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Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 01
ACTIVIDAD N° 01
Conceptualizar
la
lógica
como ciencia y reconocer su
importancia en el avance
científico.
Analice la siguiente información sobre
1.1.
LA LÓGICA COMO CIENCIA:
CONCEPTUALIZACIÓN:
Considerando que la lógica estudia tanto la estructura como
el contenido del pensamiento, conceptualmente afirmamos
que “La Lógica (en general) es la ciencia que estudia las leyes
dialécticas y lógico-formales, los métodos, los procedimientos,
las propiedades y las relaciones; sobre la base de las teorías
del pensamiento”.
ESQUEMÁTICAMENTE:
LÓGICA (en general)
Principios
y/o leyes
- Identidad
- No contradicción.
- Tercio excluido
- Razón
suficiente.
- Unidad y lucha
de contrarios.
- Tránsito de
cantidad en
calidad.
- Negación de la
negación
Métodos
Formas
- Inducción
- Concepto
- Deducción
- Juicio
- Análisis
- Raciocinio
- Síntesis
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-
Procedimientos
Propiedades
Definición
Clasificación
División
Explicación
Argumentación
Refutación
Demostración
Exposición
Investigación
- Espacio
1
- Tiempo
- Movimiento
- Cantidad
- Cualidad
Relaciones
-
Causa
Efecto
Necesidad
Casualidad
Posibilidad
Realidad
Singular,
particular,
universal.
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LA LÓGICA Y LA CIENCIA:
Cuando
el
gran
físico
Albert
Einstein
inició
sus
investigaciones sobre el micromundo, no lo hizo sobre la
base de nada, sino que tuvo que estudiar y someter a crítica
las leyes y teorías de la física clásica del macromundo. Es a
partir
de
estas
premisas
que
fue
estableciendo
deducciones, inducciones y analogías que finalmente
significan la creación de una nueva teoría: la teoría de la
relatividad. Sin embargo no fue suficiente que Einstein
conociese para sí, intersubjetivamente, sino que era
necesario
que
el
mundo,
la
humanidad
también
lo
conociese, de allí que tuviese el autor que publicar, hacer
público sus investigaciones.
Este ejemplo nos muestra que la ciencia, puede ser
entendida como proceso (investigación científica) y también
como producto (publicación o exposición de los resultados
de la investigación científica).
En ambos casos, la ciencia necesita de la lógica, sin ésta no
puede desenvolverse.
a) Como proceso la ciencia necesita de la lógica en tanto
leyes, procedimientos, métodos, propiedades y relaciones
sobre la base de las formas del pensamiento, para que el
científico en confrontación con la realidad, alcance la
verdad objetiva.
Aquí el peso mayor recae en la lógica del contenido
(condición suficiente para la ciencia).
b) Como producto la ciencia en tanto teoría a exponerse,
publicarse, necesita de la lógica para organizarse,
sistematizarse, estructurarse, formalizarse a fin de
poder demostrar su validez o corrección lógico-formal:
Aquí el peso mayor recae en la lógica formal (condición
necesaria para la ciencia).
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IMPORTANCIA
DE
LA
LÓGICA
PARA
EL
AVANCE
CIENTÍFICO-TECNOLÓGICO:
• Permite en base al conocimiento ya obtenido y validado,
deducir nuevos conocimientos.
• En base a razonamientos inductivos (de lo particular a lo
podemos
general),
plantear
hipótesis
o
predicciones
científicas; sin experimentación.
• Permite la formalización del lenguaje científico para la
posterior demostración de validez, tornándose preciso,
exacto, convencional y universal.
• En tanto métodos lógicos son el puente entre los métodos
de investigación científica y los métodos de exposición
científica.
• Es la base y hasta el momento la fundamentación de las
matemáticas (consideradas ciencias exactas), según la cual
se puede deducir de un conjunto de axiomas un conjunto
de teoremas. También se usa la inducción y analogía
matemática.
• El desarrollo y el progreso de la lógica implican el
desarrollo y el progreso de las ciencias y la tecnología, por
ejemplos los circuitos lógicos son el fundamento de los
circuitos eléctricos y de todo el sistema de computación.
Ahora, con las computadoras se pueden hacer cálculos y
predicciones sumamente complejos.
• Por sus aplicaciones a la matemática, a la lingüística, al
análisis
del
razonamientos
lenguaje
natural,
filosóficos,
las
al
análisis
aplicaciones
al
de
los
método
científico, y en general, no hay campo de la ciencia ni de la
tecnología contemporánea donde la lógica no sea utilizada.
En este sentido, la lógica es la columna vertebral de todos
los acontecimientos en cuanto lo organiza coherentemente.
• En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente,
incluso
para
cruzar
una
pista,
porque
previamente
razonamos: “si viene un carro, no debo cruzar la pista.
Viene un carro. Luego, no debo cruzar la pista”, o cuando
un campesino ve una densa nube en el cielo infiere que va
a llover, y así podemos mencionar situaciones donde se usa
la lógica indefinidamente.
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ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación el siguiente
CUESTIONARIO SOBRE LA LÓGICA COMO CIENCIA:
1) ¿Cómo se conceptualiza la lógica como ciencia? Haga un
diagrama de dicha conceptualización.
2) ¿Cómo se relaciona la lógica y la ciencia? Cite algunos ejemplos
prácticos.
3) Con ejemplos explique la importancia de la lógica en la vida
diaria.
4) ¿Qué aplicaciones de la lógica podemos citar? Cite algunos
ejemplos prácticos.
5) ¿Por qué es necesaria la lógica para las ciencias?
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OBJETIVO N° 02
ACTIVIDAD N° 01
Definir
e
identificar
proposiciones.
Estudie la siguiente información sobre
1.2. PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:
EL CONCEPTO:
Es una de las formas del reflejo del mundo en el pensar,
mediante el cual se entra en conocimiento de la esencia de
los fenómenos y procesos. En otras palabras, es el
pensamiento.
En
otras
palabras,
es
el
pensamiento
elemental, la unidad lógica básica que presenta al objeto o a
una clase de objetos refiriéndose a sus caracteres esenciales
o indicando relación entre ellos.
Ejemplos:
• Carpeta
(designa un objeto real físico)
• Alegría
(designa un objeto real o psíquico)
• Número
(designa objeto abstracto).
• Perseverancia
(designa valor)
• Todos, algunos
(indican relación entre los anteriores)
Finalmente,
un
concepto
no
afirma
ni
niega
nada,
simplemente indica algo ya sea objeto o entidad.
EL TÉRMINO:
Es la expresión, manifestación, explicitación lingüística del
concepto. Es decir, es la palabra o palabras con la cual se
expresa un conjunto. Así:
• El concepto estricto “cerebro” se expresa con un solo término
o palabra.
• El concepto estricto “Universidad Nacional del Santa” se
expresa con varios términos o palabras.
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EL JUICIO:
Es una relación o conjunto de conceptos que se caracterizan
por construir una afirmación o aseveración de algo. Es una
forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es
verdadero o falso.
LA ORACIÓN:
Convencionalmente, es una palabra o conjunto de palabras
con sentido o significado propio.
CLASIFICACIÓN DE LAS ORACIONES:
1) Declarativas o Aseverativas:
a) Informativas (Informan)
Ej.: 2 + 3 = 5
b) Descriptivas (Describen)
Ej.: La tierra gira alrededor del sol.
c) Explicativas (Explican)
Ej.: El área de un cuadrado de 4 cm de lado es
16m2 porque para hallar el área de un cuadrado se
multiplica lado por lado.
2) Expresivas o no Aseverativas:
a) Exclamativas (Sentimientos, interjecciones)
Ej.: ¡Viva el Perú!
b) Imperativas (Órdenes)
Ej.: Silencio
c) Desiderativas (Deseos, súplicas)
Ej.: Quiero viajar al Cuzco
d) Interrogativas (Preguntas)
Ej.: ¿Qué hora es?
LA PROPOSICIÓN:
Es la expresión lingüística del juicio, de cuyo contenido o
significado se puede saber con certeza si es verdadero o
falso empíricamente y que generalmente se expresa como
oración declarativa. A nivel de pensamiento se llama juicio y
a nivel de lenguaje se llama proposición, por eso se dice que
las proposiciones son la envoltura material de los juicios.
Ej.: Todo número par es divisible por dos.
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En síntesis, el proceso lógico puede esquematizarse del
modo siguiente:
PROPOSICIÓN
SE REFLEJA
JUICIO
OBJETO
A modo de resumen se da el siguiente cuadro para que
pueda identificar proposiciones.
No son proposiciones
Son proposiciones
• Las
oraciones • Los
aseverativas.
personajes
• Los proverbios, modismos y
refranes.
fórmulas
• Creencias
matemáticas.
• Las
o
literarios.
• Las leyes científicas.
• Las
hechos
fórmulas
esquemas lógicos.
religiosas,
supersticiones y mitos.
y/o
• Las interrogantes.
• Los enunciados cerrados • Las órdenes.
o definidos.
• Las interjecciones.
• Los deseos, dudas y súplicas.
• Los abiertos o indefinidos.
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EJEMPLO 1
De
las
siguientes
oraciones,
identificar
las
que
son
proposiciones.
01)Cuando x > 3 entonces x2 > 9
02) Peter Drucker es autor de la obra “El Líder del Futuro”.
03) La traducción en inglés de “yo te amo” es “I love you”.
04) ¡Viva el Perú!
05) Dadme la vida o dadme la muerte.
06) ¡Chimbote! Alma mater de lucha y de inquietud.
07) ¿A qué hora termina el examen?
08) Todo triángulo es un polígono
09) Juega
un papel preponderante en el desarrollo y
conservación de los recursos.
10) El ADN es la molécula maestra de la célula.
11) El área del círculo es...
12) Es un método didáctico activo.
13) Del dicho al hecho hay mucho trecho.
14) Hoy tendré un mal día, se me cruzó un gato negro.
15) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Solución:
La
característica
fundamental
de
una
proposición
es
verdadera o falsa empíricamente. De acuerdo a esto:
Son proposiciones:
1, 2, 3, 8 y 10
15
(oraciones aseverativas)
(fórmula matemática)
no son proposiciones:
5y6
(oraciones aseverativas)
4
(interjección)
7
(interrogante)
9, 11 y 12 (enunciados abiertos o indefinidos)
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(refrán)
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(superstición)
CLASES DE PROPOSICIONES:
Simples, atómicas o elementales: Aquellas que carecen de
conectores lógicos.
Compuestas, moleculares o coligativas: Aquellas que
tienen uno o más conectores lógicos.
EJEMPLO 2
De las siguientes proposiciones, identificar las proposiciones
simples y las proposiciones compuestas.
01) No existe la capa de ozono.
02) El SIDA y la TBC son enfermedades.
03) Los ofidios tienen extremidades o bien vértebras.
04) Los medios de comunicación son necesarios en la
pedagogía.
05) i2 ≠-1
06) Cero es un número par o impar.
07) La relación
{(x y ) ∈ R
1
2
}
/ x2 + y 2 = 1
es una función y
representa una circunferencia.
08) Si 2 es un número irracional entonces es un número
real.
09) x − h = 0 Sí y sólo sí x = h
10) Manipular la computadora y la impresora son ejemplos
de aprendizaje motor.
11) “Peruanicemos al Perú” es un tema crítico-científicoliterario de José María Arguedas.
12) Las palabras: mármol, carácter, baúl, tórax llevan tilde
por ser graves prosódicas.
13) Los metaloides son combinables con oxígeno para
formar anhídridos.
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14) En todo proceso redox existen uno o más elementos que
se oxidan.
15) X + 6 = 4, si x = -2
Solución:
4 y 13 son proposiciones simples pues carecen de
conectores lógicos.
1 y 5 tienen la negación como conectivo. El símbolo
matemático ≠ "diferente a" es equivalente a "no es igual a".
1, 7, 10, 11 y 12 tienen la conjunción como conectivo.
3, 6 y 14 tienen la disyunción como conectivo.
8 y 15 tiene como conectivo el condicional.
9 tiene el bicondicional como conectivo.
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ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación la siguiente
PRÁCTICA SOBRE PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES:
01) De las siguientes expresiones:
(1) Todo lo agradable es bueno
(2) ¡Viva el Perú carajo!
(3) Hay mujeres en la tierra
(4) Los alumnos de historia hicieron la tarea
(5) Entrégame mi libro de lógica.
No son proposiciones:
a) 2, 3 y 5
b) 2 y 5
c) 2, 4 y 5
d) N.A.
e) T.A.
02) De las siguientes expresiones:
(1) Solo sé que nada sé
(2) El calor dilata los cuerpos
(3) x + y = y + x
(4) Vargas Llosa es el mejor escritor del Perú
(5) Café es una palabra aguda.
No son proposiciones:
a) 1, 3 y 4
b) 1, 3 y 5
c) 3, 4 y 5
d) 1 y 3 e) sólo 1
03) De las siguientes expresiones:
(1) Los cuerpos caen por acción de la gravedad.
(2) La materia es energía concentrada.
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(3) El valor de π = 3.1416
(4) H2O es la fórmula del agua
(5) The sun is the center of our planetary system
Son proposiciones:
`
a) 1, 2, 4, 5
b) 1, 2, 3 y 4
c) 1,2, 5
d) 1,2 y 3
e) Todas.
04) De las siguientes expresiones:
(1) El agua no se solidifica a 0°
(1) tg x = 1 cuando x=π/4
(2) 2-1 = ½ no obstante
2 −1
=1
1/ 2
(3) x2 + y2 = 1; es la ecuación de una circunferencia
(4) 4 + 3 ≠ -3 -4
Son proposiciones compuestas:
a) 2, 3 y 4
b) 2, 3 y 5
c) 1,2 y 3
d) 1,2, 3 y 5
e) 1, 3, 5
05) De las siguientes expresiones:
(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas
(02) C (n, k ) =
(03)
n!
, k≤n
k!(n − k )!
− 1 = i ↔ i 2 = −1
(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno
(05) The earth rotates around the sun
No son proposiciones compuestas:
a) 1, 2, 3 y 5
b) 1, 2 y 3
c) 1 y 5
d) Sólo 1
e) 1 y 2
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OBJETIVO N° 03
ACTIVIDAD N° 01
Formalizar
proposiciones
usando
variables
proposicionales
y
los
conectivos
lógicos,
y
determinar su valor de verdad.
Analice la siguiente información sobre
1.3. OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS:
NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA:
Variables proposicionales:
- Del Lenguaje Objeto:
Las proposiciones simples se pueden denotar por medio
de letras minúsculas, generalmente, a partir de: p, r, s....
- Del Metalenguaje:
Son variables de mayor amplitud que las anteriores y
sirven para denotar proposiciones compuestas. Se usan
las letras mayúsculas, generalmente, a partir de: A, B,
C,...
Operadores o Conectivos Lógicos:
La Negación
Símbolo: ~
Esquema lógico
Lectura
¬ , ' , __
~ p, ¬ p , p ' , p
_
“no p”, “nunca p”,
“jamás p”, “tampoco p”
“es absurdo que p”
“es inadmisible que p”
“es falso que p”
“no acaece que p”
“es inconcebible que p”
“no es innegable que p”
“es imposible que p”
“carece de todo sentido que p”
“no ocurre que p”
“de ninguna forma se da p”
“no es verdad que p”
“es erróneo que p”
“es mentira que p”
“es incierto que p”
“nadie que sea p”
etc...
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La Disyunción Débil o Inclusiva
Símbolo:
∨, +
Esquema lógico
p ∨ q, p + q
Lectura
“p o q”
“a menos que p, q”
“p ó también q”
“p ó de lo contrario q”
“p salvo que q”
“p a menos que q”
“p excepto que q”
“p ó en tal sentido q”
etc...
La Disyunción Débil o Exclusiva
Símbolo:
∨,
Esquema lógico
p ∨ q, p ∆ q , p ↔q, p >--< q, p ≡ q
Lectura
∆,
↔,
>--<,
“o p ó q”
“p no equivale a q”
“p no se define como q”
“ya sea p ya sea q”
≡
“o bien p o bien q”
“p es diferente a q”
“ya bien p ya bien q”
“p se contrapone a q”
“p excluye a q”
“p ó solamente q”
“p o únicamente q”
El Operador de Nicond
Símbolo:
/
Esquema lógico p/q, ~p ∨ ~q, ~ (p ∧ q).
Lectura
“no p ó no q”
“es falso que no pe y no q”
La Conjunción
Símbolo:
Esquema lógico
Lectura
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∧, ., &
p ∧ q, p.q , p&q
“p y q”
“p pero q”
“p aunque q”
“p sin embargo q”
“p incluso q”
“p así como q”
etc...
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“p también q”
“p del mismo modo q”
“p de la misma forma q”
“p tal como q”
“p al igual que q”
“p no obstante q”
“p es compatible con q”
“no sólo p también q”
“siempre ambos p con q”
“tanto p como, cuanto q”
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El operador de Sheffer
Símbolo:
↓
Esquema lógico
p ↓ q, ~p∧~q, ~(p∨q)
Lectura
“ni p ni q” , “es falso que p ó q”
El Condicional
Símbolo:
→, ⊃
Esquema lógico
Lectura
•
p → q, p ⊃ q
“si p entonces q”
“cuando p así pues q”
“con tal de que p es obvio
que q”
“en virtud de que p es
evidente q”
“dado p por eso q”
“en cuanto p por tanto q”
“de p deviene q”
“de p deducimos q”
“p sólo si q”
En la condicional:
p
•
“ya que p bien se ve que q”
“siempre que p por consiguiente q”
“como quien que p por lo cual q”
“en el caso de que p en tal sentido
q”
“toda vez que p en consecuencia q”
“en la medida que p de allí q”
“en el caso de p en este caso q”
“p impone q”
“p es condición suficiente para q”
etc...
→
q
El Antecedente
La Hipótesis
La causa
El consecuente
La tesis
El efecto
La
Premisa
La
Conclusión
Después de las siguientes palabras va el antecedente de
una condicional (INDICADORES DE PREMISAS):
puesto que
como es indicado por
dado que
la razón es que
a causa de
por las siguientes razones
porque
se puede inferir de
pues
se puede derivar de
se sigue de
se puede deducir de
como muestra
en vista de que
ya que
cuando
si
cada vez que, siempre que, a
condición de que, es condición
necesaria para, es suficiente para.
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En este caso el esquema lógico es:
Consecuente
Conclusión
Palabra
Indicador de premisa
Premisa
Antecedente
s
r
Este conectivo se llama REPLICADOR.
El Bicondicional
↔, ≡
Símbolo:
p ↔ q, p ≡ q
Esquema lógico
Lectura
“p sí y sólo si q”
“p es equivalente, equivale a q”
“p se define como q”
“p siempre que y sólo cuando q”
“p es lo mismo que q”
“p cada vez que y sólo si q”
“p es idéntico a q”
“p es equipolente a q”
etc....
“p es de la forma q”
“p
es
condición
necesaria
y
suficiente para q”.
EJEMPLO 1
Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones.
1) Estudias Lógica o Biología, pero no ambas a la vez.
∨
(p
∧ ~ (p ∧ q)
q)
(p ∨ q) ∧ ~ (p ∧ q) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ↓ q)
2) O bien los animales son vertebrados o bien invertebrados, pero
∆
(p
∼p)
∧
no es el caso que sean invertebrados a la vez vertebrados.
∼
∧
(∼p
p)
(p ∆ ∼p) ∧ ∼ (∼p ∧ p)
3) Un enunciado abierto no es una proposición a menos que
∼p
∨
se le asignen valores a la variable.
q
∼p ∨ q
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4) Una condición necesaria para que Rocío no sea premiada con un libro
←
∼p
es que estudie matemáticas y no apruebe el examen.
∧
(q
∼r)
∼p → (q ∧ ∼r)
5) Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado
hay jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en
el juzgado hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay
jueces.
Solución:
Sean:
p: hora laborable
q: hay jueces en el juzgado
r: hay testigos en el juzgado.
•
Simbolizando sólo las proposiciones simples:
Como p, se concluye que q y r, dado que, si
p, q, y r si q.
•
Simbolizando los operadores condicionales:
[p → (q ∧ r)
•
dado que (p → q) ∧ (r si q)]
Simbolizando los replicadores:
[(p → q) ∧ (q→r)] → [p → (q∧r)]
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VALORES VERITATIVOS DE LOS OPERADORES
O CONECTIVOS LÓGICOS
p
∼p
V
F
F
V
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
pq
p∨q
p↓q
p∆q
p∧q
p/q
VV
V
F
F
V
F
V
V
VF
V
F
V
F
V
F
F
FV
V
F
V
F
V
V
F
FF
F
V
F
F
V
V
V
p→q p↔q
V es 1
F es 0
•
En el álgebra de Boole,
•
La parte sombreada es la regla de operación de cada
operador
•
(A) y (B) son de valores de verdad opuestos
(D) y (E)
•
Sentido convencional de la verdad formal.
(A) es V ↔ al menos p es 1 ó q es 0
(C) es V ↔ p y q tienen valores de verdad desiguales
(E) es V ↔ cuando menos p es 0 ó q es 0
(G) es V ↔ p y q tienen valores de verdad iguales
etc.
•
Sentido convencional de la falsedad formal:
(D) es F ↔ al menos p es 0 ó q es 0
(F) es F ↔ p es 1 y q es 0
(G) es F ↔ p y q tienen valores de verdad desiguales
(C) es F ↔ p y q tienen valores de verdad iguales. etc.
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•
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Se puede construir un mapa conceptual de los valores de
verdad de un operador, por ejemplo:
Mapa Conceptual de los Valores de Verdad de p ∆q
V
entonces
F
p ∆ q es
Si p es
V
F
entonces
V
P ∆ q es
V
entonces
V
p ∆ q es
Si p es
F
F
entonces
F
p ∆ q es
EJEMPLO 2
Si la proposición q → r es falsa, el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I.
II.
III.
r ∧ (p ∨ r)
~ (q ∧ r)
p ∧ (q → r)
Son respectivamente:
(a) FVFV
(b) VVFV
c) VFVF
d) FFFV
e) FVVF
Solución:
Sabemos que:
q→r≡F
∴∴
V→F
q ≡V
r ≡ F
F
Luego:
I.
r ∧ (p ∨ r) ≡ F
F∧V
F
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∼ (q ∧ r) ≡ V
II.
∼ F
V
( r ∧ ∼q) → p ≡ V
III.
( F ∧ F) → p
F → p
cualquiera sea el valor de verdad de p
V
IV.
p ∧ (q → r) ≡ F
P∧F
F
cualquiera sea el valor de verdad de p
Respuesta (e)
EJEMPLO 3
Dadas las proposiciones:
q:“
7 es un número racional”
p y r cualquier proposición
además se sabe que:
~[ (r ∨ q) → (r → p) ] es verdadera
Hallar el valor de verdad de:
I.
r → (∼ p ∨ ∼ q)
II.
[ ( r ↔ (p ∧ q)] ↔ (q ∧ ∼p)
III.
( r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p)
(a) VVV
(b) FFF
c) VFV
d) FVV
e) VVF
Solución:
Del dato, q ≡ F, además
(r ∨ q) → ( r → p) ≡ F
V
(i)
→
F
r →p ≡F
(ii)
rvq≡V
V→ F
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VvF
20
p ≡F
∴ q ≡F
r ≡ V
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r → (∼p v ∼q) ≡ V
I.
V → (V v V)
V →V
F
[ (r ↔ (p ∧ q)] ↔ (q ∧ ∼p) ≡ V
II.
(V → F)
↔
(F v V)
F
↔
F
V
III.
( r ∨ ∼p) ∧ (q ∨ p) ≡ F
(V v V) ∧ (F v F)
V ∧
F
F
Respuesta (c)
EJEMPLO 4
Si se sabe que:
{[(r ∨ s) → t] ∆ (p v q) } ∧ {∼{[(r ∆ t) ∧ s] →(∼q ∧ ∼p)}}
es verdadera, hallar el valor de verdad de:
I.
{[(p ∨ q) → r ] ∆ ( t → p )} ∆ r
II. [ (r → s) ∨ ∼t ] → ∼(p ∨ q)
III. ∼ (p ∨ q) ∧ ( t → ∼ ∆)
(a) VVV
(b) VFF
c) VFV
d) FVV
e) VVF
Solución:
Para que toda la proposición sea verdadera, cada una de las
expresiones entre llaves debe ser verdadera, o sea:
(i)
{[( r ∨ s) → t ] ∆ (p ∨ q)} ≡ V
(ii)
{∼{[( r ∆ t) ∧ p] → (∼q ∧ ∼p)}} ≡ V
V
Universidad Nacional del Santa
21
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
De (ii)
[(r ∆ t) ∧ s] → (∼q ∧ ∼p) ≡ F
→
V
•
(r ∆ t) ∧ s ≡ V
V
•
F
s ≡V
∧V
(∼q ∧ ∼p) ≡ F → ∼ (q v p) ≡ F
∴ q v p≡ V
De (i) {[( r ∨ s) → t ] ∆ (p ∨ q)} ≡ V
∆
F
•
V
( r ∨ s) → t ≡ F
t ≡F
∴
V
F
r≡ V
Luego, evaluando los casos pedidos:
I.
{[(p ∨ q) → r ] ∆ ( t → p )} ∆ r ≡ V
{[(V → V ] ∆ ( F → p )} ∆ V
{V ∆
V}∆ V
∆ V
F
V
II. [ (r → s) ∨ ∼t ] → ∼ (p ∨ q) ≡ F
[ (V → V) ∨ V ] → ∼ (V)
[ (V ∨ V ] → F
V
→ F
F
Universidad Nacional del Santa
22
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
IV. ∼ (p ∨ q) ∧ ( t → ∼ ∆) ≡ F
F
∧ ( F → F)
F
∧
V
F
Respuesta (b)
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23
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación los siguientes
EJERCICIOS SOBRE FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES:
A. Formalizar o simbolizar las siguientes proposiciones:
1. No es cierto que 19 sea divisible por 9 ó por 19.
2. Einstein dice la verdad pues la teoría de la relatividad no es
exacta ni las leyes de la mecánica son absolutas.
3. En primavera soplan vientos fuertes o hace mucho frío, pero
no garúa, sin embargo es una bonita estación.
4. Las leyes de la mecánica son exactas, si Newton dice la
verdad, y sólo sí, el movimiento no es relativo.
5. 24 es un número par, o múltiplo de 6 y de 2, pero no es
divisible entre 10 ni entre 14.
6. Carlos es profesional sí y sólo sí, es graduado universitario.
Ocurre que Carlos es matemático. Por lo tanto, si Carlos es
matemático entonces es graduado universitario.
B. 7 La fórmula q → p se traduce como:
1) Hago deporte porque estoy sano.
2) Es necesario llorar para estar tranquilo.
3) Hago mis tareas al tener vacaciones.
4) Sólo si bailo, me divierto.
Son correctas:
a) 2, 3 y 5
b) 2 y 5
Universidad Nacional del Santa
c) 2, 4 y 5
24
d) N.A.
e) T.A.
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
8 La fórmula [( p ∧ q ) ∧ r ] ↔ s, se traduce como:
1) No sólo la distancia es una magnitud del movimiento sino
que el tiempo también lo es igual que la velocidad y la
aceleración siempre y cuando se defina como cambio de
un lugar a otro.
2) La distancia es una magnitud del movimiento del mismo
modo el tiempo y la velocidad por lo cual y según lo cual
el movimiento es el cambio de ubicación.
3) El tiempo, la velocidad y la aceleración son magnitudes
del movimiento, si el movimiento es cambio de espacio.
4) El avión aunque también el barco al igual que el bus son
medios de transporte cada vez que y sólo sí trasladan
pasajeros de un lugar a otro.
5) El perro, tanto como el gato lo mismo que el asno son
animales útiles para el hombre es equivalente a decir que
son domésticos.
Son correctas:
a) 1, 2, y 3
b) 2, 3 y 4
c) 3, 4 y 5
d) 2, 4 y 5
e) 1, 3 y 5
9. La fórmula q → p, se traduce como:
1) Si
eres
buen
estudiante
lógicamente
serás
buen
profesional.
2) Ingresarás a la universidad porque eres buen estudiante.
3) De ser buen estudiante obviamente ingresarás a la
universidad.
4) Ingresarás a la universidad si eres buen estudiante.
5) Crecen las plantas siempre que haya humedad en la
tierra.
Son correctas:
a) 1, 2, y 3
b) 2, 3 y 4
c) 3, 4 y 5
d) 2, 4 y 5
e) 1, 3 y 5
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25
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
EJERCICIOS SOBRE VALORES VERITATIVOS:
C. 10. Si la proposición:
(p ∧ ∼q) → (p → r) es falsa,
Se afirma que:
I.
p ∨ q es falsa
II.
r → q es verdadera
III.
∼q → p es verdadera
Son ciertas:
a) Sólo I
b) sólo II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
11. Si la proposición:
(p ∆ q) → (q → r) es falsa, luego:
I.
(p ↔ q ) no es falsa
II.
(q v s) no es falsa
III.
(q → p) es verdad
Son ciertas:
a) Sólo I
b) sólo II
d) Sólo II y III
e) I, II y III
c) Sólo I y III
12. Si la proposición:
∼{[(p ∧ q) → r ] → (r ∨ s)} es verdadera
Hallar el valor de verdad de:
I.
(p ∧ q) ↔ (r ∧ s)
II.
∼ [(p ∧ s) ↔ r] → (w ∆ p)
III.
[q ∧ (r ∧ w)] ∆ [p → (s→q)]
Son ciertas:
a) VVV
b) FVV
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c) FFV
26
d) FFF
e) VFV
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 04
ACTIVIDAD N° 01
Determinar
cuándo
una
proposición compuesta es una
tautología, contradicción o
contingencia.
Analice la siguiente información sobre
1.4. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN O CONTINGENCIA:
Una proposición molecular es una tautología si, como
resultado de su evaluación, los valores de verdad del
operador de mayor jerarquía son todos verdaderos. Si estos
valores son todos falsos es una contradicción. Si no es una
tautología ni una contradicción es una contingencia.
Para evaluar una proposición compuesta es necesario
construir su tabla de valores de verdad respetando la
jerarquía de los operadores de menor a mayor.
El total de valores de verdad por cada variable es 2n, donde
“n” es el número de variables proposicionales, cambiándolos
mitad V y mitad F por cada columna, respectivamente.
EJEMPLO 1
Determinar, previa evaluación; si cada uno de los siguientes
esquemas moleculares es una tautología, contradicción o
contingencia.
1. [(p ∆ ∼q) ∧ ∼ ( r ∧ q ) ] ↔ ∼ [ ( p ∆ ∼q) → (q ∧ r ) ]
2. [ (∼p ∧ q) → ∼r ] ↔ [ r ∧ ∼ (p ∨ ∼q ) ]
3. [ p ∨ (q → ∼r ) ] ∧ [ (∼p ∨ r ) ↔ ∼q ]
Universidad Nacional del Santa
27
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
Solución:
1. N° de variables proposicionales: 3
Total de valores por cada variable: 23 = 8
[(p ∆ ∼q) ∧ ∼ ( r ∧ q ) ] ↔ ∼ [ ( p ∆ ∼q) → (q ∧ r ) ]
1
2
3
4
5
6
7
8
p q r
∼q
p∆ 1
r∧q
∼3
2 ∧4
2→3
∼6
5↔7
1 1 1
0
1
1
0
0
1
0
1
1 1 0
0
1
0
1
1
0
1
1
1 0 1
1
0
0
1
0
1
0
1
1 0 0
1
0
0
1
0
1
0
1
0 1 1
0
0
1
0
0
1
0
1
0 1 0
0
0
0
1
0
1
0
1
0 0 1
1
1
0
1
1
0
1
1
0 0 0
1
1
0
1
1
0
1
1
El esquema molecular
Operador principal o
es una TAUTOLOGIA
de mayor jerarquía
2.
[ (∼p ∧ q) → ∼r ] ↔ [ r ∧ ∼ (p ∨ ∼q ) ]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
p q r
∼p
1∧q
∼r
2→3
∼q
pv5
∼6
r∧7
4↔8
1 1 1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1 1 0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1 0 1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1 0 0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0 1 1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0 1 0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0 0 1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0 0 0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
El esquema molecular
Operador principal o
es una CONTRADICCIÓN
de mayor jerarquía
Universidad Nacional del Santa
28
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
3.
[ p ∨ (q → ∼r ) ] ∧ [ (∼p ∨ r ) ↔ ∼q ]
1
2
3
4
5
6
7
8
p q r
∼r
q→1
p∨2
∼p
4∨r
∼q
5↔6
3∧7
1 1 1
0
0
1
0
1
0
0
0
1 1 0
1
1
1
0
0
0
1
1
1 0 1
0
1
1
0
1
1
1
1
1 0 0
1
1
1
0
0
1
0
0
0 1 1
0
0
0
1
1
0
0
0
0 1 0
1
1
1
1
1
0
0
0
0 0 1
0
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
El esquema molecular
Operador principal o
es una CONTINGENCIA
de mayor jerarquía
01
Universidad Nacional del Santa
29
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación los siguientes
EJERCICIOS
SOBRE
EVALUACIÓN
DE
PROPIEDADES
COMPUESTAS:
Determinar, previa evaluación, si cada uno de los siguientes
esquemas
moleculares
es
una
tautología,
contradicción
o
contingencia.
1. ∼ { (p ∧ q) ∨ [ p ∧ (∼p ∨ q) ] } ↔ (p → ∼q)
2. {[(∼p ) ↓ q] ∨ (q ↓ p) } ↔ { [ (∼p ) ↓ ( ∼ q) ] ∨ ( p ↓ q) }
3. {[(p ↓ q) ↓ ( q l p) ] ↔ (p ∧ q) } ↔ [ ∼ (p ∧ q) ↔ (p l q)]
4. [(∼ p → q) ∆ ∼ r ] ∨ {[( q ∧ r) → ∼ p] ∧ p}
5. ∼[∼ (p ∨ q) ↔ (q ∨ p)] → [∼ q → (p ∨ r) ]
6. ∼{[(p ∨ ∼q) ∧ ∼ (r ∧ p)] ↔ ∼ [ (p ∨ ∼q) → (q ∧ r) ] }
7. ∼ ⏐∼ { ∼ [ ∼ ( ∼ p ∧ q) ↔ ∼r] → ∼ (∼r ∨ ∼q)} ↔ [p ∧ ∼ ( r ↔ q) ] |
8. Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay
jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado
hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay jueces.
Universidad Nacional del Santa
30
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 05
ACTIVIDAD N° 01
Determinar
cuándo
dos
proposiciones compuestas son
lógicamente equivalentes y
cuando una implica a la otra.
Analice la siguiente información sobre
1.5. EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:
Dos esquemas moleculares A y B son equivalentes si
tienen los mismos valores de verdad en su operador
principal, o si unidos por el bicondicional el resultado es
una tautología. Es decir, A ≡ B si A ↔ B es una tautología.
Un esquema molecular A implica a otro B si unidos por el
condicional, en ese orden, el resultado es una tautología. Es
decir,
A implica a B si A → B es una Tautología;
B implica a A si B → A es una Tautología
EJEMPLO 1
Dados los siguientes esquemas moleculares:
A = (p → q) ∨ ( r ∧ p)
B = ∼p ↔ (∼r ↔q)
C = ∼q → (∼ r → ∼ p)
Determinar los que son equivalentes
Solución:
Universidad Nacional del Santa
31
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
A
p q r (p→q) ∨ (r∧ p)
B
C
∼[∼ p ↔ (∼ r ↔ q )]
∼ q → (∼ r → ∼ p)
1 1 1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1 1 0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1 0 1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1 0 0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0 1 1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0 1 0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0 0 1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0 0 0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
A y B tienen los mismos valores de
verdad
en
su
operador
de
mayor
jerarquía, por lo tanto:
A≡C
EJEMPLO 2
Dados los siguientes esquemas moleculares:
A = p ↔ ∼q
B = ∼ (p ∨ r)
C=q→p
D = ∼ (q → ∼r)
Determinar:
1) Si A implica a C
2) Si B es implicado por D
3) Si C implica a la disyunción de A, B, y D
4) Si A entonces B está implicado por la negación de C.
Universidad Nacional del Santa
32
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
Solución:
1) A implica a C si A → C es una tautología verificando:
A
p
q
∼ (p ↔
C
A → C
∼ q)
q→p
[∼ (p↔ ∼ q)]→ (q→p)
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
Por lo tanto, A implica a C
es una tautología
2) B es implicado por D si D → B es una tautología
verificando:
D
p
q
r
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
∼ (q →
B
D → B
∼ r)
∼ (p
∨ r)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
[∼(q→∼r)]→ [∼(p∨r)]
Por lo tanto,
no es una tautología
B no es implicado por D
es una contingencia
Universidad Nacional del Santa
33
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
3) C implica a la disyunción de A, B y D si C → (A∨B∨D) es
una Tautología.
Verificando:
C
p
q
r
∨
A
q→p
B
∨
C→(A ∨ B ∨ D)
D
∼(p↔∼q)]∨ ∼(p∨r)∨ ∼(q→∼r]
1
1
1
1
1
1 0
1
1
1
1
0
1
1
1 0
0
1
1
0
1
1
0
0 0
0
0
1
0
0
1
0
0 0
0
0
0
1
1
0
0
1 0
1
1
0
1
0
0
0
1 1
0
1
0
0
1
1
1
1 0
0
0
0
0
0
1
1
1 1
0
1
Por lo tanto,
No es una tautología
C no implica a la disyunción
es una Contingencia
de A, B y D
4) A entonces B está implicado por la negación de C si
∼C → (A → B) es una tautología. Verificando
∼C
p
q
r
A → B
∼ C → (A → B)
∼ (q →p) [∼(p↔∼q)]→∼(p∨r) ∼(q→p)→[∼(p↔∼q)→ ∼(p∨r) ]
1
1
1
0
1
1
0
0 0
1
1
1
0
0
1
1
0
0 0
1
1
0
1
0
1
0
1
1 0
1
1
0
0
0
1
0
1
1 0
1
0
1
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
0
1
1 1
1
0
0
1
0
1
1
0
0 0
1
0
0
0
0
1
1
0
1 1
1
Por lo tanto,
es una tautología
A entonces B está implicado
por la negación de C.
Universidad Nacional del Santa
34
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación los siguientes
EJERCICIOS SOBRE EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN:
I.
En cada grupo de esquemas moleculares que aparecen a
continuación, determinar los que son equivalentes.
1.
P = p ↔ ( ∼r ∧ q)
Q = (∼ p ↔ q) → r
R = q ↔ (p → ∼r)
2.
P = Si los fenómenos naturales se comportan según las
leyes de la mecánica de Newton, entonces Newton
dice la verdad; sin embargo, la Física clásica no es
absoluta.
Q= Newton dice la verdad si la física clásica no es
absoluta, sí y sólo sí los fenómenos naturales no se
comportan según las leyes mecánicas de Newton.
R= Ni Newton dice la verdad ni la física clásica es
absoluta, o la física clásica no es absoluta a la vez
que los fenómenos naturales no se comportan
según las leyes mecánicas de Newton.
Universidad Nacional del Santa
35
DAM
Lógica Proposicional
II.
Fidel Vera Obeso
Dados los siguientes esquemas moleculares:
P = El estado es responsable de la economía del país sí y
sólo sí las leyes de la reforma económica no son
aplicables a la realidad.
Q = No se da el caso que las leyes de la reforma económica
sean aplicables a la realidad o el Estado sea responsable
de la economía del país.
R = Si los políticos dicen la verdad, entonces, o el Estado es
responsable de la economía del país o las leyes de la
reforma económica non son aplicables a la realidad.
Determinar:
1) Si P implica a Q
2) Si R es implicado por Q
3) Si Q implica a R
4) Si R implica a la disyunción de P y Q
5) Si la conjunción de P y Q está implicada por R.
6) Si la bicondicional de P y Q está implicada por R.
7) Si la negación de Q está implicada por la disyunción
de P y R.
8) Si la negación de la conjunción de P y R implica a la
negación de Q.
Universidad Nacional del Santa
36
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
OBJETIVO N° 06
ACTIVIDAD N° 01
Enunciar, demostrar y aplicar
las principales leyes lógicas o
tautológicas notables.
Analice la siguiente información sobre
1.6. PRINCIPALES
LEYES
LÓGICAS
O
TAUTOLOGÍAS
NOTABLES:
1) Identidad
(a) p → p ≡ T
(b) p ↔ p ≡ p
2) No Contradicción:
∼ (p ∧ ∼p) ≡ ∼C ≡ T
3) Tercio Excluido:
p ∨ ∼p ≡ T
4) Idempotencia:
(a) p ∧ ∼p ≡ p
(b) p ∨ p ≡ p
5) Conmutativa:
(a) p ∧ q ≡ q ∧ p
(b) p ∨ q ≡ q ∨ p
6) Asociativa:
(a) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q)
(b) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r
7) Distributiva:
(a) p ∧ ( q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(b) p ∨ ( q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
8) Doble Negación o Involución:
∼ (∼p) ≡ p
Universidad Nacional del Santa
37
DAM
Lógica Proposicional
Fidel Vera Obeso
9) Absorción:
(a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
(b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
(c) p ∧ (∼p ∨ q) ≡ p ∧ q
(d) p ∨ (∼p ∧ q) ≡ p ∨ q
10)
Morgan:
(a) ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ≡ p/q
(b) ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ≡ p ↓ q
11)
Condicional:
(a) p → q ≡ ∼p ∨ q
(b) ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q
12)
Disyunción Fuerte:
p ∆ q ≡ (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q) ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)
13)
Transposición:
(a) p → q ≡ ∼p → ∼q
(b) (p ↔ q) ≡ ∼q ↔ ∼p
14)
Transitiva:
(a) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
(b) [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)
15)
Elementos Neutros Respecto a ∧ y ∨
(a) p ∧ T ≡ p
(b) p ∨ T ≡ T
(c) p ∧ C ≡ C
(d) p ∨ C ≡ p
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La demostración de las propiedades, leyes lógicas o
tautologías notables se realiza construyendo su tabla de
valores veritativos.
En los siguientes ejemplos se mostrará algunas de las
aplicaciones de las principales leyes lógicas o tautologías
notables,
tales
como
equivalencia
de
proposiciones y
simplificación de proposiciones complejas.
EJEMPLO 1:
Hallar la proposición equivalente a:
“No es el caso que, hace frío y no se congele”
(a) Hace frío o no congela
(b) No hace frío o congela
(c) No hace frío o no congela
(d) Hace frío o congela
(e) Hace frío y no congela
Solución:
Consideramos
p = hace frío
q = congela
Formalizando:
No es el caso que p y no q
≡ ∼(p ∧ ∼q)
Morgan
≡ ∼p ∨ q
cuya lectura es: “No hace frío o congela “. Respuesta (b)
EJEMPLO 2:
Hallar la proposición equivalente a:
“Hay que pagar 50 soles y servicio para ingresar al Club”
(a) No ingresar al club o pagar 50 soles, y servicio.
(b) Pagar 50 soles o ser socio, y no ingresar al club.
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(c) Pagar 50 soles y ser socio, o no ingresar al club.
(d) Pagar 50 soles y no ser socio, y entrar al club.
(e) No es cierto que se pague 50 soles y ser socio, o ingrese
al club.
Solución:
Formalizando:
p = pagar 50 soles
q = ser socio
r = ingresar al club.
Hay que p y q para r.
≡ (p ∧ q) → r
por condicional
≡ ∼(p ∧ q) ∨ r
Luego:
“No es cierto que se pague 50 soles y sea socio, o ingresa al
club”.
Respuesta (c)
EJEMPLO 3:
Hallar la proposición equivalente a:
“17 es primo porque, 17 es primo o 30 es par, y 30 es par”
(a) Si 17 es primo, entonces 30 no es par.
(b) Si 30 es par, entonces 17 no es primo.
(c) Si 17 no es primo, 30 no es par.
(d) 30 es par o 17 es primo.
(e) 17 es primo ya que 30 no es par.
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Solución:
Formalizando:
p = 17 es primo
q = 30 es par
[(p ∨ q) ∧ q] → p ≡ q → p
Por absorción
“Si 30 es par, 17 es primo”
≡ ∼q ∨ p
Por condicional
“30 no es par o 17 es primo”
≡ ∼p → ∼q
Por transposición
“Si 17 no es primo, 30 no es par”
Respuesta (c)
EJEMPLO 4:
Simbolizar y luego simplificar la proposición:
“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en
consecuencia se va de viaje”
(a) T
b) C
d) p ∨ q
c) p
e) p → q
Solución:
Formalizando:
Sea
p = viene a casa
q = se va de viaje
p ó q, pero no p; en consecuencia q
≡ [(p ∨ q ) ∧ ∼p] → q
≡ [(q ∧ ∼p) → q
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por absorción
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≡ ∼ (q ∧ ∼p) ∨ q
por condicional
≡ (∼q ∨ p) ∨ q
por Morgan
≡ p ∨ (∼q ∨ q)
asociativa
≡p∨T
Tercio excluido
≡T
elemento neutro para ∨
Respuesta (a)
EJEMPLO 5:
Simbolizar y luego simplificar la proposición:
“Cuando obtenga mi título entonces ingresó a la carrera
magisterial, pero no ingresé a la carrera magisterial; luego
no obtuve mi título”
(a) ∼p
b) p
c) p ∧ q
d) C
e) T
Solución:
Formalizando:
Sea
p = obtengo mi título
q = ingreso a la carrera magisterial
Cuando p entonces q, pero no q; luego no p
≡ [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p
≡ [(∼p ∨ q) ∧ ∼q] → ∼p
Condicional
≡ [∼p ∧ ∼q) → ∼p
Absorción
≡ ∼[∼p ∧ ∼q) ∨ ∼p
Condicional
≡ (p ∨ q) ∨ ∼p
Morgan
≡ q ∨ (p ∨ ∼p)
Asociativa
≡q∨ T
Tercio excluido
≡T
Elemento neutro para ∨
Respuesta (e)
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EJEMPLO 6
Determinar los esquemas más simples equivalentes a:
(a) ∼[∼ (p ∧ q) → ∼q] ∨ p
(b) [ (p → q) ∨ ∼p ] ∧ (∼q → p)
(c) [ p ∧ (∼r) ] ∨ [ (∼q )→ ∼(p ∧ r) ]
Solución:
(a) ∼[∼ (p ∧ q) → ∼q ] ∨ p ≡ [∼ (p ∧ q) ∧ ∼(∼q)] ∨ p Condicional
≡ [∼ (p ∧ q) ∧ q] ∨ p
Doble Negación
≡ [ (∼p ∨ ∼q) ∧ q] ∨ p
Morgan
≡ [ (∼p ∧ q) ∨ q] ∨ p
Absorción
≡q∨p
Absorción
(b) [ (p → q) ∨ ∼p] ∧ (∼q → p)
≡ [ (∼p ∨ q) ∨ ∼p] ∧ (q ∨ p)
Condicional
≡ [ (∼p ∨ ∼p) ∨ q ] ∧ (q ∨ p)
Asociativa
≡ [ ∼p ∨ q ] ∧ (q ∨ p)
Idempotencia
≡ [ (∼p ∨ q) ∧ q ] ∨ [ (∼p ∨ q) ∧ p ]
Distributiva
≡ q ∨ (q ∧ p)
Absorción
≡q
Absorción
(c) [ p ∧ (∼r)] ∨ [ (∼q) → ∼(p ∧ r) ]
≡ [ p ∧ (∼r)] ∨ [ q ∨ ∼(p ∧ r) ]
Condicional
≡ [ p ∧ (∼r)] ∨ [ q ∨ (∼p ∨ ∼r)]
Morgan
≡ {[ p ∧ (∼r)] ∨ (∼r)} ∨ (q ∨ ∼p)
Conmutativa y asociativa
≡ ∼r ∨ q ∨ ∼p
Absorción
≡ (∼r ∨ ∼p) ∨ q
Conmutativa y asociativa
≡ ∼ (r ∧ p) ∨ q
Morgan
≡ (r ∧ p) → q
Condicional
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EJEMPLO 7:
Si definimos @ como:
p @ q ≡ {∼p → [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p
Simplificar:
[ (p → q) @ (q ∧ p) ] @ (p ↔ q).
a) p
b) p ∧ ∼q
c) ∼p
d) ∼q ∨ ∼p
e) ∼p ∨ q
Solución:
Por dato, tenemos:
p @ q ≡ {∼p → [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p
Por la condicional se obtiene
≡ {p ∨ [p → (q ∧ t ∧ r) ] }∧ p
Por absorción
≡p
Es decir
p@q≡p
Luego, la proposición molecular a simplificar:
[ (p → q) @ (q ∧ p) ] @ (p ↔ q)
Aplicando la definición @ dos veces
≡ (p → q) @ (q ∧ p)
≡p→q
≡∼p∨q
Respuesta (e)
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ACTIVIDAD N° 02
Resuelve a continuación los siguientes
EJERCICIOS SOBRE LAS PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O
TAUTOLOGÍAS NOTABLES:
1. Hallar la proposición equivalente a:
“La conducta puede ser acción u omisión”
(a) La conducta no es acción ni omisión.
(b) La conducta es acción más no omisión.
(c) La conducta no es acción no obstante es omisión.
(d) No es el caso que la conducta no sea acción ni omisión.
(e) No es cierto que la conducta sea acción o no sea omisión.
2. Hallar la profesión equivalente a:
“Toma decisiones oportunas e inteligentes, pues es libre”
(a) Es libre o toma decisiones oportunas e inteligentes.
(b) No es libre, o toma decisiones oportunas e inteligentes.
(c) Es libre y, toma decisiones oportunas como inteligentes.
(d) No es libre, ni toma decisiones oportunas e inteligentes.
(e) No es libre y, no toma decisiones oportunas o inteligentes.
3. Hallar la proposición equivalente a:
“Tendrá el título universitario o sustenta su tesis”
(a) Sustenta su tesis o el título universitario.
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(b) No es el caso que, sustente su tesis y tenga el título
universitario.
(c) No es cierto que, sustente su tesis y no tenga el título
universitario.
(d) No tiene el título universitario, y sustenta su tesis.
(e) No es verdad que no sustente su tesis o tenga el título
universitario.
4. Simbolizar y luego simplificar la proposición:
“Si el conocimiento es hipotético, se prueba; y si se prueba,
entonces es eficaz; luego, es eficaz cuando es hipotético”
a) r
b) p ∨ r
c) T
d) C
e) (p ∨ ∼q) → r
5. Simbolizar y luego simplificar la proposición:
“Viene a casa o se va de viaje, pero no viene; en consecuencia
se va de viaje”
a) T
b) C
c) p
d) p ∨ q
e) p → q
6. Simplificar el esquema:
∼p → (p ∆ ∼q)
a) p → q
b) q → p
d) q ∨ ∼p
e) p ∨ q
c) p ∧ ∼q
7. Simplificar el esquema:
∼[(p ∨ q) → ∼ (r → p)] ∨ ∼(q → p)
a) p ∨ q
b) ∼p ∧ q
d) ∼p
e) q
c) p ∧ ∼q
8. Simplificar:
(p ∆ q) → (∼q ↔ ∼p) ∧ (p ∧ q)
a) p ∧ q
b) p ∨ q
d) p ∧ ∼q
e) q ∨ ∼p
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c) ∼p ∧ q
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9. Simplificar:
{[ (p → q) ∧ p] ∨ ∼(q → p)} → ∼(p ∨ ∼q)
a) ∼p ∧ q
b) ∼(p ∧ q)
d) p ∨ q
e) ∼(p ∨ q)
c) ∼p → q
10. Se define el conector @ como:
p @ q ≡ {[ (p ∆ q) ∧ ∼q ] ∨ ∼q }∨ q
Simplificar el esquema molecular:
{[ ∼ (p ∧ q) @ (t → w)] @ ∼q } @ ∼p
a) q
b) ∼q
d) p
e) p ∧ q
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c) ∼p
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OBJETIVOS
OBJETIVO TERMINAL:
Identificar, formalizar y simplificar proposiciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
1) Conceptualizar la lógica como ciencia y reconocer su
importancia en el avance científico.
2) Definir e identificar proposiciones.
3) Formalizar
proposiciones
usando
variables
proposicionales y los conectivos lógicos, y determinar su
valor de verdad.
4) Determinar cuando una proposición compuesta es una
tautología, contradicción o contingencia.
5) Determinar cuando dos proposiciones compuestas son
lógicamente equivalentes y cuando uno implica a la otra.
6) Enunciar, demostrar y aplicar las principales leyes
lógicas o tautologías notables.
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PRE
- TEST
POST
– TEST
Instrucción:
Resuelva el Post-Test de acuerdo a los
requerimientos dados.
01) De las siguientes expresiones:
(01) El ozono filtra los rayos ultravioletas
(02) C (n, k ) =
(03)
n!
, k≤n
k!(n − k )!
− 1 = i ↔ i 2 = −1
(04) El aire contiene oxígeno e hidrógeno
(05) The earth rotates around the sun
No son proposiciones compuestas:
a) 1, 2, 3 y 5
b) 1, 2 y 3
c) 1 y 5
d) Sólo 1
e) 1 y 2
02) Si la proposición:
∼{[(p ∧ q) → r ] → (r ∨ s)} es verdadera
Hallar el valor de verdad de:
I.
(p ∧ q) ↔ (r ∧ s)
II. ∼ [(p ∧ s) ↔ r] → (w ∆ p)
III. [q ∧ (r ∧ w)] ∆ [p → (p→q)]
Son ciertas:
a) VVV
b) FVV
03) Determinar
si
la
c) FFV
siguiente
d) FFF
e) VFV
proposición
es
Tautológico,
Contradictorio o Contingente:
Como es hora laborable, se concluye que en el juzgado hay
jueces y testigos, dado que, si es hora laborable, en el juzgado
hay jueces, y hay testigos, si en el juzgado hay jueces.
04) Determinar
cuáles
de
las
siguientes
proposiciones
son
equivalentes:
P = p ↔ ( ∼r ∧ q)
Q = (∼ p ↔ q) → r
R = q ↔ (p → ∼r)
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05) Se define el conector @ como:
p @ q ≡ {[ (p ∆ q) ∧ ∼q ] ∨ ∼q}∨ q
Simplificar el esquema molecular:
{[ ∼ (p ∧ q) @ (t → w)] @ ∼q } @ ∼p
a) q
b) ∼q
d) p
e) p ∧ q
c) ∼p
NOMBRE
:
FECHA
:
TIEMPO
: 1 HORA – 30 MINUTOS
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BIBLIOGRAFÍA
Copi, I. y Cohen, C. (1996). Introducción a la Lógica.
México: Editorial Limusa, S.A. de C.V.
Barker, S. (1991). Elementos de Lógica. México: McGrawHill Interamericana de México, S.A. de C.V.
Suppes, P. y Hill, SH. (1992). Primer Curso de Lógica
Matemática. México: Editorial Reverté, S.A.
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INDICE
PROLÓGO
OBJETIVOS
PRE-TEST
CONTENIDO
1.1.
LA LÓGICA COMO CIENCIA
CONCEPTUALIZACIÓN E IMPORTANCIA ------------------------------------ 01
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 04
1.2.
PROPOSICIÓN. DEFINICIÓN Y CLASES-------------------------------------- 05
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 11
1.3.
OPERADORES O CONECTORES LÓGICOS
NOTACIÓN, VALORES DE VERDAD Y LECTURA ---------------------------- 13
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 24
1.4.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA----------------------- 27
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 30
1.5.
EQUIVALENCIA E IMPLICACIÓN ---------------------------------------------- 31
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 35
1.6.
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O
TAUTOLÓGICAS NOTABLES---------------------------------------------------- 37
EJERCICIOS ---------------------------------------------------------------------- 45
POS – TEST ------------------------------------------------------------------------------ 49
BIBLIOGRAFÍA -------------------------------------------------------------------------- 51
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PRÓLOGO
El estudio de la Lógica nos beneficia en lo siguiente:
desarrollar habilidades para expresar ideas de manera clara y
concisa, incrementar la capacidad de definir los términos que
utilizamos, y aumentar la capacidad de elaborar argumentos en
forma rigurosa y de analizarlos críticamente. Pero quizás el mayor
beneficio es el reconocimiento de que la razón se puede aplicar en
todos los aspectos de las relaciones humanas.
Las instituciones democráticas requieren que los ciudadanos
piensen por sí mismos, que discutan libremente los problemas y que
tomen decisiones con base en la deliberación y la evaluación de
evidencias. A través del estudio de la Lógica podemos adquirir no
solamente práctica en el arte de razonar sino también respeto por la
razón, reforzando así y asegurando los valores de nuestra sociedad.
En este módulo se abordan los siguientes temas: la lógica
como ciencia; definición, clases de proposiciones; operadores o
conectivos
lógicos;
equivalencia e
tautología,
implicación
y
contradicción
las
principales
y
contingencia;
leyes
lógicas
o
tautologías notables.
Los objetivos específicos se logran siempre y cuando los
grupos de ejercicios se resuelvan con una eficacia del 80%, en caso
contrario deberán volver a estudiar los cuadros correspondientes y
resolver nuevamente los ejercicios incorrectos o no resueltos.
Resuelva los problemas propuestos del modo siguiente: primero en
forma individual, luego en forma grupal y por último preséntelos en
un grupo de un máximo de cinco (05) integrantes.
El Autor
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