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Unidad I. Sistemas numéricos
I. Conjuntos de números
1. El conjunto de los números racionales.
Los diferentes sistemas numéricos han sido creados por las necesidades
que ha enfrentado la humanidad a través de los tiempos. La necesidad de
contar objetos, animales, cada elemento de la naturaleza dio origen a un
conjunto de números. Los números naturales, es el conjunto de números que
utilizamos para contar.
Números naturales: {1, 2, 3, 4, 5, …}
Pero que ocurre cuando restamos dos números naturales iguales. Ejemplo: 2 – 2
= ? Observa que la solución a esta situación no la podemos describir como parte
del conjunto de los números naturales. Nuevamente la necesidad permite que
surja otro conjunto de números. Este lo conocemos como el conjunto de los
números cardinales, que está compuesto por la combinación de todos los
naturales y el cero.
Números cardinales: {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
En los polos, donde las temperaturas son extremadamente frías, ¿cómo
lo marca el termómetro? En el mundo de los negocios, tener ganancias es algo
positivo, ¿pero tener pérdidas? Estas son solo algunas situaciones de la vida
diaria en las que se describen elementos negativos. 5 grados bajo cero, - 5, 40
grados bajo cero, - 40, una pérdida de $1000.00, -1000. Entonces, el conjunto
de los números cardinales necesita ser ampliado al incluir los números negativos
para formar el conjunto de los números enteros. Este conjunto crece al infinito
en ambas direcciones.
Números enteros: { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Cuando construimos la recta numérica, ¿hay algún número entre los
valores enteros? ¿Existen números entre 0 y 1? ¿Entre -2 y -3?
Claro que existen. Estos elementos son los que conocemos como fracciones y
decimales y si los unimos a los otros conjuntos mencionados anteriormente se
forma el conjunto de los números racionales.
Definición. Un número es racional si se puede expresar en la forma
a
, donde a y b son enteros y b ≠ 0 .
b
Importante.
Todo número que se pueda expresar en la forma
a
, o sea en forma de
b
fracción, es un número racional.
Ejemplos de números racionales.
a) 4; se puede expresar como
4 8 12
, , ,...
1 2 3
b) -6; se puede expresar como
− 6 − 12
,...
,
1
2
c) .5; se puede expresar como
1 2 5
, , ,...
2 4 10
d) 0; se puede expresar como
0 0 0
, , ,...
1 2 10
En general, el conjunto de los números racionales está compuesto por los
números naturales, los cardinales, los enteros, fracciones y algunos decimales.
No todos los números decimales son racionales.
Existen tres tipos de números racionales, los decimales exactos, los periódicos y
los no periódicos.
Ejemplos:
a) 1.5 es un decimal exacto. Después del punto decimal tiene una cantidad
exacta de elementos.
b) 1.333… es un decimal periódico. Después del punto decimal la cantidad de
elementos continúa infinitamente pero se repite, hay una secuencia. 6.45454545….. también lo es.
c)
π
en su forma decimal es 3.141592654… Este decimal es no periódico.
Observa que los elementos después del punto no tienen secuencia alguna.
Los números decimales exactos y periódicos pertenecen al conjunto de los
números racionales. Los decimales no periódicos pertenecen a otro
conjunto de números llamados los irracionales.
Resumen:
Números Naturales
Números Cardinales
Números Enteros
Números Racionales
Fracciones
Decimales Exactos y Periódicos
Ejercicio:
Haz una x al lado de cada número que pertenece al conjunto de los números
racionales.
−2
3
______ 1) 2
______ 6)
______ 2) 1.161616…
______ 7) 1.56
______3) – 4.53
______8) 0.3181818…
______4) 0
______9) 46.4237458…
______5) 1.8138748…
______10) π
¡Éxito!