05 (o 5 puntos porcentuales) a un nivel de confianza del 95%, el tamaño
necesario de la muestra es
n = (22x0.25) / (0.05)2 = 400
Puesto que z = 2, correspondiente a un nivel de confianza del 95%, y el error
muestral permitido es igual a 0.05.
En general tenemos un pequeño resumen de fórmulas:
• Tamaño de la muestra = n = z2σ / (error muestral)2
• Para las proporciones = n = z2(0.25) / (error muestral)2
Cuando
Cuando
se conoce
se desconoce