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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Elvia Pérez
Método de integración de funciones trigonométricas Por: Sandra Elvia Pérez
¿Recuerdas las identidades trigonométricas? El cálculo integral utiliza las identidades trigonométricas para transformar una función, la cual no
tiene una integral directa, es decir, cuando no hay una fórmula de integración que se pueda aplicar de
manera directa es común que necesites algunas de las identidades que se muestran a continuación.
¿Recuerdas las identidades trigonométricas? Cuando se pretende resolver una integral que implique funciones trigonométricas, y no existe una
fórmula de integración que se pueda aplicar de manera directa, el cálculo integral puede hacer uso de
las identidades trigonométricas para transformar la función a otra forma para la cual sí exista una
fórmula que se pueda aplicar directamente.
A continuación, se muestran las identidades trigonométricas que se utilizan en este curso:
Identidades pitagóricas
Identidades recíprocas
sen 2 A + cos 2 A = 1
senA csc A = 1
sec 2 A − tan 2 A = 1
cos A sec A = 1
csc 2 A − cot 2 A = 1
tan A cot A = 1
Identidades por razón
Identidades de ángulo doble
senA
cos A
cos A
cot A =
senA
sen2 A = 2senA cos A
cos 2 A = cos 2 A − sen 2 A = 1 − 2sen 2 A = 2 cos 2 A − 1
2 tan A
tan 2 A =
1 − tan 2 A
tan A =
Tabla 1. Formulario de Identidades trigonométricas (Fuenlabrada de la Vega, 2004).
1
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A continuación se presentan algunos ejemplos.
Se resolverán integrales en las que antes de aplicar alguna fórmula de integración, se aplica alguna de
las identidades trigonométricas anteriores.
Ejemplo 1
Calcula
dx
∫ csc x
Solución
Observa cómo en este caso, no se tiene una fórmula de integración que puedas aplicar directamente,
así que se recurre a las identidades trigonométricas como: senA csc A = 1 , donde puedes despejar el
seno y
senA =
1
csc A
Al sustituir la identidad trigonométrica, la integral queda:
dx
∫ csc x = ∫ sen x dx
Si observas nuevamente tu formulario, te darás cuenta de que existe la fórmula de:
∫ sen u du = − cos
u +C
Aplicándola a la integral, tienes que
dx
∫ csc x = ∫ senxdx = − cos x + c
dx
Por lo tanto,
∫ csc x = − cos x + c
2
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Existen integrales que a primera vista no parecen directas
y pueden llegar a confundirte. Analiza el siguiente
ejemplo.
Ejemplo 2
Determina
∫ cos
3
xsenxdx
Solución
En este caso, es conveniente identificar los elementos de la integral como sigue:
u = cos x
du = − senxdx
n=3
n
∫ u du =
u n+1
+C
n +1
De esta manera, se puede utilizar la fórmula
ya que existen todos los elementos
para poder aplicarla, sólo hace falta completar con un signo menos (-).
Completando y aplicando la fórmula tienes:
3
3
∫ cos xsenxdx = −∫ cos x(−senx)dx = −
3
∫ cos xsenxdx =
cos 4 x
+C
4
− cos 4 x
+C
4
3
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Observa cómo en este caso se aplicó la fórmula de
integración de forma directa y sin necesidad de recurrir a
alguna identidad trigonométrica o método de integración.
En el ejemplo anterior, se tenía un producto de dos funciones trigonométricas, en la que una de las
funciones es la diferencial de la otra función, la cual se encuentra elevada a un exponente. Sin embargo,
puedes tener casos en los que se tenga el producto de dos funciones trigonométricas en la que una de
ellas sea la diferencial de la otra, pero ambas elevadas a una potencia.
Los casos en las que se pueden encontrar son los siguientes:
Forma general
Ejemplos de integrales a los cuales
se puede aplicar el método
3
4
∫ sen (2x) cos (2x)dx =
m
n
∫ sen u cos udu
2
∫ sen (2x)dx =
3
∫ cos ( x)dx =
3
3
∫ tan ( x) sec ( x)dx =
m
n
∫ tan u sec udu
∫ tan
4
3
∫ cot (5x) csc (5x)dx =
5
∫ cot (2x)dx =
3
u = 2x
m=2 y n=0
u = 2x
m=0 y n=3
u=x
m=3 y n=3
u=x
m=0 y n=4
u=x
4
m
n
∫ cot u csc udu
m=3 y n=4
m=4 y n=0
u=x
( x) =
∫ sec ( x)dx =
3
Observación
∫ csc (7 x)dx =
m=3 y n=3
u = 5x
m=5 y n=0
u = 2x
m=0 y n=3
u = 7x
Tabla 2. Casos de dos funciones trigonométricas, una que es diferencial de la otra, pero ambas elevadas a una potencia.
4
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La solución de este tipo de integrales se realiza con la ayuda de identidades trigonométricas.
Dependiendo de los valores que tengan cada uno de los exponentes de las funciones trigonométricas
en la función integrable, se seleccionará la identidad adecuada. En la tabla 3 se indica qué identidad
debe aplicarse para cada caso.
Forma general
Casos que pueden
presentarse de
acuerdo al valor del
exponente
Caso1
En ambas funciones
los exponentes son
pares.
∫ sen
m
n
u cos udu
Identidad
trigonométrica
Identidad de
ángulo doble
(despejadas)
sen 2 A =
1 − cos 2 A
2
cos 2 A =
1 + cos 2 A
2
Es decir:
m = par y n = par
En caso de que una
de las funciones el
exponente sea par y
el otro cero, es decir:
m = par y n = 0
m = 0 y n = par
1) En el caso de tener
potencias mayores a 2,
separa las funciones
trigonométricas en
exponentes de dos.
2) Sustituye en todas
las funciones
trigonométricas la
identidad trigonométrica
de ángulo doble.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Ver ejemplos 1 y 2
caso 1.
m
Caso2
m = impar
Identidad
pitagórica
(despejada)
sin importar el valor
de n
sen 2 A = 1− cos 2 A
Caso en que
Es decir:
n = par, impar
n = fraccionario
Pasos a realizar
o nulo
1) De la función sen u
saca como factor
2
común un sen u .
2) Sustituye solamente
2
en la función sen u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
5
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3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Ver ejemplo caso 2.
Caso3
Identidad
pitagórica
(despejada)
Caso en que
n = impar
Para valores de
cos 2 A = 1 − sen 2 A
m = par, impar
m = fraccionario
o nulo
n
1) De la función cos u ,
saca como factor
2
común un cos u .
2) Sustituye solamente
2
en la función cos u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Caso 4
m = impar
Identidad
pitagórica
(despejada)
sin importar el valor
de n
tan 2 A = sec 2 A − 1
Caso en que
∫ tan
m
u secn udu
Es decir:
n = par, impar
n = fraccionario
o nulo
m
1) De la función tan u
saca como factor
2
común una tan u .
2) Sustituye solamente
2
en la función tan u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
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4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Ver ejemplo caso 4.
Caso 5
Identidad
pitagórica
(despejada)
Caso en que
n = par
Para valores de
m = impar
m = fraccionario
sec 2 A = 1 + tan 2 A
o nulo
n
1) De la función sec u
saca como factor
2
común una sec u .
2) Sustituye solamente
2
en la función sec u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Caso 6
m = impar
Identidad
pitagórica
(despejada)
sin importar el valor
de n
cot 2 A = csc 2 A − 1
Caso en que
∫ cot
m
u cscn udu
Es decir:
n = par, impar
n = fraccionario
o nulo
m
1) De la función cot u
saca como factor
2
común una cot u .
2) Sustituye solamente
2
en la función cot u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
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Caso 7
Identidad
pitagórica
(despejada)
Caso en que
n = par
Para valores de
m = impar
m = fraccionario
csc 2 A = 1 + cot 2 A
o nulo
n
1) De la función csc u ,
saca como factor
2
común una csc u .
2) Sustituye solamente
2
en la función csc u que
separaste como factor
común por su identidad
trigonométrica
pitagórica.
3) Realiza las
operaciones en caso de
ser necesarias.
4) Integra por separado
cada una de las
integrales resultantes.
Ver ejemplo caso 7.
Caso especial
m
u cos udu
m
n
u sec udu
m
u cscn udu
∫ sen
∫ tan
∫ cot
n
m = par
y
n = impar
No aplica la sustitución de una identidad
trigonométrica, por lo que se tendrá que realizar
por el método de integración por partes.
Tabla 3. Casos especiales del método de integración de funciones trigonométricas.
A continuación se presentan los ejemplos mencionados en la tabla 3.
Ejemplo 1, caso 1
Encontrar la integral de
∫ sen²(2x )dx
Esta integral tiene la forma
∫ sen
m
u cosn udu
, en donde m = 2,
n = 0 y u = 2x
8
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Aplicando la identidad de ángulo doble
sen 2 A =
1 − cos 2 A
2
resulta:
 1 − cos 2(2 x) 
dx
2

∫ sen² (2x )dx = ∫ 
Multiplicando y separando en dos integrales queda:
1
1
1

1
∫  2 − 2 cos4x dx = 2 ∫ dx − 2 ∫ cos4xdx
1
∫ dx por medio de la fórmula
Resuelve directamente la integral 2
∫ dx = x + C y resulta:
1
x
dx = + C
∫
2
2
Al aplicar la fórmula
debido a que:
∫ cos(u )du = sen(u )+ C
en la integral
−
1
cos(4x )dx
2∫
será necesario completar,
u = 4x
du = 4dx
Y resulta:
−
−
1
11
cos(4x )dx = −   ∫ cos(4x )(4)dx
∫
2
24
1
1
sen(4x )
cos(4x )dx = − ∫ cos(4x )(4)dx = −
+C
∫
2
8
8
Escribe en forma unificada los resultados de cada integral, y tienes:
1
1
∫ sen² (2x )dx = 2 ∫ dx − 2 ∫ cos(4 x )dx
9
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x
∫ sen² (2x )dx = 2 −
sen(4x )
+C
8
Ejemplo 2, caso 1
2
∫ sen x cos
2
xdx =
En este caso, las dos potencias son igual a dos, por lo que se sólo se sustituirán las identidades en
ambas funciones.
2
∫ sen x cos
2
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 
xdx = ∫ 

dx
2
2



En el numerador se tiene el producto de dos binomios conjugados
(1 − cos 2 x )(1 + cos 2 x ) = (1)2 − (cos 2 x )2 = 1 − cos 2 2 x
y en el denominador se tiene el producto de
(2)(2) = 4
Sustituyendo estas operaciones:
1 − cos2 2 x
 1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 
2
2
sen
x
cos
xdx
=
dx
=
∫
∫  2  2  ∫ 4 dx
Ahora tienes la integral de un polinomio entre monomio, el cual puedes separar en dos integrales:
1 − cos 2 2 x
1
cos 2 2 x
dx
=
dx
−
∫ 4
∫ 4 ∫ 4 dx
Observa que la primera integral es una integral directa, de la cual puedes encontrar su solución como:
1
1
∫ 4dx = 4 x + C
(Ya es parte del resultado)
Para la segunda integral se tiene un exponente elevado al cuadrado, es decir par, por lo que se
∫ sen
m
u cosn udu
encuentra en el caso
, donde m = 0 y n = 2 y se tendrá que sustituir nuevamente la
identidad de ángulo doble. Realiza las operaciones correspondientes.
10
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cos 2 2 x
1 + cos 2(2 x)
1 + cos 4 x
∫ 4 dx = ∫ 2(4) = ∫ 8 dx
Separando nuevamente la integral:
∫
1 + cos 4 x
1
cos 4 x
dx = ∫ dx + ∫
dx
8
8
8
Las integrales resultantes pueden ser resueltas por fórmulas de integración directa.
1
1
∫ 8 dx = 8 x + C
(Ya es parte del resultado)
Para la segunda integral, se saca la constante de la integral y la completas:
∫
cos 4 x 1
= ∫ cos 4 xdx
8
8
Como:
u = 4x
du = 4dx
Completas con un 4 multiplicando y dividiendo:
∫
cos 4 x 1
1
 1  1 
= ∫ cos 4 xdx =    ∫ cos 4 x 4dx = ∫ cos 4 x ⋅ 4dx
8
8
32
 8  4 
Sustituyendo en la integral
∫ cos(u )du = sen(u )+ C
1
1
cos 4 x ⋅ 4dx = sen4 x + C
∫
32
32
(Ya es parte del resultado)
Observa que la integral se fue transformando al ir aplicando las identidades trigonométricas.
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1 − cos 2 2 x
∫ sen x cos xdx =∫ 4 dx
1
cos 2 2 x
2
2
sen
x
cos
xdx
=
=
dx
−
∫
∫ 4 ∫ 4 dx
1
 1 + cos 4 x 
2
2
∫ sen x cos xdx = = ∫ 4dx − ∫ 8 dx 
2
2
1
cos 4 x 
 1
x cos 2 xdx = = ∫ dx −  ∫ dx + ∫
dx 
4
8
 8

1
1
cos 4 x
2
2
∫ sen x cos xdx = = ∫ 4dx − ∫ 8 dx − ∫ 8 dx
∫ sen
2
Sustituyendo los resultados de cada una de las integrales:
∫ sen
2
1
1
1
x cos 2 xdx = x − x − sen4 x + C
4
8
32
Reduciendo los términos semejantes, se tiene:
∫ sen
2
1
1
x cos 2 xdx = x − sen4 x + C
8
32
Ejemplo, caso 2
3
8
∫ sen x cos
xdx =
En este caso, el exponente del seno es impar, es decir m = 3 , y el exponente del coseno es par n = 8 ,
3
2
por lo tanto, separas un sen x = sen x ⋅ sen x de la integral.
3
8
∫ sen x cos
xdx =∫ sen2 x ⋅ sen x ⋅ cos8 xdx
2
2
Sustituyes la identidad pitagórica sen A = 1− cos A en
3
8
∫ sen x cos
(
)
xdx =∫ 1 − cos2 x ⋅ sen x ⋅ cos8 xdx
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Multiplicando cada uno de los términos, se obtienen dos integrales:
3
8
∫ sen x cos
(
)
xdx =∫ 1 − cos2 x ⋅ sen x ⋅ cos8 xdx = ∫ senx ⋅ cos8 xdx − ∫ senx ⋅ cos10 xdx
Reacomodando:
3
8
∫ sen x cos
xdx =∫ cos8 x ⋅ senxdx − ∫ cos10 x ⋅ senxdx
En ambas integrales, se puede aplicar la integral directa
n
∫ u du =
u n+1
+C
n +1
Donde:
u = cos x
du = −senxdx
Faltaría completar con un signo menos (-).
(−)∫ cos8 x ⋅ (−)senxdx − (−)∫ cos10 x ⋅ (−)senxdx
− ∫ cos8 x ⋅ (−)senxdx + ∫ cos10 x ⋅ (−)senxdx =
Resolviendo cada una de las integrales:
cos9 x
+C
9
cos11 x
10
(
)
cos
x
⋅
−
sen
xdx
=
+C
∫
11
− ∫ cos8 x ⋅ (−)senxdx = −
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Reacomodando los dos resultados de la integral:
3
8
∫ sen x cos xdx =
cos11 x cos9 x
−
+C
11
9
Ejemplo, caso 4
Encuentra la integral de
∫ tan ³ (2x )dx
Solución:
∫ tan ³ (2x )dx
La integral propuesta tiene la forma
3
∫ tan
m
u secn udu
en donde m = 3,
n = 0 y u = 2x
2
Separando tan (2 x) = tan (2 x) ⋅ tan(2 x) el integrado tienes:
∫ tan ³(2x )dx = ∫ tan ² (2x )tan(2x )dx
Aplicando la identidad pitagórica:
tan ² (2x)= sec² (2x) − 1 resulta:
∫ tan ² (2x )tan(2x)dx = ∫ (sec² (2x ) − 1)tan(2x )dx
Multiplicando queda:
∫ (sec² (2x ) − 1)tan(2x )dx = ∫ tan(2x )sec² (2x )dx − ∫ tan(2x )dx
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Resuelve directamente la integral
∫ tan(2x )sec² (2x )dx por medio de la fórmula:
n
∫ u du =
u n+1
+C
n +1
, en
2
donde u = tan(2x) y du = 2 sec (2 x )dx
Hace falta completar con un 2 multiplicando y dividiendo:
∫ tan(2x )sec² (2x )dx =
Para resolver la integral
1
1  tan ² (2x )  tan 2 (2 x)
(
)
(
)
tan
2x
2
sec
²
2x
dx
=
+C

=
2∫
2
2 
4
∫ tan(2x )dx , aplica la fórmula:
∫ tan(u )du = −ln(cos(u ))+ C = ln(sec(u ))+ C , y resulta:
1
1
− ∫ tan (2x )dx = ln(cos(2x ))+ C = − ln(sec(2x ))+ C
2
2
Observa que la integral de la tangente tiene dos respuestas posibles, por lo que la respuesta de la
integral de
∫ tan ³ (2x )dx
Tiene dos posibles respuestas:
tan ² (2x ) 1
+ ln(cos(2x ))+ C
4
2
tan ² (2x ) 1
∫ tan ³ (2x )dx = 4 − 2 ln(sec(2x ))+ C
∫ tan ³ (2x )dx =
15
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MB0005_M2AA1L1_Trigonométricas
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Elvia Pérez
Ejemplo, caso 5
Encuentra la integral de
4
4
∫ cot (3x)csc (3x)dx
Solución:
4
4
∫ cot (3x)csc (3x)dx
La integral propuesta tiene la forma
4
2
∫ cot
m
u cscn udu
en donde m = 4,
n = 4 y u = 3x
2
Separando csc (3x) = csc (3x) ⋅ csc (3x) el integrado tienes:
4
4
∫ cot (3x)csc (3x)dx= ∫
cot 4 (3x)csc 2 (3x) ⋅ csc 2 (3x)dx
Reacomodando:
4
4
∫ cot (3x)csc (3x)dx= ∫ csc
2
(3x) cot 4 (3x)⋅ csc 2 (3x)dx
Aplicando la identidad pitagórica:
csc 2 (3x) = 1 + cot 2 (3x) , resulta:
∫ csc
2
[
]
(3x) cot 4 (3x)⋅ csc 2 (3x)dx = ∫ 1 + cot 2 (3x) cot 4 (3x)⋅ csc 2 (3x)dx
Multiplicando, queda:
∫ [1 + cot
2
]
[
] [
(3x) cot 4 (3x)⋅ csc 2 (3x)dx = ∫ cot 4 (3x) csc 2 (3x)dx + cot 6 (3x) csc 2 (3x)dx
]
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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Sandra Elvia Pérez
Separando en dos integrales:
∫ [cot
4
] [
]
(3x) csc 2 (3x)dx + cot 6 (3x) csc 2 (3x)dx = ∫ cot 4 (3x) csc 2 (3x)dx + ∫ cot 6 (3x) csc 2 (3x)dx
Ambas integrales pueden ser resueltas de la forma:
n
∫ u du =
u n+1
+C
2
n +1
, en donde u = cot(3x) , du = −3 csc (3x )dx y n = 4
y n=6
Hace falta completar con un -3 multiplicando y dividiendo:
−
Aplicando la fórmula
1
 1
cot 4 (3x)(− 3)csc 2 (3x)dx +  −  ∫ cot 6 (3x)(− 3)csc 2 (3x)dx
∫
3
 3
n
∫ u du =
u n+1
+C
n +1
en ambas integrales:
1
1  cot 5 (3x) 
− cot 5 (3x)
4
2


− ∫ cot (3x)(− 3)csc (3x)dx = − 
+C
+C =
3
3
5
15

1  cot 7 (3x) 
− cot 7 (3x)
 1
6
2
 + C =
+C
 − ∫ cot (3x)(− 3)csc (3x)dx = − 
3
7
21
 3

Sumando ambos resultados:
4
4
∫ cot (3x)csc (3x)dx =−
cot 5 (3x) cot 7 (3x)
−
+C
15
21
Cada una de estas integrales requiere que observes
detenidamente cuáles son sus características para poder
aplicar el método en forma correcta.
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Revisor: Sandra Elvia Pérez
Referencias Fuenlabrada de la Vega, S. (2004). Geometría y trigonometría. México: McGrawHill.
Bibilografía Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.).
México: Harla.
Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; J. A.
Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.
Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A.
Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.
Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo
(3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional
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