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Bloque 2. Álgebra
Tema 1 Polinomios
Ejercicios resueltos
2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios:
a ) p  x   x5  x 4  4 x3  6 x2  x  7
q  x   x6  2 x4  x2  5
b ) p  x   9 x 5  2 x 4  12 x 3  x 2  x  10
q  x    x 5  5 x 4  12 x 3  2 x 2  x  15
c ) p  x   5 x 4  6 x 3  2 x 2  3 x  8
q  x   2 x 4  3 x3  2 x2  4
d ) p  x   3 x 4  x 3  2 x 2  x  14
q  x   6 x 4  8 x3  2 x2  3 x
r  x   2 x  14
e) p  x    x6  4 x5  2 x 4  7 x3  6 x2  x  2
q  x   3 x6  2 x5  x3  2 x2  2 x  5
r  x   2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3
f ) p  x   x 4  3 x 3  x 2  7 x  11
q  x   2 x5  3 x 4  x3  x2  7
r  x   3 x 5  2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  4
Solución
a ) p  x   x 5  x 4  4 x 3  6 x 2  x  7 

q  x   x6  2 x4  x2  5

p  x   q  x   x6  x5  3 x 4  4 x3  7 x2  x  2
b ) p  x   9 x 5  2 x 4  12 x 3  x 2  x  10 

q  x    x 5  5 x 4  12 x 3  2 x 2  x  15 
p  x   q  x   8 x5  3 x 4  x2  5
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Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
c ) p  x   5 x 4  6 x 3  2 x 2  3 x  8 

q  x   2 x 4  3 x3  2 x2  4

p  x   q  x   3 x 4  3 x 3  3 x  4
d ) p  x   3 x 4  x 3  2 x 2  x  14 

q  x   6 x 4  8 x3  2 x2  3 x 

r  x   2 x  14

p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  
 9 x 4  7 x 3  2 x  14   2 x  14  9 x 4  7 x 3
e) p  x    x6  4 x5  2 x 4  7 x3  6 x2  x  2 

q  x   3 x6  2 x5  x3  2 x2  2 x  5


r  x   2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3
p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  
 2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3 
  2 x 6  6 x 5  2 x 4  8 x 3  8 x 2  x  3  0
f ) p  x   x 4  3 x 3  x 2  7 x  11



q  x   2 x5  3 x 4  x3  x2  7


5
4
3
2
r  x   3 x  2 x  5 x  8 x  3 x  4 
p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  
 2 x 5  2 x 4  2 x 3  7 x  4    3 x 5  2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  4  
  x5  7 x3  8 x2  4 x
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Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 2
2.1-2 Realiza la resta de los siguientes polinomios:
a ) p  x   x6  2 x5  3 x 4  x3  4 x2  4 x  4
q  x    x6  2 x5  5 x 4  x3  2 x2  3 x  8
b) p  x   3 x 3  7 x 2  3 x  2
q  x   5 x3  5 x2  5 x  5
c ) p  x   x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10
q  x   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11
d ) p  x    x5  5 x 3  4 x2  x  1
q  x   x4  9 x3  3 x2  x 1
e ) p  x   7 x 3  x 2  12 x  2
q  x   6 x 3  3 x 2  13 x  15
f ) p  x   x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14
q  x    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14
Solución
a ) p  x   x 6  2 x 5  3 x 4  x 3  4 x 2  4 x  4 

q  x    x 6  2 x 5  5 x 4  x 3  2 x 2  3 x  8 
p  x   q  x   p  x    q  x   
 x6  2 x5  3 x 4  x3  4 x2  4 x  4 
   x 6  2 x 5  5 x 4  x 3  2 x 2  3 x  8 
p  x   q  x   2 x6  2 x 4  2 x2  x  4
b ) p  x   3 x 3  7 x 2  3 x  2 

q  x   5 x 3  5 x 2  5 x  5 
p  x   q  x   p  x    q  x   
 3 x 3  7 x 2  3 x  2  5 x 3  5 x 2  5 x  5 
p  x   q  x   8 x 3  2 x 2  8 x  7
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Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 3
c ) p  x   x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10


q  x   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11
p  x   q  x   p  x    q  x   
 x 4  4 x 3  2 x 2  7 x  10   2 x 4  5 x 3  8 x 2  3 x  11
p  x   q  x   3 x 4  x3  6 x2  4 x 1
d ) p  x    x 5  5 x 3  4 x 2  x  1

q  x   x 4  9 x 3  3 x 2  x  1 
p  x   q  x   p  x    q  x   
  x 5  5 x 3  4 x 2  x  1   x 4  9 x 3  3 x 2  x  1
p  x   q  x    x5  x 4  4 x3  7 x 2  2 x  2
e ) p  x   7 x 3  x 2  12 x  2


q  x   6 x 3  3 x 2  13 x  15 
p  x   q  x   p  x    q  x   
 7 x 3  x 2  12 x  2   6 x 3  3 x 2  13 x  15 
p  x   q  x    x 3  2 x 2  x  17
f ) p  x   x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14
q  x    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14
p  x   q  x   p  x    q  x   
 x 4  3 x 3  3 x 2  2 x  14    x 5  2 x 4  3 x 3  3 x  14 
p  x   q  x   x5  3 x 4  3 x2  5 x
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Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 4
2.1-3 Realiza el producto de los siguientes polinomios:
a ) p  x   x 4  2 x3  x2  3 x  1
q  x  2x
b) p  x    x 5  x 4  x 3  x 2  x  1
q  x   5 x 4
c) p  x   2 x6  3 x 4  x2  6
q  x   x3  x
d ) p  x   x2  2 x  3
q  x    x2  x  4
e) p  x   x5  3 x3  6 x
q  x    x2  2 x  2
r  x   2 x3  5 x2  2 x  3
f ) p  x    x2  2 x  3
q  x   x2  x  1
r  x   x4  x3  x2  x  4
Solución
a ) p  x   x 4  2 x 3  x 2  3 x  1

q  x  2x

p  x   q  x    x 4  2 x 3  x 2  3 x  1  2 x 
 x 4  2 x  2 x3  2 x  x2  2 x  3 x  2 x  1  2 x 
 2 x5  4 x 4  2 x3  6 x 2  2 x
b ) p  x    x 5  x 4  x 3  x 2  x  1

q  x   5 x 4



p  x   q  x     x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  5 x 4 
 5 x 9  5 x 8  5 x7  5 x6  5 x5  5 x 4
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 5
c ) p  x   2 x 6  3 x 4  x 2  6 

q  x   x3  x

p  x   q  x   2 x 6  3 x 4  x 2  6    x 3  x  
 2 x 6  3 x 4  x 2  6   x 3  2 x 6  3 x 4  x 2  6   x 
 2 x 9  3 x 7  x 5  6 x 3   2 x 7  3 x 5  x 3  6 x  
 2 x 9  5 x7  4 x5  5 x3  6 x
d ) p  x   x 2  2 x  3 

q  x    x 2  x  4 
p  x   q  x    x 2  2 x  3    x 2  x  4  


  x 2  2 x  3   x 2   x 2  2 x  3  x   x 2  2 x  3  4 
  x 4  2 x 3  3 x 2  x 3  2 x 2  3 x  4 x 2  8 x  12 
  x 4  x 3  3 x 2  11 x  12
e) p  x   x5  3 x3  6 x


q  x    x2  2 x  2


3
2
r  x   2 x  5 x  2 x  3
p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  


 

  x 5  3 x 3  6 x   x 2  2 x  2   2 x 3  5 x 2  2 x  3 

2 x

  x 7  3 x 5  6 x 3  2 x 6  6 x 4  12 x 2  2 x 5  6 x 3  12 x 

2 x
3
 5 x2  2 x  3


p  x   q  x   r  x    x 7  2 x 6  5 x 5  6 x 4  12 x 3  12 x 2  12 x 
3
 5 x2  2 x  3

p xq xr  x 
 2 x10  4 x 9  10 x 8  12 x 7  24 x 6  24 x 5  24 x 4 
5 x 9  10 x 8  25 x 7  30 x 6  60 x 5  60 x 4  60 x 3 
2 x 8  4 x 7  10 x 6  12 x 5  24 x 4  24 x 3  24 x 2 
3 x 7  6 x 6  15 x 5  18 x 4  36 x 3  36 x 2  36 x
p xq xr  x 
G3w
 2 x10  x 9  2 x 8  20 x 7  22 x 6  63 x 5  78 x 4  120 x 3  60 x 2  36 x
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 6
f ) p  x    x2  2 x  3



q  x   x2  x  1


r  x   x 4  x 3  x 2  x  4 
p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  


 
   x 2  2 x  3  x 2  x  1   x 4  x 3  x 2  x  4
p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  

 x


  x 4  2 x3  3 x2  x3  2 x2  3 x  x2  2 x  3 
4
 x3  x2  x  4

p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  


  x 4  x3  4 x2  5 x  3  x 4  x3  x2  x  4

p  x   q  x   r  x    p  x   q  x    r  x  
  x 8  x7  4 x6  5 x5  3 x 4 
 x7  x6  4 x5  5 x 4  3 x3 
 x6  x5  4 x 4  5 x3  3 x2 
 x5  x 4  4 x3  5 x2  3 x 
4 x 4  4 x 3  16 x 2  20 x  12
p xq  x r  x 
  x 8  4 x 6  9 x 5  9 x 4  16 x 3  24 x 2  23 x  12
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 7
2.1-4 Dados los siguientes polinomios, realiza la operación que se indica:
a ) p  x   x 3  6 x 2  x  2 

q  x   2 x 2  4 x  3 
b ) p  x   x 2  5 x  2 

q  x    x 2  3 x  4 
 p  x   q  x    p  x   q  x 
3  p  x   q  x    p  x   2  q  x 
Solución
a ) p  x   x 3  6 x 2  x  2 

q  x   2 x 2  4 x  3 
 p  x   q  x    p  x   q  x 
p  x   q  x   x 3  8 x 2  3 x  1 

p  x   q  x   x 3  4 x 2  5 x  5 
 p  x   q  x    p  x   q  x    x
 p  x   q  x    p  x   q  x   x
6
3

 8 x2  3 x 1  x3  4 x2  5 x  5

 8 x5  3 x 4  x3 
4 x 5  32 x 4  12 x 3  4 x 2 
5 x 4  40 x 3  15 x 2  5 x 
5 x 3  40 x 2  15 x  5
 p  x   q  x    p  x   q  x   x
b ) p  x   x 2  5 x  2 

q  x    x 2  3 x  4 
6
 12 x 5  30 x 4  24 x 3  21 x 2  20 x  5
3  p  x   q  x    p  x   2  q  x 
3  p  x   q  x   3 x 2  15 x  6  x 2  3 x  4  2 x 2  12 x  2 

p  x   2  q  x   x 2  5 x  2  2 x 2  6 x  8  3 x 2  11 x  10 
3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   2 x
3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   6 x
4
2

 12 x  2  3 x 2  11 x  10

 36 x 3  6 x 2 
22 x 3  132 x 2  22 x 
20 x 2  120 x  20
3  p  x   q  x    p  x   2  q  x   6 x
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Conocimientos básicos de Matemáticas.
4
 58 x 3  158 x 2  142 x  20
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 8
2.1-5 Calcula las siguientes potencias de binomios utilizando el desarrollo del
binomio de Newton:
a)
 x  1
b)
 x  4
c)
 2 x  3
 x  2
e )  x  1
f )  3 x  1
4
d)
3
3
2
5
3
5
2
4
Solución
a)
 x  1
4
4
4
4
4
   x 4    x 3 11    x 2 12    x 13   14 
0
1 
2
3
4
4

4! 4
4! 3
4! 2
4!
4!

x 
x 
x 
x
4 ! 0 !
3 !1 !
2 ! 2 !
1 ! 3 !
0 ! 4 !
 x 4  4 x3  6 x2  4 x  1
b)
 x  4
3
3
3
3
1
2
3
   x 3    x 2   4     x   4      4  
0
1 
2
3
3

3! 3
3! 2
3!
3!

x 4
x  16
x  64
3 ! 0 !
2 !1!
1 ! 2 !
0 ! 3 !
 x 3  12 x 2  48 x  64
c)
2 x  3
5

5
5
5
5
4
1
3
2
    2 x      2 x    3     2 x    3 
0
1 
2
5
5
5 5
2
3
1
4
    2 x    3     2 x    3     3 
3
4
5
 32
5! 5
5! 4
5! 3
x  48
x  72
x 
5 ! 0 !
4 !1!
3 ! 2 !
108
5! 2
5!
5!

x  162
x  243
2 ! 3 !
1 ! 4 !
0 ! 5 !
 32 x 5  240 x 4  720 x 3  1080 x 2  810 x  243
G3w
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Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
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Ejercicios resueltos 9
d)
x
2
2

3
   x2
0
 
3

3
3
   x2
1 
   2
2
1
1
3
3 3
2
   x2  2    2 
2
3
 
3! 6
3! 4
3! 2
3!
x 2
x 4
x 8

3 ! 0 !
2 !1 !
1 ! 2 !
0 ! 3 !
 x 6  6 x 4  12 x 2  8
e)
x
3
1

5

5
   x3
0
5
   x3
1 
 
5
   x3
3
   1
5
   1

2
3
4
1
5
   x3
2
   1
3
2

1
5
5 5
4
   x 3  1    1 
4
5
 
5 ! 15
5 ! 12
5! 9
5! 6
5! 3
5!

x 
x 
x 
x 
x 
5 ! 0 !
4 !1!
3 ! 2 !
2 ! 3 !
1 ! 4 !
0 ! 5 !
 x15  5 x12  10 x 9  10 x 6  5 x 3  1
f)
3 x
2
1

4

4
   3 x2
0

4
   3 x2
2
   1 



4
2
4
   3 x2
1 

2
   1 
3
1

1
4
4
3
4
   3 x 2   1     1 
3
4


4!
4!
4!
4!
4!

81 x 8 
27 x 6 
9 x4 
3 x2 
4 ! 0 !
3 !1!
2 ! 2 !
1 ! 3 !
0 ! 4 !
 81 x 8  108 x 6  54 x 4  12 x 2  1
G3w
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Ejercicios resueltos 10
2.1-6 Realiza la división entera de los siguientes polinomios:
a) p  x   x2  6 x  4
q  x   x2  2
b) p  x   x 5  3 x 3  6 x  2
q  x   x3  x
c) p  x   x6  3
q  x   x2  2 x  4
d ) p  x   x6  2 x5  x 4  2 x3  6 x2  x  3
q  x   x 3  10 x 2  2 x  3
Solución
a ) p  x   x 2  6 x  4 
  p x  c  xq x  r  x
q  x   x2  2

x2  6 x  4
 x2  2
6 x  6
c  x 1
x2  2
1

2
2
  x  6 x  4  1  x  2   6 x  6 
r  x   6 x  6 


b ) p  x   x 5  3 x 3  6 x  2 
  p x  c  xq x  r  x
q  x   x3  x

x5  3 x3  6 x  2
 x5  x3
2 x3  6 x  2
2 x 3  2 x
4x 2
x3  x
x2  2
c  x   x 2  2 
5
3
2
3
  x  3 x  6 x  2  x  2  x  x   4 x  2
r  x   4 x  2 

G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.


Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
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Ejercicios resueltos 11
c) p  x   x6  3

  p x  c  xq  x  r  x
q  x   x 2  2 x  4 
x6  3
 x6  2 x5  4 x 4
2 x 5  4 x 4  3
2 x5  4 x 4  8 x3
8 x 4  8 x3  3
8 x 4  16 x 3  32 x 2
24 x 3  32 x 2  3
24 x 3  48 x 2  96 x
80 x 2  96 x  3
80 x 2  160 x  320
256 x  323
x2  2 x  4
x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80
c  x   x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80 

r  x   256 x  323




 x 6  3  x 4  2 x 3  8 x 2  24 x  80  x 2  2 x  4   256 x  323 
d ) p  x   x 6  2 x 5  x 4  2 x 3  6 x 2  x  3
  p x  c  xq x  r  x
q  x   x 3  10 x 2  2 x  3

x 6  2 x 5  x 4  2 x 3  6 x 2  x  3 x 3  10 x 2  2 x  3
 x 6  10 x 5  2 x 4  3 x 3
x 3  8 x 2  81 x  827
8 x 5  x 4  x 3  6 x 2  x  3
8 x 5  80 x 4  16 x 3  24 x 2
81 x 4  17 x 3  30 x 2  x  3
81 x 4  810 x 3  162 x 2  243 x
827 x 3  192 x 2  244 x  3
827 x 3  8270 x 2  1654 x  2481
8462 x 2  1898 x  2484
c  x   x 3  8 x 2  81 x  827


r  x   8462 x 2  1898 x  2484 
 x6  2 x5  x 4  2 x3  6 x2  x  3 


 
 x 3  8 x 2  81 x  827  x 3  10 x 2  2 x  3  8462 x 2  1898 x  2484
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos 12
2.1-7 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios:
a) p  x   x2  4 x  5
b) p  x   x 3  5 x 2  6 x
c ) p  x   x 4  13 x 2  36
d ) p  x   x 4  16
Solución
a) p  x   x2  4 x  5
4  16  20 4  6

 5, 1
2
2
x2  4 x  5  0  x 
p  x   x 2  4 x  5   x  5    x  1
b) p  x   x 3  5 x 2  6 x
x 0

x3  5 x2  6 x  x  x2  5 x  6  0   2
x 5x  6  0

x2  5 x  6  0  x 

5  25  24 5  1

 3, 2
2
2
p  x   x 3  5 x 2  6 x  x   x  3   x  2 
c ) p  x   x 4  13 x 2  36
x 2  t  x 4  13 x 2  36  0  t 2  13t  36  0
t 2  13t  36  0  x 2  t 
13  169  144 13  5

 9, 4
2
2
x   9 ,  4  3, 3, 2, 2
p  x   x 4  13 x 2  36   x  3    x  3    x  2    x  2 


d ) p  x   x 4  16  x 2  4  x 2  4
x
2

 x 2  4  0  x  2, 2
 4  x2  4  0   2
 2
 x  4  0  x   4  






p  x   x 4  16  x 2  4  x 2  4   x  2    x  2   x 2  4
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ejercicios resueltos 13
2.1-8 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios utilizando la
regla de Ruffini:
a) p  x   x3  3 x2  6 x  8
b ) p  x   x 3  3 x 2  13 x  15
c) p  x   x3  7 x2  x  7
d ) p  x   x 4  2 x3  x  2
e ) p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x
f ) p  x   x4 
5 3 7 2 1
1
x  x  x
6
3
6
3
Solución
a) p  x   x3  3 x2  6 x  8
Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8
1 3 6
1
1 2
8
8
1 2 8
0
Resto cero


p  x   x 3  3 x 2  6 x  8  x 2  2 x  8   x  1
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
x2  2 x  8  0  x 
2  4  32 2  6

 4 , 2
2
2
Por tanto:
p  x   x 3  3 x 2  6 x  8   x  4    x  2    x  1
b ) p  x   x 3  3 x 2  13 x  15
Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 15, 15
1
1
1
G3w
3 13 15
1 2
15
2 15
0
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Resto cero
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Ejercicios resueltos 14


p  x   x 3  3 x 2  13 x  15  x 2  2 x  15   x  1
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
x 2  2 x  15  0  x 
2  4  60 2  8

 3, 5
2
2
Por tanto:
p  x   x 3  3 x 2  13 x  15   x  3    x  5    x  1
c) p  x   x3  7 x2  x  7
Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 7, 7
1 7 1
7
7 0
7
0 1
0
7
1
Resto cero


p  x   x3  7 x2  x  7  x2  1   x  7 
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
x 2  1  0  x 2  1  x   1 , que no son raíces reales.
Por tanto:


p  x   x3  7 x2  x  7  x2  1   x  7 
d ) p  x   x 4  2 x3  x  2
Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2
1 2
0 1
2
1 1 1 2
1
1 1 1 2
Resto cero
0


p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 3  x 2  x  2   x  1
Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los
divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2
1 1
1
2
2
2
2
1
1
0
2
G3w
1
Resto cero
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
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Ejercicios resueltos 15
Por tanto:


p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 2  x  1   x  2    x  1
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
x2  x  1  0  x 
1  1  4
, que no son raíces reales.
2
Por tanto:


p  x   x 4  2 x 3  x  2  x 2  x  1   x  2    x  1
e ) p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x
Podemos factorizar fácilmente el polinomio sacando x factor común:


p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 4  x 3  10 x 2  9 x  9  x
Para el polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los divisores
enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 9, 9
1 1 10
9
9
3
3
6 12 9
1
2
4
3
0
Resto cero


p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 3  2 x 2  4 x  3   x  3   x
Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los
divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3
1
3
2 4 3
3
3
3
1 1
1
0
Resto cero
Por tanto:


p  x   x 5  x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  x 2  x  1   x  3    x  3   x
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
x2  x 1  0  x 
1 1 4 1 5 1 5
, que son raíces reales.

,
2
2
2
Por tanto:
G3w
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Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
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Ejercicios resueltos 16

1 5  
1 5 
p x   x 
   x 
   x  3   x  3  x

2  
2 

f ) p  x   x4 
5 3 7 2 1
1
x  x  x
6
3
6
3
Como el término independiente no es entero y aparecen términos
racionales, multiplicamos todo el polinomio por 6:
6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2
Para este polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los
divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2
6
2
6
5 14
12
14
7
0
1
0
2
2
1
0
Resto cero


6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2  6 x 3  7 x 2  1   x  2 
Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los
divisores enteros del término independiente: 1, 1
7
0
1
6
1
1
1
1
0
6
1
6
Resto cero
Por tanto:
6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2   6 x 2  x  1   x  1   x  2 
Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:
6 x2  x 1  0  x 
1  1  24 1  5 1 1

 ,  , son raíces reales.
12
12
3 2
Por tanto:
1 
1

6 p  x   6 x 4  5 x 3  14 x 2  x  2  6   x     x     x  1   x  2 
3 
2

Finalmente:
p  x   x4 
G3w
5 3 7 2 1
1 
1 
1
x  x  x    x     x     x  1   x  2 
6
3
6
3 
3 
2
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 17