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NÚMEROS REALES
- Representación de números reales
1. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3
Solución:
8
2. En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide
. Indica un
procedimiento para que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el
triángulo.
Solución:
Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus
catetos, en el que se puede comprobar que la hipotenusa mide
se lleva sobre la recta real cortando la misma en dicha posición.
8
. Se toma esta medida con un compás y
3. Un delineante debe pintar un cuadrado cuyo lado debe medir
medida de dicho lado.
11
indica como puede obtener la
Solución:
Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos
unidades por longitud de uno de los lados y tres en el otro, en el
que se pude comprobar que la hipotenusa mide
10
.
La hipotenusa de este triángulo se usa como cateto de otro triángulo rectángulo. El otro cateto se toma de
una unidad y la nueva hipotenusa medirá
11
4. Representa en la recta real los siguientes números:
5
2

3
4
Solución:
4
 5


3

4
 5
5. Representa en la recta real
26

0
4

5
2
utilizando el Teorema de Pitágoras.
Solución:
26

5
2
 12
1
0
5
26
- Clasificar números reales
1. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
a) 0,55555555...
b) 0,125689312...
c) 1,3525252...
d) 0,75
Solución:
a) 0,55555555... RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma
fraccionaria
b) 0,125689312...  IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
c) 1,3525252...  RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en forma
fraccionaria
d) 0,75 RACIONAL porque es un número decimal exacto
2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
a) 1,3030030003...
b) 2,1245124512...
c) 4,18325183251...
d) 6,1452453454...
Solución:
a)
1,3030030003...  IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
b)
2,1245124512...  RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en
forma fraccionaria. Su periodo es 1245
c)
4,18325183251...  RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede expresar en
forma fraccionaria. Su periodo es 18325
d)
6,1452453454...  IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
π
2
a)
23
b)
3
3
c)
1

100001
d)
Solución:

2
a)

b)
23

IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.
IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no periódicas.
3
3
 IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
1

100001
d)
 RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico.
c)
- Intervalos, semirrectas y entornos
1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:
a) - 3  x  0
b) - 4  x  -1
c) 0  x  3
d) - 1  x  2
Solución:
a) Abierto (-3,0)
b) Abierto por la izquierda (-4,-1]
c) Abierto por la derecha [0,3)
d) Cerrado [-1,2]
2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:
a) x  1
b) - 1  x
c) 0  x
Solución:
 ,1
a)
 1, 
b)
c)
0, 
d) x  1
d)
 ,1
3. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
a) - ,0  0,   
b) - ,0  0,   
c) - ,0  0,   
d) - ,-3    7  4  
Solución:
a) - ,0  0,     ,    0
b) - ,0  0,    0
c) - ,0  0,    0
d) - ,-3    7  4   ,3
4. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
a) - ,-3    7,4  
b) - ,-3    7,4  
c) - 4,4    2,2  
d) - 4,4    2,2  
Solución:
a) - ,-3    7,4    ,3 
b) - ,-3    7,4   7,4 
c) - 4,4    2,2   4,4 
d) - 4,4    2,2   2,2
5. Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
a) - ,0  0,   
b) - ,0  0,   
c) - ,0  0,   
d) - ,-3    7  4  
Solución:
a) - ,0  0,     ,    0
b) - ,0  0,    0
c) - ,0  0,    0
d) - ,-3    7  4   ,3
- Operar utilizando las propiedades de las potencias
1. Expresa el resultado como potencia única:


a) 


 3  2 
  
 4  
3
4




2
 2  2
b)       
 7  7
-5
c) - 63 :  6 4
Solución:


a) 


 3  2 
  
 4  
3
4
3

  
4


 2  2
b)       
 7  7
2
-5
c) - 6  :  6 
  6 
4
3
24
 2
  
 7
3
3   4 
  6 
7
2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:
 3  3  3
a)           
 5  5  5
b)
1
 5    5    5 
c) - 128
d)
1
625
Solución:
 3  3  3  3
a)               
 5  5  5  5
b)
1
1
-3

 - 5 
 5   5   5 - 53
c) - 128  - 2
7
d)
3
1
1
 4  5 4
625 5
3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo:
a) 5 · 5 · 5 · 5
 3· 3· 3
b)
1
2·2·2·2·2
c)
d) 81
e) 27
1
25
f)
Solución:
a)
5 · 5 · 5 · 5 = 54
 3·  3·  3   33
b)
1
 1
 
2·2·2·2·2  2 
c)
d)
5
81 = 34
 27   3
3
e)
2
1
 1
 
25  5 
4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado
como potencia única:

a) - 5 2

 - 5 5 : - 5 4
3

b) 63  62
 : 6 
2
4 2
Solución:

a) - 5

2 3

b) 6 3  6 2
 - 5 : - 5   5    5 :  5    5
5
 : 6 
2
4 2
4
6
 
 65
2
5
4
65  4
  5
7
: 6 8  610 : 6 8  610 8   618
5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación como una
única potencia:
4 2 ·8 5
32 1 ·16 2
Solución:
4 2 ·8 5
32 1·16 2

2  ·2 
2  ·2 
2 2
5 1
3 5
4 2

2 4 ·2 15
2 5 ·2 8

2 11
23
 2 14
- Operar números en notación científica
1. Escribe los siguientes número en notación científica e indica su orden de magnitud.
a) 91.700.000.000
b) 6.300.000.000.000
c) 0,00000000134
d) 0,071
Solución:
a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010. Orden 10
b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012. Orden 12
c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9. Orden -9
d) 0,071=7,1 · 10-2. Orden -2
2. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, expresando el resultado en notación
científica:
a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107)
b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)
c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103)
d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3)
Solución:
a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2
b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1
c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015
d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012
3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación
científica a dos cifras decimales:
a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7)
b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3)
c) (4,1 · 102) · 103
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7)
Solución:
a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104
b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8
c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2
4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación
científica a dos cifras decimales:
a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104)
b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7)
c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6)
d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)
Solución:
a) (4,5 · 10-7) : ( 1,5 · 104) = 3 · 10-11
b) (3,6 · 109) : ( 1,2 · 10-7) = 3 · 1016
c) (6,5 · 10-4) : ( 1,3 · 10-6) = 5 · 1010
d) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)= 4 · 10-1 = 0.4
5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación
científica a dos cifras decimales:
a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104)
b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105)
c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103)
d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5)
Solución:
a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) = 2,38 · 105
b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) = -7,13 · 105
c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) = 4,97 · 1015
d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) = 2,07 · 10-2
- Aplicar las propiedades de los radicales
1. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:
5
3 10
7
2 14
a)
b)
76
c)
Solución:
5
a)
7
b)
3 10  3
2
14

10
5
14
27
 32  9
 22  4
6
7 6  7 2  7 3  343
c)
2. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:
a) 405 ; b) 250 ; c) 3 240 ; d) 800 .
Solución:
405  3 4  5  3 2 5  9 5 .
a)
b) 250  2  5 3  5 2  5  5 10 .
3
c) 3 240  2 4  3  5  23 2  3  5  23 30 .
d) 800  2 5  5 2  2 2  5 2  20 2.
3. Simplifica los siguientes radicales:
9
83
3
16
3
73
a)
b)
c)
Solución:
 
9
8 3  9 23
3
16 
6
73  73
3
9
 29  2
a)
b)
3
3
24  2 2
 
c)
1
6
1
 72  7
4. Expresa como radical:
 3
a)  10 4


7
2
 3
 ; b) 5 4




6
2
 1 4
 7
7
 ; c)  13 5  ; d)  2 3








3
 14
 .


Solución:
a)
31
10 8
8
 10
31
; b)
6
28
5

3
5 14

14
3
5 ;
6
20
c) 13
3
10
 13
21

10
5. Saca del radicando la mayor cantidad posible de factores:
a) 3 3240 ; b) 9000 ; c) 4 2 6  3 5 ; d) 2 3  5 4  3 2 .
Solución:
3
a) 3 3240  3 4  2 3  5  3  23 3  5  63 15 .
b) 9000  2 3  3 2  5 3  2  3  5 2  5  60 10 .
c) 4 2 6  3 5  2  34 2 2  3  64 12 .
d) 2 3  5 4  3 2  2  5 2  3 2  150 2.
6. Expresa como radical:
a) 7 3 10 ;
b) 5 4 7 ;
c)
13 4
52
26 
26 ;
d) 3 5 11 .
Solución:
a) 21 10 ; b) 28 7 ; c)
26
23 ; d) 15 11 .
7. Extrae del radicando el mayor número de términos posible:
a) 7 5 13  3 23  215 ; b) 3 5400 ; c)4 115  136  177 ; d)4 6480 .
Solución:
a) 7 5 13  3 23  215  5  3 3  2 2 7 5 6  3 2  2  540 7 5 6  3 2  2 ;
3
3
b) 3 5400  2 3  3 3  5 2  2  3 5 2  63 25 ;
c) 4 115  13 6  17 7  11  13  17 4 11  13 2  17 3  24314 11  13 2  17 3 ;
d) 4 6480  4 2 4  3 4  5  2  34 5  64 5 .
1
13 3 ; d) 2 42  2 2  2 .
- Operar con radicales
1. Efectúa los siguientes cocientes:
a) 15 : 3 ; b) 3 28 : 3 7 ; c) 5 64 : 5 2 ; d) 7 81 : 7 27 .
Solución:
a) 5 ; b) 3 4 ; c) 5 32  2 ; d) 7 3 .
2. Reduce los siguientes radicales a índice común:
a) 5 3 , 7 2 , 15 10 ; b) 5 , 10 7 , 6 13 .
3. Realiza las siguientes operaciones:
4
a)
50  7 2  3 8 ; b) 113 81  12 3 24 .
5
Solución:
a) 50  2  5 2  5 2 ;
8  23  2 2 
4
4
50  7 2  3 8   5 2  7 2  3  2 2 
5
5
 4 2 7 2 6 2 5 2 .
3
b) 3 81  3 4  33 3 ;
3
3
24  2 3  3  23 3  113 81  123 24  11  33 3  12  23 3  33 3 3  223 3 
 113 3 .
4. Realiza las siguientes operaciones:
1
2
a) 34 162  4 1250 ; b) 3 343 
175  5 28 .
5
5
Solución:
a) 4 162  4 2  3 4  3 4 2 ;
4
1250  4 2  5 4  5 4 2  34 162 
14
1
1250  3  34 2   5 4 2 
5
5
 94 2  4 2  84 2 .
b) 343  7 3  7 7 ;
175  5 2  7  5 7 ;
 21 7  2 7  10 7  9 7 .
- Racionalizar
1. Racionaliza:
3
a) 7
4
7
b)
5
28  2 2  7  2 7  3  7 7 
2
5 7 52 7 
5
6
3 2
c)
Solución:
3 7
3 7
7

7 7
a)
47 5 6
7
57 56
b)
c)
47 5 6
5


6 3 2

 3  2  3  2 

 
6 3 2
6 3 2
32

2. Racionaliza:
5
3
67
a)
4
5
67
b)
6
4
5
c)
Solución:
5
3

67
5
62 3 6
3
5 62


3
36 3 6 6 2
53 36
216
a)
4
5

67
4
5
6 62

5
4 63
5
b)
c)
6
4

5
64 5 3
4
5 4 53

3. Racionaliza:
53 2
3
a)
5
6 62 63
64 5 3
5

5
5
4 63
63

36
9

2 3
7 3
b)
a
a b
c)
Solución:
53 2 3


5 3 3 6
3

3 3
a)
b)
c)
 2  3 7  3  
 7  3  7  3 

a a b

 a  b  a  b 

14  6  3 7  3 3
14  6  3 7  3 3

73
4

a a b
a b

4. Racionaliza:
3x
3-x
a)
5 x 1
5-x
b)
3 2
3
c)
Solución:
3 x 3-x
3-x
a)
9  x2
3x

3-x
 5  x  1 5 - x   5  x  1 5 - x
5x
5-x 5-x
b)
c)
 3  2 3  3 
3 3
5. Racionaliza:
1 2
1 3
a)
3
6
9
5 7
b)
5 6
2 6
c)
Solución:
1 2 1 3
    1 
1  3 1  3 
a)

9 5 7

 5  7  5  7 
3 2 6
1 3  2  6

1 3
2




9 5 7
9 5 7

57
2

b)
c)
 5  6  2  6  
 2  6  2  6 
10  30  12  6
10  30  12  6

26
4
6. Racionaliza:
2 3
2
a)
6 2
5 3
b)
3 2 5 3
2 7
c)
Solución:
2  3  2  2
2 2
2 6
2
a)
6 2 3

5 3 3
6 6 2 6

15
5
b)
c)
3 2 5 3 7


2 7 7

3

2 5 3 7
14