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EJERCICIO 501: MASA Y DENSIDAD DEL SOL
------------------------------------------------------------------------------------------------Objetivos
- Determinar la masa del Sol usando las Leyes de Kepler
- Acostumbrarse a buscar información científica en internet
- Hacer un gráfico científico con esa información
- Hacer un ajuste por mínimos cuadrados y sacar la masa
del valor de las constantes ajustadas
- Determinar la densidad del Sol a partir de una fotografía
- Transformar de periodo sinódico a periodo sideral
1. Introducción
Es muy difícil o casi imposible, determinar la masa de un objeto
aislado en el espacio. La razón de esto es que aunque conozcamos sus
dimensiones y su distancia y por tanto su volumen, desconocemos su
densidad. Por eso las masas de muchos objetos celestes no pueden
ser medidas. Una situación en la que esto es posible es si existe una
interacción gravitacional con otro objeto. Entonces se puede invocar las
Leyes de Newton y las de Kepler, para tratar de determinar la masa.
Por eso han sido las estrellas dobles las únicas que nos han permitido
determinar las masas de las estrellas en el cielo.
En esta práctica vamos a determinar la masa del Sol usando su
interacción con los planetas.
2. Procedimiento: La masa del Sol.
(A) Una gran parte del tiempo empleado en la investigación científica se
utiliza en búsquedas de internet por eso en esta práctica no se le dan
valores sino que usted deberá buscarlos. El primer paso que debemos
dar es obtener una lista del semi-eje mayor, a, de cada una de las
órbitas de los planetas Mercurio a Neptuno y de sus períodos alrededor
del Sol, P.
Haga una búsqueda en internet para obtener esta
información. Mi buscador favorito es www.google.com pero también se
puede utilizar Bing en www.bing.com . Habrá mucho lugares que den
esta información, pero usted escoja solamente aquellos que sean
profesionales como la NASA, el Observatorio de Lowell o el Observatorio
de Paris.
Un lugar que siempre debe visitar para buscar información
científica es www.wikipedia.com .
Haga una tabla así:
Tabla 1. Distancias y períodos de los planetas.
Planeta
Semi-eje mayor, a [m]
Período [seg]
Si las distancias están dadas en Unidades Astronómica (UA) y en
años, usted deberá transformarlas a metros y segundos que son las
unidades internacionales que deben usarse en la Ecuación (1). Busque
en internet o en algún libro el valor de 1 UA y llévelo a metros. Si el
período está dado en años calcule cuantos segundos hay en un año.
Haga sus cálculos con al menos 4 cifras significativas y llene su
Tabla 1.
(B) Para determinar la masa del Sol utilizaremos una de las más
famosas Leyes de Kepler, la tercera, que dice:
a3 = [ G (M☼+m) / 4 π2 ] P2
(1)
donde a es el semi-eje mayor de la órbita, M☼ es la masa del Sol, m es
la masa del planeta y P su período de rotación alrededor del Sol. G es la
constante de la gravitación universal cuyo valor usted también deberá
buscar en internet.
Note que a3 es un volumen, mientras que P2 es una superficie, de
modo que esta ley dice que “el volumen del semi-eje mayor es
proporcional a la superficie del período”, una relación curiosa, no?
Note que dentro de la fórmula hay que sumar la masa del planeta
a la masa del Sol. Pero en general la masa de los planetas es tan
pequeña con respecto al Sol ( < 0.001 M☼) que podemos despreciarlas
en primera aproximación.
La ecuación (1) es una relación no lineal por lo cual conviene
linearizarla. Si tomamos logaritmos en ambos lados de la ecuación
obtendremos
3 Log a = Log [ G (M☼+m) / 4 π2 ] + 2 Log P
Figura 1. La
tercera Ley de
Kepler es
notable. Dice
que un volumen,
a3 , es proporcional
a una superficie, P2 .
Log a = (1/3) Log [ G (M☼+m) / 4 π2 ] + (2/3) Log P
(2)
Esta ecuación es de la forma
Y=b+cX
(3)
la cual es una relación lineal donde b es el termino independiente y c es
la pendiente. Entonces si graficamos Log a vs Log P obtendremos una
línea recta de pendiente c=2/3. Si P = 1, Log P = 0, y entonces Y = b,
el punto de corte en 1,
b = (1/3) Log [ G (M☼+m) / 4 π2 ]
(4)
Del punto de b podemos sacar la masa del Sol.
(C) Grafique los valores de la Tabla 1 usando Qtiplot u Origin. Su
graficador puede tomar automáticamente el logaritmo y graficarlo, o su
Tabla 1 puede ser modificada así:
Tabla 1. Distancias y períodos de los planetas
Planeta
Semi-eje mayor, Log a
Período
a [m]
[seg]
Log P
Y ahora se puede graficar directamente Log a vs Log P. Su gráfico debe
ser totalmente profesional y en colores.
(D) Haga un ajuste por mínimos cuadrados de la recta de mejor ajuste.
La ecuación de la recta debe darle los valores b y c de la ecuación (3)
con sus errores.
Verifique que c = 2/3.
Escriba ese valor en su
Reporte.
(E) Determine el valor de b en Log P = 0.
(F) Despeje el valor de M☼ de la ecuación (4), el cual es el valor de la
masa del Sol.
(G) Debe determinar el error de M☼. Para utilice el valor de b±Δb para
determinar M☼minimo. Ahora utilice el valor de b-Δb para determinar
M☼MAXIMO. El error en M☼ entonces vendrá dado por
ΔM☼ = error = ( M☼MAXIMO – M☼minimo) / 2
(5)
(H) Ahora exprese su determinación así:
M☼ = ( valor calculado ± error ) [unidades]
M☼ (mio)=
(6)
±
que es la manera correcta de expresar un resultado científico.
(I) Compare este valor con los aceptados actualmente. Investigue ese
valor en la web tomando en cuenta que su fuente debe ser una
institución profesional astronómica. El valor aceptado debe caer dentro
del ± ΔM☼ determinado por usted.
(J) Escriba su Reporte de Laboratorio usando Word o mejor el formato
Latex de alguna Revista de Física. Su reporte debe incluir su gráfico
profesional, venir impreso por un solo lado, y seguir los lineamientos de
los reportes del Laboratorio.
Tarea 1. Determine la masa del Sol usando el procedimiento descrito.
(K) Se puede determinar la densidad del Sol usando una nueva
interpretación de la 3ra Ley de Kepler:
P2 = 4 π2 a3 / [ G (M☼+m) ]
(7)
Para una órbita circular, a es también la distancia media de la Tierra al
Sol. Si 2r es el diámetro del Sol, entonces
θ = 2r / a
donde θ es el diámetro angular del Sol y m << M.
(8)
Entonces
θ3 = 8 r3 / a3
(9)
P2 = 4 π2 8 r3 / [ θ3 G M☼ ]
(10)
Pero ρ = 3 M☼ / 4 π r3
(11)
donde ρ es la densidad del Sol. Entonces
r3 / M☼ = 3 M☼ / 4 π ρ
(12)
reemplazando en la (10)
P2 = 4 π2 8 . 3 M☼ / [ θ3 G M☼ 4 π ρ ] = 24 π / [ θ3 ρ G ]
ρ = 24 π / [ θ3 G P2 ]
(13)
Así que para determinar la densidad del Sol solo se necesita
conocer su diámetro angular, θ en radianes, y su período de rotación, P,
alrededor de la Tierra. Verifique las unidades a ambos lados de la
Ecuación (13) a fin de ver en que unidades debe venir expresado P. El
período de rotación es de 365.25 días, y el diámetro angular se deduce
de la foto si conocemos la escala por pixel, en segundos de arco. Para
ello determine el diámetro del Sol en pixeles y multiplique por la escala
para obtener el diámetro completo en segundos de arco. Transforme
este valor a radianes. 1 radian = 57.4 grados.
Tarea 2. Determine la densidad del Sol utilizando el método descrito en
(K). Calcule sus errores. Compare sus valores con los dados en la
literatura científica.
M☼ (mio)=
±
M☼ (web)=
±
ρ (mio)=
±
ρ (web)=
±
¿Se superponen los errores? ¿ Si ? Entonces su resultado está bien.
¿ No ? Entonces debe revisar todo su cálculo y hacerlo de nuevo.
Figura 2. Imagen del Sol. La escala es 5.775 ”/pixel. Utilice algún
programa de procesamiento de imágenes para determinar el diámetro en
píxeles. Un programa gratuito que hace esta tarea y que se consigue
en internet se llama Makali’i y está en la página web del National
Observatory of Japan. Otro muy profesional es DS9.
Revisado IF150210