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2.7. Integral de superfície de campos vectoriales.
Otra de las aplicaciones importantes de la integral de superficies, es cuando se integra
un campo vectorial sobre ella. El significado que adquiere este tipo de integrales de
superficie dependerá del significado físico del campo vectorial que se está integrando.
Es importante señalar que un aspecto necesario para el cálculo de este tipo de integrales,
llamadas también como integrales de flujo de campos vectoriales, es realizar la
orientación de la superficie.
2.7.1. Definir la Integral del campo vectorial F sobre una superficie S
como una suma de Riemann.
Sea S es una superficie orientada, en donde el vector unitario n indica una orientación de
la superficie. A cada partícula que atraviesa la superficie S, le podemos asignar un
vector V ( x, y, z ) que representa su velocidad, que depende de la posición ( x, y, z ) de la
partícula. Suponga además que la densidad del fluido en el punto ( x, y, z ) está dada por
la función ρ ( x, y, z ) , en donde esta función densidad es un campo escalar (Cuando el
fluido es incompresible la densidad es constante). De manera que el caudal de fluido
(masa por unidad de tiempo) por unidad de área, para un punto ( x, y, z ) , viene dado por
el producto de la densidad por la velocidad del fluido, esto es, ρV . Si denotamos por
F ( x, y, z ) = ρ ( x, y, z ) V ( x, y, z ) , a este campo vectorial se denomina densidad de flujo
del fluido. Si se divide a la superficie S en pequeñas regiones Sij, como se observa en la
Figura XX, entonces a medida que se aumente el número de regiones Sij esta cuadrícula
es casi plana, y se puede aproximar mediante su plano tangente, por lo que para estimar
la masa de fluido que atraviesa a dicho plano tangente en la dirección del vector normal
unitario n por unidad de tiempo, se puede realizar mediante el producto escalar de
( F ⋅ n ) A( S ) ,en donde ρ, V y n, son evaluados en algún punto ( xi , yi , zi )
ij
sobre Sij, y A( S )
ij
es el área de la región Sij. (Se debe recordar el producto ρV nos indica la cantidad de
masa de fluido que circula por el punto ( x, y, z ) en la dirección de V por unidad de área
y tiempo, y ρV ⋅ n tiene como resultante la componente del vector ρV , densidad de
flujo, en la dirección del vector unitario n )
Figura XX. Integral de superficie.
Al sumar todas estas pequeñas cantidades del producto de de ( F ⋅ n ) A( S ) , y tomar el
ij
límite cuando n → ∞ , se obtiene la integral de superficie de la función F ⋅ n sobre S:
∫∫ ρV ⋅ ndS = ∫∫  F ( x, y, z ) ⋅ n ( x, y, z ) dS
S
S
Y esto se interpreta físicamente como el caudal del fluido que atraviesa a la superficie S.
Esra integral sule escribirse como
∫∫ F ⋅ ndS
S
Esta integral de superficie se presenta con bastante frecuencia en la física, incluso
cuando F no es ρV , y se llama integral de superficie (o integral de flujo) de F sobre S.
Definición.
Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie orientada S en la
dirección de un vector unitario n, entonces la integral de superficie de F sobre S es
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ nds
S
S
Esta integral se llama también flujo de F a través de S.
Si la superficie S se puede escribir de forma paramétrica por una función vectorial
g ( u , v ) , la integral de flujo (o integral de superficie) se puede escribir mediante la
siguiente integral
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F
S
S
gu × g v
dS
gu × g v

g × gv 
= ∫∫  F ( g ( u, v ) ) u
 gu × g v dA
gu × g v 
D 
Donde D es el dominio de los parámetros, resultando de esta manera la siguiente
expresión para la integral de superficie
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( g
S
u
× g v ) dA
D
Si la superficie S esta dada de manera explicita de la forma z = g ( x, y ) , la integral de
superficie se puede escribir mediante la siguiente integral
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F
S
S
gx × g y
dS
gy × gy

gx × g y
= ∫∫  F ( x, y )
gy × gy
D 


 gu × g y dA

Donde D es la proyección sobre el plano xy de la superficie S, resultando de esta manera
la siguiente expresión para la integral de superficie
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( g
S
x
× g y ) dA
D
 ∂g ∂g 
= ∫∫ ( F1 , F2 , F3 ) ⋅  − , − ,1 dA
 ∂x ∂x 
D
∂g
∂g


= ∫∫  − F1
− F2
+ F3  dA
∂x
∂x

D 
EJEMPLO 56. Determine la integral de flujo del campo vectorial F ( x, y, z ) = ( x, y, z ) ,
a través de la esfera dada por x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Solución. Para calcular esta integral de flujo, se debe primero reescribir la superficie de
forma paramétrica. Al emplear coordenadas esféricas se tiene una conveniente
parametrización
dada
por
s en (ϕ ) cos (θ )   x 


g : ℜ → ℜ / g (θ , ϕ ) = s en (ϕ ) sen (θ )  =  y 

  z 
cos (ϕ )
2
3
con
0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ ϕ ≤ π . Como la integral de superficie puede ser escrita en términos
de los parámetros de la superficie de la siguiente manera
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( r × r ) dA
u
S
v
D
Se determinan los vectores rθ y rϕ , para luego de determinar el producto escalar
F ( r (θ , ϕ ) ) ⋅ ( rθ × rϕ ) , así pues
 ∂x ∂y ∂z 
rϕ = 
,
,

 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
= ( cos (ϕ ) cos (θ ) , cos (ϕ ) sen (θ ) , sen (ϕ ) )
 ∂x ∂y ∂z 
rθ = 
,
,

 ∂θ ∂θ ∂θ 
= ( sen (ϕ ) sen (θ ) , sen (ϕ ) cos (θ ) , 0 )
El
producto
vectorial
de
estos
vectores
n = rθ × rϕ = ( − sen 2ϕ cos θ , − sen 2ϕ s enθ , − senϕ cos θ ) ,
para
dan
luego
como
resultado
determinar
que
F ( g (θ , ϕ ) ) ⋅ ( rθ × rϕ ) = senϕ . Y expresar la integral de superficie como se muestra a
continuación
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( r × r ) dA
u
S
v
D
=∫
2π
0
∫
π
0
s en (ϕ ) dϕ dθ
2π
π
= ∫  − cos (ϕ )  dθ
0
0
2π
= 2∫ dθ
0
= 4π
Figura 63. Superficie S del Ejemplo 56.
EJEMPLO
57.
Determine
la
integral
de
flujo
del
campo
vectorial
F ( x, y, z ) = ( y, x, z 2 ) , a través de la superficie dada por la helicoide dada por
g : ℜ2 → ℜ3 / g ( u , v ) = ( u cos v, usenv, v ) .
Solución. En este problema la superficie, que es una helicoide, esta dado
paramétricamente
por
la
siguiente
función
vectorial
u cos v   x 
g : ℜ → ℜ / g ( u , v ) =  usenv  =  y  , con 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ v ≤ π . Determinamos a gu y
 v   z 
2
3
a g v , como se muestra a continuación
 ∂x ∂y ∂z 
gu =  , ,  = ( cos v, senv, 0 )
 ∂u ∂u ∂u 
 ∂x ∂y ∂z 
g v =  , ,  = ( −usenv, u cos v,1)
 ∂v ∂v ∂v 
Redetermina su producto vectorial, n = gu × g v = ( senv, − cos v, u ) , y luego sustituimos
el vector resultante y la parametrización correspondiente en la integral de superficie,
para ello calculamos F ( g ( u , v ) ) ⋅ ( ru × rv ) = usen 2 v − u cos 2 v + 2vu , de donde se obtiene
que
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( r × r ) dA
u
S
v
D
=∫
π
=∫
π
0
0
=
∫ ( usen v − u cos
1
2
2
0
1
1 2

2
2
 2 u ( sen v − cos v + 2v )  dv
0
1 π
( 2v − cos 2v ) dv
2 ∫0
π
1
1

=  v 2 − sen ( 2v ) 
2
2
0
=
π2
2
v + 2vu ) dudv
Figura 64. Superficie S del Ejemplo 57.
Es importante señalar que cuando se elige la orientación de la curva su resultado
numérico puede interpretarse como que la región que encierra la superficie S es una
fuente o un sumidero, si por ejemplo, se tiene una superficie cerrada, y el campo que se
esta integrado sobre dicha superficie es un campo de velocidades o un flujo térmico y se
elige la orientación positiva de la superficie, y
∫∫ F ⋅ dS > 0
entonces se dice que dicha
S
región es una fuente, ya que el flujo va de adentro hacia fuera, es un deposito que
suministra, mientras que si
∫∫ F ⋅ dS < 0
se dice que dicha región es un sumidero, el
S
flujo va de afuera hacia adentro, es un deposito que absorbe. Si
∫∫ F ⋅ dS = 0 se dice que
S
el flujo está en estado estacionario, es decir, o el flujo no atraviesa la frontera, la
superficie S, o la cantidad de flujo que va de adentro hacia fuera es igual a la cantidad
de flujo que va de adentro hacia fuera.
EJERCICIOS PROPUESTO 2.7.1.
1)
2)
3)
2.7.2. Propiedad de las integrales de superficies.
a)
Linealidad.
Sean
el
campo
vectorial
F
definido
por
F : ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) y el campo vectorial G
definido
por
G : ℜ3 → ℜ3 / G ( x, y, z ) = ( G1 ( x, y, z ) , G2 ( x, y, z ) , G3 ( x, y, z ) ) ,
dos
campos vectoriales integrables sobre una superficie S, definida paramétricamente por
h : ℜ2 → ℜ3 / h ( u , v ) = ( h1 ( u , v ) , h2 ( u , v ) , h3 ( u , v ) ) , y sean k1 y k2 dos números reales
cualesquiera, entonces se cumple que
∫∫ ( k F + k G ) ⋅ dS = k ∫∫ F ⋅ dS + k ∫∫ G ⋅ dS
1
2
1
S
2
S
S
b) Integral de línea sobre superficies parcialmente suaves. Sea S una supoerficie
parcialmente suave, es decir, una superficie definida como la unión de dos o más
superficies suaves, S = S1 ∪ S2 ∪ … ∪ S n , entonces
∫∫ F ⋅ nds = ∫∫ F ⋅ nds + ∫∫ F ⋅ nds +
S
S1
S2
+ ∫∫ F ⋅ nds
Sn
Cuando la superficie S es una superficie cerrada, y ésta se recorre de tal manera que si
una persona camina sobre la trayectoria de una curva C que delimita a la superficie S la
región encerrada por esta curva C queda a la izquierda de la persona, se dice que el
sentido de recorrido es positivo, la integral de superficie del campo vectorial F sobre la
superficie S se denota por
∫∫ F ⋅ dS , donde aquí se debe señalar cual es el sentido de
S
recorrido que se está realizando sobre la curva C que delimita a la superficie S. También
se puede utilizar la regla de la mano derecha para identificar el sentido de recorrido
positivo sobre la curva.
EJEMPLO 58. Determine el valor de la siguiente integral de superficie
∫∫ F ⋅ dS ,
S
donde F ( x, y, z ) = ( x, − z , y ) siendo S la parte de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 del primer
octante, con orientación hacia el origen.
Solución. En este caso se debe integrar el campo vectorial F ( x, y, z ) en cuaro
superficies a saber, la porción de casco esférico del primer octante ( S1 ) , el plano xy
( S2 ) , el plano zy ( S3 ) , y el plano xz ( S4 )
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ dS + ∫∫ F ⋅ dS + ∫∫ F ⋅ dS + ∫∫ F ⋅ dS
S
S1
S2
S3
S4
De manera que al sustituir la parametrización de la superficie S1 , en coordenadas
esféricas en el campo vectorial F, se obtiene la siguiente expresión
F ( r (φ , θ ) ) = ( 2 sen (φ ) cos (θ ) , −2 sen (φ ) , 2 sen (φ ) sen (θ ) )
Luego para determinar el vector normal que indica la orientación positiva de la curva se
determina rϕ y rθ , para determinar el producto vectorial de ellos.
 ∂x ∂y ∂z 
,
,
rϕ = 
 = ( 2 cos (ϕ ) cos (θ ) , 2 cos (ϕ ) sen (θ ) , −2 sen (ϕ ) )
 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
 ∂x ∂y ∂z
, ,
rθ = 
 ∂θ ∂θ ∂θ

 = ( −2sen (ϕ ) sen (θ ) , 2sen (ϕ ) cos (θ ) , 0 )

La dirección que proporciona la orientación positiva viene dado por el vector normal
que se presenta en la siguiente expresión
rθ × rϕ = ( 4sen 2 (ϕ ) cos (θ ) , 4sen 2 (ϕ ) sen (θ ) , 4sen (ϕ ) cos (θ ) )
Se realiza el producto escalar de rθ × rϕ y F ( r (φ , θ ) ) , para obtener la siguiente
expresión
F ( r (φ ,θ ) ) ⋅ ( rθ × rϕ ) = 8sen3 (ϕ ) cos (θ )
Sustituyendo en la integral de superficie se obtiene la siguiente integral
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ( r (φ ,θ ) ) ⋅ ( rθ × rϕ ) dA
S1
D
=∫
2π
0
∫
π
0
= −4 ∫
2π
0
8sen3 (ϕ ) cos (θ ) dϕ dθ
π
1


3
 cos ϕ − cos ϕ  cos (θ ) dθ
3


0
16 2π
cos (θ ) dθ
3 ∫0
=0
=
Para la superficie S2 , como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su
vector normal unitario viene dado por n = ( 0, 0,1) , que la sustituir en la integral de
superficie, se obtiene
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ nds
S2
S2
= ∫∫ ( x, − z , y ) ⋅ ( 0, 0,1) dA
D
= ∫∫ ydA
D
π
2
= ∫ 2 ∫ rsen (θ ) rdrdθ
0
=∫
π
2
0
0
2
1 3
 r  s en (θ ) dθ
3 0
8 π2
sen (θ ) dθ
3 ∫0
8
=
3
=
Para la superficie S3 , como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su
vector normal unitario viene dado por n = (1, 0, 0 ) , que la sustituir en la integral de
superficie, se obtiene
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ nds
S3
S3
= ∫∫ ( x, − z , y ) ⋅ (1, 0, 0 ) dA
D
= ∫∫ xdA
D
= ∫∫ 0dA
D
=0
Para la superficie S4 , como la orientación que se está tomando es hacia el origen, su
vector normal unitario viene dado por n = ( 0,1, 0 ) , que la sustituir en la integral de
superficie, se obtiene
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ nds
S3
S3
= ∫∫ ( x, − z , y ) ⋅ ( 0,1, 0 ) dA
D
= ∫∫ − zdA
D
Figura 64. Superficie S del Ejemplo 58.
EJEMPLO 59. Determine el valor de la siguiente integral de superficie
∫∫ F ⋅ dS ,
S
donde F ( x, y, z ) = ( x, y, z 4 ) siendo S la parte del cono z = x 2 + y 2 que está por
debajo del plano z = 1 con orientación hacia abajo.
Solución.
Una
parametrización
para
esta
superficie
es
la
dada
por

  x
x

  
g : ℜ 2 → ℜ3 / g ( x, y ) = 
y
 =  y  , al determinar los vectores g x y g y , y hacer
 2
 z
2
 x + y   
 ∂g ∂g 
su producto vectorial se obtiene como resultado que g x × g y =  − , − ,1 . Par esta
 ∂x ∂x 
parametrización la integral de superficie vendría dada por
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ⋅ ( g
S1
x
× g y ) ds
S1

= ∫∫  x, y,
D 
(
x2 + y2
)  ⋅  − ∂∂gx , − ∂∂gx ,1 dA
4


2
x
y
,−
,1 dA
= ∫∫ x, y, ( x 2 + y 2 ) ⋅  −

x2 + y2
x 2 + y 2 
D


2
x2
y2
= ∫∫  −
−
+ ( x 2 + y 2 )  dA


x2 + y2
x2 + y 2
D 

)
(
(
)
= ∫∫ − x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) dA
D
=∫
2π
=∫
2π
=∫
2π
0
∫ (−
1
0
0
∫ ( −r
1
0
0
=−
2
2
2
+ r 5 ) drdθ
1
 1 3 1 6
 − 3 r + 6 r  dθ
0
π
3
Figura 65. Superficie S del Ejemplo59.
EJERCICIOS PROPUESTO 2.7.2.
1)
2)
3)
)
r 2 cos 2 (θ ) + r 2 sen 2 (θ ) + ( r 2 cos 2 (θ ) + r 2 cos 2 (θ ) ) rdrdθ
2.7.3. Aplicar las Integrales de Superficie de Campos Vectoriales para el
cálculo de Flujos de Fluido, Flujo Eléctrico y Flujo Térmico.
Cálculo de Flujo de Fluidos.
Si V representa el campo de velocidades de un Fluido entonces la integral de
∫∫ V ⋅ dS
S
es la cantidad neta de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
EJEMPLO 60. Determine el flujo de fluido hacia fuera (alejándose del eje z) del
campo de velocidades dado por V ( x, y, z ) = ( 4 x, 4 y, 2 ) a través de la superficie del
paraboloide z = x 2 + y 2 , que se encuentra por debajo del plano z = 1 .
Solución. El flujo que se desea determinar viene dado por la integral de superficie
∫∫ V ⋅ dS ,
la cual para la superficie que esta dada de forma explicita de la forma
S
z = g ( x, y ) , vendría dada por la siguiente expresión
∫∫ V ⋅ dS = ∫∫ V ⋅ ( g
S
x
× g y ) ds
S
 ∂g ∂g 
= ∫∫ ( 4 x, 4 y, 2 ) ⋅  − , − ,1 dA
 ∂x ∂x 
D
= ∫∫ ( 4 x, 4 y, 2 ) ⋅ ( −2 x, −2 y,1) dA
D
= ∫∫ ( −8 x 2 − 8 y 2 + 2 ) dA
D
∫ ( −8r
π
= ∫ ∫ ( −8r
2π
1
0
0
2
1
0
0
=∫
2
cos 2 (θ ) − 8r 2 sen 2 (θ ) + 2 ) rdrdθ
2
+ 2 ) drdθ
1
2π  8

= ∫  − r 3 + 2r  dθ
0
 3
0
4π
=−
3
Por lo que el flujo del fluido se dirige hacia adentro de la superficie definida por el
paraboloide.
Figura 66. Superficie S del Ejemplo 60.
Calculo de Flujo de Eléctrico.
Si E representa un campo eléctrico entonces la integral de
∫∫ E ⋅ dS
es la cantidad neta
S
de flujo eléctrico que atraviesa la superficie.
EJEMPLO 61. Considere una carga puntual q, cuyo campo eléctrico está definido por
E ( x, y , z ) =
q
4πε 0 r 2
( x, y, z ) , cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie
esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia fuera, a través de la esfera de radio a.
Solución. El flujo eléctrico que se desea determinar viene dado por la integral de
superficie
∫∫ E ⋅ dS , en la cual la superficie S viene dada por la esféra
x2 + y 2 + z 2 = a2 ,
S
puede
ser
parametrizada
por
la
función
vectorial
g : ℜ2 → ℜ3 / g (φ , θ ) = ( a s en (ϕ ) cos (θ ) , a s en (ϕ ) sen (θ ) , a cos (ϕ ) ) , por lo que la
integral de superficie utilizando esta parametrización se obtiene
∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ ( gθ × gϕ ) ds
S
Se determina que E ⋅ ( gθ × gϕ ) =
integral de superficie
S
q
4πε 0 a
2
a 2 senϕ =
q
4πε 0
senϕ , y al sustituir en la
∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ ( gθ × gϕ ) ds
S
S
=∫
2π
0
=
=
=
π
q
0
4πε 0
∫
q
4πε 0
q
4πε 0
2π
π
0
0
∫ ∫
dϕ dθ
senϕ dϕ dθ
( 4π )
q
ε0
Lo cual se interpreta como que el flujo eléctrico es proporcional ala carga q que se
encuentra dentro de la esfera de radio a, y es i8mportante observar que el flujo no va a
depender de el radio de la esfera.
Figura 67. Superficie S del Ejemplo 61.
Cálculo de Flujo Térmico.
Sea la función T ( t , x, y, z ) la temperatura en un punto ( x, y, z ) ∈ W ⊂ ℜ3 , donde W es
alguna región sólida y T es una función cuyas primeras derivadas parciales son
continuas en la región W. ∇T representa entonces al campo gradiente de temperaturas,
y como la temperatura fluye de la regiones calientes a las regiones frías, entonces el
campo de calor fluye a razón del campo vectorial F = −∇T , es importante recordar que
∇T apunta en la dirección en la que el valor de la temperatura T crece, pero como es un
hecho físico que el calor fluye de las zonas caliente a las frías, se incorpora el signo
negativo, para reflejar esté condición física. Por lo tanto la integral
∫∫ F ⋅ dS
S
de calor a través de la superficie S.
es el flujo
EJEMPLO 62. Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la
ecuación x 2 + y 2 = 4 , entre los planos z = 1 y z = 4 , si la temperatura del cuerpo en un
momento dado, esta dado por T ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z .
Solución. Se debe determinar el campo gradiente de temperaturas, denotado por ∇T ,
debido a que la temperatura fluye de la regiones calientes a las regiones frías, entonces
el flujo de calor fluye por campo vectorial definido como F = −∇T , qu viene dado por
 ∂T ∂T ∂T
F = −∇T = − 
,
,
 ∂x ∂y ∂z

 = ( −2 x, −2 y, −1)

La parametrización para esta superficie está dada por la función vectorial
 2 cos ( u )   x 


g : ℜ → ℜ / g ( u , v ) =  2sen ( u )  =  y  , con 0 ≤ u ≤ 2π y 1 ≤ v ≤ 4 , el vector normal n,
 v
  z 
2
3
viene definido por gu × g v = ( 2 cos ( u ) , 2 sen ( u ) , 0 )
La integral
∫∫ F ⋅ dS
representa pues, el flujo de calor a través de la superficie S, la
S
integral de superficie queda planteada de la siguiente manera
∫∫ F ⋅ dS = ∫∫ F ( g ( u, v ) ) ⋅ ( g
S
u
× g v ) ds
S
∫ ( −4 cos ( u ) , −4sen ( u ) ,1) ⋅ ( 2 cos ( u ) , 2sen ( u ) , 0 ) dudv
π
= ∫ ∫ ( −8cos ( u ) − 8sen ( u ) ) dudv
π
= −8∫ ∫ ( cos ( u ) + sen ( u ) ) dudv
=∫
2π
0
4
1
2
0
4
2
2
1
2
0
4
2
2
1
= −48π
Como se observa, el resultado de esta integral nos indica que el flujo de energía térmica
es hacia el interior de la superficie S, por lo que esta región es un sumidero
Figura 68. Superficie S del Ejemplo 62.
EJERCICIOS PROPUESTO 2.7.3.
1)
2)
3)