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Álvaro Ramos Cabello
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A Opción A
A.1
Pregunta
El planeta Marte, en su movimiento alrededor del Sol, describe una órbita elíptica. El punto de la
órbita más cercano al Sol, perihelio, se encuentra a 206.7 · 106 km, mientras que el punto de órbita
más alejado del Sol, afelio está a 249.2 · 106 km. Si la velocidad de Marte en el perihelio es de
26,50 km s-1 , determine:
a) La velocidad de Marte en el afelio.
b) La energía mecánica total de Marte en el afelio.
Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6.67 · 10-11 N m2 kg-2 ; Masa de Marte MM= 6.42 ·
1023 kg; Masa del Sol MS = 1.99 · 1030 kg.
Solución:
a) Las fuerzas gravitatorias son centrales, por tanto, el momento angular es constante:
L⃗a= L⃗p ⇒ La=L p ⇒ r a M M v a sen 90 º=r p M M v p sen 90 º
rp
206.7 ·106 km
4
4
v a= v p=
2.65 ·10 m / s=2.198 · 10 m / s
6
ra
249.2· 10 km
b)
G MS MM
1
Em =Ec + E p= M M v 2a−
=−1.869 ·10 32 J
2
ra
A.2
Pregunta
Un bloque de 2 kg de masa, que descansa sobre una superficie horizontal, está unido a un
extremo de un muelle de masa despreciable y constante elástica 4,5 N m-1. El otro extremo del
muelle se encuentra unido a una pared. Se comprime el muelle y el bloque comienza a oscilar
sobre la superficie. Si en el instante t = 0 el bloque se encuentra en el punto de equilibrio y su
energía cinética es de 0.9 · 10-3 J, calcule, despreciando los efectos del rozamiento:
a) La ecuación del movimiento x(t) si, en t = 0, la velocidad del bloque es positiva.
b) Los puntos de la trayectoria en los que la energía cinética del bloque es 0.30 · 10-3 J.
Solución:
a)
Versión: 10/06/16
1
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x (t)=A sen (ω t+ ϕ0)
0 rad
x (0)=0= A sen ϕ0 ⇒ ϕ0=
π rad (v (0)>0)
{
√ √
K
4.5 N m−1
=
=1.5 rad /s
m
2 kg
1
2
−3
t=0 : x (0)=0 ⇒ E m=E c + E p ⇒ K A =0.9· 10 J
2
2· 0.9 ·10−3 J
A=
=0.6325 m
4.5 N m−1
x (t)=0.6325 sen(1.5t )
K =mω 2 ⇒ ω=
√
b)
1
1
E c =Em−E p= K A 2− K x2
2
2
2 1
2
2
x 2= ( K A 2−E c )⇒ x=± A 2− Ec =± 0.63252−
·0.3 · 10−3 J =±0.6324 m
−1
K 2
K
4.5 N m
√
A.3
√
Pregunta
Dos cargas puntuales,
y (8,0) cm. Determine:
q1 =3μ C y q 2=9μ C , se encuentran situadas en los puntos (0,0) cm
a) El potencial electrostático en el punto (8,6) cm.
b) El punto del eje X, entre las dos cargas, en el que la intensidad del campo eléctrico es
nula.
Solución:
a) Principio de superposición:
P(8,6):V P=V 1 P + V 2 P=K
9
2
=9 · 10 N m C
−2
(
q1
q
+K 2 =
r1 P
r2 P
3 ·10−6 C
9 ·10−6 C
+
=1.62 ·10 6 V
2
2
√ 0.08 +0.06 m 0.06 m
)
b) Llamamos A a ese punto. Usando el Principio de superposición:
E⃗A = E⃗1 A + E⃗2 A =K
q1
r
2
1A
u⃗1 A + K
q2
r 22 A
u⃗2 A
En efecto, como las dos cargas son positivas, los vectores intensidad del campo eléctrico
generados por las cargas tienen sentido contrario únicamente en el segmento que une
ambas cargas. Entonces los vectores unitarios u⃗1 A y u⃗2 A quedan determinados:
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2
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q
q
q
q
E⃗A =K 21 ⃗i + K 22 (−⃗i )=K 21 − 22 ⃗i =0
r1 A
r2 A
r1 A r 2 A
q1 q 2
−
=0
r 21 A r 22 A
(
Por otro lado,
q1
)
r 1 A +r 2 A =8 . Con lo cual:
q2
=0 ⇒ q1 (8−r 1 A )2=q 2 r 21 A
r
(8−r 1 A )2
3(64 +r −16 r 1 A )=9 r 21 A ⇒6 r 21 A + 48 r 1 A−192=0
r 21 A + 8 r 1 A −32=0⇒ r 1 A = 2.9282
−10.928
A( 2.9182 , 0)
−
2
1A
2
1A
{
A.4
Pregunta
Se sitúa un objeto de 2 cm de altura 30 cm delante de un espejo cóncavo, obteniéndose una
imagen virtual de 6 cm de altura.
a) Determine el radio de curvatura del espejo y la posición de la imagen.
b) Dibuje el diagrama de rayos.
Solución:
a)
y2
s 6 cm
s2
=− 2 ⇒
=3=−
⇒ s 2=90 cm
y1
s1 2 cm
−30 cm
s 1 s 2 −30 · 90
1 1 1
= + ⇒f =
=
=−45 cm
f s2 s1
s1 + s2 −30+ 90
r =2 f =−90 cm
A L=
b)
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3
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A.5
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Pregunta
El isótopo radiactivo 131I es utilizado en medicina para tratar determinados trastornos de la
glándula tiroides. El periodo de semidesintegración del 131I es de 8.02 días. A un paciente se le
suministra una pastilla que contiene 131I cuya actividad inicial es 55 · 106 Bq. Determine:
a) Cuántos gramos de 131I hay inicialmente en la pastilla.
b) La actividad de la pastilla transcurridos 16 días.
Datos: Número de Avogadro, NA = 6.02 · 1023 mol-1; Masa atómica del 131I , MI = 130.91 u
Solución:
a)
A
A
T
A0 =λ N 0 ⇒ N 0 = λ0 ⇒ M 0=N 0 · M I = λ0 · M I =A 0 1/ 2 · M I =
ln 2
−1
8.02 días· 24 h/día· 3600 s /h 130,91 g mol
=55 · 106 Bq ·
·
=1.1956 · 10− 8 g
23
−1
ln2
6.02 ·10 mol
b)
A= A 0 e
−λ t
−
=A 0 e
ln(2)·t
T 1/2
6
−
=55 ·10 e
ln(2)· 16
8.02
7
=1.380· 10 Bq
B Opción B
B.1
Pregunta
Un astronauta utiliza un muelle de constante elástica k = 327 N·m-1 para determinar la aceleración
de la gravedad en la Tierra y en Marte. El astronauta coloca en posición vertical el muelle y cuelga
de uno de sus extremos una masa de 1 kg hasta alcanzar el equilibrio. Observa que en la
superficie de la Tierra el muelle se alarga 3 cm y en la de Marte sólo 1.13 cm.
a) Si el astronauta tiene una masa de 90 kg, determine la masa adicional que debe añadirse
para que su peso en Marte sea igual que en la Tierra.
b) Calcule la masa de la Tierra suponiendo que es esférica.
Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6.67 · 10-11 N m2 kg-2 ; Radio de la Tierra RT= 6.37
· 106 m.
Solución:
a) Cuando el muelle está en equilibrio el peso iguala en módulo a la fuerza recuperadora:
{
k x T 327 N m−1 ·3 · 10−2 m
N
=
=9.81
kx
m
1 kg
kg
k x=m g ⇒ g=
⇒
−1
−2
m
kx
327 N m · 1.13· 10 m
N
gM = M =
=3.6951
m
1kg
kg
m A · g T =(m A + m) g M
g
m=mA ( T −1)=148.94 kg
gM
Versión: 10/06/16
g T=
4
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b) De la Ley de Gravitación Universal:
2
gT =G
B.2
6
2
MT
RT
−1 ( 6.37 ·10 m)
⇒
M
=g
=9.81
N
kg
=5.968· 1024 kg
T
T
2
−11
2
G
RT
6.67 ·10 N m
Pregunta
Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto instante se observa
que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Además, se comprueba que un punto
de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0.125 s y que la velocidad máxima de un
punto de la cuerda es de 0.24 π ms−1 . Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, y
en t = 0 la velocidad del punto x = 0 es máxima y positiva, determine:
a) La función de onda.
b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de cualquier
punto de la cuerda.
Solución:
a)
y (x , t)=A sen (ω t−k x+ ϕ0)
T
λ=1 m, =0.125 s ⇒T =0.25 s
2
2π
0.25 s
v max = A ω=A
⇒ A=0.24 π m s−1 ·
=0.03 m
T
2· π
2 π rad
ω=
=8 π rad /s
0.25 s
2 π rad
k=
=2 π rad /s
1m
y (x , t)=A sen (ω t−k x+ ϕ0)
T
λ=1 m, =0.125 s ⇒T =0.25 s
2
2π
0.25 s
v max = A ω=A
⇒ A=0.24 π m s−1 ·
=0.03 m
T
2· π
2 π rad
ω=
=8 π rad /s
0.25 s
2 π rad
k=
=2 π rad /s
1m
Como en t = 0 la velocidad es máxima la elongación ha de ser nula:
y (0,0)= A sen ϕ0 =0⇒ ϕ 0=
0rad
{π rad
(v (0,0)> 0)
y ( x ,t )=0.03 sen (8 π t−2 π x)m
b)
Versión: 10/06/16
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1
=4 m / s
0.25 s
2
2
2
amax = A · ω =0.03 m(8 pi rad / s ) =18.95 m / s
v p=λ · f =1m ·
B.3
Pregunta
Un campo magnético variable en el tiempo de módulo
B=2 cos( 3 π t− π )T , forma un ángulo
4
de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de radio r = 5 cm. La
resistencia total de la bobina es R=100 Ω . Determine:
a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo.
b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el instante t =
2 s.
Solución:
a)
⃗ ·⃗
Φ=B
S=B · N · S 1 Espira cos α=2· cos (3 π t − π )· 10 π(0.05)2 · cos 30 º =
4
π
=0.136 cos ( 3 π t− ) Wb
4
b)
dΦ
=0.136· 3 π sen(3 πt− π )
dt
4
−π
ϵ(2 s)=0.136· 3 π sen(
)=0.9066 V
4
0.9066V
I= ϵ =
=9.066 ·10−3 A
R
100 Ω
ϵ(t)=−
B.4
Pregunta
Un rayo de luz incide desde un medio A de índice de refracción nA a otro B de índice de refracción
nB. Los índices de refracción de ambos medios cumplen la relación n A + nB =3 . Cuando el
ángulo de incidencia desde el medio A hacia el medio B es superior o igual a 49.88º tiene lugar
reflexión total.
a) Calcule los valores de los índices de refracción nA y nB.
b) ¿En cuál de los dos medios la luz se propaga a mayor velocidad? Razone la respuesta.
Solución:
a)
b)
{
3
n A sen i^C =nB sen 90 º ⇒ n +n sen i^ =3 ⇒ n =
=1.7
A
A
C
A
1+ sen 49.88 º
n A + nB =3
n B =1.3
c
c
c c
n= ⇒ v= ⇒ n A >n B ⇒ v A = < =v B
v
n
n A nB
vA<vB
Versión: 10/06/16
6
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B.5
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Pregunta
Al incidir luz de longitud de onda %lambda = 276.25 nm sobre un cierto material, los electrones
emitidos con una energía cinética máxima pueden ser frenados hasta detenerse aplicando una
diferencia de potencial de 2 V. Calcule:
a) El trabajo de extracción del material.
b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con energía cinética máxima.
Solución:
a) Planteando la situación de frenado en términos de energía:
−19
Δ E m=0 ⇒−Δ E c =Δ E p ⇒ E cmáx =q Δ V =−1.6 · 10
−19
C (−2V )=3.2· 10
J
Y el efecto fotoeléctrico:
c
c
Ecmáx =h λ −W 0 ⇒ W 0 =h λ −Ecmáx =6.63· 10−34 Js
8
3 · 10 m/s
−3.2· 10−19 J
−9
276.25 ·10 m
W 0 =4 · 10−19 J
b)
√
√
2 E cmax
1
2 · 3.2· 10−19 J
Ecmax = me v 2max ⇒ v max=
=
=8.386· 105 m/s
−19
2
me
9.1 ·10 kg
h
6.63 · 10−34 Js
λ DB =
=
=8.688 · 10−10 m
me v max 9.1 · 10−19 kg · 8.386 ·10 5 m/ s
Versión: 10/06/16
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