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Tema 1: Números Complejos
Números Complejos.
Denición. Un número complejo es un par ordenado (x, y) de números reales. Éste puede
interpretarse como un punto del plano cuya abscisa es x y cuya ordenada es y . El conjunto
de todos los números complejos se denota por C. Diremos que dos números complejos (a, b)
y (c, d) son iguales si a = c y b = d.
Un número real x puede ser interpretado como el número complejo (x, 0). Por medio de esta
identicación podemos decir que R es un subconjunto de C.
Operaciones.
• Suma: Si (a, b), (c, d) ∈ C, entonces
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Se comprueba que la suma tiene la propiedad asociativa, conmutativa, posee elemento neutro
(0, 0) y cada (a, b) ∈ C, tiene opuesto (−a, −b).
• Producto: Si (a, b), (c, d) ∈ C, entonces
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
Se comprueba que el producto tiene la propiedad asociativa,
conmutativa, posee
elemento
µ
¶
a
b
neutro (1, 0) y cada (a, b) ∈ C − {(0, 0)}, tiene inverso
,−
. Además, el
a2 + b2 a2 + b2
producto es distributivo respecto de la suma.
Unidad imaginaria.
Hemos dado una denición especial de producto y nos encontramos con la siguiente situación
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)
es decir, hemos encontrado un número complejo cuyo cuadrado podemos identicar con −1.
Lo llamaremos unidad imaginaria y lo denotaremos con i.
Observemos el comportamiento de la unidad imaginaria
i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i
i4 = 1 i5 = i i6 = −1 i7 = −i
i8 = 1 i9 = i i10 = −1 i11 = −i
..
..
..
..
.
.
.
.
En consecuencia, si n ∈ N, tenemos in = ir siendo r el resto de dividir n entre 4.
1
Si z = (x, y) ∈ C, entonces se puede escribir como sigue
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1) ≡ x + y i
Formas de representar un número complejo
Forma cartesiana: z = (x, y)
Forma binómica: z = x + y i
Módulo y Argumento de un Número Complejo.
Deniciones. Dado un número complejo z = x+y i, se denomina parte real de z al número
real x y se denota Re(z). Llamaremos parte imaginaria de z al número real y , lo denotaremos
con Im(z). Así tenemos
z = Re(z) + Im(z) i
Un número complejo cuya parte real sea 0 será llamado imaginario puro.
Denición. Dado el número complejo z = x + y i, se denomina conjugado de z al número
complejo x − y i y lo denotaremos z .
z =x−y i
Proposición. Si z, w ∈ C, entonces se verica:
(1) z + w = z + w
(3) α · z = α · z con α ∈ R
(5) z · z = Re(z)2 + Im(z)2
(7) Im(z) =
1
(z − z)
2i
(2) z · w = z · w
(4) z = z
1
(6) Re(z) = (z + z)
2
(8) si z 6= 0, entonces
z
1
=
z
z·z
Denición. A cada número complejo z se asigna un número real no negativo denominado
módulo de z que denimos como la raíz cuadrada positiva de z · z y denotamos con | z |
√
| z |= + z · z
Proposición. Si z, w ∈ C, entonces se verica:
(1) | z |= 0 ←→ z = 0
(2) | z · w |=| z | · | w |
(3) | Re(z) |≤| z |,
(4) | z |=| z |
| Im(z) |≤| z |
(5) | z + w |≤| z | + | w |
¯w¯ | w |
¯ ¯
(7) Si z 6= 0, entonces ¯ ¯ =
z
|z|
(6) | | z | − | w | |≤| z − w |
Denición. A cada número complejo no nulo z = (x, y) le asociamos un número real que
denominamos argumento de z y que denimos como cualquier número real θ que verique
x =| z | cos(θ)
y =| z | sin(θ)
2
Escribiremos arg(z) = θ.
Como las funciones seno y coseno son funciones periódicas, podemos armar que si θ es un
argumento de z también lo es θ + 2kπ con k ∈ Z. Pero cada z ∈ C − {(0, 0)} posee un único
argumento en el intervalo (−π, π] que se denomina argumento principal de z .
Denición. Si z es un número complejo no nulo, podemos calcular su módulo y un argu-
mento de z y, en consecuencia, podemos escribir
z=
=
=
=
x+y i
( | z | cos(θ) ) + ( | z | sin(θ) ) i
| z | ( cos(θ) + sin(θ) i )
| z | eθ i
Esta última forma de representar un número complejo es conocida como forma polar de z .
Nota. La forma polar resulta muy útil para multiplicar y dividir números complejos no
nulos: si z =| z | eθ i y w =| w | eα i , entonces
z · w =| z || w | e(θ+α)
z
| z | (θ−α)
=
e
w
|w|
i
i
Resumen. Un número complejo no nulo z se puede representar de las siguientes formas:
Forma cartesiana: z = (x, y)
Forma binómica: z = x + y i
Forma polar: z =| z | eθ
i
Potencias y Raíces de un Número Complejo.
Potenciación. Sea z un número complejo no nulo y n ∈ Z. Llamaremos potencia n-ésima de z
y escribiremos z n a
z n = z · . . . · z,
z −n = (z −1 )n
Fórmula de De Moivre.
z0 = 1
si n ≥ 0
si n > 0
(eθ i )m = e(mθ) i con m ∈ Z
Cálculo de potencias. Si z =| z | eθ i es un número complejo no nulo y m ∈ Z, entonces
zm =
¡
| z | eθ
i
¢m
=| z |m
¡
eθ
i
¢m
=| z |m
¡
e(mθ)
i
¢
Radicación. Sea z un número complejo no nulo y n ∈ N. Diremos que w ∈ C es una
raíz n-ésima de z si
wn = z
Si z = 1, hablaremos de raíces n-ésimas de la unidad.
3
Cálculo de raíces. Consideremos un número complejo no nulo z =| z | eθ i y n ∈ N,
pretendemos encontrar un número complejo w =| w | eα i tal que wn = z , esto es,
¡
¢n
wn = z −→
| w | eα i =| z | eθ i
−→
| w |n e(nα)
i
=| z | eθ
i
θ + 2kπ
con k ∈ Z.
n
Como la función seno y coseno son funciones periódicas (2π ), de los innitos argumentos que
existen bastará considerar k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, es decir, los argumentos
Por tanto, | w |n =| z | y α =
θ + 2(n − 1)π
θ θ + 2π
,
,...,
n
n
n
para construir las n raíces n-ésimas de z distintas:
w1 =
p
p
p
θ+2(n−1)π
θ+2π
θ
n
| z | e n , w2 = n | z | e n , . . . , w n = n | z | e n
Las
n raíces n-ésimas de z residen en una circunferencia centrada en el origen y de radio
p
n
| z | y determinan los vértices de un polígono regular de n lados (n ≥ 3).
Problemas Sesión 1
(P.I) Efectuar las operaciones siguientes
µ
(a)
(e)
¶µ
¶
√
√
1 2
1
3+i
+ i
2− i
(b) (2 3 − i)(3 − 2 3 i) (c)
2 3
2
2−i
(2 − 3i)(3 − 2i)
(1 + i)2
(f )
(2 − 3i)(3 + 2i)
(3 + 2i) − (2 + i)
(g)
(d)
5−i
5+i
(1 − i)2 i
2+i
(P.II) Desarrollando por las fórmulas del binomio de Newton calcular:
Ã
(a) (1 − i)3
(b) (−1 + i)5
(c)
√ !7
7+ 3 i
√
2 3−i
(P.III) Hallar el valor x para que el producto (2 − i)(x + 3i) sea un número imaginario puro.
2 + xi
sea un número real.
3−i
√
1 + 3i
(P.V) Hallar el valor de x para que el cociente
tenga módulo 5.
1 + xi
(P.4)(pág. 38) Prueba que | z − u |≥| z | − | u |.
(P.IV) Hallar el valor de x para que el cociente
(P.6)(pág. 38) Describe los siguientes subconjuntos del plano complejo:
(i) | z − 2 |> |z − 3|
1
(b) = z
z
4
(c) | z |2 = Im(z).
(P.VI) Demostrar que para cualesquiera números complejos se cumple que:
(1 − |z|2 )(1 − |w|2 ) =| 1 − z w |2 − | z − w |2
Problemas Sesión 2
(P.I) Calcula las potencias que se indican, efectuando las operaciones en forma polar, y expresando el resultado en forma binómica:
µ
√
(i) (−2 + 2 3 i)6
(P.II) Calcular:
q
(a)
√
(ii)
1−i
√
1+ 3 i
√
(1 + 3 i)3
(iii)
(1 + i)2
¶10
q
2−2 3 i
(b) (1 + i)
5
3
(c)
4
√
−8 + 8 3 i
(P.16)(pág. 40) Calcular las raíces cúbicas de -i.
(P.21)(pág. 41) Calcular las raíces cúbicas de la unidad. Si llamamos w y w0 a las dos raíces
complejas, comprueba que se verican las relaciones siguientes:
(i) 1 + w + w2 = 0
(ii) w0 = w2
(iii) w = (w0 )2
(iv) w · w0 = 1
(P.III) Resolver las ecuaciones que se indican:
(a) 4x3 + 32 = 0
(b) x3 − 27 = 0
5
(c) x4 + 4 = 0.