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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICA BÁSICA – MAT 120 B
SEM I - 2004
GUÍA DE ESTUDIO
a) LONGITUD Y UNIDADES DE MEDIDA.
La unidad fundamental de longitud es el metro. En la siguiente tabla se
representan las principales unidades de longitud.
Nombre
Símbolo
Equivalencia
kilómetro
Km
103 m
hectómetro
Hm
102 m
decámetro
Dm
10 m
metro
m
1m
decímetro
dm
10-1 m
centímetro
cm
10-2 m
milímetro
mm
10-3 m

10-6 m
Micra
En los países de influencia inglesa aún no adoptan el sistema métrico decimal y
usan unidades particulares. Entre ellas tenemos las siguientes
Nombre
Equivalencia
1 pulgada
2,54 cm
1 pie
12 pulgadas
1 yarda
3 pies
1 milla terrestre
1,609 Km
1 milla náutica
1,852 Km
 Qué unidad de elegirías para medir:
– El largo de tu sala de clases
– El ancho de un terreno
– La distancia entre dos ciudades
– La longitud de un lápiz
– El grosor de tus cuadernos

Ubica en la tabla las siguientes distancias y, después, exprésalas en
metros, en centímetros y en milímetros:
a) 35 Km 17 m
Km
3
b) 15 m 15 mm
Hm
5
Dm
1
c) 25 Dm 11 m
m
7
dm
cm
d) 6 Hm 7dm 5 cm
mm
 Si un automóvil va por la carretera con una velocidad de 60 millas por hora.
¿A cuántos kilómetros por hora viaja?

Un estudiante camina diariamente 1,5 Km para legar a la universidad.
¿Cuántas millas recorre cada día?

María compra una cinta de 2 m 50 cm y corta dos cintas, una de 7 dm y la
otra de 73 cm. ¿Cuánto mide el resto que le queda?

Una cinta de 2 m 4 cm se corta en dos partes. Si una de las partes es el
triple de la otra, ¿cuánto mide cada parte?

Completa la siguiente tabla si en cada línea de la tabla deben estar escritas
las medidas de la misma distancia y en las unidades indicadas en la parte
superior de la tabla:
Km
Hm
Dm
47
470
55
4700
m
dm
cm
mm
5601
5000
25000
1000000
750000

En el trayecto hacia el sur se encontraron los siguientes carteles
indicadores:
A ciudad A 169 Km
A ciudad B 317 Km
¿Cuál es la distancia entre la ciudad A y la ciudad B?

Completa la siguiente tabla:
Polígono Triángulo
regular
Largo del
lado.
6
En cm
Perímetro
en cm
Triángulo
Cuadri Cuadri Pentá Pentálátero látero gono gono
5,5
96
10
Hexágono
Hexágono
15
27
247
Heptá- Heptágono gono
3,35
1890
Octógono
17
7707
11
b) ÁNGULOS Y MEDIDA DE ÁNGULOS.

Si se tiene como dato que el ángulo  mide 45° 30’, calcule la medida de los
demás ángulos:





Calcula el valor del ángulo que falta en cada una de las siguientes figuras;

90°
25° 12’

58° 30’

22° 15’
45°
Octógono
30° 25’

Un ángulo de un triángulo isósceles mide 74°, ¿cuánto miden los otros dos
ángulos?

Dado un triángulo ABC, se sabe que el ángulo  es el doble del ángulo  y
que el ángulo  es el triple del ángulo  ¿Puedes calcular la medida de cada
ángulo? Explica cómo las calculas y escríbelo usando escritura matemática.

Dado un triángulo ABC, se sabe que la medida del ángulo  supera en 30°
a la medida del ángulo  y que m() = m() ¿Puedes calcular la medida de
cada ángulo? Explica cómo las calculas y escríbelo usando escritura
matemática.

Uno de los ángulos de un romboide mide 120°, ¿cuál es la medida de los
otros tres ángulos?

En un cuadrilátero ABCD dos ángulos opuestos, ∢ y ∡ son
complementarios. Si m()= 70° y m()= 150°, ¿cuál es la medida de los
otros dos ángulos?
c) SUPERFICIES Y UNIDADES DE MEDIDA.
La unidad de superficie es el metro cuadrado. Las unidades de medida de
superficies más usadas son las siguientes:
Nombre
Símbolo
Equivalencia
kilómetro cuadrado
Km2
106 m2
hectómetro cuadrado
Hm2
104 m2
decámetro cuadrado
Dm2
102 m2
metro cuadrado
m2
1 m2
decímetro cuadrado
dm2
10-2 m2
centímetro cuadrado
cm2
10-4 m2
milímetro cuadrado
mm2
10-6 m2
Las unidades para medir superficies de terrenos se llaman agrarias y son:
Nombre



Símbolo
Equivalencia
hectárea
Ha
104 m2
área
a
102 m2
centiárea
ca
1 m2
– Calcula cuántos metros cuadrados tiene el campo de mi abuelita que tiene
7,5 hectáreas.
– Calcula el área del terreno anterior.
– La cubierta de la mesa de la sala de reuniones tiene 59500 cm 2, si el largo
de la mesa es de 3,5 m, ¿cuál es el ancho?
– La base cuadrada del florero mide 12,25 cm 2, ¿cuántos milímetros mide
cada lado de la base?
– Un macetero tiene base circular de 6,25   dm2, ¿cuántos centímetros de
diámetro tiene su base?
Los lados de un triángulo miden 3, 4, 5; los de otro miden 6, 8, 10. ¿ Qué
clase de triángulos son éstos y cómo son entre sí?
Se cambian dos terrenos equivalentes, el primero es un cuadrado de 200 m
de perímetro y el segundo es un triángulo de 80 m de base. ¿Cuál es su
altura?
NOTA:
Dos figuras geométricas son equivalentes si tienen igual área.
Calcula el área del cuadrilátero dado.
En la figura se tienen las siguientes medidas:
h1 = 3 cm,
h2= 4 cm y BD = 12 cm, .
d) DAR UNA IDEA INTUITIVA DE CONCEPTOS MUY BÁSICOS








Congruencia de figuras
Semejanza de figuras
Transformación isométrica
Traslación
Rotación
Reflexión
Enunciado del teorema de Pitágoras
Enunciado del teorema de Tales
e) BUSCAR UNA SITUACIÓN
DETERMINADO CONCEPTO






REAL
DONDE
ESTÉ
PRESENTE
UN
Congruencia de figuras
Semejanza de figuras
Transformación isométrica
Traslación
Rotación
Reflexión
f) APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS



Calcular la diagonal de un cuadrado de lado 10.
Si la diagonal de un cuadrado es 1.¿Cuánto mide el lado?
¿Cuánto se ahorra al caminar por la diagonal en una plaza de lado 100
metros?
 Calcular la altura de un tetraedro regular de lado 1
 Calcular la altura de un cono cuyo radio basal es 1 y cuya distancia del
vértice superior a un punto de la circunferencia basal es 10.
g)
REALIZAR UNA CONSTRUCCIÓN JUSTIFICANDO EL PROCEDIMIENTO



h)
Dividir un segmento en dos partes iguales
Construir una recta perpendicular a una recta dada.
Dividir un ángulo en dos partes iguales.
DETERMINAR SI UNA DETERMINADA PROPIEDAD GEOMÉTRICA ES
VERDADERA O FALSA. (En caso que sea falsa reemplazarla por una
verdadera)
 Todos los segmentos son congruentes
 Una reflexión transforma triángulos en otros triángulos de diversos
tamaños.
 Con las traslaciones se pueden obtener todos los cuadrados congruentes
con uno dado.
i)
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS IMPORTANTES

j)
Pitágoras
APLICAR TRANSFORMACIONES A FIGURAS

Dibuja un triángulo cuyos vértices sean los puntos A( -3,2), B(-3,4) y
C( -2, 4) .Aplícale una traslación de 5 unidades hacia la derecha y 3 hacia
abajo, es decir una traslación dada por el vector ( 5, -4).

Dibuja un triángulo cuyos vértices sean los puntos A( -3,2), B(-3,4) y
C( -2, 4) Ahora aplícale una rotación en torno al punto correspondiente al
vértice A, en 45°.

Dibuja un triángulo cuyos vértices sean los puntos A( -3,2), B(-3,4) y
C( -2, 4) Ahora aplícale una reflexión en torno al eje horizontal.

Ubica las coordenadas del triángulo dado ABC y determina una secuencia
de transformaciones para llegar desde el triángulo ABC a cada uno de los
tres triángulos.
k) TRANSFORMACIONES
 Usando el concepto de traslación: ¿en qué punto debería construirse un
puente ( MN ) sobre el río que separa a dos ciudades A y B de modo que el
camino AMNB sea el más corto posible? (Considere las riberas del río
paralelas y el puente perpendicular a éstas).

Encuentre el camino AMNPQB más corto de modo que una a A y a B
pasando por dos ríos y bajo las mismas condiciones que en el problema
anterior.
 Al aire libre hipotético: Se supondrá que el terreno es plano y horizontal,
que los puntos serán representados por pequeñas estacas delgadas
clavadas en el terreno y que las rectas serán de pitilla suficientemente
larga. Otros instrumentos necesarios serán una huincha metálica, un
transportador.
a) Cómo medirías la distancia entre dos puntos A y B separados por un
obstáculo
b) Dividir un terreno triangular en dos terrenos triangulares no
necesariamente iguales pero que tengan igual área.
c) Medir la anchura de un arroyo desde su orilla (sin medir directamente)
l)
ÁREAS, PERÍMETROS, DISECCIONES, TEOREMA DE PITÁGORAS
(EQUIVALENCIA = IGUAL ÁREA)

Una extensión de terreno de forma cuadrada tiene 4800 metros de
contorno. Se vende a razón de diez millones la hectárea (1 hectárea = 10
mil metros cuadrados) ¿cuánto vale el terreno?

¿Cuánto valdrá pintar una pared cuadrada de 6 m por lado, si se paga a
$1500 el m2?
 En una plancha de acero de forma cuadrada, y de 1,5 m. por lado, se hace
en su centro una abertura, también de forma cuadrada, de 0,75 m. por
lado. ¿cuál es el área de la parte restante?
 Un sitio de forma cuadrada se compra a razón de $3.500 el metro
cuadrado. Si mide 20 metros y medio por lado ¿en cuánto se compró?
 Un patio de forma cuadrada tiene 12,5 m por lado. Se embaldosa con
ladrillo de forma también cuadrada, que mide 1 dm por lado (1 metro es
igual a 10 decímetros) ¿cuántos ladrillos se necesitan?
 La diagonal de un cuadrado mide 37 cm. ¿Cuál es el suma de los lados?
 Un campo de forma cuadrada tiene 1.500 metros por lado. Alrededor de él
se quiere plantar árboles de 5 en 5 metros ¿cuántos árboles se necesitan?
 Un potrero cuadrado se quiere cerrar con tres corridas de alambre. Si el
campo mide 750 m. Por lado ¿cuántos rollos de 75m se ocuparán?
 Una cuadrado tiene un metro por lado. Se toman 10 cm a partir de cada
vértice y se unen los puntos vecinos. ¿Qué área tiene la parte restante del
cuadrado?
 Un rectángulo mide 75 m de largo por 52 metros de ancho. A partir de
cada vértice se toman 30 metros y se unen los puntos contiguos. ¿Qué
área tiene la parte restante del rectángulo?
 Se quiere modificar un edificio que forma esquina en una calle, tomando
2,50 metros por ambos lados. ¿Qué valor tiene el terreno expropiado, a
razón de 4 millones el metro cuadrado?
 La diagonal de un rectángulo mide 30 metros y los lados contiguos 18 y 24
metros respectivamente. ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado
construido sobre la diagonal y la del rectángulo?
 El área de un trapecio es de 700 m 2. La longitud de cada base es de 30 y
40 metros, respectivamente, ¿cuál es la distancia entre las bases?
 Muestre que si dos triángulos de igual altura y construidos sobre una
misma base, se cortan por una paralela a la base común, los segmentos de
la paralela interceptados por los lados del triángulo, son iguales entre sí.
 Construir un cuadrado dada la diferencia p entre la diagonal y el lado.
(llame y a la diagonal y x al lado del cuadrado pedido, según el enunciado
se tiene
y – x = p, relacione x e y usando Pitágoras y reemplace en la
expresión anterior, etc)
 Construir un cuadrado dada la suma de la diagonal y del lado.
 Transformar un triángulo equilátero en un cuadrado equivalente (de igual
área) [llame el lado del triángulo equilátero a y el lado del cuadrado como
x, relacione las áreas]
 Dividir un trazo dado a en dos segmentos tales que el rectángulo formado
por los segmentos sea equivalente al cuadrado construido sobre la
diferencia de ellos.
 Dividir un trazo dado a de tal modo que el área del cuadrado construido
sobre el segmento mayor sea equivalente al doble del área del rectángulo
formado por el segmento menor y el trazo entero.
 Muestre que un triángulo es equivalente a la mitad de un paralelogramo
que tenga la misma base y la misma altura
 Transformar un paralelogramo en otro equivalente que tenga un lado dado
(teorema del gnomon)
 Transformar un triángulo en otro equivalente que tenga un lado común con
él.
 Dividir un paralelogramo en n partes equivalentes, de modo que las rectas
de división sean paralelas a uno de los lados del paralelogramo.
 Dividir un triángulo en n partes equivalentes por medio de rectas que partan
desde uno de sus vértices
 Dibujar un paralelogramo 3 veces mayor que un paralelogramo dado.
 Dibujar un triángulo 2 veces mayor que un triángulo dado.
 Dados dos cuadrados, construir un tercero equivalente a la suma de los
otros dos.
 Construir un cuadrado que sea equivalente: (a) al doble, (b) al triple, (c) a
la tercera parte de un cuadrado dado.
 Muestre que en todo triángulo rectángulo se verifica que el rectángulo
formado por los catetos es equivalente al formado por la hipotenusa y al
altura.
 Hallar el área de cada uno de los cuadrados de la figura. ¿se verifica la
relación pitagórica? Explica cómo procediste para calcularlo. (asume que
el cuadriculado tiene cuadrados de lado 1 cm.)
 Dados tres puntos A, B y C, trazar por A un recta de modo que las
distancias de B y C a ella sean entre sí como m : n
 Describa todas las figuras geométricas que son siempre semejantes entre
sí. Justifique la semejanza
m) EJERCICIOS
 Encontrar un punto que tenga de un punto dado A la distancia a = 3 cm y de
otro punto B la distancia de 4 cm. (Dos soluciones. Ayuda: intersección de
circunferencias)

Muestre que si se cortan dos rectas paralelas por un transversal de modo
que los ángulos internos o externos del mismo lado de la transversal son
iguales, la transversal es perpendicular a las paralelas cortadas por ella.

Si la suma de dos ángulos agudos de un triángulo es igual a 90º, el
triángulo es rectángulo; si es menor que 90º el triángulo es obtusángulo; y si
es mayor que 90º el triángulo es acutángulo.
 Muestre que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a
360º.