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Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA ÍNDICE 1.
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INTRODUCCIÓN RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA a) RT del ángulo suma b) RT del ángulo diferencia c) RT del ángulo doble d) RT del ángulo mitad e) Otras fórmulas 5. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 6. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. __________________________________________________________________________ 1. INTRODUCCIÓN a) ¿Qué sabemos sobre triángulos? Repasemos algunos resultados ya conocidos: 180º
. La suma de los ángulos de un triángulo suman 180 grados. ¾ Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales. ¾ Teorema de Pitágoras: b) Definición de Ángulo. Equivalencia (Grado‐Radián) Se define ángulo como la porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común. Un ángulo se mide generalmente en grados sexagesimales o en radianes. 1 Grado sexagesimal, la 360‐aba parte de la circunferencia. 1 Radián, la porción, de una circunferencia de radio , cuyo arco mide . Equivalencia grado‐radian: 180º ¾
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Las RT son expresiones matemáticas que relacionan medidas de ángulo y de distancias. Veamos someramente la definición de las RT estudiadas el año pasado: Estas razones se han definido dentro de un triángulo (que además es rectángulo pero no tiene por qué). De esta manera sólo podemos trabajar con ángulos agudos, para poder trabajar con ángulos de todo tipo deberemos ver estas RT en la circunferencia unidad o goniométrica. Aquí veremos que el seno del ángulo será la ordenada del punto y el coseno será la abscisa. ***Hasta aquí, hacéis un descanso de teoría. Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6 págs. 72, 73. 1 Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA 3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIO que revisará el primer día el profelías Recordemos cómo encontramos las RT en la circunferencia unidad y añadamos gráficamente nosotros mismos la tangente que no se vio el año pasado. 1. Para ello sólo debemos trazar una recta “infinita” vertical en el punto de corte de la circunferencia con la parte positiva del eje 0 . 2. Prolongar el segmento que va desde 0,0 a , hasta que corte la recta que hemos trazado en el punto anterior. 3. Trazamos más grueso la recta dibujada en 1. desde el punto conseguido en 2. hasta que llegamos al eje 0 . 4. Bien pues dicho trazo conseguido en 3. Es lo que vale la tangente para ese ángulo , es decir, eso es la a) Reducción al primer cuadrante Ahora veamos una vez recordadas dónde están las RT para un ángulo del primer cuadrante. Veamos gráficamente como deducir las relaciones entre las RT. 180
cos 180
cos 2 Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA 180
cos 180
cos cos
cos Observación: la representación gráfica de la tangente debe ser un segmento hacia arriba (hacia abajo) cuando el ángulo este en 1º‐3º cuadrantes (2º‐4º cuadrantes) a causa de los signos del seno y del coseno en dichos cuadrantes. ***Completa el cuadro: Cuadrante 0º 0 º 0 1 0 1º 45º 30º 4
6
1
2
√3
2
√3
3
3 60º 3
√2
2
√2
2
√3
2
1
2
120º
2 3
2º 135º
3
4
1 0 1
2
90º 2
150º
5
6
1
2
180º
210º
7
6
3º 225º
5
4
240º
4
3
0 1 0 270º 3 2
1 300º 5 3
4º 315º 330º
7 11
4
6
360º
2 0 0 1
2
0 ,
,
,
,
Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA Veamos algunas propiedades que se deducen fácilmente de lo anterior a)
1 cos
1 b)
1 sen
1 c)
∞ tg
∞ d) Podemos saber el signo de todas las RT de cualquier ángulo, ¿cómo? Situando el ángulo en el cuadrante que le corresponda y sabiendo que el 0
0 e) Podemos saber las razones trigonométricas de cualquier ángulo, obteniendo su correspondiente en el primer cuadrante. Por ejemplo, para calcular el 255º, como 255º es un ángulo del cuadrante 3º, deberíamos pasarlo al cuadrante 1º para ello le quitamos 180º y se nos queda 75º
45º 30º . f) Reducción al primer cuadrante: 9 Desde 2ºC: dado un ángulo en el segundo cuadrante, para conseguir su correspondiente en el primer cuadrante, tan sólo | en valor absoluto nos da el ángulo buscado. hacemos |180
9 Desde 3ºC: dado un ángulo en el tercer cuadrante, para conseguir su correspondiente en el primer cuadrante, tan sólo hacemos 180 y ese sería el ángulo buscado. 9 Desde 4ºC: dado un ángulo en el cuarto cuadrante, para conseguir su correspondiente en el primer cuadrante, tan sólo hacemos 360
y ese sería el ángulo buscado. 9 Si nos dieran el ángulo en radianes todo sería igual. Sólo tendríamos que cambiar 180 por y 360 por 2 . ***Ejercicios 7, 8, 9, 10 Páginas 75, 77. Todo lo que viene a partir de ahora es nuevo, así que no hay actividades de aquí en adelante programadas. De todas formas sería conveniente que lo leyerais porque me he esmerado en hacer los apuntes lo más explicativos posible y quizá podáis entenderlo el tema vosotros mismos. Aquel que lo haga es probable que no falle ninguna pregunta del examen de este tema, que adelanto es EL MÁS DIFÍCIL del curso. 4 Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA 4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO SUMA Realizaremos la demostración del apartado a) en clase. A continuación damos exclusivamente los resultados que debemos saber para el examen. a) RT del ángulo suma · · · · 1
·
b) RT del ángulo diferencia (igual pero cambiando · ) cambia de signo el y la · cos
· · de . · 1
· ·
c) RT del ángulo doble 2
2
· · · 2 · · 2 2
1
· 1
Como se que cuando estudiéis vais a haceros un resumen con todas las fórmulas, me permitís este pequeño desorden de fórmulas, ¿vale? Y si no vale me da igual, lo sabeis. d) RT del ángulo mitad Para sacar estas, hay que prestar más atención, porque no son tan directas como las anteriores, pero no os preocupéis porque son muy sencillas, tan sólo partimos de las razones trigonométricas del ángulo doble. Veámoslo por pasos: Voy a hilar una serie de deducciones que seguro sois capaces de seguir, fijaos de dónde parto y hasta dónde llegamos. Bueno, en el 2º paso utilizo la fórmula fundamental de la trigonometría aquí escrita: formas posibles: 1
1
1 y puedo despejar aquí de las dos y sustituir aquí 2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
Ahora como todo es igual a todo, juntamos el principio con el final y queda: 5 1
2 2 2
2 1
1
2 2 2
2 1
Colegio La Presentación Matemáticas I , y en otra Ahora, en las dos ecuaciones, despejamos en una fórmulas que queríamos: U D TRIGONOMETRÍA 1
y así queda las 2
2
1
2
2
Como ya supongo os preguntareis que cuál es la de la tangente del ángulo mitad. Pues nada a dividir el seno entre el coseno, y nos queda: 1
1
2
ú e) CUADRO RESUMEN + Otras fórmulas cos
2
1
2
cos
cos
2 cos
2
2 cos
1
û 2
2
2
2
cos
2
2
2
2
2
1
Útiles para integrales 2
û
2
2
cos 2
2
1
2
2
2 cos
2
2
1
1
1
1 1
cos 2
2
5. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Consejos o pasos a seguir para poder resolver cualquier ecuación trigonométrica: a) Siempre intentaremos dejar cualquier ecuación con SÓLO UNA ÚNICA RT. Para ello utilizaremos fundamentalmente estas fórmulas: b) Una vez pasadas todas las RT a una única RT, entonces hacemos el cambio de variable “
”. Ahora nos queda generalmente una ecuación polinómica en . c) Resolvemos la ecuación en t. Y nos quedan las soluciones: Por ejemplo, si hemos hecho el cambio queda √
, , , y después de resolver la ecuación en t nos 2 6 ú
Colegio La Presentación Matemáticas I U D TRIGONOMETRÍA 30º
1
2
6
5
150º
6
4 240º
√3
3
5
2
300º
3
2
ó
Todas estas soluciones son y están comprendidas en el intervalo 0º, 360º
0,2 . Dependerá del ejercicio si nos piden la solución que está en el primer cuadrante o en 2º‐3º 1
2
√3
2
2
cuadrante o en el intervalo que sea por ejemplo , . d) Cosas a tener en cuenta: ¾ El sólo se puede aplicar a valores 1,1 ¾ El sólo se puede aplicar a valores 1,1 ¾ El se puede aplicar a todos valores reales. e) También encontraremos SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICOS que podamos resolver nosotros. Las técnicas de resolución para sistemas son las de siempre pero algo modificadas: ¾ Despejamos en la ecuación no trigonométrica y sustituimos en la trigonométrica. A continuación resolvemos usando el método de siempre. ¾ Reducción si se ve muy claro. 6. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. En cualquier triángulo se verifica: 2
2
2 Fijaos que en los anteriores apartados y durante el año pasado trabajamos con triángulos rectángulos y éste no tiene porque ser rectángulo. Es decir que el triángulo al que aplicamos los teoremas no tiene porque ser rectángulo. Con estas cuatro fórmulas no se nos resiste ningún triángulo. Cómo se resuelven entonces los triángulos: ¾ Poner todas las fórmulas cada vez que afrontemos un problema ¾ Sustituir los datos hasta que se pueda despejar de alguna de las fórmulas ¾ Cuando tengamos más datos, después de haber sustituido y despejado, a continuación puede ser que tengamos que utilizar otra de las fórmulas para resolver completamente el triángulo dado 7