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EJERCICIO 1
Convierte los siguientes ángulos a grados:
1. 40° 10’ 15"
3. 1° 2 ’ 3"
5
90
2. 61° 4 2 ’21 ”
4. 73° 4 0 ’4 0 ”
6. 9 8 °2 2 ’45'
9 >
9
»
•Convierte los siguientes ángulos a su equivalente en grados, minutos y segundos:
11. 19.99°
9. 18.255°
10. 29.411°
7. 40.32°
8. 61.24°
12. 44.01°
Verifica tus resuiíados en la sección de soluciones correspondiente
JBsa
C
a p ít u l o
----- — -------- -— —
G eometría y tr ig o n o m etr ía
EJERCICIO 3
Convierte a grados sexagesimales ios siguientes ángulos:
2
—K
3
4.
4
— TC
3
7.
13
—n
5
id .’' 4.7124 rad
13. 6.2832 rad
11
—n
6
5.
lK
8.
1
---K
12
11. 0.1683 rad
14. 0.5 rad
3
n
4
6.
—
1
n
9
9. 1.5708 rad
—
12. 1.1201 rad
ír.'í: V erifica tu s resultados en ¡a sección de soluciones correspo ndie nte ,
EJERCICIO 2
.
Transforma a radianes los siguientes ángulos:
210°
2. 300°
•
*
3. 225°
10. 135°
4. 450°
11. 45.23°
•
5. 72°
12. 128.30°
•
6. 100°
13. 150° 36’ 40”
O
OO
O
0
9.
O
•
7.
8. 330°
0
1.
CN
•
14. 420° 0 ’ 45”
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente .
11
EJERCICIO 5
Indica si los pares de ángulos siguientes son complementarios, suplementarios o conjugados:
1. 3 7 ° y 143°
6. 3 4 ° 4 8 ’ y 55° 12'
2. 42° y 48°
7. 22° y 158°
3. 135°y 225°
8. 10° y 80°
4. 21° y 339°
9. 270° y 90°
10. 179° y 1°
5. 132°y 228°
Efectúa lo siguiente:
11. Determina el complemento de 80°.
12. Encuentra el suplemento de 123°.
13. Encuentra el conjugado de 280°.
14. Si el complemento de un ángulo m es 2m, ¿cuál es el valor del ángulo?
15. ¿Cuál es el ángulo cuyo complemento es 4 veces mayor que él?
16. Si el suplemento de un ángulo es 8 veces el ángulo, ¿cuánto vale éste?
17. Un ángulo y su complemento están en la razón 2:3. ¿Cuál es la medida del ángulo “i
17
18. ¿Qué ángulo es igual al doble de su suplemento?
19. Determina el valor de los ángulos que se muestran en las siguientes figuras:
a)
C
b)
d)
c)
B
e)
f)
g)
l x + 16°
12.x + 10°
D
3
C apítulo
G e o m e t r ía y t r ig o n o m e t r ía
5. Si L, [| Lv encuentra el valor
de los ángulos
6. Si L ¡i L ,, halla el valor de x
L\
L2
u
8. En la siguiente figura: A ¡| B , C || D y el Z 3 = 110°. Determina la medida de los ángulos Z 4, Z 7, Z 1, Z 10,
Z 13 y Z 16
En los ejercicios del 9 al 11 determina el valor de x y y
9. Si AB || CD
10. S iA B W c D
B
D
12. Si AB || CD, encuentra la medida
del ángulo R
26
|
C apítulo ___________
G e o m e t r ía y t r ig o n o m e t r ía
EJERCICIO a
Resuelve los siguientes problemas:
1. Calcula el valor de los ángulos exteriores del siguiente
triángulo:
2. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo
es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?
3. En un triángulo isósceles, un ángulo de la base es el
cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada
ángulo?
4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 84°
y la diferencia de los otros 2 es de 14°. ¿Cuánto miden
los ángulos restantes?
A
5. Encuentra los ángulos interiores de los siguientes triángulos:
6. Determina los valores de (3 y 6. Si AC biseca al ángulo
D C B y~D C ¡A B
7. Determina el valor de los ángulos interiores del trián­
gulo ABC.
En la siguiente figura el lado AC es bisectriz del ángulo
Z_ BAD. Determina los ángulos interiores de los A ABC y
ACD sabiendo que Z. BAC = y + 8°, Z. CAD = x + 13°,
/_ A£C= 3.x - 6° y L ACD = — y + 7°
3
V erifica tu s resultados en ja sección de soluciones correspondiente ,
36
..
4
C ap ítu lo ___________
G e o m e t r ía y t r ig o n o m e t r ía
2
@®° Encuentra la longitud de los lados b ’ y c: .
C
a = 12,
& = 24
c '= 6
En los triángulos Z .A = Z .A ’ , Z _ C = Z . C ’ entonces, á A 5 C ~ A A \B ’C por lo que se establece la proporcionalidad
entre los lados homólogos.
12 _ 2 4 _ c
4 _
6
De esta relación se obtiene:
12 = 24
12
4~ V
12
8
_£
4 ~ 6
Entonces se deduce que, ¿>’= 8 y c = 1 8
4
EJERCICIO 13
*
En cada uno de los siguientes ejercicios se dan triángulos semejantes y las medidas de alguno de sus lados. Encuentra
°
las medidas de los lados restantes y los valores de las incógnitas.
48
C
a p ít u l o
Triángulos
EJERCICIO 13
Resuelve los siguientes problemas:
°
¡
I
I
1. Para encontrar la anchura AB de un río se construyercrf 2
triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al
medir se encontró que: AC = 17 m, CD ~ 5 m, DE = 20 m.
¿Cuál es la anchura del río?
2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes
triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC =215 m,
A 'C = 50 m, A 'B ' = 112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?
3. Para medir la anchura de un río se forman los siguientes trián­
gulos, en los que: AÓ = 32 m, CD = 30 m,. OD = 6 m.
Encuentra AB.
4. Un árbol proyecta una sombra de 5 m a la misma hora en que
un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta una
2
*
' '
sombra de “ m. Determina la altura h del árbol, si tanto éste
como el poste son perpendiculares al terreno.
5. Un árbol de 14 m de altura próximo a una torre, proyecta una
sombra de 24 m a la misma hora. Determina:
a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m.
b) La sombra que refleja la torre, si su altura es de 70 m.
•: wj Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente
A’
J2 m
□a
a
□
n
4
C apítulo
G eo m e t r ía y t r ig o n o m e t r ía
EJEMPLOS--- ---------------------------------------- 0
J2
CL.
S
]
©© Determina los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:
.ÜL
Lu
Solución
P
En todo paralelogramo, los ángulos adyacentes son suplementarios, entonces:
Z .P + Z .M = 180°
4x= 180°+ 12°
x + 3 x - 12° = 180°
4x = 192°
192°
= 48°
Luego, los ángulos opuestos son iguales, por tanto:
Z Ar = Z P = 48°
Z O = Z M = 3(48°) - 12° = 144° - 12° = 132°
EJERCICIO 18
Encuentra los datos que se piden en cada uno de los siguientes paraleiogramos:
1. Determina Z A, Z B y Z C
5. Halla el valor de x y y
A
B
D
C
2. Encuentra Z. DCA, Z. CAD, Z. DAB, Z. DCB, L D y /_ B
D ___________ _
6. Calcula la medida de los ángulos y y z
C
x +15°
x + 5°
A
B
7. Precisa el valor de x y la medida de los ángulos y y .
3. Encuentra Z. A, Z. B, Z. C y Z. ADC
A_________________ B
— x+15°
E
^7
D
8. Halla el valor de x y la medida de los ángulos y y z
4. Determina el valor x, Z.y y Z.z
5x - 30° _ / — x - \ 5 °
Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente .
64
C
a p ít u l o
5
Polígonos
EJERCICIO 21
R esuelve los s ig u ie n te s p ro b le m a s :
1. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un solo vértice emun undecágono?
2. Determina el polígono en el que se pueden trazar 17 diagonales desde un solo vértice.
3. Calcula el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un decágono.
4. Determina cuál es el polígono en el que se pueden trazar 9 diagonales desde un vértice.
5. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 6 diagonales desde un vértice?
6. Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en cada uno de los siguientes polígonos:
a) Icoságono
d) Hexágono
g) Hexadecágono
b) Dodecágono
í?) Pentadecágono
h) Octadecágono
c.) Nonágono
/ ) Heptágono
i) Undecágono
7. ¿En qué polígono se pueden trazar 14 diagonales en total?
8. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar en total 104 diagonales?
9. Determina el polígono en el cual se pueden trazar 119 diagonales en total.
10. Precisa en qué polígono se pueden trazar en total 152 diagonales.
11. ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales en total es el doble que su número de lados?
12. ¿En qué polígono el número de lados es la cuarta parte de su número de diagonales en total?
13. Determina el polígono en el cual el número de lados equivale al número de diagonales en total.
14. Precisa el polígono cuyo número de lados es — del número de diagonales en total.
5
9
15. Determina el polígono en que el número de diagonales en total son los - del número de lados.
16. Encuentra el polígono cuyo número de diagonales en total, equivale al número de lados del polígono en el que se
pueden trazar 170 diagonales.
17. ¿En cuál polígono el número de diagonales trazadas desde un vértice es — del número de diagonales en total?
i que:
Verifica tus resultados en ía sección de soluciones co rre s p o n d ie n te ..................... *
•
Ángulos de un polígono
La magnitud de los diferentes ángulos de un polígono se obtiene con las fórmulas siguientes:
Sum a de ángulos interiores de cualquier polígono
5. = 180° (n -2 )
Angulo interior de un polígono reg u lar
i = 180° ( n ~2)
n
Sum a de ángulos exteriores de cualquier polígono
Angulo exterior de un polígono regular
360°
e =■
Se = 360°
Donde n = número de lados.
75
(2) C apítulo ___________________ _________________________________________ _______________
G e o m e tría y trig o n o m e tría
EJERCICIO 22
*
1. Calcula la medida de un ángulo interior de los siguientes polígonos:
a) Hexágono
I
b) Octágono
c) Dodecágono
d) Polígono de 20 lados
e) Polígono de 18 lados
f) Polígono de 42 lados
2. Calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:
a) Un pentágono.
b) Un decágono
c) Un pentadecágono
d) Un octágono
e) Un tridecágono
f) Un polígono de 37 lados
3. ¿Cuál es el polígono cuya suma de sus ángulos interiores es 1 260°?
4. Precisa en cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 900°.
5. Determina en cuál polígono la suma de sus ángulos interiores es 2 520°.
6. ¿En cuál polígono el total de sus ángulos interiores suma 1 620°?
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos interiores suman 720°?
8. Determina el polígono regular cuyo ángulo interior mide 157.5°.
9. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior es de 140°?
10. Determina en cuál polígono regular el ángulo exterior mide — rad.
6
11. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 135°?
12. Determina en cuál polígono regular el ángulo interior mide 60°.
13. Precisa en cuál polígono regular el ángulo exterior es de 60°.
13
14. Determina el polígono cuyo ángulo interior equivale a — de su ángulo exterior.
2
15. ¿En cuál polígono el ángulo exterior es — de su ángulo interior?
7
15
16. Determina el polígono en el cual la suma de ángulos interiores equivale a — de su ángulo exterior.
12
17. Calcula el valor de los ángulos interiores de un pentágono si su magnitud es respectivamente: .r, — x ,
2.4x, 2x y 2.2*.
18. Calcula el valor de cada uno de los ángulos de un pentágono si valen, respectivamente: x, x-10°, x + 5°, x + 25° y x -3 0 ° .
19. Calcula el valor de los ángulos interiores de un heptágono cuyos valores son: .v, 2x, 3.v, 4.v, 5x, 1.x y 8.r.
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8
C apítulo ____________
G e o m e t r ía y t r ig o n o m e t r ía
EJERCICIO 28
°
Resuelve los siguientes ejercicios:
1. En la siguiente figura, AC = 60°, BC = 104° y BD = 80°. Encuentra los yalores
de Z. ABC, Z AOC, L BOC y ÁD.
2. En esta figura AI) - 100° y BC = 150°. Determina los valores de Z. a, L b, Z. c,
¿Lcl, / L e y ¿ . f
3. En la siguiente figura, ÁC = 70° y DE =15°. Precisa el valor de Z. ABC.
4. De esta figura, DE = 50° y AC = 120°. Encuentra los valores de Z. ABC y
A. DBA.
5. Encuentra el valor de los 4 ángulos internos del siguiente cuadrilátero si
AB = 60°, BC =110°, CD = 100° y AI) = 90°
I)
6. Si A ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, halla:
a) Z. A si a = 150° y c = 150°
b) L A si AB 1 BC y a = 100°
10Ó
.