Download unidad ii variable aleatoria

INSTITUTO de TECNOLOGÍA O. R. T.
Carrera: Análisis de Sistemas de Computación
Instituto Incorporado a la Enseñanza Oficial (A-763)
CURSO DE ESTADÍSTICA
UNIDAD II
VARIABLE ALEATORIA
Algunas definiciones
Variable aleatoria:
descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio.
Variable aleatoria discreta:
es aquella variable que puede asumir una cantidad finita de resultados posibles o, una
cantidad infinita numerable.
Variable aleatoria continua:
es aquella variable que puede asumir cualquier valor de un intervalo o de un conjunto de
intervalos de números reales.
Función de probabilidad:
regla que asigna probabilidades a cada valor que puede tomar la variable.
Función de densidad de probabilidad:
función que asigna probabilidades a los intervalos de valores de una variable aleatoria
continua. La probabilidad que le corresponde a un intervalo es el área sobre ese intervalo y
bajo la curva representativa de la función.
Función de Distribución:
definida para cualquier valor x
, da la probabilidad acumulada hasta ese valor x.
Esperanza o media o valor esperado de una variable aleatoria:
medida de la localización central de la variable aleatoria.
Cálculo de la esperanza de una variable aleatoria discreta:
E ( x)
xf ( x )
Varianza de una variable aleatoria:
medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria.
Cálculo de la varianza de una variable aleatoria discreta:
Var ( X )
1Versión 2007
2
(x
2
) f ( x)
2
E(X )
2
E (X )
1
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Desviación estándar de una variable aleatoria:
medida de variabilidad o de dispersión de una variable aleatoria, medida en la misma
unidad que las observaciones de la variable aleatoria en cuestión.
Cálculo del desvío estándar de una variable aleatoria:
2
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Var ( X )
2
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PRÁCTICA 2
1) Diga cuál de las siguientes funciones es una función de probabilidad. Explique por qué
una lo es y las otras no.
a
b
c
f1(x)
f2(x)
f3(x)
0.30
0.40
0.40
0.20
0.10
0.10
0.10
0.10
0.20
0.05
0.10
0.10
0.05
0.30
0.30
2) La cantidad de autos que un empleado de un lavadero atiende diariamente varía según la
siguiente ley de probabilidades:
Cantidad de autos 1
2
3
4
5
6
7
8
Probabilidad
0.08 0.10 0.11 0.12 0.15 0.19 0.15 0.10
El empleado recibe por día $10 más $5 por cada auto que lava.
a) Tabule la función de distribución de la cantidad de autos que el empleado lava en
un día.
b) Tabule la función de distribución de la ganancia diaria del empleado.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado en un día lave a lo sumo cuatro autos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado en un día lave por lo menos cinco
autos?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado en un día lave seis autos?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado reciba en un día a lo sumo $42?.
g) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado reciba en un día $35?
h) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado reciba en un día $44?
f) Calcule la media y el desvío estándar de las variables aquí consideradas.
3) En la siguiente tabla se dan las distribuciones de probabilidad de los valores con los que
califican su satisfacción en el trabajo los empleados de cierta empresa, para los cargos
gerenciales y, para los cargos jerárquicos, no gerenciales. Las calificaciones van desde
1-muy insatisfecho hasta 5-muy satisfecho.
Calificación Cargos gerenciales Cargos jerárquicos
1
0.05
0.04
2
0.09
0.10
3
0.03
0.12
4
0.42
0.46
5
0.41
0.28
a) Tabule las funciones de distribución de las dos variables en estudio.
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3
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo gerencial exprese su
satisfacción en el trabajo con una calificación de por lo menos 4?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado con cargo jerárquico, no gerencial, esté
muy satisfecho en su trabajo?.
d) Calcule la calificación media para los empleados con cargos gerenciales y, la
calificación media, para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales.
e) Calcule la varianza y desvío estándar para los empleados con cargos gerenciales y,
también para los empleados con cargos jerárquicos, no gerenciales.
f) ¿Qué grupo de empleados expresa mayor satisfacción?
4) El gerente de producción de una fábrica considera que, la variable aleatoria con la
función de distribución tabulada, es un modelo adecuado para el número diario de veces
que se utiliza determinada herramienta.
r
0
1
2
3
f(r) 0.1 0.5 0.8 1.0
a)
b)
c)
d)
Calcule la probabilidad de que la herramienta se utilice por lo menos una vez al día.
Calcule la probabilidad de que la herramienta se utilice a lo sumo una vez al día.
Calcule la probabilidad de que la herramienta se utilice una o dos veces al día.
¿Cuántas veces al día se espera que la herramienta sea utilizada?
5) La vida, en horas, de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria con la siguiente
función de distribución:
0
F ( x)
1
e
x / 50
si x
0
si x
0
a) Haga una tabla de la función de distribución F(x) para los valores de x de la sucesión
finita que comienza en –50 y termina en 400 con un incremento de 25 entre un
término y el siguiente. Hágalo con Excel.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo falle en las primeras 25 horas de
funcionamiento?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo funcione 100 horas o más?
6) La proporción de personas que responden a cierta solicitud de pedido por correo, es una
variable aleatoria X con la siguiente función de densidad:
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4
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f ( x)
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2x
si 0
x
1
0
en otro caso
a) Obtenga la función de distribución F(x) correspondiente a esta variable.
b) Haga una tabla de la función F(x) para los valores de x de la sucesión finita
–0.35; -0.30; -0.25; ...;1.25; 1.30. Hágalo con Excel.
c) Calcule la P ( X 0 .1)
d) Encuentre la probabilidad de que, más de ¼ pero menos de ½, de las personas a las
que se les envió la solicitud, respondan a ésta.
7) Una estación de servicio llena sus tanques una vez al mes hasta completar los 20000
litros. El total de nafta, en decenas de miles de litros, que se despacha por mes es una
variable aleatoria con función de densidad:
f(x)
x
si
0
2-x
si
1
0
x
x
1
2
para otro x
a) Halle la función de distribución F(x) de la variable mencionada.
b) Haga una tabla de la función F(x) para los valores de x de la sucesión finita
–0.2; -0.1; 0.0; 0.1; 0.2; ...;2.0; 2.1; 2.2. Hágalo con Excel.
c) Calcule la probabilidad de que en cierto mes se despachen a lo sumo 18000 litros.
d) Calcule la probabilidad de que en cierto mes se despachen por lo menos 5000 litros.
e) Calcule la probabilidad de que en cierto mes se despachen entre 8000 y 12000litros
RESPUESTAS
1.
2.
3.
4.
5.
a) no, b) si, c) no.
c) 0.41 d) 0.59 e) 0.19 f) 0.75 g) 0.15 h) 0 g) media = 4.83, desvío = 2.0979
b) 0.83 c) 0.28 d) 4.05 y 3.84 e) 1.2475 , 1.1169 y 1.1344 , 1.0651
a) 0.9 b) 0.5 c) 0.7 d) 1.6
b) 0.3935 c) 0.1353
0
6.
a) F ( x )
x
2
1
si x
0
si 0
x
si x
1
0
1
7.
a)
F( x )
c) 0.1 d) 0.1875
1
si
x
2
si 0
x
x
0
1
2
-
1
c) 0.98 d) 0.875 e) 0.36
x
2
2x
1
si 1
x
2
si
2
x
2
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