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Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. 5.2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN. DECIMAL El sistema decimal, es aquél en el que se combinan 10 cifras (o dígitos) del 0 al 9 para indicar una cantidad específica. La “base” de un sistema indica el número de caracteres o dígitos que se pueden utilizar para representar una cantidad. Luego la base del sistema decimal será el número 10. El número 10 esta compuesto por 2 dígitos; siendo el 1 las decenas y el 0 las unidades. La posición de cada dígito tiene un valor o “peso”, que determina la magnitud del número. En el sistema decimal estos “pesos” son potencias de 10 y el valor se puede indicar mediante un número llamado “exponente”, y que nos indica cuantas veces hay que multiplicar 10 por sí mismo para hallar el valor del peso. Por ejemplo en el número 4673, tenemos 3 unidades, 7 decenas, 6 centenas y 4 millares. Luego este número se puede escribir como: (4x103)+(6x102)+(7x101)+(3x100) = 4000+600+70+3 = 4673 Al dígito que tiene menos peso se le denomina “dígito menos significativo” (en inglés LSD) y al dígito de mayor peso “dígito más significativo” (en inglés MSD). En el ejemplo anterior el LSD será el 3 y el MSD el 4. ¿Qué determina el “peso” de cada dígito? a.‐ el número de caracteres que se pueden utilizar para representar una cantidad. b.‐ la magnitud del número. c.‐ las veces que tenemos que dividir entre 10 para hallar el valor. d.‐ el dígito menos significativo. ¿Cuál es el dígito más significativo (en inglés MSD) del número 7893? a.‐ el 7. b.‐ el 8. c.‐ el 9. d.‐ el 3. ¿Cómo se denomina a la posición de cada dígito? a.‐ el dígito más significativo. b.‐ base. c.‐ peso. d.‐ el dígito menos significativo. Pero… ¿cómo identificar la base de un sistema de numeración? Para evitar confusiones cuando se trabaja con unos y ceros, debemos identificar el sistema de numeración empleado. Ya que 101 significa “ciento uno” en base 10 (decimal) y “cinco” en base 2 (binario), existe una notación matemática que indica la base del sistema. Página 1 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. 10110 = 11001012 y 1012 = 510 ; además este número se suele colocar entre paréntesis 101(2) ¿En qué base se encuentra el número 1010(8)? a.‐ binario. b.‐ decimal. c.‐ octal. d.‐ hexadecimal. BINARIO Como su nombre indica, su base es 2 y es el sistema utilizado por todos los aparatos de cálculo digital. Los dos dígitos binarios (denominados “bits” que proviene del inglés binary digit) son el 0 y el 1. Un bit es la cantidad de información contenida en un dígito binario. Así 101 tiene 3 bits. Cada posición de un bit en un número binario tiene un “peso” específico, que es una potencia de 2. Así tendremos la siguiente tabla 5.2.1: Tabla 5.2.1. Pesos en binario. Binario 20 Peso 1 Posición 0001 21 2 0010 2
2 4 0100 2
3 8 1000 Luego para obtener la magnitud o “peso” 3 deberemos sumar los números con peso 1 y 2, así: 0001 +0010 0011 = peso 3; el peso total coincide con el valor en decimal. En el sistema binario, el peso es: a.‐ una potencia de 2. b.‐ una potencia de 8. c.‐ una potencia de 10. d.‐ una potencia de 16. Tabla 5.2.2. Sistema binario 4 bits. Decimal 0 Binario 0 Binario 4 bits
0000 Decimal 9 Binario 1001 Binario 4 bits
1001 1 1 0001 10 1010 1010 2 10 0010 11 1011 1011 Página 2 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. 3 11 0011 12 1100 1100 4 100 0100 13 1101 1101 5 101 0101 14 1110 1110 6 110 0110 15 1111 1111 7 111 0111 8 1000 1000 Los números binarios compuestos por un número de bits adecuado constituyen una “palabra”; la tabla anterior muestra palabras de 4 bits; al conjunto de 8 bits se le denomina “byte”. La longitud “m” es el número de bits de una palabra, mientras que el rango “N” es el número de estados particulares que pueden existir y (N‐1) es el mayor número decimal que se puede representar; así tendremos que si una palara es de 4 bits: N=2m Î N=24 Î N=16 será el número máximo de combinaciones como se ha visto en la tabla anterior y N‐1= 15 el mayor número decimal que se puede representar (debido a que empezamos por el cero “0”). ¿Cuál es el mayor número decimal que se puede representar si la longitud del número de bits de una palabra es 3? a.‐ 15 b.‐ 7 c.‐ 16 d.‐ 8 ¿Cuál es el número de estados particulares o combinaciones que pueden existir en una palabra? a.‐ longitud. b.‐ rango. c.‐ byte. d.‐ binary digit. ¿Cuál es el número de estados particulares o combinaciones que pueden existir si la longitud del número de bits de una palabra es 2? a.‐ 2. b.‐ 1. c.‐ 4. d.‐ 8. Aunque los ordenadores se encuentran muy confortables trabajando con números binarios de 8, 16 e incluso 32 dígitos, los humanos encontramos inconvenientes a tal cantidad, así pues se nos ocurrió trabajar con otros sistemas (base 8, 16) para encontrar un compromiso de entendimiento entre máquina y hombre más adecuado. Veamos pues que otros sistemas se utilizan. OCTAL
El sistema de octal es el que más se emplea para las señales de entrada y de salida (input‐output) en los sistemas digitales. Como su nombre indica, la base del sistema es el número 8 y el sistema de numeración va del 0 al 7. Así pues los números 8 y 9 no existen, luego se debe realizar una operación Página 3 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. matemática para obtener números superiores al 7, que consiste en arrastrar valores empleando un valor de posición o “peso. La siguiente tabla (5.2.3) muestra los 10 primeros valores. Tabla 5.2.3. Sistema octal‐decimal. Decimal 0 Octal 0 1
1 2
2 3
4 4
8 5 5 6 6 7 7 8 10 9 11 10 12 Pero, ¿cómo se pasa del sistema octal al decimal? 146(8) = (1x82)+(4x81)+(6x80) = (1x64)+(4x8)+(6x1) = 102(10) Sabemos que la base es 8, así pues cada número se multiplica por la base elevada a su posición o “peso”, y la suma de todos es el resultado en base 10. ¿Qué número en base octal, es equivalente al 12 en base decimal? a.‐ 1100. b.‐ 14. c.‐ 66. d.‐ 10. ¿De los siguientes sistemas cuales no utilizan los números 8 y 9? a.‐ decimal y hexadecimal. b.‐ hexadecimal y octal. c.‐ octal y binario. d.‐ binario y decimal. Y si necesitamos pasar de base octal a binario, se utilizará un método de sustitución aprovechando la relación natural entre los números en sistema octal y binario. Recordando que el número base 8 equivale a 23, vemos que cada dígito en octal se puede expresar mediante 3 dígitos en binario; como se muestra en la tabla (5.2.4). Tabla 5.2.4. Sistema octal‐binario. Octal 0 Binario 000 1 001 2 010 Página 4 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. 3 4 011 100 5 101 6 110 7 111 Vale, hasta ahora lo fácil, pero ¿y si queremos pasar el número 45(8) al código binario? Pues pasaremos cada dígito por sustitución directa en la tabla anterior y obtendremos que: 4 = 100; 5 = 101 Î 45(8) = 100 101(2) Nota: se puede comprobar la equivalencia pasando ambos números al sistema decimal. 45(8) = (4x81)+(5x80) = 32 + 5 = 37(10) de octal a decimal. Binario
1 0 0 5
4
3
Base con exponente (que es la posición)
2
Resultado 32 0 2
2
0 1 2
2 4 0 2
1 0 1 20 1 100 101(2) = 32+4+1 = 37(10) de binario a decimal. ¿Qué número en base octal, es equivalente al “110” en base binaria? a.‐ 8. b.‐ 6. c.‐ 7. d.‐ 3. Nota: El que seleccione la respuesta (a) que se repase todo otra vez. ¿Qué número en base binaria, es equivalente al “11” en base octal? a.‐ 001 001. b.‐ 100 001. c.‐ 001 011. d.‐ 000 111. ¿Qué número en base decimal, es equivalente a 14(8)? a.‐ 16. b.‐ 9. c.‐ 12. d.‐ 001 100. HEXADECIMAL El sistema hexadecimal también se utiliza en las señales de entrada y de salida (input‐output) de los sistemas digitales. Como su nombre indica, la base del sistema es 16 y la numeración comprende los números del 0 al 9 y las letras de la A a la F, para representar los dígitos que van del 10 al 15. En la siguiente tabla (5.2.5) se muestra lo dicho y además se compara con el sistema binario, en donde se puede observar que cada digito del sistema hexadecimal equivale a 4 bits en binario. Página 5 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. Tabla 5.2.5. Sistema hexadecimal (con los demás sistemas).
Decimal 0 Hexadecimal 0 Binario 0000 Octal 0 1 1 0001 1 2 2 0010 2 3 3 0011 3 4 4 0100 4 5 5 0101 5 6 6 0110 6 7 7 0111 7 8 8 1000 10 9 9 1001 11 10 A 1010 12 11 B 1011 13 12 C 1100 14 13 D 1101 15 14 E 1110 16 15 F
1111
17 Para pasar de hexadecimal a decimal utilizaremos un proceso similar a como lo hacíamos para pasar de octal a decimal, daremos pesos a las posiciones de derecha a izquierda. 45(16) = (4x161)+(5x160) = 64 + 5 = 69(10) Un ejemplo más complicado puede ser: 12E(16) = (1x162)+(2x161)+(Ex160) = 256+32+14 = 302(10) Como hemos comentado para pasar de hexadecimal a binario se utilizan 4 dígitos, el resto es como en el caso de octal a binario. 2B5(16) = 0010 1011 0101(2) ¿Qué número en base decimal, es equivalente a E(16)? a.‐ 16. b.‐ 12. c.‐ 14. d.‐ 1110. CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS: Hemos pasado de varios sistemas (hex, oct, bin) a decimal empleando diversos métodos, pero si queremos pasar del sistema decimal a otros sistemas (hex, oct, bin), podemos emplear un método común, que consiste en realizar divisiones sucesivas por la base del sistema en cuestión. La siguiente tabla nos mostrará como: Tabla 5.2.6. Pasar de decimal a otros sistemas.
Página 6 Módulo 5. Técnicas digitales. Sistemas de instrumentos electrónicos. Decimal/base binario Cociente Resto 30/2 15 0 LSD 15/2 7 1 7/2
3 1 3/2
1 1 1/2
0 1 MSD Luego 30(10) es 11110(2) Decimal/base octal Cociente Resto 302/8 37 6 LSD 37 4 5 4/8 0 4 MSD Luego 302(10) es 456(8) Decimal/base hexadecimal Cociente Resto 156/16 9 C LSD 9/16 0 9 MSD Luego 156(10) es 9C(16) ¿De los siguientes sistemas cuales son los más utilizados en las señales de entrada y de salida (input‐
output) de los sistemas digitales? a.‐ decimal y hexadecimal. b.‐ hexadecimal y octal. c.‐ octal y binario. d.‐ binario y decimal. ¿Qué número en base hexadecimal, es equivalente a 14(10)? a.‐ A. b.‐ B. c.‐ E. d.‐ 1F. Página 7