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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Patricia Cardona Torres
Teorema de Pitágoras y Funciones trigonométricas
por Oliverio Ramírez Juárez
La trigonometría es la rama de las matemáticas que se encarga del estudio de los triángulos. En esta
lectura abordarás dos herramientas matemáticas que se utilizan para analizar situaciones y resolver
problemas que conlleven triángulos rectángulos.
Iniciarás con el teorema de Pitágoras, su definición, ejemplos de su uso y luego estudiarás las
funciones trigonométricas. Con estas dos herramientas matemáticas, resolverás problemas de diferente
índole ¡Adelante!
Ángulos De acuerdo con Swokowski, (2002, p. 392), un ángulo es el conjunto de puntos determinados por dos
rayos, o semirrectas l1 y l 2 , que tienen el mismo punto extremo O.
La medida del ángulo es la amplitud (apertura) de la rotación desde la recta l1 a la recta l 2 Al punto
extremo O se le llama vértice. Dependiendo de la rotación que se requiera para la construcción del
ángulo, existen ángulos positivos o negativos; se consideran positivos si van en contra de las
manecillas del reloj, y negativos si van en la misma dirección.
1
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Ángulo positivo
Ángulo negativo
Una unidad para medir ángulos es el grado sexagesimal. Silva y Lazo (2003, p. 494) menciona que un
grado sexagesimal equivale a una parte de una circunferencia dividida en 360 partes.
El minuto a su vez, es la 60ª parte de un grado. Por último, el segundo es la 60ª parte de un minuto. Los
grados, minutos y segundos se representa por los símbolos °, ʼ, ” respectivamente. En física, un giro de
360° de un cuerpo sobre su propio eje, es conocido como revolución, esto es:
1 rev = 360 °
Más adelante, aplicarás también este concepto.
Las siguientes figuras muestran distintos valores de ángulos trazados sobre el plano cartesiano.
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La siguiente tabla muestra una clasificación de los ángulos.
Denominación
del ángulo
Agudo
Definición
Descripción
Ejemplos
(0°, 90°)
23°, 42°, 67°
Obtuso
(90°, 180°)
Complementario
α + β = 90°
Suplementario
α + β = 180°
Son ángulos
cuyo valor es
mayor a 0° y
menor a 90°.
Son ángulos
cuyo valor es
mayor a 90° y
menor a 180°
grados.
Son ángulos
cuya suma es
90°.
Son ángulos
cuya suma es
180°.
115°, 145°, 172°
50° y 40°
130°, 50°
Tabla 1. Clasificación de los ángulos
Además de la clasificación anterior, al ángulo de 180° se le conoce como ángulo llano, y al ángulo de
90° se le conoce como ángulo recto; del nombre de este ángulo proviene el nombre de triángulo
rectángulo, que estudiarás más adelante en esta lectura.
Otra unidad de medida de ángulos es el radián, un radián es un ángulo cuya abertura es igual al radio
de una circunferencia.
Los grados y radianes se pueden relacionar mediante la siguiente fórmula:
360 ° = 2π radianes
También es cierto que
180 ° = π radianes
.
3
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Para transformar grados a radianes o radianes a grados, se aplican estas relaciones y una regla de tres
simple. Las siguientes relaciones también pueden ser de utilidad para llevar a cabo las conversiones.
1° =
π
180
radianes
1 radián =
180°
π
En los siguientes ejemplos se lleva a cabo la conversión de ángulos de grados a radianes, utilizando
estas fórmulas.
Ejemplos:
1. Determina el número de radianes a los que equivale un ángulo recto.
Solución.
Un ángulo recto es igual a 90°, luego puedes aplicar cualquiera de las dos expresiones y una regla de
tres, y tienes:
Usando regla de tres: Usando la relación 1° =
(90 )1° =

x=
90° =
π
2
π
180
radianes . π

radianes 
180
 radianes
(90°)(π
radianes ) π
= radianes 180°
2
3
π
2. ¿Cuántos grados equivalen a 4 radianes?
Solucion:
Usando regla de tres:
Usando la relación
1 radián =
180°
π .
180° 
 3 
 π 1 radianes =

π 
 4 
3
540°
π radianes =
= 135°
4
4
4
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3

 π radianes (180°)
540°
4

x° = 
=
= 135°
π radianes
4
3. Javier, quien es el navegante de una embarcación pesquera, recibió la siguiente indicación:
π
radianes
“De tu ubicación actual, dirígete 15 kilómetros con dirección 8
y encontrarás un banco de
peces enorme”. Javier cuenta con una brújula para seguir el rumbo ¿qué dirección debe tomar Javier,
dada en grados, para encontrar el banco de peces?
Solución.
A continuación se muestra una figura que representa el problema, y los cálculos para la conversión.
Usando la relación
1 radián =
180°
π , queda:
180° 
 π 
 1 radianes =

π 
 8 
π
180°
radianes =
= 22.5°
8
8
Figura 1
Por lo anterior, Javier debe dirigir su embarcación con una dirección de 22.5° en dirección NE
¿Recuerdas este tipo de notación?, significa que el barco se debe dirigir en dirección Noreste.
También de la definición de radián, se puede establecer la longitud de un arco circular. De acuerdo con
Stewart y Renlin (2003, p. 472), “en un círculo de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un
ángulo central de φ radianes, es:
s = rφ
De esta fórmula, al despejar φ, queda:
φ=
s
r
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El ángulo φ dado en radianes, también es conocido como desplazamiento angular y describe la
cantidad de rotación de un cuerpo.
4. Encuentra la longitud de un arco circular, cuando el radio de la circunferencia es de 8
centímetros subtendido por un ángulo de 22.5°.
Solución.
La siguiente figura muestra un esbozo del problema.
Antes de calcular la longitud arco buscada (señalada en color azul en la figura), es necesario convertir
el ángulo φ dado en grados a radianes, tienes:
Usando la relación
1° =
π
180
radianes
.
(22.5)1° =

22.5° =
Ahora que has convertido el ángulo de
π
8
π

radianes 
180

radianes
φ = 22.5° a
!
a
radianes, aplica la fórmula de la longitud de
arco:
s = rφ
π 
s = (8) 
8
s =π
Esto es, la longitud de arco es s = π metros.
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5. Determina el ángulo central φ en un círculo de radio de 12 metros, cuando es subtendido por un
arco de longitud de 3 metros. Da la medida del ángulo en grados sexagesimales.
Solución.
Para determinar el ángulo φ , aplicas la fórmula
φ=
φ=
s
r , y tienes:
3 1
= radianes
12 4
Como el ángulo lo piden en grados, conviertes esta cantidad y queda:
Usando la relación
1 radián =
180°
π .
180° 
 1 
 1 radianes =

π 
 4 
1
180° 45°
radianes =
=
≈ 14.32°
4
4π
π
Que es el ángulo buscado.
6. Si la longitud de arco es de 2 metros y el radio de la circunferencia es de 4 metros, calcula el
desplazamiento angular en radianes, grados y revoluciones.
Solución.
Como
φ=
φ=
s
r , sustituyendo en esta ecuación, obtienes:
2m 1
= rad
4m 2
El número de grados, es:
180° 
 1 
 1 radianes =

π 
 2 
1
90°
radianes =
= 28.64°
2
π
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Para convertir de grados a revoluciones, es necesario aplicar la equivalencia 1rev = 360° :
 1rev 
φ = (28.64°)
 = 0.079rev
 360° 
Por otro lado, a la razón de cambio del desplazamiento angular, con respecto al tiempo, se le conoce
como velocidad angular y se expresa por la ecuación
ω=
φ
t.
7. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 2200 revoluciones
por minuto ¿cuál es la velocidad angular de la rueda en radianes por minuto?
Solución.
De la relación 2πrad = 360° = 1rev , se observa que cada revolución (vuelta de la llanta) genera 2π
radianes de desplazamiento angular, por lo que:
 2200 
(2π rad ) = 4400π rad / min
 min 
ω =
De este resultado, se observa que para la velocidad angular no es importante el diámetro de la rueda.
8. Una llanta de automóvil de 15 pulgadas de diámetro, gira a una velocidad de 2200 revoluciones
por minuto ¿cuál es la velocidad lineal de un punto sobre la circunferencia de la llanta?
Solución.
La velocidad lineal es la distancia que recorre el punto por unidad de tiempo, en este caso, el minuto. La
distancia recorrida es la longitud del arco generado por el desplazamiento angular, esto es:
 15 
s = rφ =  (4400π ) = 33000
2
pulgadas
Por lo que la velocidad lineal, es:
vel. lineal = 33000π
pulgadas/minuto
Esta velocidad lineal, expresada en kilómetros por hora, es aproximadamente igual a 158 km/hora.
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Triángulos rectángulos En distintas ramas de la ingeniería se aplican con frecuencia triángulos rectángulos ¿los recuerdas? Un
triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo igual a 90 grados (el ángulo de 90° también es
llamado ángulo recto). La siguiente figura muestra distintos triángulos rectángulos.
Los lados que forman el ángulo recto son conocidos como catetos, al tercer lado que forma el triángulo
rectángulo se le llama hipotenusa ¿Qué observas en cuanto a la longitud de la hipotenusa con respecto
a la longitud de los catetos? ¡Efectivamente¡ la hipotenusa siempre es de mayor longitud que los
catetos.
El teorema de Pitágoras establece, de acuerdo con Sullivan (2006, p. 30), lo siguiente:
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las
longitudes de los catetos.
Si se considera la figura:
c
a
c = hipotenusa
a, b= catetos
90°
b
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De acuerdo con el teorema de Pitágoras, la expresión matemática que representa la relación entre los
lados de este triángulo es:
c2 = a2 + b2
El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema de Pitágoras.
Ejemplos:
1. Un agricultor, propietario de un terreno en forma de triángulo rectángulo, está interesado en
conocer el perímetro del terreno, pues desea colocar una cerca que proteja sus hortalizas de
unas cabras que pastan cerca del lugar.
El agricultor sólo conoce la medida de dos lados del triángulo de su terreno ¿cuál es la longitud del
tercer lado del triángulo? En la siguiente figura se han identificado los lados conocidos del terreno.
Solución.
A partir del análisis de la figura y de los datos conocidos, se observa que el lado desconocido del
terreno corresponde con la hipotenusa del triángulo rectángulo. Si llamas c al lado desconocido y
aplicas el teorema de Pitágoras, obtienes:
c 2 = 25 2 + 18 2
c 2 = 625 + 324
c 2 = 949
Observa que el resultado obtenido, representa la longitud de la hipotenusa al cuadrado, por lo que es
necesario extraer la raíz cuadrada en ambos lados de la igual para determinar el valor de c, queda:
c 2 = 949
c = 30.8m
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Como resultado, obtienes que el lado más largo del terreno mide 30.8 metros de longitud.
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 90 metros y uno de sus catetos
60 metros ¿cuánto mide el otro cateto?
Solución.
Algunas ocasiones es recomendable dibujar el triángulo para
entender mejor qué es lo que se está pidiendo:
Si consideras a b como el cateto desconocido, despejando del
teorema de Pitágoras, obtienes:
Por lo que la longitud del cateto es de 67.08 metros.
3. Un plano cartesiano se utiliza para representar gráficamente puntos, líneas y espacios
geométricos en general, mediante un sistema de coordenadas rectangulares.
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Si representamos, por el origen del plano, a un muelle de donde parte una embarcación y esta se
mueve al punto en el plano (3, 2) en donde se encuentra una pequeña isla en línea recta ¿Qué
distancia recorrerá la embarcación desde el muelle a la isla? Considera que cada división del plano
cartesiano equivale a 10km.
Solución.
Para comprender con más detalle el problema, conviene trazar la trayectoria de la embarcación.
Si observas la figura, la trayectoria y los datos del barco forman un triángulo rectángulo, por lo que la
distancia recorrida por la embarcación corresponde con la hipotenusa del triángulo, de esta forma:
dis tan cia = 32 + 2 2
dis tan cia = 9 + 4 = 13
Por lo anterior, la embarcación recorrió
( 13 ≈ 3.6) aproximadamente 36 kilómetros.
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Las Funciones trigonométricas de ángulos agudos El teorema de Pitágoras que acabas de recordar,
relaciona los cuadrados de las longitudes de los tres
lados de un triángulo rectángulo. En cambio, las
funciones trigonométricas de ángulos son relaciones
entre las longitudes de dos de los lados de un triángulo
rectángulo; analiza a qué se refieren.
Función
trigonométrica
Seno
Coseno
Tangente
Cotangente
Abreviació
n
sen
cos
tan
cot
Secante
sec
Cosecante
csc
Definición
senα =
cos α =
tan α =
cot α =
Cateto Opuesto
Hipotenusa
C. O.
=
H
Cateto Adyacente
Hipotenusa
Cateto Opuesto
Cateto Adyacente
Cateto Adyacente
Cateto Opuesto
=
=
=
C. A.
H
C. O.
C. A.
C. A.
C. O.
sec α =
Hipotenusa
H
=
Cateto Adyacente C. A.
cscα =
Hipotenusa
H
=
Cateto Opuesto C. O.
Tabla 2. Funciones trigonométricas
Por ejemplo, en la tabla se muestra que la función seno es el cociente de la longitud del “cateto
opuesto” y la hipotenusa.
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Una diferencia importante de este triángulo con el triángulo utilizado para el teorema de Pitágoras, es la
forma de nombrar a los catetos. Para el caso de las funciones trigonométricas, es importante definir qué
cateto es el opuesto al ángulo que se toma de referencia y qué cateto se encuentra a un lado
(adyacente) del ángulo de referencia.
El siguiente ejemplo muestra cómo se utilizan las funciones trigonométricas en la solución de triángulos
rectángulos.
Ejemplos:
1. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas
para el ángulo alfa (α ).
Es importante que antes de empezar a determinar las funciones
trigonométricas, identifiques qué cateto es el opuesto y qué cateto es el
adyacente al ángulo de referencia, en este caso el ángulo alfa. En la
siguiente tabla se muestra el mismo triángulo en donde se identifican
los lados del triángulo y las funciones trigonométricas solicitadas.
sen α =
C.O.
12
=
H
208
cosα =
C. A.
8
=
H
208
tan α =
C.O. 12 3
= =
C. A. 8 2
cot α =
C. A. 8 2
= =
C.O. 12 3
secα =
H
208
=
C. A.
8
cscα =
H
208
=
C.O.
12
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Observa cómo las funciones seno y cosecante son recíprocas, es decir, si multiplicas ambas, el
resultado es 1.
 12  208 
 =1
sen α cscα = 


 208  12 
También es cierto que:
sen α =
1
cscα
Lo mismo sucede con el coseno y la secante. La última pareja la forman la tangente y la cotangente. Lo
anterior implica que si se conocen las tres primeras funciones trigonométricas, las siguientes tres se
pueden determinar a partir de éstas.
Regresando al triángulo analizado ¿cuáles serán las funciones trigonométricas para el ángulo beta
(β )?
2. Para el triángulo rectángulo mostrado, determina el valor de las seis funciones trigonométricas
para el ángulo beta (β ).
Recuerda, lo primero es identificar los catetos opuesto y adyacente
para el nuevo ángulo de referencia. En la siguiente tabla se muestra el
mismo triángulo en donde se identifican los lados del triángulo y las
funciones trigonométricas solicitadas.
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sen β =
cos β =
tan β =
cot β =
sec β =
csc β =
C.O.
=
H
8
208 C. A.
12
=
H
208 C.O. 8 2
=
=
C. A. 12 3 C. A. 12 3
= =
C.O. 8 2 H
208
=
C. A.
12 H
208
=
C.O.
8 En los ejemplos anteriores sólo se ha calculado un lado desconocido del triángulo, a partir del
conocimiento de los otros dos lados. En los siguientes ejemplos, además de determinar la longitud de
los lados del triángulo, también “entran al juego” los ángulos del triángulo. Para algunos cálculos, será
necesario que tengas a la mano una calculadora que incluya las funciones trigonométricas.
3. Para el siguiente triángulo rectángulo, determina los ángulos agudos del triángulo y la
hipotenusa.
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Solución.
Usando el teorema de Pitágoras es posible calcular la hipotenusa del triángulo, esto es:
H = 82 + 2 2
H = 64 + 4
H = 68
Ahora que ya conoces los tres lados del triángulo, usa las funciones trigonométricas para determinar los
ángulos. Inicia con el ángulo alfa ( α ).
Si aplicas la función tangente, tienes:
tan α =
C.O. 8
= =4
C. A. 2
Ahora tendrás que utilizar la calculadora.
Para el manejo de ángulos, la calculadora tiene modos específicos. En este caso, es necesario que te
asegures que se encuentre en el modo “grados”. En la plataforma, dentro de herramientas de trabajo,
cuentas con una calculadora científica que puedes usar.
Para calcular el valor del ángulo alfa ( α ), introduce el valor 4 y pulsa la función atan (arco tangente),
esta función te devuelve el valor del ángulo si introduces el valor de su tangente.
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Por lo que el valor del ángulo alfa es:
α = 75.96°
Observa que sólo se consideraron dos cifras decimales.
Dependiendo del problema en cuestión, puede ser necesario considerar más decimales para conseguir
mayor exactitud.
Para determinar el ángulo beta ( β ) puedes utilizar nuevamente la tangente, pero es más sencillo si
consideras que en todo triángulo la suma de sus ángulos internos es igual a 180°, de acuerdo con
Ramírez y Sienra (2003, p. 129).
Lo anterior implica que si α = 75.96° , entonces el valor de β es:
α + β + 90° = 180°
β = 180° − 90° − 75.96°
β = 14.04°
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Usando la calculadora ¿cómo se calculan las funciones trigonométricas como cotangente,
secante y cosecante? Por ejemplo, si lo que se pide es encontrar el valor de
utilizas su función trigonométrica recíproca, es decir:
sec 60° =
sec 60° ,
1
cos 60°
En la calculadora:
4. Para el triángulo mostrado en la siguiente figura, determina los datos faltantes.
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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Patricia Cardona Torres
Solución.
Los datos que faltan son el ángulo β (señalado en la figura), la hipotenusa y uno de los catetos del
triángulo (señalado con x en la figura). Al contar sólo con uno de los lados del triángulo, no es posible
utilizar de inicio el Teorema de Pitágoras. Aplica una función trigonométrica ¿cuál sugieres?, observa.
Si usas la función
seno, tienes:
sen 20° =
C.O.
H
Pero en este caso se
desconoce el cateto
opuesto al ángulo 20° y
la hipotenusa, por lo
tanto, no es posible usar
esta función
trigonométrica.
Si usas la función
coseno, tienes:
cos 20° =
C. A. 6
=
H
H
De esta última
relación, la única
incógnita es la
hipotenusa; despejando,
queda:
H=
6
= 6.385
cos 20°
Aplicando el teorema
de Pitágoras, tienes:
x = H 2 − 62
x = 6.3852 − 6 2
x = 4.76 = 2.18
Este valor puede variar
dependiendo de los
decimales que
consideres en la
calculadora.
Ya sólo falta determinar el ángulo beta ( β ), tienes:
β = 90° − 20° = 70°
En este ejemplo, debido a que la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo deben sumar
90° para que se cumpla que la suma de los ángulos interiores es 180°, sólo se consideró que
α + β = 90° .
¿Estás de acuerdo con los resultados? Es conveniente que todos los cálculos los verifiques, de esta
forma, aparte de practicar, tendrás la certeza de los mismos.
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Las funciones trigonométricas de ángulos especiales Para algunos ángulos especiales como 30°, 45° o 60°, se acostumbra determinar el valor de sus
funciones trigonométricas, a partir de triángulos especiales. Para el caso de un ángulo de 60° (y de 30°
dado que son complementarios) se construye un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud de
2, luego se divide a la mitad y se analiza el triángulo rectángulo generado, como observas a
continuación:
Del triángulo rectángulo anterior, también es posible encontrar las funciones trigonométricas para un
ángulo de 30°. Para calcular las funciones trigonométricas de un ángulo de 45° grados, se construye un
cuadrado de lado igual a 1, se divide a la mitad por la diagonal, y a partir del triángulo rectángulo
generado, se calculan las funciones trigonométricas.
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Aplicaciones en los que aparecen triángulos rectángulos En algunos de los problemas que se analizan en los siguientes ejemplos, se utilizan los conceptos:
ángulo de elevación y ángulo de depresión.
Sullivan (1998, p. 140) menciona que si el objeto que se observa se encuentra arriba de la horizontal,
entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal, se conoce como ángulo de elevación. De la
misma forma, si el objeto se encuentra por debajo de la horizontal, el ángulo entre la línea de visión y la
horizontal, se conoce como ángulo de depresión. Analiza la siguiente figura en donde el ángulo de
elevación se ha señalado en rojo y el ángulo de depresión en azul.
Ejemplo:
En una sala de reuniones de una organización se va a instalar un proyector. Las especificaciones del
fabricante recomiendan que la distancia desde el soporte al centro de la pantalla sea de 3.5 metros ¿a
qué distancia del muro se debe colocar el soporte del proyector?, ¿cuál es el ángulo de depresión?
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Solución.
En la figura se observa que la distancia del muro a la que se debe colocar el soporte del proyector
corresponde con un cateto del triángulo rectángulo, por lo que:
d = 32 − 12 = 8
d = 2.82 m
Aplicando la función seno para determinar el ángulo de depresión, queda:
1
φ = asen  = 19.47°
3
Las funciones trigonométricas para cualquier ángulo Algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas involucran ángulos que no son agudos, por ello,
es necesario extender la definición de las funciones trigonométricas para ángulos de cualquier valor.
Considera las siguientes figuras:
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En estas cuatro figuras se observan distintos valores del ángulo φ (medidos desde el lado positivo del
eje x ), definidos por la posición del punto P ( x, y ) en cada uno de los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano. Así, si φ es agudo, se encuentra en el primer cuadrante (I).
De esta figura se observa que:
C.O. y
=
H
r
C. A. x
cos φ =
=
H
r
C.O. y
tan φ =
=
C. A. x
sen φ =
En donde r =
H
=
C.O.
H
sec φ =
=
C. A.
C. A.
cot φ =
=
C.O.
csc φ =
r
y
r
x
x
y
x2 + y2 .
En este cuadrante, los valores de x y y son positivos, sin embargo, si se consideran ángulos en los
cuadrantes II, III, y IV, los valores de x y y pueden ser positivos o negativos. Por ello, para determinar
las funciones trigonométricas de ángulos en cualquiera de estos tres cuadrantes, se deben considerar
los signos de forma adecuada.
Si analizas para el cuadrante II, obtienes:
y
r
−x
cos φ =
r
y
tan φ =
−x
sen φ =
r
y
r
sec φ =
−x
−x
cot φ =
y
csc φ =
Ejemplo :
1. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ cuando el punto P(2,−2) es el punto
terminal del ángulo.
Solución.
A partir de la siguiente figura, es posible lograr las seis funciones trigonométricas obtenidas.
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8
−2
8
8
2
sec φ =
cos φ =
2
8
2
−2
cot φ =
= −1
tan φ =
= −1
−2
2
Las funciones se han colocado adecuadamente con sus recíprocas: seno‐cosecante; coseno‐
secante; tangente‐cotangente. sen φ =
−2
csc φ =
Ahora que se han determinado las funciones trigonométricas del ángulo φ , ¿cuál es su valor?
Para determinar su valor, puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la
tangente y escribes en la calculadora -1, y se pulsa la tecla atan, obtienes el valor -45.
Es decir, φ = −45 . La calculadora proporciona el valor del ángulo negativo, es decir, un ángulo medido
en el sentido de las manecillas del reloj. Para encontrar el ángulo positivo, en este caso se resta este
valor a 360°, esto es:
360° − 45 = 315° que es el valor del ángulo buscado. La siguiente figura muestra la equivalencia de estos ángulos.
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2. Determina las funciones trigonométricas para el ángulo φ , cuando el punto P(− 3,2) es el punto
terminal del ángulo.
Solución.
El ángulo φ se encuentra en el segundo cuadrante, por lo que su valor se encuentra entre 90° y 180°.
sen φ =
cos φ =
2
13
−3
13
2
tan φ =
−3
13
2
13
sec φ =
−3
−3
cot φ =
2
csc φ =
Para determinar el valor de φ , puedes utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas; si aplicas la
tangente y escribes en la calculadora -2/3, y pulsas la tecla atan, obtienes el valor -33.69°. Al igual que
en el ejemplo anterior, la calculadora proporciona el valor del ángulo negativo. En la siguiente figura se
muestra que para determinar el ángulo positivo, es necesario restar el valor encontrado a 180°.
En este caso, para
encontrar el valor del
ángulo positivo, es
necesario restar
180° − 33.69° = 146.31°
que es el valor del
ángulo buscado.
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En los ejemplos anteriores has encontrado el valor de las funciones trigonométricas a partir de un punto
que determina un ángulo. También es posible determinar las funciones trigonométricas cuando se
conoce una de ellas.
Encuentra las funciones trigonométricas y el valor del ángulo φ , si su coseno es:
cos ! =
3
4
Solución.
Si consideras que el coseno es
cos φ =
x 3
=
r 4 , entonces x = 3 y r = 4 . Con estos valores encuentras
el valor de y despejándola de la relación r =
r = x2 + y2
r 2 = x2 + y2
y2 = r 2 − x2
x 2 + y 2 , tienes:
Ahora puedes encontrar el resto de las
funciones trigonométricas, y obtienes:
y = r 2 − x2
y = 16 − 9 = 7
7
4
7
=
3
3
=
7
4
=
3
4
=
7
sen φ =
tan φ
cot φ
sec φ
csc φ
Al utilizar la función acos en la calculadora, se obtiene que
ángulo cuyo coseno es ¾ ¿por qué?
φ = 41.4° . Sin embargo, este no es el único
El ángulo φ = 41.4° se encuentra en el primer cuadrante, pero un ángulo en el tercer cuadrante
también cumple con la restricción de que su coseno sea positivo.
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De la figura se observa que
4
cos φ =
3 , por lo que φ
también es igual a
φ = 360° − 41.4°
φ = 318.6°
Esto se puede
comprobar calculando
el coseno de los dos
ángulos directamente
en la calculadora, en
ambos casos se
obtendrá 3/4, (o 0.75)
Una forma de recordar el signo de las funciones trigonométricas, en concordancia con el cuadrante del
plano cartesiano, es considerando la siguiente frase “Tosen Tacos”, que proviene de las primeras
letras de las funciones que son positivas en cada cuadrante.
En el primer cuadrante, todas las
funciones son positivas.
En el segundo cuadrante, el seno y su
función recíproca, la cosecante, son
positivas; el resto son negativas.
En el tercer cuadrante, las únicas
positivas son la tangente y la
cotangente.
En el cuarto cuadrante, sólo el coseno y
la secante son positivos.
¿Entonces, para un valor de las funciones trigonométricas
existe más de un ángulo? Así es, además, si se consideran
ángulos mayores a 360° encontrarás más ángulos que también
cumplan con un mismo valor para una función trigonométrica.
En las siguientes lecturas se retoma y se ahonda en este tema.
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euclideanas. [Versión electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google
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A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+internos+es&lr=&cd=88#v=onepage&q=&f=false
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