Download Funciones trigonométricas hiperbólicas

senh ( )
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS
Las funciones trigonométricas hiperbólicas son combinaciones especiales de funciones exponenciales, que aparecen
en la solución de algunas ecuaciones diferenciales. Se les llama así porque tienen algunas características similares a
las funciones trigonométricas (circulares).
Definiciones
Identidades
senh x ≡
x
e −e
2
−x
senh x e x − e − x
tanh x ≡
=
cosh x e x + e − x
cosh x ≡
x
e +e
2
−x
1
coth x ≡
tanh x
Gráfica
4
cosh x + sinh x =
ex
cosh 2 x − sinh 2 x =
1
1
1 − tanh 2 x =
cosh 2 x
senh ( 2x ) = 2senh x cosh x
2
senh
=
( A ± B ) senh A cosh B ± cosh A senh B
0
-2
-1
-1
0
1
2
-2
senh(x)
-3
tanh(x)
cosh
=
( A ± B ) cosh A cosh B ± sinh A sinh B
cosh(x)
coth(x)
-4
Valores límite
senh x =
cosh x =
tanh x =
coth x =
x →0
x → −∞
x →∞
0
−∞
∞
∞
∞
0
±∞
−1
−1
1
1
Relaciones mutuas
=
x
senh
cosh
x
=
=
tanh x
2
x −1
cosh =
2
senh=
x +1
sinh x
=
sinh 2 x + 1
Argumento negativo
senh ( − x ) =
− senh x
tanh ( − x ) =
− tanh x
tanh x
=
1 − tanh 2 x
1
=
1 − tanh 2 x
2
2
coth x − 1
coth x
coth 2 x − 1
senh ( z ) = −i sen ( z )
Integrales
d
tanh u=
dx
d
coth u=
dx
(1 − tanh u) du
dx
2
(1 − coth u) du
dx
2
udu
∫ senh=
udu
∫ cosh=
tanh udu
∫=
coth udu
∫=
cosh ( − x ) =
cosh x
coth ( − x ) =
− coth x
tanh A ± tanh B
tanh ( A ± B ) =
1 ± tanh A tanh B
coth A coth B ± 1
coth ( A ± B ) =
coth A coth B
d
du
senh u = cosh u
dx
dx
d
du
cosh u = senh u
dx
dx
cosh x − 1
1
=
cosh x
coth x
Relación con números complejos
senh ( iz ) = i sen ( z )
Derivadas
1
1
−1
1 − coth 2 x =
sinh 2 x
 x  cosh x + 1
cosh 2   =
2
2
Teoremas de adición
1
tanh x coth x = 1
cosh
=
(2x ) 2cosh 2 x − 1
 x  cosh x − 1
senh 2   =
2
2
3
e −x
cosh x − sinh x =
cosh u + C
senh u + C
ln ( cosh u ) + C
ln ( senh u ) + C
Funciones hiperbólicas inversas
(
arccosh ( x ) = ln ( x +
)
−1)
arcsenh ( x ) = ln x + x 2 + 1
cosh ( iz ) = cos ( z )
cosh ( z ) = cos ( iz )
REVISIÓN 4 – 84665.93
x2