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E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Asignatura: Cálculo I Trigonometría Medida de ángulos Unidad Como unidad del tamaño de un ángulo se utiliza el radián, más natural y con más sentido geométrico que el grado. Recordemos que un ángulo mide radianes si es la razón entre el arco de una circunferencia correspondiente al ángulo medido y el radio de esa circunferencia. Por ser un cociente entre dos longitudes, el radián no tiene dimensión. De la definición obtenemos la relación entre radianes y grados: grados radianes = 180 Sentido Trabajando en el plano, se tomará por defecto como origen de ángulos el eje OX positivo. Para representar gráficamente un ángulo de radianes debemos tener en cuenta su signo: situando una de las aristas del ángulo en este semieje, para situar la otra se seguirá el criterio • • avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido antihorario (sentido positivo) si el signo de es positivo avanzar a partir del semieje OX positivo en sentido horario (sentido negativo) si el signo de es negativo Figura 1.- Sentido Prof. Elena Álvarez Pág.1 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría Las funciones seno y coseno Las razones seno y coseno, cuya definición se recuerda a continuación, dan lugar a funciones y = sen x , y = cos x definidas en todo el eje real, 2 ‐periódicas. Prof. Elena Álvarez Pág.2 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Asignatura: Cálculo I Trigonometría Figura 2: Función sen(x) Figura 3: Función cos(x) En las figuras 2 y 3 puede comprobarse que en [0, / 2] , el seno es una función estrictamente creciente, el coseno es estrictamente decreciente en [0, / 2] y ambas toman valores únicamente entre 1 y 1 . Razones fundamentales Prof. Elena Álvarez Pág.3 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría 0 seno 0 coseno 1 6 4 3 2 3 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 0 1 2 Identidades trigonométricas La identidad trigonométrica fundamental es sen 2 x cos 2x = 1 consecuencia del Teorema de Pitágoras. Se listan a continuación las relaciones para el seno y coseno de la suma y las del ángulo doble que se deducen de ellas: cos( x y ) = cos x cos y sen x sen y sen ( x y ) = sen x cos y cos xsen y Para el seno y coseno de la diferencia basta tener en cuenta que sen ( x) = sen x , cos( x ) = cos x Prof. Elena Álvarez Pág.4 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría 1 cos 2 x cos 2 x = cos x sen x 2 1 cos 2x sen 2 x = 2 sen x cos x sen 2 x = 2 2 cos x = 2 2 La función tangente La definición de tangente se recuerda en la figura 4, se relaciona con el seno y el coseno por la expresión tg = sen cos tg = sen cos Figura 4. Tangente La función tangente es ‐periódica y no está definida en ninguno de los puntos de la forma / 2 k para k entero. No está acotada y de hecho puede hacerse arbitrariamente grande (resp. pequeña) a la izquierda (resp. derecha) de / 2 . Ver representación gráfica en la figura 5. Prof. Elena Álvarez Pág.5 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría Figura 5: Gráfica de la función tangente De la relación con el seno y el coseno se deducen las siguientes identidades tg ( x ) = tg x tg ( x y ) = tg x tg y 1 tg xtg y Funciones circulares inversas arcsen x y Dominio = 1,1 ; 2 y 2 , sen y x Imagen = , ; es impar; no es periódica; es monótona 2 2 estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por 2 2 y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Prof. Elena Álvarez Pág.6 E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría Figura 6: Gráficas de las funciones seno y arcoseno arccos x y Dominio = 1,1 ; Imagen = 0, ; 0 y , cos y x no es ni par ni impar; no es periódica; es monótona estrictamente decreciente; está acotada (inferiormente superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Figura 7: Gráficas de las funciones coseno y arcocoseno Prof. Elena Álvarez Pág.7 por 0 y E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Curso 2011-2012 Grados E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación Asignatura: Cálculo I Trigonometría arc tg x y 2 y 2 , tg y x , ; es impar; no es periódica; es monótona 2 2 Dominio = ; Imagen = estrictamente creciente; está acotada (inferiormente por 2 2 y superiormente por ); es inyectiva; no es suprayectiva. Figura 8: Gráficas de las funciones tangente y arcotangente Prof. Elena Álvarez Pág.8
