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Universidad de Talca
Taller de Matemática 2000
Estudiantes de Enseñanza Media
Taller 1
Profesores:
Claudio del Pino, Cristian Mardones
Test de Paridad: ¿Par o Impar?
Para explicar en qué consiste el test de paridad nada mejor que un ejemplo sencillo (tomado
de "Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos" de Martín Gardner,
Ediciones Cátedra - Madrid):
Un estudiante de matemáticas salió a dar un paseo
con su novia en primavera. Ella arrancó una
margarita y empezó a deshojarla mientras
recitaba: "Me quiere, no me quiere..."
"Estás tomándote un trabajo innecesario", dijo el
joven. "Todo lo que tienes que hacer es contar los
pétalos. Si el total es par, la respuesta es negativa.
Si es impar, la respuesta es afirmativa".
Como se sabe los números naturales pares son: 2, 4, 6, 8, 10, etc. y los números naturales
impares son 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc. De aquí, que claramente,
Todo número natural es par o impar
La operatoria básica con números pares e impares tiene las siguientes propiedades
elementales:
1) La suma de dos números naturales pares
es par.
2) La suma de dos números naturales impares
es par.
3) La suma de un número par con un impar es
impar.
El "test de paridad" consiste sencillamente en que un número impar no puede ser escrito
como suma de números pares.
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A continuación se muestra como algunos problemas se pueden resolver usando el test de
paridad:
Se colocan 1994 monedas en fila. La mitad de ellas con la
cara hacia arriba y la otra mitad con la cara hacia abajo.
En cada paso se dan vuelta dos monedas. ¿Es posible
después de una cantidad de pasos lograr que todas las
monedas queden con la cara hacia arriba?
Inicialmente tenemos una cantidad impar de monedas con
la cara hacia arriba: 997. Notamos que, cualquiera sea el
caso, la cantidad de monedas con la cara hacia arriba sigue
siendo un número impar, ya que: o bien tenemos dos
monedas más con la cara hacia arriba, o bien tenemos dos monedas más con la cara hacia
abajo, o bien todo queda como en el paso anterior. Esto quiere decir que después de una
cantidad cualquiera de pasos la cantidad de monedas con la cara hacia arriba seguirá siendo
un número impar, con lo cual nunca podremos obtener 1994 (una cantidad par) con la cara
hacia arriba.
Problemas Propuestos
Problema 1: Comisión de socios.
Un club de fútbol tiene 100 socios y todos los domingos tres de ellos son
elegidos para conformar la comisión a cargo de las entradas a sus partidos.
¿Es posible que después de cierto tiempo uno de los socios del Club, haya
formado la comisión con cada uno de los restantes socios, exactamente una
vez?
Problema 2: Invirtiendo vasos
Sobre la mesa se tiene un montón de vasos. Unos boca abajo, otros boca arriba. Se
quiere ponerlos todos boca arriba, pero invirtiendo de cada vez dos vasos al
tiempo. ¿Es posible? ¿Y si se impone la obligación de invertirlos de tres en tres?
¿En qué casos es esto posible?
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Problema 3: Buscando números que sumados den 0.
a)
A continuación se escriben los primeros 10 números naturales:
1
2 3
4 5
6 7
8
9
10
¿es posible, colocando delante de cada uno de ellos el signo "+"
o el signo
"−" , obtener que la suma de todos ellos sea igual a 0?
b) ¿Qué acontece si se escriben los números del 1 al 11?
Problema 4: Botones luminosos
Un juego consiste de 9 botones luminosos (de color verde o rojo)
dispuestos de la siguiente manera:
1*
2*
3*
4*
5*
6*
7*
8*
9*
Si se aprieta un botón del borde del cuadrado cambian de color él y todos sus vecinos, y si
se aprieta el botón del centro cambian de color sus 8 vecinos pero él no. Los ejemplos
siguientes muestran entre paréntesis las luces que cambian de color al presionar el botón
que se indica.
(*) (*)
*
(*) (*)
(*)
(*) (*)
(*)
(*) (*)
*
(*) (*)
(*)
(*)
(*)
*
(*) (*) (*)
*
*
*
botón 1
*
*
botón 2
*
botón 5
¿Es posible (apretando sucesivamente algunos botones) encender todas las luces con color
verde, si inicialmente estaban todas encendidas con luz roja? (Justificar la respuesta)
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