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LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
CARLOS S. CHINEA
LAS FÓRMULAS DE LA
TRIGONOMETRIA ESFERICA
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA.
FORMULAS DE LOS SENOS.
FORMULAS DE LOS COSENOS.
FORMULAS DE BESSEL.
FORMULAS DE LAS COTANGENTES.
FORMULAS DE BORDA.
ANALOGIAS DE DELAMBRE.
ANALOGIAS DE NEPER.
---OO0OO---
MARCHENA
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0
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1. LA ESFERA. ELEMENTOS DE LA ESFERA:
La esfera:
Una esfera E, de centro en el punto (a,b,c) y radio k, es el dominio de R3 definido por
{
E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) ≤ k 2
2
2
2
}
Superficie de la esfera:
Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a,b,c) y radio k, al dominio de R3
definido por
{
E = (x , y , z ) ∈ R 3 / (x − a ) + (y − b ) + (z − c ) = k 2
2
2
2
}
Círculos máximos:
Se llaman círculos máximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los
círculos máximos están contenidos en la superficie de la esfera.
Se llama ángulo barrido sobre un círculo máximo comprendido entre dos punto A y B del
mismo al ángulo AOB, siendo O el centro matemático de la esfera.
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Propiedades elementales:
a) 4 puntos del espacio euclídeo R3 definen una esfera, y solo una.
b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos. Por dos
puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculo máximo y solo uno.
c) Si la longitud de arco desde A a B es a y el radio de la esfera es k, el ángulo sobre el
círculo máximo es @ = a/k.
Volumen y superficie de la esfera:
El volumen de una esfera es el volumen de revolución engendrado por un recinto circular que
gira alrededor del diámetro.
La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución.
Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene:
Para el volumen:
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k
k
0
0
V = 2π ∫ y 2.dx , Para la superficie: S = 4π ∫ y. 1 + y ' 2 .dx
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Cálculos:
(
)
k
k
4
V = 2π ∫ y 2 .dx =2π ∫ k 2 − x 2 .dx = π.k 3
0
0
3
k
k
S = 4π ∫0 y. 1 + y ' .dx = 4π∫0
2
2
k
− x
k
y. 1 + 
 .dx = 4π∫0 y. .dx = 4π.k 2
y
 y 
Dominio sobre la superficie esférica:
Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esfera limitado
por curvas contenidas en dicha superficie.
Triángulo esférico:
Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por
tres círculos máximos que se cortan en A, B y C.
Los lados, a, b y c, son respectivamente, los arcos de círculo máximo opuestos a A, B y C.
En todo triángulo esférico de lados a, b y c, y de vértices A, B y C, sobre una superficie
esférica de radio k, se pueden distinguir 6 ángulos:
A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos
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puntos.
a/k, b/k, c/k son los ángulos centrales (con vértice en el centro de la esfera) barridos por
cada uno de los lados a, b y c.
Las razones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de
cada uno de estos ángulos son también el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante del ángulo plano de igual amplitud.
Esto quiere decir que son validas las fórmulas de la trigonometría plana para cada ángulo,
esto es:
Relaciones elementales:
cos2 a + sen2 a = 1,
tg2 a =
sen2 a
,
cos2 a
sen2 a =
tg 2 a
,
1 + tg2 a
cos2 a =
1
1 + tg 2 a
Ángulo suma/diferencia:
sen(a ± b) = sena. cos b ± cos a.senb
cos(a ± b) = cos a. cos b m sena.senb
tga ± tgb
tg( a ± b) =
1 m tga.tgb
Ángulo doble:
sen2 A = 2.senA. cos A,
cos 2 A = cos A − sen A,
2
2
2.tg2 A
tg2 A =
1 − tg 2 A
Ángulo mitad:
cos2
A 1 + cos A
=
,
2
2
sen2
A 1 − cos A
=
,
2
2
tg 2
A 1 − cos A
=
2 1 + cos A
Factorización de suma/diferencia de senos y de suma/diferencia de cosenos:
p + q
p − q
senp + senq = 2.sen
. cos

 2 
 2 
p + q
p − q
senp − senq = 2. cos
.sen

 2 
 2 
p + q
p − q
cos p − cos q = −2.sen
.sen

 2 
 2 
 p + q
p − q
cos p + cos q = 2. cos
. cos

 2 
 2 
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Triángulo polar:
Se llama triángulo polar relativo al triángulo esférico de vértices A,B y C, y lados a, b y c, al
triángulo de vértices A', B' y C', y lados a', b' y c', definido por:
A' = 180 - a/k, B' = 180 - b/k, C' = 180 - c/k
a'/k = 180 - A, b'/k = 180 - B, c'/k = 180 - C
Esfera trigonométrica:
Llamaremos esfera trigonométrica a una esfera de radio unidad. Los ángulos centrales
coinciden en esta esfera con los lados del triángulo.
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2. FORMULAS DE LOS SENOS:
Sea el triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio k y centro en el punto O(0,0,0).
Tracemos la normal AD al plano OBC. Por el punto D tracemos ahora la normal DF a la recta
OB y la normal DE a la recta OC.
La paralela por F a DE corta a OC en el punto G y la paralela a OC por D corta a OB en el
punto H.
Analicemos los triángulos planos que se forman al efectuar el trazado de las anteriores rectas
al objeto de obtener una relación entre los senos de los ángulos que aparecen en el triángulo
esférico.
Si consideramos el triángulo rectángulo plano AFD y también que el ángulo de vértice en F
coincide con el ángulo B del triángulo esférico se tiene:
AD = AF .sen B = AO. sen c / k. sen B
Análogamente, podemos considerar el triángulo plano AED y que el ángulo de vértice en E
coincide con el ángulo C del triángulo esférico:
AD = AE.sen C = AO. sen b / k . sen C
al identificar:
AO. sen c / k . sen B = AO.sen b / k . sen C
o sea:
sen b / k
sen c / k
=
sen B
sen C
Haciendo lo mismo con los otros vértices B y C (normales desde B y desde C), se tienen las
formulas de los senos:
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a
b
c
sen
sen
sen
k =
k =
k
sen A
sen B
sen C
que, si se trata de la esfera trigonométrica (k = 1) se puede escribir:
sen a
sen b
sen c
=
=
sen A sen B sen C
Fórmulas que guardan una cierta analogía con las fórmulas del mismo nombre de la
trigonometría plana.
En definitiva:
En un triángulo esférico se verifica siempre que el ángulo central que barre cada uno de los
lados es proporcional al seno del ángulo diedro opuesto.
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3. FORMULAS DE LOS COSENOS:
Para deducir ciertas relaciones básicas entre los cosenos de los ángulos del triángulo
esférico, volvemos a utilizar la figura del apartado anterior.
Podemos partir de la relación:
OE = OG + GE
obtenemos la expresión de cada uno de estos tres términos:
Si consideramos el triángulo plano ADE, vemos que está situado en un plano perpendicular
al segmento OC, por lo que el lado AE es perpendicular a OC. Se verifica, entonces, que
OE = OA. cos b / k = k. cos b / k
Análogamente, se obtienen:
OG = OF. cos a / k = k. cos c / k. cos a / k
GE = FD.sen a / k = AF . cos B.sen a / k = k.sen c / k. cos B.sen a / k
Por tanto, se verifica que:
k. cos b / k = k. cos c / k. cos a / k + k.sen c / k. cos B.sen a / k
es decir:
cos b / k = cos c / k . cos a / k + sen c / k . cos B.sen a / k
Análogamente se obtienen, proyectando los otros dos vértices del triángulo esférico, fórmulas
análogas.
Se tiene, en definitiva, el sistema de fórmulas conocido como las formulas de los cosenos:
cos a / k = cos b / k. cos c / k + sen b / k. sen c / k . cos A
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cos b / k = cos c / k. cos a / k + sen c / k. sen a / k . cos B
cos c / k = cos a / k. cos b / k + sen a / k . sen b / k. cos C
O sea:
En un triángulo esférico, el coseno del ángulo central barrido por un lado es igual al producto
de los cosenos de los ángulos barridos por los otros dos lados más el producto de los senos
por el coseno del ángulo diedro opuesto.
Si se trata de la esfera trigonométrica, se tiene:
cos a = cos b. cos c + sen b. sen c. cos A
cos b = cos c. cos a + sen c. sen a. cos B
cos c = cos a. cos b + sen a. sen b. cos C
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4. FORMULAS DE BESSEL:
Desde las fórmulas de los cosenos, obtenidas en la sección anterior, se pueden obtener de
inmediato un conjunto de varias fórmulas conocidas como "relaciones del seno por el coseno"
o también denominadas Fórmulas de Bessel. Fueron deducidas por primera vez por el gran
matemático Friedrich Wilhelm Bessel (Wesfalia, Alemania, 1784-Kaliningrado, Rusia, 1846).
cos a / k = cos b / k. cos c / k + sen b / k. sen c / k . cos A
cos b / k = cos c / k. cos a / k + sen c / k. sen a / k . cos B
cos c / k = cos a / k. cos b / k + sen a / k . sen b / k. cos C
Si en las fórmulas del coseno, sustituimos alguno de los cosenos despejados, por el ejemplo
el que figura en la tercera relación, en su expresión en el primer sumando de alguna de las
otras dos relaciones, se obtiene una fórmula para el producto de un seno por un coseno:
Así, por ejemplo, sustituimos en la segunda formula el
cos c / k , que figura despejado en
la tercera:
sen c / k. sen a / k. cos B = cos b / k − cos c / k . cos a / k =
= cos b / k − cos a / k. (cos a / k. cos b / k + sena / k. senb / k. cos C ) =
= cos b / k − cos2 a / k. cos b / k − cos a / k . sena / k. senb / k. cos C =
= cos b / k.sen2 a / k − cos a / k. sena / k . senb / k. cos C
sen a / k :
sen c / k. cos B = cos b / k . sen a / k − cos a / k . senb / k. cos C
Dividiendo toda la expresión por
permutando las letras se obtiene todo el conjunto de las fórmulas:
sen c / k.
sen c / k.
sen b / k.
sen b / k.
sen a / k.
sen a / k.
cos B = cos b / k . sen a / k
cos A = cos a / k. sen b / k
cos A = cos a / k . sen c / k
cos C = cos c / k. sen a / k
cos B = cos b / k. sen c / k
cos C = cos c / k. sen b / k
−
−
−
−
−
−
cos a / k . senb / k. cos C
cos b / k. sena / k . cos C
cos c / k. sena / k. cos B
cos a / k. senc / k. cos B
cos c / k . senb / k. cos A
cos b / k. senc / k. cos A
El conjunto de las fórmulas de Bessel puede escribirse, para la esfera de radio unidad, esto
es, la esfera trigonométrica, de la forma:
sen c.
sen c.
sen b.
sen b.
sen a.
sen a.
MARCHENA
cos B = cos b. sen a
cos A = cos a. sen b
cos A = cos a. sen c
cos C = cos c. sen a
cos B = cos b. sen c
cos C = cos c. sen b
−
−
−
−
−
−
cos a. senb. cos C
cos b. sena. cos C
cos c. sena. cos B
cos a. senc. cos B
cos c. senb. cos A
cos b. senc. cos A
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5. FORMULAS DE LAS COTANGENTES:
Combinando las fórmulas de Bessel con la fórmula de los senos, se obtiene el grupo de
fórmulas llamado formulas de las cotangentes.
Tomando una cualquiera de las fórmulas de Bessel, la primera del grupo, por ejemplo:
sen c / k. cos B = cos b / k . sen a / k − cos a / k . sen b / k . cos C
dividimos a continuación por la expresión del teorema de los senos
senA. senb / k = sena / k. senB
resulta:
ctgB =
multiplicando por
ctg b / k. sen c / k
− cos c / k. ctgA
senA
sen A y despejando:
senA. ctgB = ctg b / k . sen c / k − cos c / k . cos A
o sea:
sen c / k. ctgb / k = senA. ctgB + cos c / k. cos A
permutando letras, obtenemos el bloque de las fórmulas de las cotangentes:
senc / k . ctgb / k = senA. ctgB + cos c / k. cos A
senc / k . ctga / k = senB. ctgA + cos c / k . cos B
senb / k. ctga / k = senC. ctgA + cos b / k. cos C
senb / k. ctgc / k = senA. ctgC + cos b / k. cos A
sen a / k. ctgb / k = sen C . ctgB + cos a / k . cos C
sen a / k. ctg c / k = sen B. ctg C + cos a / k . cos B
que, para la esfera trigonométrica, se convierten en :
senc. ctgb = senA. ctgB
senc. ctga = senB. ctgA
senb. ctga = senC. ctgA
senb ctgc = senA. ctgC
sena. ctgb = senC. ctgB
sena. ctgc = senB. ctgC
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+ cos c. cos A
+ cos c. cos B
+ cos b. cos C
+ cos b. cos A
+ cos a. cos C
+ cos a. cos B
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6. FORMULAS DE BORDA:
A partir de las fórmulas del ángulo mitad de la trigonometría plana, y sustituyendo las
fórmulas del coseno, podemos obtener un grupo de fórmulas que explicitan la tangente del
ángulo diedro mitad, obtenidas por primera vez por Jean Borda (París, 1733-1799).
Si llamamos p al semiperímetro del triángulo definido por los arcos a, b y c, se tiene:
p=
a+b+c
b+c−a
a+c −b
b+c−a
, p−a=
, p−b=
, p−c =
2
2
2
2
de las fórmulas del coseno para la esfera trigonométrica, se tiene:
cos a = cos b. cos c + senb.senc. cos A → cos A =
cos a − cos b. cos c
senb.senc
y, a partir de la fórmula de la trigonometría plana que da la tangente del ángulo mitad, se
puede escribir:
cos a − cos b. cos c
A 1 − cos A
senb.senc − cos a + cos b. cos c
senb.senc
tg2
=
=
=
=
cos a − cos b. cos c
2 1 + cos A
senb.senc + cos a − cos b. cos c
1+
senb.senc
b + a− c
b − c − a
− 2.sen
.sen

cos(b − c ) − cos a
2
2



 =
=
=
− cos(b + c ) + cos a
a− b − c
a+ b+c
− 2.sen
.sen

2
2




1−
b + a −c
 a + c − b
sen
.sen

2
2



 = sen(p − c ).sen(p − b )
=
b + c − a
a + b + c
sen(p − a).senp
sen
.sen

2
2




podemos, entonces, escribir que:
tg2
A sen( p − c ).sen( p − b)
=
2
sen(p − a).senp
tg2
B
sen( p − c ).sen( p − a)
=
2
sen(p − b).senp
tg2
C sen( p − a).sen( p − b)
=
2
sen( p − c ).senp
y, por analogía:
MARCHENA
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En definitiva, se obtiene, para una esfera de radio k:
p-c
p-b
sen(
).sen(
)
A
2
k
k
=
tg
p
p-a
2
sen( )sen(
)
k
k
p-a
p-c
sen(
).sen(
)
B
2
k
k
=
tg
p
p- b
2
sen( )sen(
)
k
k
p-a
p- b
sen(
).sen(
)
C
2
k
k
=
tg
p
p-c
2
sen( )sen(
)
k
k
O sea:
La tangente del ángulo diedro mitad es la raiz cuadrada del cociente de dividir el producto
de los senos del complemento semiperimetral de los angulos centrales adyacentes por el
producto del seno del semiperímetro por el seno del complemento semiperimetral del ángulo
central opuesto.
Para despejar desde estas fórmulas el seno y el coseno correspondientes, tengamos en
cuenta las fórmulas de trigonometría plana que nos dan:
sen2
A
=
2
tg2
A
2
A
1 + tg2
2
,
cos2
A
=
2
1
1 + tg2
A
2
Por lo cual, al sustituir:
sen(p − b).sen( p − c )
A
sen( p − b).sen( p − c )
senp.sen(p − a)
sen2
=
=
=
sen( p − b).sen( p − c ) senp.sen( p − a) + sen( p − b).sen(p − c)
2
1+
senp.sen( p − a)
sen( p − b).sen(p − c)
=
senb.senc
1
senp.sen( p − a)
=
=
sen( p − b).sen(p − c ) senp.sen( p − a) + sen( p − b).sen( p − c )
1+
senp.sen( p − a)
senp.sen( p − a)
=
senb.senc
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cos2
A
=
2
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Donde se ha simplificado la expresión del denominador haciendo:
cos a − cos(2p − a)
+
2
cos(c − b) − cos a cos(c − b) − cos(c + b) 2senb.senc
+
=
=
= senb.senc
2
2
2
senp.sen( p − a) + sen( p − b).sen( p − c ) =
Se obtienen, así, el seno y coseno del ángulo diedro mitad, referidos a una esfera
trigonométrica, esto es, de radio unidad:
sen
A
=
2
sen
sen
MARCHENA
B
=
2
C
=
2
sen(p − b).sen(p − c )
A
, cos =
senb.senc
2
sen(p − a).sen(p − c )
B
, cos =
sena.senc
2
sen(p − b).sen( p − a)
C
, cos =
senb.sena
2
senp.sen(p − a)
senb.senc
senp.sen(p − b)
sena.senc
senp.sen(p − c )
senb.sena
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7. ANALOGIAS DE DELAMBRE:
Usando las fórmulas de Borda, y teniendo en cuenta que por la fórmula del ángulo suma de
la trigonometría plana es
B+C
B
C
B
C
sen
= sen .cos + cos .sen
2
2
2
2
2
Podemos obtener mediante una sencilla sustitución las fórmulas llamadas analogías de
Delambre, obtenidas por Jean Baptiste Joseph Delambre (Amiens, 1749 - París, 1822).
Efectivamente, se tiene:
sen
B+C
=
2
sen( p − a).sen( p − c ) senp.sen(p − c)
.
+
sena.senc
sena.senb
+
senp.sen(p − b) sen( p − a).sen( p − b)
.
=
sena.senc
sena.senb
sen2 ( p − c).senp.sen( p − a)
+
sen2 a.senb.senc
+
sen2 (p − b).senp.sen(p − a) sen( p − c ) senp.sen( p − a)
=
+
sena
senb.senc
sen2 a.senb.senc
+
sen(p − b) senp.sen(p − a)
sen( p − c ) + sen(p − b)
A
=
. cos =
sena
senb.senc
sena
2
a
 2p − c − b 
b − c
b − c
2.sen
. cos

2.sen . cos

2
2 
A
2
2 
A




=
. cos =
. cos =
a
a
sena
2
2
2.sen . cos
2
2
b − c
b − c
cos
cos


2 
A
B+C
2 
A


=
. cos ⇒ sen
=
. cos
a
a
2
2
2
cos
cos
2
2
Se obtiene, en definitiva:
Análogamente se obtienen:
B+C
b-c
sen
cos
2 =
2
A
a
cos
cos
2
2
B-C
b-c
sen
sen
2 =
2
A
a
cos
sen
2
2
MARCHENA
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B+C
b+ c
cos
cos
2 =
2
A
a
sen
cos
2
2
B-C
b+c
cos
sen
2 =
2
A
a
sen
sen
2
2
Permutando circularmente las letras, se obtienen otras ocho fórmulas que completan el
grupo.
C+A
c-a
sen
cos
2 =
2
B
b
cos
cos
2
2
C-A
c-a
sen
sen
2 =
2
B
b
cos
sen
2
2
C+A
c+a
cos
cos
2 =
2
B
b
sen
cos
2
2
C-A
c+a
cos
sen
2 =
2
B
b
sen
sen
2
2
A+B
a-b
cos
2 =
2
C
c
cos
cos
2
2
A- B
a-b
sen
sen
2 =
2
C
c
cos
sen
2
2
A+B
a+b
cos
cos
2 =
2
C
c
sen
cos
2
2
A- B
a+ b
cos
sen
2 =
2
C
c
sen
sen
2
2
sen
MARCHENA
DICIEMBRE 2002
16
LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
CARLOS S. CHINEA
8. ANALOGIAS DE NEPER:
Si se dividen las analogias de Delambre, se obtienen las relaciones siguientes, conocidas
como analogias de Neper:
B-C
b+ c
2 .tg a
tg
=
B+C
2
2
cos
2
cos
B-C
b- c
2 .tg a
tg
=
B+C
2
2
sen
2
sen
b-c
B+C
2 .cotg A
tg
=
b+c
2
2
cos
2
cos
b-c
sen
B-C
2 .cotg A
tg
=
b+c
2
2
sen
2
Permutando circularmente las letras, se obtienen otras ocho fórmulas que completan este
grupo.
C-A
c+a
2 .tg b
tg
=
C+A
2
2
cos
2
cos
C-A
sen
c-a
2 .tg b
tg
=
C+A
2
2
sen
2
c-a
C+A
2 .cotgB
tg
=
c+a
2
2
cos
2
cos
MARCHENA
DICIEMBRE 2002
17
LAS FÓRMULAS DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
CARLOS S. CHINEA
c-a
sen
C-A
2 .cotgB
tg
=
c+a
2
2
sen
2
A- B
cos
a+ b
2 .tg c
tg
=
A+ B
2
2
cos
2
A-B
sen
a-b
2 .tg c
tg
=
A+B
2
2
sen
2
a- b
cos
A+ B
2 .cotgC
tg
=
a+ b
2
2
cos
2
a-b
sen
A- B
2 .cotgC
tg
=
a+ b
2
2
sen
2
MARCHENA
DICIEMBRE 2002
18