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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
COMBINACIONES
En muchos problemas de probabilidad es necesario conocer el
número de maneras en que r objetos pueden seleccionarse de un
conjunto de n objetos. A esto se le denomina número de
combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos.
Para calcular el número de combinaciones diferentes de r objetos
tomados de una población n objetos se usa la siguiente fórmula:
C rn
n!
=
r !( n − r )!
El signo de admiración en este caso significa “factorial”, es decir
que se multiplican los valores del 1 hasta n:
ejemplo 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Ejemplo.
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un
examen.
¿Cuántas maneras de escoger tiene?
¿Cuántas maneras si las tres primeras preguntas son obligatorias?
a) Las 8 preguntas pueden tener
C810
10!
=
= 45
8!(10 − 8)!
45 combinaciones posibles
b) Si contesta las 3 primeras preguntas, entonces puede escoger
las otras 5 de las 7 últimas preguntas, por lo que
C 57
7!
=
= 21
5!(7 − 5)!
tiene 21 maneras posibles todavía
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En ocasiones queremos analizar los resultados de efectuar un
número de observaciones en los que la variable sólo puede tomar
ciertos valores puntuales. A esto le llamamos distribución de
variable discreta.
Por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado
que cae, está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la
probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la
misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada suceso
tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de
probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que
caiga la moneda de algún lado es 0.5.
Esto también lo podríamos haber resuelto conociendo el
número de total posibilidades (2) y considerando cada uno
de los casos (1).
Entonces
F 1
P=
=
N 2
donde
P es la probabilidad de que algo suceda
F es el número de casos favorables (o éxitos)
N es el número total de posibilidades.
La manera más común en que se presentan las probabilidades de
una variable discreta es la distribución conocida como
binomial.
binomial
En muchos casos podemos resolver problemas que tienen que ver
con la estadística considerando una distribución binomial.
Esto se presenta cuando el resultado de una medición o
experimento puede tener sólo dos posibilidades. A una de ellas
comúnmente se le denomina “éxito” (aún cuando el resultado no
sea muy agradable) y a la otra “fracaso”. Por ejemplo:
• tirar una moneda y esperar que salga “sol” podría ser el éxito y
“águila” sería entonces fracaso,
•obtener un producto defectuoso podría ser “éxito”, mientras
que el producto libre de defectos sería “fracaso” (claro que
podría ser al revés)
•tomar en cuenta una venta en un almacén por persona podría
ser nuestro éxito, mientras que no realizarla sería fracaso, etc.
Para construir un proceso binomial se necesita lo siguiente:
1) En el experimento sólo hay dos resultados
a)
EXITO = 1
b)
FRACASO = 0
2) A la probabilidad de éxito se le llama “p”
3) A la de fracaso se le llama“q”
4) Se cumple que p + q = 1
(por lo tanto q = 1 – p )
5) La probabilidad de éxito permanece constante
6) Los eventos son independientes. Por ejemplo: si lanzamos una
moneda las segunda vez no importa lo que pasó antes.
7) El experimento se realiza “n” veces
8) Lo que se desea es conocer la probabilidad de “éxito”, P(x),
en los “n” intentos. (Nota: éxito no significa que sea bueno, sólo
significa que ocurra el evento).
Para conocer la probabilidad de “éxito” es necesario calcular las
posibles combinaciones de la variable, y mutiplicarlas por las
probabilidades de cada suceso:
P( x) = C p q
n
x
x
n− x
donde
P(x) es la probabilidad de que ocurran x éxitos en n intentos
n!
n
Cx =
x!( n − x )!
es el coeficiente que da todas las
posibles combinaciones
p es la probabilidad individual de éxito
q es la probabilidad individual de fracaso
n es el número de veces que se realiza el experimento o
medición
Al emplear esta fórmula podemos graficar las probabilidades de
ocurrencia de todos los casos de interés, lo que nos dan gráficas
como las siguientes (la curva azul es la distribución normal).
¿Qué notas de diferencia entre las barras verticales y la curva azul?
Veamos cómo funciona con ejemplos:
Ejemplo 1.
¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 “águilas” en 6 volados?
Para este problema
n = 6, x = 4 y p = 0.5 por lo que:
6!
720
4
2
P ( 4) =
(0.5) (0.5) =
0.015625 = 0.2343
4!⋅2!
24 ⋅ 2
haciendo una gráfica con los valores correspondientes tendríamos
Respuesta: 23.43%
Ejemplo 2.
Se ha determinado previamente que la probabilidad de que un cliente
potencial elegido al azar realice una compra es de 0.20. Si un vendedor
visita a 6 clientes potenciales, calcular la probabilidad de que:
a) Ninguno de los clientes haga una compra,
P(x=0), x = 0, n = 6, p = 0.2, q = 1 − p = 1 − 0.2 = 0.8
P (0) = C 06 (0.2)0 (0.8)6
P (0) =
6!
( 0 .8 ) 6
0!⋅6!
P (0) = (0.8)6 = 0.262144
Respuesta: 26.21%
b) Exactamente cuatro clientes realicen una compra,
P(x=4), x = 4, n = 6, p = 0.2, q = 1 − p = 1 − 0.2 = 0.8
P (4) = C 46 (0.2)4 (0.8)2
6!
( 0 .2 ) 4 ( 0 .8 ) 2
P ( 4) =
4!⋅2!
P (4) = 0.0154
Respuesta: 1.54%
c) Cuando más, tres prospectos realicen una compra, notar ahora
P(x≤3), o sea que se pueden hacer 1, 2 o 3 ventas.
Aquí necesitamos sumar las probabilidades de cada caso válido:
P(x≤3)x = 0, 1, 2 y 3; n = 6, p = 0.2,
q = 1 − p = 1 − 0 .2 = 0 .8
P ( x ≤ 3) = P (0) + P (1) + P ( 2) + P ( 3)
P ( x ≤ 3) = C06 (0.2)0 (0.8)6 + C16 (0.2)1 (0.8)5 + C 26 (0.2)2 (0.8)4 + C 36 (0.2)3 (0.8)3
P ( x ≤ 3) = 0.983
+
+
Respuesta: 98.3%
+
Ejemplo 3.
El fabricante de una unidad de disco de una conocida marca de
computadoras espera que 2% de las unidades funcionen mal durante el
período de garantía. En una muestra de 10 unidades de disco ¿Cuál es la
probabilidad de que?:
a) Exactamente una funcione mal durante su período de prueba
x = 1, n = 10, p = 0.02, q = 1 − p = 1 − 0.02 = 0.98
P (1) = C110 ( 0.02)1 (0.98) 9
P (1) = 0.167
Respuesta: 16.7%
P(x=1)
b) Al menos dos funcionen mal durante la prueba
x ≠ 0, 1 n = 10, p = 0.02,
q = 1 − p = 1 − 0.02 = 0.98
P ( x ≥ 2) = 1 − P (0) − P (1)
P ( x ≥ 2) = 1 − C010 (0.02)0 (0.98)10 − C110 (0.02)1 (0.98)9
P ( x ≥ 2) = 0.016
Mejor le resto esto a 1.0
Respuesta: 1.6%
Actividad 1.
Sabemos que el 90% de los estudiantes que toman un curso elemental de
estadística aprueban ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3
estudiantes en una clase de 15 no aprueben el curso?
en este caso la probabilidad de reprobar es 0.10, P(x>2)
x ≠ 0 ,1 y 2 n = 15, p = 0.10, q = 1 – p = 1 – 0.10 = 0.90
P( x) = 1 − P(0) − P(1) − P(2)
P( x) = 1 − C015 (0.1)0 (0.9)15 − C115 (0.1)1 (0.9)14 − C215 (0.1) 2 (0.9)13
P( x) =
Tarea 7. Se sabe que el 10% de las pantallas de plasma de cierta marca
fallarán antes que expire su garantía. Calcular la probabilidad de que de 30
pantallas, 5 o más fallen antes de que termine su garantía.
Media y Varianza de una distribución discreta de probabilidades.
Para una distribución discreta, como la binomial, la media se calcula de la
siguiente manera:
μ = E ( x ) = ∑ xi P( xi )
Es decir se multiplican los valores , por su probabilidad y se suman
Por otro lado la varianza se calcula:
2
2
σ = E [( x − μ ) ] = ∑ ( x i − μ )2 P ( x i )
Siendo la desviación estándar como anteriormente:
σ = σ2
Ejemplo:
El experimento es lanzar una moneda dos veces, para calcular la media de
la distribución, tenemos que calcular las probabilidades de cada una de las
posibilidades, supongamos que calculamos las probabilidades que nos
salgan águilas:
P( 0 ) = C02 (.5 )0 (.5 )2 = 0.25
P( 1 ) = C12 (.5 )1(.5 )1 = 0.5
P( 2 ) = C22(.5 )2(.5 )0 = 0.25
sustituimos en las fórmulas:
μ = E ( x ) = ∑ xi P ( xi )
μ = 0( 0.25 ) + 1( 0.5 ) + 2( 0.25 ) = 1
σ 2 = ∑ ( x i − μ )P ( x i )
σ 2 = ( 0 − 1 )2 ( 0.25 ) + ( 1 − 1 )2 ( 0.5 ) + ( 2 − 1 )2 (.25 ) = 0.5
σ = σ 2 = 0.707