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DE
MATEMÁTICAS
III
Lección 3:
Orden e intervalos
La recta real
En la lección anterior presentamos los números reales y vimos
que éstos están constituidos por los números racionales y
los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es
conveniente representar números usando una recta. Así, una
manera de representar números naturales era la siguiente:
0
1
2
3
4
5
Al estudiar los enteros también se utilizó esta representación
y la recta se veía ahora así:
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
Posteriormente estudiamos los racionales y también los
agregamos a la recta:
–5
32
–4 -3.5 –3
–2
–1 -
3
4
0 1
2
1 1.5 2
3 3.8 4
5 5.1
L
Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos los
números racionales y los números irracionales, tendríamos un
modelo de los números reales, que se llama recta real. Cada
punto de la recta representa un número real y a cada número
real le corresponde un punto de la recta.
Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimos
comparar números reales. Como sucedía con los naturales,
enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es
el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo
se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores
que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemplo
3
3
que –1 < - 4 porque aparece, en la recta real, más a la
4
derecha que –1.
Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para
comparar enteros y racionales. De dos números negativos el
mayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menor
cuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando este
3
3
mismo ejemplo se tiene que 4 es menor que 1, entonces - 4 es
mayor que –1.
Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que con
los racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tiene
mayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que
99.874 porque 123 es mayor que 99; π es mayor que √2 porque la
parte entera de π es 3 y es mayor que la de √2 que es 1.
Cuando los números tienen partes enteras iguales, se
compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: es
mayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primer
lugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que
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25.090 porque la primera cifra decimal del primero es 6, que
es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0.
Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de
ambos números son iguales, entonces se procede a comparar
entre sí las segundas cifras decimales en ambos números.
Y así, sucesivamente.
Como ya se ha dicho, los números irracionales se trabajan en
general mediante una aproximación ya que no es posible escribir
todas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximación
con la que queremos trabajar podemos compararla con otros
números como ya se ha explicado aquí.
Ejercicio 1
Escriba los símbolos < , = , > según corresponda:
a) 2.098
b) –π
e) π
f) 0.098
34
1.567
–1.9
1.9
c) –3.467
3.45
d) 12.97
12.098
g) 2
–1.001
h) –1.4
√2
-√2
L
Intervalos de números reales
Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otras
lecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo de
números reales es un conjunto de números reales, también puede
verse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un
segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aquí:
2
3.5
Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que se
llama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a tres
punto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremos
con un paréntesis y separados por una coma, así (2, 3.5). Como
podemos observar, identificamos el intervalo mencionando sus
extremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de
los extremos y luego el derecho.
El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado
es el conjunto de todos los números que están entre 2 y 3.5, es
decir, todos los números más grandes que 2 y más chicos que 3.5.
Decimos que (2, 3.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo 3.6 no
está en este intervalo porque es mayor que 3.5. Tampoco el 0
está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos
preguntarnos si 3.490 estará en el intervalo y la respuesta es
sí, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de un
intervalo abierto no están en él: 2 no está en el intervalo porque
no es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5.
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Para saber si un número está en un intervalo dado
necesitamos comprobar dos condiciones:
• Que sea mayor que el extremo izquierdo
• Que sea menor que el extremo derecho
Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el número
dado no estará en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en el
intervalo "de cero a nueve décimos":
0
0.9
¿Cuáles de los siguientes números están en este intervalo?
1,
0.91,
1000,
0.899,
–5,
–0.4,
3,
–115.
Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las dos
condiciones:
Ser mayor que 0
Ser menor que 0.9
Rápidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que
0.9. Por la misma razón descartamos a 3 y al 1. Como cualquier
negativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0,
salen todos los negativos. Quedan por decidir:
0.91
y 0.899.
Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0.
Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.91
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LECCIÓN 3
y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos
comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra
decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando
0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. Así que 0.91 no cumple
la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora
el segundo número: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera
cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera
cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 está en
el intervalo.
Cuando un número está en un intervalo decimos que
"pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "no
pertenece" al intervalo.
Para trabajar con intervalos son útiles los símbolos > y <. Así,
si queremos saber si un número x está en el intervalo (–1.3, 1.1)
necesitamos comprobar dos cosas:
Si x > –1.3 y
Si x < 1.1.
Por ejemplo, nos preguntamos cuáles de los siguientes
números pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1):
2.8,
0.98,
–0.5,
0.5,
–4,
1.2,
1.09,
1.10.
2.8 >–1.3 pero no es menor que 1.1, así que 2.8 no pertenece
a (–1.3, 1.1).
0.98 > –1.3, y también 0.98 < 1.1, así que 0.98 sí pertenece
al intervalo (–1.3, 1.1).
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Al revisar los otros números encontramos que:
–0.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque –0.5 > –1.3 y –0.5 < 1.1
0.5 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 0.5 > –1.3 y 0.5 < 1.1
–4 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque –4 < –1.3
1.2 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.1
1.09 pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.09 > –1.3 y 1.09 < 1.1
1.10 no pertenece a (–1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1
Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestros
ejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos los
extremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a
sus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto
de números formado por el 2, el 5 y todos los números que
están entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es un
intervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notación está
dada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesis
cuadrados, también llamados corchetes. Podemos representar
un intervalo cerrado así:
2
5
Para comprobar si un número x está en un intervalo
cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos
comprobar dos cosas:
Que x sea mayor o igual que el extremo inferior.
Esto lo escribimos así: a ≥ –2.3
Que x sea menor o igual que el extremo inferior.
Esto lo escribimos así: a ≤ –1.4
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LECCIÓN 3
Por ejemplo, veamos si los siguientes números pertenecen al
intervalo [–2.3, –1.4]:
–1.8,
0,
1.2,
–1.2,
–2.3,
–2.6,
–1.4,
–1.5
Al analizar cada uno observamos que:
–1.8 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.8 ≥ –2.3 y –1.8 ≤ –1.4
0 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 0 > –1.4
1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque 1.2 > –1.4
–1.2 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.2 > –1.4
–2.3 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.3 ≥ –2.3 y –2.3 ≤ –1.4
–2.6 no pertenece a [–2.3, –1.4] porque –2.6 < –2.3
–1.4 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.4 ≥ –2.3 y –1.4 ≤ –1.4
–1.5 pertenece a [–2.3, –1.4] porque –1.5 ≥ –2.3 y –1.5 ≤ –1.4
Combinando las notaciones anteriores podemos escribir
intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sólo
un extremo. Por ejemplo, el intervalo
• [3, 7)
• (3, 7]
contiene al número 3, y a todos los números
mayores que 3 y menores que 7. Es decir, x
pertenece al intervalo [3, 7) si x ≥ 3 y si x < 7.
Decimos que [3, 7) es un intervalo abierto por
la derecha.
contiene a todos los números mayores que 3 y
menores que 7 y también al número 7. Es decir,
x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x ≤ 7.
Decimos que (3, 7] es un intervalo abierto por
la izquierda.
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En general, si llamamos a y b a dos números cualesquiera y a
< b, tenemos:
Representación
en símbolos
Representación
gráfica
Contiene
x pertenece al
intervalo si:
Intervalo abierto
Intervalo
cerrado
(a, b)
[a, b]
a
b
a
Intervalo abierto Intervalo abierto
por la derecha por la izquierda
[a, b)
b
a
(a, b]
b
a
b
A todos los
números
mayores que a y
menores que b.
Los extremos a y
b no pertenecen
al intervalo.
A los números
a, b y a todos
los que son
mayores que a y
menores que b.
Los extremos a
y b pertenecen
al intervalo.
Al número a,
y a todos los
que son mayores
que a y menores
que b.
El extremo a
pertenece al
intervalo, b no
pertenece a él.
A todos los
números
mayores que a
y menores que b
y al número b.
El extremo a
no pertenece al
intervalo, b sí
pertenece a él.
x>a
x<b
x≥a
x≤b
x≥a
x<b
x>a
x≤b
Ejercicio 2
En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al
intervalo de la derecha:
a)
0.9
(1.7, 2.3)
b)
–1.56
(–1.5, 1.5)
c)
1.31
(1.3, 2)
d)
2.08
(2.079, 2.081)
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LECCIÓN 3
e)
–3.5
(–5, 5)
f)
–0.00001
(0, 0.5)
g)
9.0001
(–15, 9.01)
h)
π
(3.1, 3.2)
i)
–π
(–4, 2)
j)
π
(–π, π)
k)
√2
(0, π)
l)
–2.38
(–2.3, –1.8)
m) 5
(5, 10]
n)
8
[8, 24]
o)
–6
[–6, 0)
p)
0
[–6, 0)
q)
–3.28
(–3, 3)
r)
1/2
[0, 1]
s)
-5/2
(–1, 0)
t)
3.5
[3, 3.5)
u)
–2.7
(–3, –2)
v)
1.799
(1, 1.8)
w) 3.0001
(3, 4)
x)
(–345.12, –128.17]
–128.16
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