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Topología General
Topología General
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Breve reseña histórica
Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra
topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado
Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834.
Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin
embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva.
Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la
publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895.
La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son
invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservan
la medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea,
incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de
las transformaciones proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos
rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones
topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dos conjuntos.
La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas
transformaciones.
Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de
vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define
como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos.
Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable.
También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto,
se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades
invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud,
que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad,
planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Para considerar
conjuntos conexos como ideas topológicas.
Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de
geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que
pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de
Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de
las matemáticas.
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En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda
propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el
análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte
de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina
en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más
complejo y diversificado.
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Conjuntos
Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas
veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento.
Definición 0.1 Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada
para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de
índices, en A. La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de
conjuntos.
Dado α ∈ J , representaremos el conjunto f (α ) por Aα Y denotamos la familia
indexada, propiamente dicha, mediante
{ Aα }α∈J
que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J”. En ocasiones
escribiremos { Aα } , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices.
Obsérvese que, aunque es necesario que una función indexada sea sobreyectiva, no
se necesita que sea inyectiva. Aα y Aβ pueden ser el mismo conjunto de A, incluso
si α ≠ β .
Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e
intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que f : J → A es una función
indexada para A ; representemos f (α ) por Aα . Entonces definimos:
UA
α ∈J
α
= { x : al menos para un α ∈ J , x ∈ Aα }
y
IA
α ∈J
α
= { x : para todo α ∈ J , x ∈ Aα }
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Leyes de Morgan
(U A )
C
α
y
(I A )
C
α
= I AαC
= U AαC
Definición 0.2 Dado un conjunto A , una relación R en A es un subconjunto del
producto cartesiano A × A .
Definición 0.3 Sea ~ una relación en A (anotamos ( a, b ) ∈: o a : b ) decimos que
es una relación de equivalencia si se verifican tres propiedades:
a) Reflexiva a : a ∀a ∈ A
b) Recíproca si a : b entonces b : a ∀a, b ∈ A
c) Transitiva si a : b y b : c entonces a : c ∀a, b, c ∈ A
Definición 0.4 Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto A y un elemento
x de A definimos un cierto subconjunto de A que anotamos [ x ]: llamado clase de
equivalencia determinada por x, mediante la ecuación:
[ x ]: = {a ∈ A : a : x}
Observación 1 x ∈ [ x ]: ya que x : x es decir las clases de equivalencia son no
vacías
Propiedad Las clases de equivalencia tienen las siguientes propiedades:
i) Dos clases de equivalencia o son disjuntas o son iguales.
Demostración: Sean E y E’ dos clases de equivalencia definidas por x y x’
respectivamente entonces si no son disjuntas eso quiere decir que existe un elemento
en común
 y∈E ⇒ y : x 
∃y ∈ A / y ∈ E I E ′ ⇒ 
 ⇒ x : x′
 y ∈ E ′ ⇒ y : x′ 
Entonces
∀z ∈ E ⇒ z : x (y como x : x′ por transitiva) ⇒ z : x′ ⇒ z ∈ E ′
o sea
E ⊆ E′
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análogamente
E′ ⊆ E
lo que concluye que
E = E′
ii) La unión de todas las clases de equivalencia de A es todo A ya que todo elemento
de A tiene asociada una clase de equivalencia.
A ⊆ U [ x ]: por definición
x∈ A
A ⊇ U [ x ]: ya que si z ∈ U [ x ]: ⇒ ∃x0 ∈ A / z ∈ [ x0 ]:
x∈ A
x∈A
⇒ z ∈ A por definición de [ x0 ]:
La familia de las clases de equivalencia de A es un ejemplo de lo que se llama
partición del conjunto A.
Definición 0.5 Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos
disjuntos no vacíos de A cuya unión es todo A
Definición 0.6 Dada una relación de equivalencia en un conjunto A llamamos
espacio cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Y
anotamos A
:
A = {[ x ] : x ∈ A}
:
:
Definición 0.7 Una relación ≤ en un conjunto A se denomina relación de orden
(parcial) si verifica las siguientes propiedades:
i) Reflexiva
ii) Antisimétrica
iii) Transitiva
x≤x
∀x ∈ A
x ≤ y
 ⇒ x = y ∀x , y ∈ A
y ≤ x
x ≤ y
 ⇒ x ≤ z ∀x, y , z ∈ A
y ≤ z
Ejemplo 0.1 Si A es un conjunto sea P(A) el conjunto de potencia de A es decir:
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P(A) = { X : X ⊂ A}
Definimos la relación ≤ de la siguiente manera:
X ≤ Y si X ⊆ Y ∀X , Y ∈ P(A)
verifica las tres propiedades, por lo que es una relación de orden.
Definición 0.8 Dado un conjunto A y una relación ≤ de orden en A se dice que la
pareja ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado.
Definición 0.9 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y consideramos un subconjunto
S ⊂ A , definimos:
i) a ∈ A es cota superior (inferior) de S
si x ≤ a ∀x ∈ S
(a ≤ x ∀x ∈ S )
ii) m ∈ A es máximo si es cota superior y pertenece a S
Definición 0.10 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y S un subconjunto de A decimos
que m es un elemento maximal si se cumple:
si x ∈ S y m ≤ x ⇒ m = x
Definición 0.11 Dado un conjunto A y una relación de orden ≤ decimos que es una
relación de orden total si:
a ≤ b

dados a, b ∈ A ⇒  o
b ≤ a

y a la pareja ( A, ≤ ) llamamos conjunto totalmente ordenado.
Observación 2 si A es un conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y
mínimo.
Demostración : Consideremos por inducción sobre el cardinal de A
i) Para # A = 1 es obvio.
ii) Si vale para # A = n − 1 y # A = n , A = {a1 ,..., an }
Por hipótesis el conjunto {a2 ,..., an } tiene máximo y mínimo por tener n-1 elemento
sean estos M y m respectivamente.
Sea m0 = min {a1 , m} ⇒ es el mínimo de A ya que:
m0 ∈ A m0 ≤ a1 y m0 ≤ m ≤ ak ∀k = 2,..., n
De la misma forma
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M 0 = max {a1 , M }
es el máximo de A
Definición 0.12 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado llamamos cadena a un
subconjunto C de A tal que (C , ≤ ) es totalmente ordenado.
Lema 0.1 ( Lema de Zorn ) Sea ( A, ≤ ) un conjunto ordenado en el que toda
cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal.
Ejemplo 0.2.
Consideremos el siguiente conjunto que llamamos partes finitas de los naturales
PF ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : # A es finito}
Con la relación de orden dada por la inclusión.
B≤ A⇔ B⊆ A
Entonces (PF ( ¥ ) , ≤ ) no tiene elemento maximal, ya que si A es maximal
⇒ A ∈PF ( ¥ ) y B ≤ A ∀B ∈PF ( ¥ )
Pero para cualquier A ∈ P F(N) , ∃x ∈ ¥ con x ∉ A , porque A es finitos
⇒ A U { x} es de finitos elementos
⇒ A U { x} ∈PF ( ¥ )
y obviamente A U { x} ‘ A ⇒ A no es maximal.
Zorn
Entonces como (PF ( ¥ ) , ≤ ) no tiene elemento maximal ⇒ ∃ una cadena C de
PF ( ¥ ) , que no está acotada superiormente, por ejemplo:
C = {{1} , {1, 2} ,{1, 2,3} ,...,{1,...n} ,...}
es una cadena y no está acotada ya que una cota tiene que tener a todos los naturales
y eso no esta en el conjunto.
A cota ⇒ A = ¥ y ¥ ∉PF ( ¥ )
Veamos una aplicación del pasado lema:
Proposición 0.1 Todo espacio vectorial V tiene una base.
Demostración: Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un
subconjunto L.i. maximal, sea entonces
L = { A ⊂ V : A es L.i.}
con la relación de orden ≤ definida:
B≤ A⇔ B⊂ A
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Entonces (L , ≤ ) es un conjunto ordenado y sea { Aα } ⊂ L una cadena,
(subconjuntos de L totalmente ordenados), vamos a probar que está acotada, sea
A = U Aα veremos que es L.i. consideremos una n-upla en A,
x1 ,..., xn ∈A ⇒ ∀xi ∃α i con i ∈ {1,..., n} / xi ∈ Aαi , además como
{A
α1
,..., Aα n } es
finito y totalmente ordenado, entonces tiene máximo Aα0
xi ∈ Aαi ⊂ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒ xi ∈ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒
{ x1 ,..., xn } ⊂ Aα y Aα es L.i. ⇒
{ x1 ,..., xn } es L.i. ⇒ A es L.i.
0
0
y es una cota superior de L entonces por el lema de Zorn L tiene elemento
maximal ⇒ que V tiene una base.
Definición 0.13 Sean A1 , A2 ,..., An conjuntos ,definimos un nuevo conjunto llamado
producto cartesiano y anotamos por A1 × A2 × ... × An a:
A1 × A2 × ... × An = {( a1 ,..., an ) : ai ∈ Ai }
a ( a1 ,..., an ) puede pensarse como una función
f : {1,..., n} → U Ai tal que f ( i ) = ai ∀i = 1,..., n
Entonces en forma más general .
Sea { Aα }α∈I una familia de conjuntos llamamos producto cartesiano de esos
∏ A a:
∏ A = { f : I → UA
conjuntos y anotamos
α
α∈I
α ∈I
α
α
: f (α ) ∈ Aα ∀α ∈ I }
Axioma de elección Sea { Aα }α∈I una familia de conjuntos no vacíos entonces el
producto cartesiano de ellos es no vacío.
Aα ≠ φ ∀α ∈ I ⇒ ∏ Aα ≠ φ
α ∈I
Esto es equivalente a decir que dada una familia de conjuntos no vacíos podemos
elegir un elemento de cado conjunto ( en forma simultánea).
Una cuestión básica sobre un conjunto es conocer la cantidad de elementos, sin
grandes conocimientos matemáticos para saber la cantidad de elementos de un
conjunto lo que hacemos es contarlos, ¿pero que significa esto, a cada elemento le
estamos asociando un número con el cuidado de no repetir elementos y para
asegurarnos de no repetir números le asociamos el 1, 2, ....,n en ese orden entonces
lo que establecemos es una función inyectiva (no repetimos elementos) y
sobreyectiva (no dejamos ningún elemento sin su correspondiente). Es decir:
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Existe una función f : A → {1,..., n} biyectiva ⇒ cardinal de A es n
Definición 0.14 Dados dos conjuntos A y B decimos que tienen el mismo cardinal o
que son coordinables o equipotente si existe una función f : A → B biyectiva.
Proposición 0.2 La relación de Card ( A ) = Card ( B ) verifica las propiedades de
una relación de equivalencia.
Demostración
i) A es equipotente con A ya que la identidad es una función biyectiva de A en si
mismo ⇒ card ( A ) = card ( A ) .
ii) Si A es equipotente con B entonces B es equipotente con A
card ( A) = card ( B ) ⇒ existe f : A → B biyectiva ⇒ que f −1 : B → A es biyectiva
⇒ card ( B ) = card ( A )
iii) Si A es equipotente con B y B es equipotente con C entonces A es equipotente
con C.
f : A → B
Por hipótesis existen
 biyectivas ⇒ g o f : A → C también es biyectiva
g : B → C
Y eso implica que A es equipotente con C.
Definición 0.15 Dados dos conjuntos A y B decimos que el cardinal de A es menor
o igual que el cardinal de B si existe una función f : A → B inyectiva .
Card ( A ) ≤ Card ( B ) ⇒ ∃ f : A → B inyectiva
Ejemplo 0.3 Sabemos que el Card ( ¢ ) ≤ Card ( ¡ ) ya que la inclusión es una
función inyectiva.
inc : ¢ → ¡
a→a
Ejemplo 0.4 Si X es un conjunto Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) basta tomar la función
ϕ : X → P ( X ) definida ϕ ( x ) = { x} es decir que a cada elemento x del conjunto X
le asociamos el conjunto cuyo único elemento es el propio x. Esta función
claramente es inyectiva
Observar que si X es finito con Card ( X ) = n entonces Card (P ( X ) ) = 2n .
Proposición 0.3 Dados dos conjuntos A y B entonces existe una función f : A → B
inyectiva si y solo si existe una función g : B → A sobreyectiva.
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Demostración: ⇒ Sea f : A → B inyectiva con A ≠ φ y sea a0 ∈ A
f
A
B
b
Im f
a
a0
g
Entonces :
si b ∈ Im f ⇒ ∃a ∈ A tal que b = f ( a )
y como f es inyectiva el “a” es único y podemos definir: g ( b ) = a
si b ∉ Im f definimos g ( b ) = a0
Definimos de esta forma una función g : B → A
 f −1 ( b ) si b ∈ Im f
g (b ) = 
si b ∉ Im f
a0
Que es sobre.
⇐ Dada g : B → A sobreyectiva
Entonces { g −1 ( a ) : a ∈ A} establece una partición en B ya que:
Ug
−1
( a ) = B por ser g sobreyectiva
a∈ A
y
g −1 ( a1 ) ≠ g −1 ( a2 ) ⇔ a1 ≠ a2
 g ( b ) = a1
ya que si g −1 ( a1 ) = g −1 ( a2 ) ⇒ ∃b ∈ B / 
⇒ absurdo si a1 ≠ a2 por se g una
 g ( b ) = a2
función.
Por el teorema de elección podemos elegir un representante por cada clase que
anotamos  g −1 ( a )  entonces definimos:
f : A → B por f ( a ) =  g −1 ( a ) 
Por ser g sobre esta bien definida para todo a ∈ A y además es inyectiva ya que:
f ( a1 ) = f ( a2 ) ⇒  g −1 ( a1 )  =  g −1 ( a2 )  ⇒ a1 = a2
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⇒
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f es inyectiva.
Proposición 0.4 ( Teorema de Cantor ) Dado X un conjunto no vacío entonces:
Card ( X ) < Card (P ( X ) )
Ya sabemos que Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) Probaremos que
Card ( X ) ≠ Card (P ( X ) ) para ello supongamos por absurdo que son iguales y por
lo tanto existe una función:
f : X → P ( X ) biyectiva
Demostración
x → f ( x ) ∈P ( X )
Consideremos:
B = { x ∈ X : x ∉ f ( x )}
pero como B ⊆ X ⇒ B ∈P ( X ) ⇒ ∃u ∈ X / B = f ( u ) por ser f sobreyectiva
entonces
si u ∈ B ⇔ u ∉ f ( u ) ⇔ u ∉ B
B= f (u )
Corolario Si N es el conjunto de los números naturales aplicando lo anterior
Card ( ¥ ) < Card (P ( ¥ ) )
Proposición 0.5 (Teorema de Cantor-Bernstein) Dados dos conjuntos X e Y tales
que:
Card ( X ) ≤ Card (Y ) 
 ⇒ Card ( X ) = Card (Y )
Card (Y ) ≤ Card ( X ) 
Demostración Como Card ( X ) ≤ Card (Y ) ⇒ ∃ una función h : X → Y inyectiva
entonces si llamamos B = Im h la función h : X → B es biyectiva.
Por otro lado Card (Y ) ≤ Card ( X ) ⇒ ∃ una función g : Y → X inyectiva y si
llamamos A = Im g la función g : Y → A seria biyectiva.
Sea f : X → X la composición
f = iA o g o iB o h donde iA e iB son las
correspondientes inclusiones.
Claramente f es inyectiva por ser
composición de funciones inyectivas.
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h
X
B
iA
iB
A
Y
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Queremos encontrar una función ϕ : X → A biyectiva para ello tomamos el
conjunto C = A − f ( X ) ⇒ ( C U f ( X ) = A ) y el conjunto S = C U ( U i≥1 f i ( X ) )
con f n la composición de f consigo misma n veces.
(
)
f ( S ) = f C U ( U i ≥1 f i ( C ) ) = f ( C ) U i ≥ 2 f i ( C ) = U i ≥1 f i ( C )
Luego S = C U f ( S ) definimos entonces a φ de la siguiente manera:
 x si x ∈ S
ϕ (x) = 
 f ( x ) si x ∈ X − S
Por definición ϕ ( S ) = S y ϕ ( X − S ) = f ( X − S ) además es sobreyectiva ya que:
ϕ ( X ) = ϕ ( S ) U ϕ ( X − S ) = S Uϕ ( X − S ) = C U f ( S ) U f ( X − S ) = C U f ( X ) = A
Finalmente probaremos que es inyectiva, como ϕ |S y ϕ | X − S son inyectivas por
definición, entonces bastará con ver que ϕ ( S ) y ϕ ( X − S ) son disjuntos,
supongamos que no lo son, es decir que existe x ∈ S = C U f ( S ) tal que
x = f ( x′ ) con x′ ∈ X − S ⇒ x ∉ f ( S ) por ser f inyectiva ya que si
x ∈ f ( S ) ⇒ ∃x′′ ∈ S / f ( x′′ ) = x = f ( x′ ) ⇒ x′ = x′′ lo cual es absurdo por pertenecer
a conjunto disjuntos. Pero si x ∉ f ( S ) ⇒ x ∈ C y por definición de C x ∉ f ( X ) lo
que es una contradicción pues x era la imagen de un x’ por medio de f.
La función ϕ así definida es una biyección y entonces
Card ( X ) = Card ( A) = Card (Y )
∴ Card ( X ) = Card (Y )
Definición 0.16 Dado un conjunto A decimos que es finito si es vacío o es
coordinable con el conjunto {1,..., n} para algún n ∈ ¢ + . En caso contrario se dirá
que el conjunto es infinito.
Definición 0.17 Dado un conjunto A decimos que es numerable si es finito o de ser
infinito es coordinable con el conjunto de los números naturales.
 A finito
A numerable ⇔ 
card ( A) = Card ( ¥ )
Observación 3 P ( ¥ ) es no numerable por ser Card ( ¥ ) ≠ Card (P ( ¥ ) )
Definición 0.18 Se dice que un subconjunto A de los números reales es inductivo si
contiene el número 1, y si para todo x de x+1 también está en A. Sea A la familia
de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces, el conjunto Z+ (números
naturales) de enteros positivos se define de la forma.
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¢+ =
I
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A∈A
Obsérvese que le conjunto R+ de los reales positivos es inductivo, pues contiene al 1,
y la afirmación x > 0 implica x + 1 > 0 . Por lo tanto ¢ + ⊂ ¡ + y de esta forma los
elementos de ¢ + son efectivamente positivos, tal y como la elección de la
terminología sugiere. De echo se comprueba que 1 es el elemento más pequeño de
¢ + , ya que el conjunto de todos los números reales x para los cuales x ≥ 1 es
inductivo.
Las propiedades básicas de ¢ + , las cuales se deducen inmediatamente de la
definición, son las siguientes:
(1) ¢ + es inductivo.
(2) (Principio de inducción ). Si A es un conjunto inductivo de enteros positivos
entonces A = ¢ + .
Proposición 0.6 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de ¢ + tiene
un mínimo.
Demostración En primer lugar vamos a demostrar que, para cada n ∈ ¢ + , se verifica
la siguiente afirmación: Todo subconjunto no vacío de {1,..., n} tiene un mínimo.
Sea A el conjunto de todos los enteros positivos n para los cuales se cumple dicha
afirmación. Entonces A contiene al 1, ya que si n = 1 , el único subconjunto no vacío
de {1,..., n} es el propio {1} . Por tanto, suponiendo que A contiene a n, vamos a
demostrar que también contiene a n + 1 . Sea C un subconjunto no vacío de
{1,..., n + 1} . Si C está formado únicamente por n + 1 , entonces dicho elemento es el
menor elemento de C . En caso contrario, consideremos el conjunto C I {1,..., n} ,
que es no vacío. Como n ∈ A , este conjunto tiene un mínimo que automáticamente
será también el mínimo de C. Así A es inductivo, y podemos concluir que A = ¢ + ; y
por lo tanto, la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢ + .
Ahora vamos a demostrar el teorema. Supongamos que D es un subconjunto no
vacío de ¢ + . Elijamos un elemento n ∈ D . Entonces, el conjunto A = D I {1,.., n} es
no vacío, y A tiene un mínimo k. El elemento k será también el mínimo de D.
Proposición 0. 7 Todo los subconjunto de números naturales son numerables.
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 A = φ ⇒ es numerable
Demostración Dado A ⊆ ¥ si 
 A ≠ φ ⇒ ∃a1 = min {a ∈ A} por proposición 0.6
 A = {a1} es finito ⇒ numerable
si 
 A ≠ {a1} ⇒ ∃ a2 = min { A \ {a1} por proposición 0.6}
Nuevamente
 A = {a1 , a2 } finito ⇒ numerable
Si 
 A ≠ {a1 , a2 } ⇒ ∃a3 = min { A \ {a1, a2 }}
Y así sucesivamente
 A = {a1 ,..., an } es finito ⇒ numerable
Si 
 A ≠ {a1 ,..., an } ⇒ ∃an +1 = min { A \ {a1 ,..., an }}
Sea ϕ : ¥ → A tal que ϕ ( k ) = ak es una biyección ya que:
ϕ ( k + 1) > ϕ ( k ) por elección ⇒ inyectiva
Ahora si a ∈ A sea n = max {k : ak < a} ⇒ a = min { A \ {a1 ,..., an }} = an +1 = ϕ ( n + 1)
Lo que quiere decir que ϕ es sobreyectiva.
Proposición 0.8 Dado un conjunto A no vacío, es numerable si y solo sí:
1) Existe una función ϕ : A → ¥ inyectiva o
2) Existe una función ψ : ¥ → A sobreyectiva.
Demostración: ⇒ Sea A numerable entonces puede suceder que A sea
i) infinito ⇒ Card ( A ) = Card ( ¥ ) ⇒ ∃ϕ : A → ¥ biyectiva y por lo tanto inyectiva.
ii) finito ⇒ hay una biyección ϕ 0 entre A y {1,..., n} entonces definimos:
ϕ : A → ¥ tal que:
ϕ ( a ) = ϕ 0 ( a ) es inyectiva
⇐ Supongamos ahora que existe una función inyectiva ϕ : A → ¥ lo que significa
que ϕ : A → ϕ ( A ) es una biyección , y entonces Card ( A ) = Card (ϕ ( A ) ) pero
como ϕ ( A ) ⊂ ¥ ⇒ ϕ ( A ) es numerable por proposición anterior.
Entonces si ϕ ( A ) es infinito ⇒ Card (ϕ ( A ) ) = Card ( ¥ ) por definición y por
transitiva Card ( A ) = Card ( ¥ ) ⇒ por definición A es numerable.
Si ϕ ( A ) es finito ⇒ ∃n ∈ ¥ tal que Card (ϕ ( A ) ) = n por definición y por transitiva
Card ( A) = n ⇒ por definición A es numerable.
Corolario 0.9 Sea B un conjunto numerable y ϕ : A → B inyectiva entonces A es
numerable.
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Demostración Si B es numerable ⇒ por proposición anterior ∃ψ : B → ¥ inyectiva
entonces ψ o ϕ : A → ¥ es inyectiva ⇒ A es numerable.
Corolario 0.10 Si A es un conjunto numerable y ∃ψ : A → B sobreyectiva entonces
B es numerable.
Demostración
Si A es numerable ⇒ ∃ϕ : ¥ → A
ψ o ϕ : ¥ → B es sobreyectiva ⇒ B es numerable.
sobreyectiva entonces
Corolario 0.11 Si B es un conjunto numerable y A ⊂ B ⇒ A es numerable.
Demostración Sea ϕ ≡ inclución ⇒ ϕ : A → B que es inyectiva entonces por
corolario 0.9 ⇒ A es numerable.
Proposición 0.12 ¥ × ¥ es numerable.
Demostración Basta ver que la función ψ : ¥ × ¥ → ¥ dada por:
ψ ( m, n ) = 2 m.3n
es inyectiva, por tanto ¥ × ¥ es numerable.
Proposición 0.13 ¥
×24
¥ ...3
¥ es numerable.
14
j
Demostración Sean p1 ,..., p j primos distintos, entonces ψ : ¥ × ¥...¥ → ¥ donde
ψ ( n1 ,..., n j ) = p1n1 ... p j j
n
es inyectiva.
Corolario 0.14 Sean A1 ,..., An conjuntos numerable ⇒ A1 × A2 × ... × An es numerable
Demostración Para cada i = 1,..., n el que Ai sea numerable ⇒ ∃ϕi : Ai → ¥
inyectiva. Entonces si definimos:
ϕ : A1 × ... × An → ¥ × ... × ¥
por
ϕ ( a1 ,..., an ) = (ϕ1 ( a1 ) ,..., ϕ n ( an ) )
queda naturalmente inyectiva.
Y por lo tanto existe la función ψ o ϕ : A1 × ... × An → ¥ inyectiva lo que implica que
A1 × ... × An es numerable.
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Proposición 0.15 Sea I un conjunto numerable, y Ai un conjunto numerable ∀i ∈ I
entonces
UA
i
es numerable.
i∈I
Demostración
Como I es numerable ⇒ ∃ ϕ : ¥ → I sobreyectiva
y por ser Ai numerable ⇒ ∃ ψ i : ¥ → Ai ∀i ∈ I definimos:
J : ¥ × ¥ → U Ai
i∈I
por
J ( m, n ) = ψ ϕ ( m ) ( n )
entonces
∀a ∈ U Ai ⇒ a ∈ Ai0 para algún i0 ∈ I y como ϕ es sobre ⇒ ∃m ∈ ¥ / i0 = ϕ ( m ) y
i∈I
como a su vez ψ i0 es sobre ⇒ ∃n ∈ ¥ / a = ψ i0 ( n ) luego:
a = ψ i0 ( n ) = ψ ϕ ( m ) ( n ) = J ( m, n )
lo que significa que J es sobreyectiva ⇒ por ser ¥ × ¥ numerable ⇒ U Ai es
i∈I
numerable.
Ejemplo 0.5 ¤ es numerable
Sea I = {( m, n ) : con m ∈ ¥, n ∈ ¥ − {0}} ⊂ ¥ × ¥ que es numerable por ser un
subconjunto de uno numerable, entonces como:
m
¤= U
( m , n )∈I n
es numerable
Ejemplo 0.6 Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable.
Demostración Sea A un conjunto infinito. Sea x0 ∈ A, entonces A − x0 es infinito,
entonces existe x1 ∈ A tal que x1 ≠ x0 y entonces como A − { x1 , x0 } es infinito, existe
x2 ∈ A tal que x2 ≠ xi con i = 0,1 .
En general, definimos { x0 , x1,..., xk } y tenemos que A − { x0 , x1,..., xk } es infinito así
que existe xk +1 ∈ A tal que xk +1 ≠ xi con i = 0,1,..., k . Entonces la función f : ¥ → A
dada por f ( i ) = { xi } es una biyección entre ¥ y { x0 , x1 ,..., xn ,...} ⊂ A por tanto
dicho subconjunto de A es numerable que es al conjunto infinito numerable que
buscábamos.
- 18 -
Topología General
Capítulo 0
- 19 -
Ejemplo 0.7 Si A es infinito y B es numerable entonces A es coodinable con A U B
Demostración Por la proposición de Cantor-Bernstein, basta encontrar una función
inyectiva de A en A U B y otra inyectiva de A U B en A . Para la primera la
inclusión es una función inyectiva inc : A → A U B ⇒ Card ( A ) ≤ Card ( A U B ) .
Para encontrar una función inyectiva g : A U B → A . Como A es infinito (ver
ejercicio 6) tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Entonces
como B y C son numerables C U B es numerable lo que implica
Card ( C U B ) = Card ( ¥ ) = Card ( C ) ⇒ C U B y C son coordinables luego existe
una función g 0 : C U B → C biyectiva Consideremos la siguiente función:
g : A U B → A dada por :
 a si a ∈ A \ ( C U B )
g (a) = 
 g 0 ( a ) si a ∈ C U B
 a si a ∈ A \ ( C U B )
⇒a=b
g (a) = 
 g 0 ( a ) si a ∈ C U B
⇒ g 0 ( a ) = b ⇒ que b ∈ C
b si b ∈ A \ ( C U B )
⇒ a = b por ser g 0 inyectiva
g (b ) = 
si
∈
g
b
b
C
U
B
 0( )
entonces g es inyectiva, y por tanto Card ( A U B ) ≤ Card ( A) luego son iguales y los
conjuntos son coordinables.
Ejemplo 0.8 Sea n un entero positivo. Sean A un conjunto y a0 un elemento de A.
Entonces Card ( A ) = n + 1 ⇔ Card ( A − {a0 }) = n
Demostración Tenemos que probar que existe una correspondencia biyectiva f entre
A y el conjunto {1,..., n + 1} si, y solamente sí, existe una correspondencia biyectiva
del conjunto A − {a0 } con {1,..., n} .
Supongamos en primer lugar, que existe una correspondencia biyectiva g
g : A − {a0 } → {1,..., n}
Definimos entonces una función: f : A → {1,..., n + 1} de la forma:
f ( x ) = g ( x ) si x ∈ A − {a0 }
f ( a0 ) = n + 1
es claro que f es biyectiva.
Recíprocamente:
Supongamos que existe una correspondencia biyectiva :
- 19 -
Topología General
Capítulo 0
- 20 -
f : A → {1,..., n + 1}
i) Si f asocia a0 al número n+1, todo es especialmente sencillo; en este caso, la
restricción f | A−{a0} nos da la correspondencia biyectiva buscada entre A − {a0 } y
{1,..., n} .
ii) En caso contrario sea f ( a0 ) = m y sea a1 el punto de A tal que n + 1 = f ( a1 ) .
Entonces a1 ≠ a0 Definimos una nueva función:
h : A → {1,..., n + 1}
Mediante:
h ( a0 ) = m
h ( a1 ) = n + 1
h ( x ) = f ( x ) para x ∈ A − {a1 , a0 }
De esta forma h es biyectiva y está comprendida en el caso i) luego la restricción
h | A−{a0} es la biyección buscada entre A − {a0 } y {1,..., n}
Ejemplo 0.9 Sea A un conjunto de cardinal n para algún n ∈ ¢ + . Sea B un
subconjunto propio de A. Entonces el cardinal de B es distinto de n Si B ≠ φ
Entonces existe algún m < n tal que el cardinal de B es m.
Demostración Tenemos que probar que no existe biyección alguna g : B → {1,..., n} .
Pero si B ≠ φ sí existe una biyección h : B → {1,..., m} para algún m < n .
El caso de que B es vacío es trivial, ya que no puede existir una biyección entre el
conjunto vacío B y un conjunto no vacío {1,..., n} .
Demostraremos la afirmación por inducción.
Sea C el subconjunto de ¢ + formado por aquellos entero n para los cuales la
afirmación es cierta. Vamos a probar que C es inductivo ⇒ C = ¢ + y por lo tanto la
afirmación es cierta para todo entero positivo.
En primer lugar demostramos la afirmación para n = 1 .En este caso A está formado
por un único elemento {a} y su único subconjunto propio B es el conjunto vacío.
Supongamos ahora que el teorema es cierto para n; vamos a ver que también lo es
para n + 1 Sea f : A → {1,..., n + 1} una biyección y sea B un subconjunto propio no
vacío de A. Elegimos un elemento a0 de B y un elemento de a1 de A − B y aplicando
lo del ejemplo anterior, podemos deducir que existe una biyección:
g : A − {a0 } → {1,..., n}
Por otro lado, B − {a0 } es un subconjunto propio de A − {a0 } , ya que a1 pertenece a
A − {a0 } y no a B − {a0 } . Como la afirmación se supone cierta para el entero n,
podemos concluir lo siguiente:
- 20 -
Topología General
Capítulo 0
- 21 -
1) No existe ninguna biyección h : B − {a0 } → {1,..., n}
2) Bien B − {a0 } = φ , bien existe una biyección
k : B − {a0 } → {1,..., p} para algún p < n
El ejercicio anterio junto 1), implica que no existe ninguna biyección entre B y
{1,..., n + 1} Esto completa la primera mitad del resultado al que queremos llegar.
Para demostrar la segunda parte, obsérvese que si B − {a0 } = φ , existe una biyección
entre B y el conjunto {1} , mientras que si B − {a0 } ≠ φ , podemos aplicar lo del
ejercicio anterior, junto con 2) , para concluir que existe una biyección entre B y
{1,..., p + 1} . En cualquiera de los casos, va a existir una biyección de B con {1,..., m}
para algún m < n + 1 , tal como se buscaba. El principio de inducción demuestra que
la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢ + .
Ejemplo 0.10 Si A es un conjunto finito, no existe ninguna biyección de A con un
subconjunto propio de sí mismo.
Demostración Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que f : A → B
es una biyección. Por hipótesis existe una biyección g : A → {1,..., n} para algún n.
La composición g o f −1 es, por tanto, una biyección entre B y {1,..., n} . Esto
contradice la afirmación del ejemplo anterior
Ejemplo 0.11 Un conjunto es infinito si y solo sí es coordinable con un conjunto
propio.
Demostración Sea A un conjunto infinito, primero observemos que por el ejemplo 6
tiene un subconjunto infinito numerable que llamamos B.
Sea C = A − B entonces hay tres posibilidades:
1) Que C = φ Quiere decir que A = B y como B es numerable por construcción ⇒
A numerable ⇒ Card ( N ) = Card ( A ) pero ya vimos que todo subconjunto (propio)
de una numerable es numerable ⇒ si A′ Ü A ⇒ Card ( A′ ) = Card ( ¥ ) ⇒ que A y
A’ son coordinables
2) Que C sea finito ≠ φ . Si C es finito entonces A = C U B por ser unión de dos
numerables es numerable ⇒ Card ( A ) = Card ( ¥ ) = Card ( B ) es decir que A es
coordinable con el conjunto B Ü A
3) Que C sea infinito, como B es numerable ⇒ (ver ejemplo 7) que C es coordinable
con C U B = A .
Recíprocamente Sea A un conjunto coordinable con un subconjunto propio.
- 21 -
Topología General
Capítulo 0
- 22 -
Si A fuera finito tenemos una contradicción con lo probado en el ejemplo 10 luego A
tiene que ser infinito.
Proposición 0.16 El conjunto de las partes finitas de los naturales que anotamos
PF ( ¥ ) es numerable.
PF ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : A es finito}
Demostración Definimos:
Pn ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : Card ( A ) = n}
entonces
PF ( ¥ ) = U Pn ( ¥ )
n∈¥
alcanza con probar que ∀n ∈ ¥ Pn ( ¥ ) es numerable y para ello definimos la
siguiente función:
ϕ n : Pn ( ¥ ) → ¥ n
como sigue:
Si A∈Pn ( ¥ ) entonces A = {ai1 , ai2 ,..., ain } y definimos ϕ n como la función que a
cada n-upla le corresponde la n-upla ordenada en forma creciente, es decir:
ϕ n ( A ) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an
Claramente ϕ n es inyectiva ya que si A y B son conjuntos con n elementos
ϕ n ({ai1 ,..., ain }) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ ... ≤ an
ϕ n ({bi1 ,..., bin } ) = ( b1,..., bn ) con b1 ≤ ... ≤ bn
entonces
( a1 ,..., an ) = ( b1 ,..., bn ) ⇒ {ai ,..., ai } = {bi ,..., bi }
o sea A = B y como ¥ n es numerable ⇒ Pn ( ¥ ) es numerable ⇒ la unión
1
n
1
n
numerable de numerables es numerable por la proposición anterior.
⇒ PF ( ¥ ) es numerable
Corolario 0.17 Las partes finitas de un conjunto A numerable es numerable.
PF ( A ) = { X ⊂ A : X es finito}
Demostración igual que el teorema definimos:
Pn ( A ) = { X ⊂ A : Card ( X ) = n}
y
ϕ n : Pn ( A ) → An inyectiva
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Topología General
Capítulo 0
- 23 -
como An es numerable ⇒ Pn ( A ) es numerable y como la unión de una cantidad
numerable I de conjuntos numerables es numerable.
PF ( A ) = UPn ( A ) (e I ⊂ ¥ ⇒ I numerable)
n∈I
es numerable.
Corolario 0.18 Las partes infinitas de los naturales es no numerable
P∞ ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : A es infinito}
Demostración Si fuera numerable como:
P ( ¥ ) = PF ( ¥ ) U P∞ ( ¥ ) sería numerable
Y ya vimos que es no numerable.
De la anterior proposición se desprende que el cardinal de las partes infinitas de los
naturales (conjunto potencia de los naturales ) no es igual al de los naturales y lo que
demostraremos a continuación es que dicho cardinal es igual al cardinal de los
números reales.
Pero con dicho propósito antes demostraremos algunos teoremas previos. El primero
de ellos hace referencia a la posibilidad de escribir cualquier número real entre 0 y 1
como una serie. Dependiendo de una sucesión de ceros y unos (notación binaria del
real en cuestión)
Lema 1 Sea t ∈ ( 0,1] entonces existe una sucesión {ak : k ≥ 1} donde ak ∈ {0,1} para
todo k y tal que:
∞
a
t = ∑ kk
k =1 2
salvo que para algunos reales esa descomposición no es única
Por ejemplo.
1
1
5 0 + 22 + 0 + 24
=
16 0 + 212 + 0 + 0 + 215 + 216 + ... + 21n + ...
Hay dos formas de elegir la sucesión
0,1, 0,1,0, 0, 0, 0,....
pero una de ellas es finita. Es decir:
{ak } = 
 0,1, 0,0,1,1,1,1,1,...
∞
∞
a
b
Si t = ∑ kk = ∑ kk con ak , bk ∈ {0,1} y {ak } ≠ {bk } ⇒ no son la misma sucesión
k =1 2
k =1 2
⇒ que existe n0 tal que:
- 23 -
Topología General
Capítulo 0
- 24 n0
6
474
8
{ak } = ...........1, 0, 0, 0, 0.....
ak = 0 ∀k > n0 y bk = 1 ∀k > n0

o
b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n
 k
0
k
0
{bk } = ...........0,1,1,1,1,1,.....
⇒
o
n0
6
474
8
{ak } = ...........0,1,1,1,1,1,....
{bk } = ............1,0,0,0,0,....
Demostración Si 0 < t < 12 se define a1 = 0
Si 12 ≤ t ≤ 1 se define a1 = 1
En ambos caso se verifica:
a 1
0≤t− 1 ≤
2 2
ahora definimos a2
 0 si 0 ≤ t − a1 < 1

2 4
a2 = 
1 si 1 ≤ t − a1 ≤ 1

4
2 2
entonces en ambos casos:
a a
1
0 ≤ t − 1 − 22 ≤ 2
2 2
2
Y así sucesivamente tenemos a1 , a2 ,..., an ∈ {0,1} tales que:
n
a
1
0 ≤ t − ∑ kk ≤ n
2
k =1 2
se define an+1 como:
n
1
ak

0
si
0
≤
t
−
< n+1
∑
k

2
k =1 2
an+1 = 
n
1 si 1 ≤ t − ak ≤ 1
∑
k

2 n+1
2n
k =1 2
en ambos casos:
n +1
ak
1
≤ n +1
k
2
k =1 2
{
0≤t −∑
→0
por lo tanto
n +1
∞
ak
a
t − ∑ k → 0 ⇒ t = ∑ kk
k =1 2
k =1 2
- 24 -
Topología General
Capítulo 0
Lema 2 Si {an } ≠ {bn } y
- 25 -
∞
∞
ak
bk
=
= t entonces tenemos que probar que existe
∑
∑
k
k
k =1 2
k =1 2
n0 tal que:
bk = 1 ∀k > n0 y ak = 0 ∀k > n0

o
b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n
 k
0
k
0
Demostración
Sea
n0 = min {k : ak ≠ bk } se puede suponer sin perder generalidad que
an0 = 1 y bn0 = 0
a1
Sea
P
b1
a2
P
b2
=1
}
....... an0 .....
,
....... bn0 .....
{
=0
Tenemos que:
∞
n0 −1
=0
}
bn0
∞
bk
bk
b
= ∑ k + n0 + ∑ kk =
∑
k
2
k =1 2
k =1 2
k = n0 +1 2
bk ≤1
∞
∞
1
ak
bk } n0 −1 ak
= ∑ k + ∑ k ≤↓ ∑ k + ∑ k
k =1 2
k = n0 +1 2 (1) k =1 2
k = n0 +1 2
n0 −1
n0 −1
n0
∞
1
ak
ak
ak
+
=
≤
=
∑
n0
k
k ↓ ∑ k
2
2
2
=
1
=
1
k =1 2
k
k
(2)
{
=∑
=
an
0
2n0
∞
bk
k
k =1 2
Lo que implica que todas las desigualdades son igualdades y entonces:
(1) ⇒ bk = 1 ∀k > n0
=∑
( 2 ) ⇒ ak = 0 ∀k > n0
Si hubiésemos supuesto que era an0 = 0 y bn0 = 1 hubiéramos llegado a:
bk = 0 ∀k > n0
ak = 1 ∀k > n0
- 25 -
Topología General
Capítulo 0
- 26 -
Lema 3 Card ( ( 0,1]) = Card (P∞ ( ¥ ) )
Demostración
Para la demostración lo que haremos es definir una función
biyectiva entre dichos conjuntos. Para ello usamos los lemas 1 y 2 que quieren decir
que todo número entre 0 y 1 se escribe en notación binaria como una sucesión
infinita de ceros y unos. A este número binario le asociamos el conjunto de los
índices correspondientes a los lugares en que lleva un uno su desarrollo binario. Que
claramente es un subconjunto de las partes infinitas de los números naturales.
Consideremos la siguiente función:
ϕ : ( 0,1] → P∞ ( ¥ ) definida de la siguiente forma:
Si t ∈ ( 0,1] entonces existe una única sucesión {ak } tal que {k : ak = 1} es infinito
siendo
∞
a
t = ∑ kk
k =1 2
Siempre hay una ya que si hay una finita tal que:
n
a
t = ∑ kk , an = 1
k =1 2
definimos
∞
b = ak ∀k < n
b
t = ∑ kk donde k
bn = 0 , bk = 1 ∀ k > n
k =1 2
definimos:
ϕ ( t ) = {k : ak = 1} ∈P∞ ( ¥ )
Por ejemplo:
5
1
1
=0+ 2 +0+ 4
16
2
2
⇒ ϕ ( t ) = {2,5,6,7,8,.....}
5
1
1 1
1 ∞ 1 1 1
= 0 + 2 + 0 + 0 + 5 + 6 + ... = + ∑ k = + 4
16
2
2 2
4 k =5 2
4 2
ϕ es inyectiva ya que si ϕ ( t ) = ϕ ( s ) sea {ak } tal que:
∞
ak = 1 si k ∈ ϕ ( t )
a
⇒ t = ∑ kk = s
ak = 0 si k ∈ ϕ ( t )
k =1 2
además es sobreyectiva ya que si A ∈P∞ ( ¥ ) sea {ak } tal que:
∞
ak = 1 si k ∈ A
a
y sea t = ∑ kk
ak = 0 si k ∉ A
k =1 2
∞
∞
a
1 1
Como los ak son infinitos ⇒ ak ≤ 1 ∀k ∈ ¥ ⇒ ∑ kk ≤ ∑ k = 2 = 1 es decir que
1
k =1 2
k =1 2
2
la serie converge en (0,1] ⇒ t ∈ ( 0,1] ⇒ A = ϕ ( t ) .
- 26 -
Topología General
Capítulo 0
- 27 -
Proposición 0.19 El cardinal del conjunto potencia de los naturales es el del
continuo. Es decir Card ( ¡ ) = Card (P ( ¥ ) )
Demostración Primero se demuestra que Card ( ¡ ) = Card ( ( 0,1]) por medio de una
función apropiada; por ejemplo por medio de la función y = tan x que es biyectiva
para x ∈ ( − π2 , π2 ) se tiene que:
Card ( ¡ ) = Card ( − π2 , π2 )
Luego por medio del segmento de recta
Card ( ( − π2 , π2 ) ) = Card ( ( 0,1])
Por el ejemplo 0.7 se tiene que un conjunto es infinito si, y solamente sí, es
coordinable con un subconjunto propio
⇒ P ( ¥ ) es infinito ⇒ Card (P ( ¥ ) ) = Card (P∞ ( ¥ ) )
Ya que
P∞ ( ¥ ) Ü P ( ¥ )
y como por la proposición anterior:
Card ( ( 0,1]) = Card (P∞ ( ¥ ) )
Card ( ( 0,1]) = Card (P ( ¥ ) ) 

y
 ⇒ Card ( ¡ ) = Card (P ( ¥ ) )

Card ( ( 0,1]) = Card ( ¡ )

Ejemplo practico
Sea la familia de intervalos de extremos racionales F
F = {[ a, b ] : a, b ∈ ¤}
Definimos la función ϕ : F → ¤ × ¤ de la siguiente manera:
ϕ ([ a, b ] ) = ( a, b ) ∈ ¤ × ¤
Es decir que a cada intervalo de extremos a,b le asociamos la pareja ordenada (a,b)
Dicha función es inyectiva ya que
- 27 -
Topología General
Capítulo 0
- 28 -
a ≠ a′

[ a, b ] ≠ [ a′, b′] ⇒  o ⇒ ( a, b ) ≠ ( a′, b′ ) ⇒ ϕ ([ a, b]) ≠ ϕ ([ a′, b′])
 b ≠ b′

y como ¤ es numerable ⇒ que el producto cartesiano ¤ × ¤ es numerable
Tenemos una función inyectiva del conjunto F a un conjunto numerable, como la
función es biyectiva sobre su imagen, que es un subconjunto de uno numerable,
luego numerable; entonces como podemos definir una biyección de F a un conjunto
numerable, este F es numerable.
- 28 -
Capítulo 1
Espacios Métricos
Definición 1.1 Sea E un conjunto no vacío una distancia o métrica es una función
d : E × E → ¡ tal que verifica:
1) d ( x, y ) ≥ 0 ∀x, y ∈ E
2) d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y
3) d ( x, y ) = d ( y, x ) ∀x, y ∈ E
4) d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y, z ) ∀x, y,z ∈ E desigualdad triangular
Al par ( E , d ) le llamamos espacio métrico
Definición 1.2 Sea E en las mismas condiciones que antes pero sin la propiedad 2,
es decir se puede dar el caso en que la distancia es cero y no se trate de la identidad,
llamamos en dicho caso seudo distancia o seudo métrica.
Ejemplo 1.1
Si E = ¡ y d ( x, y ) = x − y es una métrica.
Ejemplo 1.2
Sea E = ¡ n x = ( x1 ,..., xn ) , y = ( y1, ..., yn ) entonces podemos definir la siguiente
distancias
1) Distancia taxi
n
d1 ( x, y ) = ∑ xi − yi
i =1
2) Distancia euclidiana
3) Distancia del máximo
 n
2
d 2 ( x, y ) =  ∑ ( xi − yi ) 
 i =1

1
2
Topología General
Capítulo 1
- 30 -
d ∞ ( x, y ) = max i =1,...,n { xi − yi }
Ejemplo 1.3
Distancia discreta
Dado E ≠ φ definimos
0 si x = y
d ( x, y ) = 
1 si x ≠ y
fácilmente se comprueba que es una métrica.
Ejemplo 1.4
Distancia indiscreta
Dado E ≠ φ definimos
d ( x, y ) = 0 ∀x, y ∈ E
Ejemplo 1.5
Sea E = C ¡ [ a, b ] = { f : [ a, b ] → ¡ / f es continua} entonces definimos la distancia
que llamamos distancia infinito o del supremo de la siguiente manera:
d ∞ ( f , g ) = sup x∈[ a ,b] { f ( x ) − g ( x ) }
Cumple con las propiedades 1,2, 3 ∀x ∈ [ a, b ] y f , g , h ∈ C¡ [ a, b ] la propiedad 4 se
tiene
f ( x) − g ( x) = f ( x) − h ( x) + h( x) − g ( x) ≤ f ( x) − h ( x) + h( x) − g ( x)
y los supremos también cumplen dicha desigualdad luego se cumple la desigualdad
triangular
La distancia del supremo se puede definir para el espacio de las funciones continuas
en el intervalo [ a, b ] siendo f : [ a, b] → £ (complejos) representamos dicho
conjunto como C [ a, b ] .
Sea E = Cb ( ¡ ) = { f : ¡ → £ cont. y acotadas}
= Cb ,¡ ( ¡ ) = { f : ¡ → ¡ cont. y acotadas}
Definimos la distancia igual que antes:
d ( f , g ) = sup x∈¡ { f ( x ) − g ( x ) }
Dicha definición es consistente ya que:
Si f ( x ) es tal que f ( x ) ≤ M1 ∀x ∈ ¡
y g ( x ) tal que g ( x ) ≤ M2 ∀ x ∈ ¡
Entonces f ( x ) − g ( x ) ≤ f ( x ) + g ( x ) ≤ M 1 + M 2 ∀x ∈ ¡ y esto implica que
f ( x ) − g ( x ) está acotado ⇒ tiene supremo
- 30 -
Topología General
Espacios Métricos
- 31 -
Observación 1.1 Para un mismo conjunto podemos tener distintos espacios métricos
asociados, según la métrica que estemos considerando, así si la métrica es la
indiscreta al espacio llamamos indiscreto, si la métrica es la discreta al espacio
llamamos discreto, si la métrica que estamos considerando es la euclidea al espacio
llamamos euclideo.
sobre el
Definición 1.3 Sea V un espacio vectorial sobre K ( ¡ o £ ) una norma
espacio vectorial es una función
:V → ¡ que cumple con las siguientes
propiedades:
1) x ≥ 0 ∀x ∈ V y x = 0 ⇔ x ≡ 0
2) λ x = λ x ∀λ ∈ K , y ∀x ∈ V
3) x + y ≤ x + y ∀x, y ∈ V
Definición 1.4 Tenemos un espacio vectorial normado cuando sobre el espacio
vectorial tenemos definida una norma.
Ejemplo 1.6
El producto interno
,
en V nos define una norma mediante la siguiente relación:
x = ( x, x
)
1
2
Observación 1.2 Todo espacio V vectorial normado
se transforma en un espacio
métrico por medio de la distancia definida de la siguiente forma:
d ( x, y ) = x − y ∀x, y ∈ V
Demostración
d ( x, y ) = y − x ≥ 0 por definición de norma
d ( x, y ) = 0 ⇒ y − x = 0 ⇔ y − x = 0 ⇔ x = y
d ( x, y ) = y − x = − ( x − y ) = −1 x − y = x − y = d ( y, x )
d ( x, z ) = z − x = z − y + y − x ≤ z − y + y − x = d ( y, z ) + d ( x, y )
Definición 1.5 Sea x ∈ ¡ n x = ( x1 ,..., xn ) definimos las siguientes tres normas:
1)
n
x 1 = ∑ xi
i =1
2)
 n
2
x 2 =  ∑ xi 
 i =1

- 31 -
1
2
Topología General
Capítulo 1
- 32 -
3)
x ∞ = max { xi : i = 1,..., n}
Todos son normas que inducen las respectivas distancias d1 , d 2 , d∞ con la igualdad.
d ( x, y ) = y − x
Ejemplo 1.7
£ [ a, b ] es un £ espacio vectorial con las operaciones punto a punto o sea si
f , g ∈ £ [ a, b ] definimos :( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
( λ f )( x ) = λ f ( x )
entonces:
f = sup x∈[a ,b] { f ( x ) }
es una norma en £ [ a, b ] que induce la distancia habitual.
La misma vale en £ ¡ [ a, b ] , £ b (¡ ) , £ b ,¡ ( ¡ )
Sea l1 el conjunto de las sucesiones complejas { xn }
l1¡ el conjunto de las sucesiones reales .
Tales que
∑x
n
< ∞ (convergen)
l es un espacio vectorial con las operaciones
1
x = { xn } ∈ l1
y = { yn } ∈ l1
λ ∈£
como
( x + y ) n = xn + yn
( λ x ) n = λ xn
∑x
n
y
está bien definida
Y se define
que es una norma en l1
+ yn ≤ ∑ x n + ∑ y n < ∞
∑ λx
n
=λ
∑x
n
<∞
x = ∑ xn
Ejemplo 1.8
Sea l∞ el conjunto de las sucesiones complejas acotadas
l∞¡ el conjunto de las sucesiones reales acotadas
l∞ es un espacio vectorial sobre los complejos ( l∞¡ sobre los reales) con las
operaciones definidas de la misma forma que en el ejemplo anterior
- 32 -
Topología General
x = { xn } ∈ l ∞
y = { yn } ∈ l ∞
λ ∈£
Definimos
Espacios Métricos
- 33 -
( x + y ) n = xn + yn
( λ x )n = λ xn
x
∞
= sup n∈¥ xn
si x = { xn }
entonces si x = { xn } e y = { yn }
xn + y n ≤ x n + y n ≤ x ∞ + y ∞
como dicha igualdad se cumple para todo n, en particular se debe cumplir para el
supremo:
⇒ x + y = sup xn + yn ≤ x ∞ + y ∞
Lo que implica que es una norma.
Definición 1.6 Sea ( E , d ) un espacio métrico, x ∈ E , ε > 0 llamamos bola abierta
de centro x y radio ε al siguiente conjunto:
Bε ( x ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε }
Que también anotamos B ( x, ε )
Ejemplo 1.9
En ¡ n
Bεl1 ( x )
Bεl2 ( x )
Bεl∞ ( x )
- 33 -
Topología General
Capítulo 1
- 34 -
Si tomamos las funciones continuas en [ a, b ] , C¡ [ a, b ] , f ∈ C¡ [ a, b ]
Bε ( f ( x ) ) = { g ∈ C¡ [ a, b ] : max x∈[ a ,b] f ( x ) − g ( x ) < ε }
f +ε
f
f −ε
a
b
Si g ∈ Bε ( f ( x ) ) ⇒ ∀x ∈ [ a, b ] f ( x ) − g ( x ) < ε y el gráfico de g cae en la zona
rayada limitad por f + ε y f − ε .
Ejemplo 10
Espacio discreto Sea ( E , d ) con la distancia discreta es el espacio que llamaremos
discreto, es decir:
1 si x ≠ y
d ( x, y ) = 
0 si x = y
Sea B ( x, 2 ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 2} = E
∴ B ( x, ε ) = E si ε > 1
Sea B ( x,1) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 1} = { x}
∴ B ( x, ε ) = { x} si ε ≤ 1
Es decir que las bolas son todo el espacio o los puntos.
Proposición 1.1 Dado una espacio métrico ( E , d ) , x ∈ E , ε > 0 ,sea la bola B ( x, ε ) .
Si y ∈ B ( x, ε ) entonces :
∃δ > 0 tal que B ( y, δ ) ⊂ B ( x, ε )
Demostración
Sea δ ≤ ε − d ( x, y ) entonces
Si z ∈ B ( y, δ ) ⇒ d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z )
123
<δ
⇒ d ( x, z ) < ε ⇒ z ∈ B ( x, ε )
⇒ d ( x , z ) < d ( x , y ) + δ ≤ d ( x, y ) + ε − d ( x , y ) = ε
∴ B ( y , δ ) ⊂ B ( x, ε )
- 34 -
x
y
δ
ε
Topología General
Espacios Métricos
- 35 -
Definición 1.7 Dado un espacio métrico ( E , d ) y un subconjunto F ⊂ E , F ≠ φ
Entonces la restricción de d a F × F o sea:
d |F ×F : F × F → ¡
esto es una métrica que llamaremos métrica relativa
Observación 1.3
Si x ∈ F , ε > 0, sea B F ( x, ε ) la bola con la métrica relativa y sea: B E ( x, ε ) la bola
con la métrica en E entonces:
B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F
Ya que:
B F ( x , ε ) = { y ∈ F : d ( x , y ) < ε } = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε } I { y ∈ F }
Ejemplo 1.11
Así por ejemplo si en R con la métrica habitual F = [ 0,1)
Si x ∈ [ 0,1) B F ( 0, 1 2 ) = [0, 1 2 ) y B ¡ ( 0, 1 2 ) = ( − 1 2 , 1 2 )
Entonces:
[ 0, 1 2 ) = [ 0,1) I ( − 1 2 , 1 2 )
Definición 1.8 Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío, decimos que A es
un conjunto abierto si:
∀x ∈ A ∃ε x > 0 tal que B ( x, ε x ) ⊂ A
En el caso que A es vacío lo definimos como abierto.
Corolario 1.2 Las bolas abiertas en un espacio métrico cualquiera son conjuntos
abiertos
Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior.
Ejemplo 1.12
En los espacios discretos todo conjunto A ⊂ E es abierto ya que si x ∈ A entonces:
B ( x,1) = { x} ⊂ A
Ejemplo 1.13
En
£ ¡ [ 0,1] A = { f ∈ £ ¡ [0,1] : f ( 0 ) > 0}
si
f ∈A
tomando
ε=
tenemos
B ( f , ε ) ⊂ A ya que si g ∈ B ( f , ε ) ⇒ por definición que:
max x∈[ 0,1] { f ( x ) − g ( x ) } < ε (en particular) ⇒ f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε
- 35 -
f (0)
>0
2
Topología General
o sea
Capítulo 1
- 36 -
−ε < f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε
f (0) − ε < g (0)
y si tomamos
f (0)
f (0)
ε=
⇒0<
< g ( 0 ) ⇒ g ∈ A por definición de A luego
2
2
B ( f ,ε ) ⊂ A
Proposición 1.3 Sea ( E , d ) un espacio métrico entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
1) E y φ son abiertos
2) Si { Aα }α∈I es una familia de subconjuntos abiertos de E entonces:
⇒ U Aα es abierto
α∈I
3) Si A1 , A2 ,..., An son una cantidad finita de subconjuntos abiertos de E entonces:
n
IA
k
k =1
es abierto
Demostración
1) B ( x, ε ) ⊂ E ∀x ∈ E , ε > 0 ⇒ E es abierto
φ es abierto por definición .
2) Si x ∈ U Aα ⇒ ∃α 0 ∈ I tal que x ∈ Aα0 que es abierto, luego
α ∈I
∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ Aα0 ⇒ como Aα0 ⊂ U Aα ⇒ B ( x, ε ) ⊂ U Aα o sea que
UA
α∈I
α
α ∈I
α ∈I
es abierto
n
3) Si x ∈ I Ak ⇒ x ∈ Ak con Ak abierto ∀k = 1,..., n ⇒ ∃ε k tal que B ( x, ε k ) ⊂ Ak sea
k =1
n
ε = min {ε k : k = 1,..., n} ⇒ B ( x, ε ) ⊂ B ( x, ε k ) ⊂ Ak ∀k = 1,..., n ⇒ B ( x, ε ) ⊂ I Ak
k =1
n
∴ I Ak es abierto
k =1
Proposición 1.4 Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío entonces A es
abierto si y solo sí, es unión de bolas abiertas.
- 36 -
Topología General
Espacios Métricos
- 37 -
Demostración
⇐ ya vimos que la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto.
⇒ Si A es abierto ⇒ si x ∈ A ∃B ( x, ε x ) ⊂ A y nos tomamos:
U B ( x, ε
x∈A
x
)⊂ A
además como si x ∈ A ⇒ x ∈ B ( x, ε x ) ⇒ x ∈ U B ( x, ε x )
x∈ A
⇒ A ⊂ U B ( x, ε x )
x∈ A
∴ A = U B ( x, ε x )
x∈A
es decir que
A es abierto ⇔ A = U B ( x, ε x )
x∈ A
Proposición 1.5 Sea ( E , d ) un espacio métrico y un F ⊂ E subconjunto, A ⊂ F es
abierto con la métrica relativa ( abierto en F) si y solo sí A = U I F donde U es
abierto en E.
Demostración
Se sabe que B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F ∀x ∈ F , ε > 0
Si A es abierto en F ⇒ A = U B F ( xα , εα ) por teorema anterior
α ∈I
E
A = U ( B ( xα , εα ) I F ) = U B E ( xα , εα ) I F
α ∈I
α ∈I
14
4244
3
=U abierto en E
luego
A = U I F con U abierto en E
⇐ Si U ⊂ E es abierto ⇒ U = U B E ( xα , εα ) ⇒
α ∈I
A = U I F = U B ( xα , εα ) I F = U ( B E ( xα , εα ) I F ) = U B F ( xα , εα ) que es abierto
E
α ∈I
α ∈I
α ∈I
en F.
Ejemplo 1.14
Sea E = ¡ con la métrica habitual
y F = [0,1) U ( 2,3)
A = [ 0,1) es abierto en F ya que
0
- 37 -
1
2
3
Topología General
Capítulo 1
- 38 -
A = ( −1,1) I F
{
abierto en E
( 2,3) es abierto ya que
2,3) I F
( 2,3) = ({
abierto en E
Definición 1.9 Sea ( E , d ) un espacio métrico y el subconjunto A ⊂ E se dice que A
es cerrado si AC es abierto ( AC = E \ A ).
Ejemplo 1.15
Como en el ejemplo anterior [ 0,1) es abierto en F y su complemento que es ( 2,3) es
por definición es cerrado.
Al igual que el complemento de ( 2,3) que es [ 0,1) ambos son abiertos y cerrados es
decir abierto no es oposición de cerrado.
Proposición 1.6 Sean d1 y d2 dos métricas en E las siguientes afirmaciones son
equivalentes.
1) Todo abierto en ( E , d1 ) es abierto en ( E , d 2 )
2) Dados ε > 0, x ∈ E existe δ > 0 tal que
B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε )
Demostración
1) ⇒ 2) B d1 ( x, ε ) es abierto con d1 ⇒ que es abierto con d2 ⇒ por definición de
abierto
Si x ∈ B d1 ( x, ε ) ⇒ ∃δ > 0 tal que B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε )
como se quería.
2) ⇒ 1) Sea A ⊂ E abierto en ( E , d1 ) lo que quiere decir por definición que:
para cada elemento x de A ∃ε x > 0 tal que
B d1 ( x, ε a ) ⊂ A
y además ya vimos que
A = U B d1 ( x, ε x )
x∈A
entonces aplicando la hipótesis 2) para cada x ∈ A ∃δ x > 0 tal que
B d2 ( x, δ x ) ⊂ B d1 ( x, ε x )
entonces
⇒ U B d2 B ( x, δ x ) ⊂ U B d1 ( x, ε x ) = A
x∈ A
x∈A
por otro lado
- 38 -
Topología General
Espacios Métricos
- 39 -
∀x ∈ A ⇒ x ∈ B d2 ( x, δ x ) ⇒ A ⊂ U B d2 ( x, δ x )
x∈ A
luego
A = U B d 2 ( x, δ x )
x∈ A
lo que quiere decir que A es abierto en ( E , d 2 ) .
Este teorema nos lleva a realizar las siguientes definiciones.
Definición 1.10 Dos métricas d1 y d2 en un mismo conjunto E decimos que son
métricas equivalentes si :
A ⊂ E es abierto en d1 ⇔ es abierto en d 2
Ejemplo 1.16
Las métricas d1 , d 2 y d ∞ son equivalentes en ¡ 2
Demostración
Dado ε > 0 ∃δ = ε tal que ∀x ∈ ¡ 2
B d 2 ( x, ε )
B d1 ( x, ε )
x
B d1 ( x, δ ) ⊂ B d 2 ( x, ε )
y ∈ B d1 ( x, δ ) ⇒ d1 ( x, y ) < δ
Ya que si
y− x <δ
y1 − x1 + y2 − x2 < δ
( y1 − x1 )2 + ( y2 − x2 )2 ≤ ( y1 − x1 )2 + ( y2 − x2 )2 = y1 − x1 + y2 − x2 < ε
y
entonces
1
2
2
 2
2
d 2 ( x, y ) =  ∑ ( yi − xi )  ≤ ∑ yi − xi = d1 ( x, y ) < ε
 i =1

i =1
Luego
y ∈ B d2 ( x, ε ) ⇒ B d1 ( x, ε ) ⊂ B d2 ( x, ε )
Entonces por proposición anterior tenemos que:
Todo abierto en ( E , d 2 ) es abierto en ( E , d1 )
B d1 ( x, ε )
Y recíprocamente
ε
Dado ε > 0, x ∈ ¡ n δ =
> 0 tal que
B d 2 ( x, δ )
2
B d2 ( x, δ ) ⊂ B d1 ( x, ε )
ya que si y ∈ B d2 ( x, δ ) ⇒ d 2 ( x, y ) < δ
- 39 -
x
Topología General
Capítulo 1
- 40 -
ε
entonces se prueba analíticamente que
2
y1 − x1 + y2 − x2 < ε ⇒ d1 ( x, y ) < ε ⇒ y ∈ B d1 ( x, ε ) como queríamos demostrar.
Observando lo que probamos es que dado un cuadrado podemos encontrar una bola
dentro del mismo como en la figura
Luego los abiertos en ( E , d1 ) son abiertos en ( E , d 2 ) ∴ d1 : d 2 en ¡ 2 en ¡ n es
totalmente análogo.
Análogamente se demuestra que d 2 : d ∞ o d1 : d ∞ ya que se puede inscribe un
cuadrado en una circunferencia o en un cuadrado.
d 2 ( x, y ) = ( y1 − x1 ) + ( y2 − x2 ) < δ =
2
2
B d2
B d∞
B d∞
B d1
Ejemplo 1.17
Si E = ¢ y sea d1 la distancia relativa a la euclidea y d 2 la métrica discreta.
{n} es abierto en ¢ con d 2 ya que:
B d2 ( x, ε ) = { x} si ε < 1
pero también es abierto con d1 ya que:
n − 12 , n + 12 ) I ¢
{n} = (14
4244
3
abierto en ¡
Si A ⊂ ¢ y A ≠ φ A = U {a} es abierto por ser unión de abiertos.
a∈ A
Entonces los abiertos con d1 son todos los subconjuntos de ¢ , y con d 2 también.
Por la tanto d1 , y d 2 son métricas equivalentes.
Ejemplo 1.18
Sean ( E , d E ) y ( F , d F ) dos espacios métricos y d1 , d 2 y d ∞ las métricas en E × F
dadas por:
- 40 -
Topología General
Espacios Métricos
- 41 -
d1 [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = d E ( e, e′ ) + d F ( f , f ′ )
1
2
2
d 2 [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = ( d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) )  2
d ∞ [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = max {d E ( e, e′ ) , d F ( f , f ′ )}
es fácil ver de que se trata de distancias métricas, vamos a probar de que son
equivalentes.
Bεd1 ( e, f ) ⊂ Bεd∞ ( e, f )
ya que si d E + d F < ε
cada una es menor que ε y
Bεd2 ( e, f ) ⊂ Bεd∞ ( e, f )
ya que si:
B d1
B d∞
1
 ( d E ( e, e′ ) ) 2 + ( d F ( f , f ′ ) ) 2  2 < ε


2
2
⇒ ( d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) ) < ε 2
( d E ( e, e′ ) )2 < ε 2 ⇒ d E ( e, e′ ) < ε
⇒ cada uno es menor que ε ⇒ 
2
2
( d F ( f , f ′ ) ) < ε ⇒ d F ( f , f ′ ) < ε
O sea que si x ∈ Bεd2 ⇒ x ∈ Bεd∞
2
Por otro lado
Bεd2∞ ( e, f ) ⊂ Bεd1 ( e, f ) ya que si d E y d F < ε
⇒ dE + dF < ε
y
B d1
2
B d∞
Bεd∞ ( e, f ) ⊂ Bεd2 ( e, f ) ya que:
2
1
 2
 
1
2
2
2 
d E ( e, e′ ) ) + ( d F ( f , f ′ ) )  < ( ε 2 ) 2 = ε
 ⇒ (14243
14
4244
3
dF ( f , f ′) < ε

2
2

<ε
<ε
2  

2
2
Entonces d1 , y d ∞ son equivalentes
y d 2 , y d ∞ son equivalentes y por definición es transitiva d1 , y d 2 son
equivalentes.
d E ( e, e′ ) < ε
- 41 -
Topología General
Capítulo 1
- 42 -
Ejemplo 1.19
Sean ( Ei , di ) espacios métricos ∀i = 1,..., n y d1 , d 2 y d ∞ las métricas en
n
∏E
i =1
i
Dadas por :
n
d1 [( e1,..., en ) , ( e1′,..., en′ )] = ∑ di ( ei , ei′ )
i =1
1
2
2
 n
d 2 [( e1 ,..., en ) , ( e1′,..., en′ )] =  ∑ ( di ( ei , ei′ ) ) 
 i =1

d ∞ [( e1 ,..., en ) , ( e1′,..., en′ )] = max {d i ( ei , ei′ ) : i = 1,..., n}
el razonamiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior solo modificamos
ε por ε y ε
por ε
entonces:
2
n
2
n
Bεd1 ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd∞ ( e1 ,..., en )
Bεd2 ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd∞ ( e1 ,..., en )
Bεdn∞ ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd1 ( e1 ,..., en )
B εd∞ ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd2 ( e1 ,..., en )
n
- 42 -
d1 y d ∞ son equivalentes
d 2 y d ∞ son equivalentes
Capítulo 2
Espacios Topológicos
En este capítulo introduciremos el concepto de espacio topológico, rescatando de los
espacios métricos las propiedades básicas que estos cumplen. Es decir que se trata
de una abstracción de los mismos.
Definición 2.1 Sea X un conjunto no vacío. Una topología τ en X es una familia
incluida en las partes de X
es decir τ ⊂ P ( X ) tal que:
1) X , φ ∈ τ
2) Si { Aα }α∈I ∈ τ ⇒ U Aα ∈ τ
α ∈I
n
3) Si A1 ,..., An ∈ τ ⇒ I Ai ∈ τ
i =1
A los miembros de τ llamamos abiertos
Al par formado por τ y X llamamos espacio topológico.
Ejemplo 2.1 Sea ( E , d ) un espacio métrico, entonces τ d = { A : A abierto en E } τ d
es una topología por los propiedades que ya vimos se cumplen 1,2,3.
Además d1 , d 2 son equivalentes si y solo sí:
τ d1 = τ d 2
Decimos que las métricas equivalentes inducen las misma topologías.
Todo espacio métrico puede ser visto como un espacio topológico con la topología
inducida por la métrica.
No es casualidad que una métrica defina una topología ya que la idea es abstraer las
propiedades de los espacios métricos en espacios donde no hay definida una métrica,
tratamos de definir un abierto sin tener una distancia, por eso, si decimos que un
conjunto es abierto en realidad estamos queriendo decir que está en la topología.
Topología General
Capítulo 2
- 44 -
Definición 2.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que τ es metrizable si
existe una métrica d en X tal que:
τ =τd
es una especie de recíproco del ejemplo 1 .
Ejemplo 2.2 Topología discreta
Dado X τ = P ( X ) es una topología y es un caso particular del ejemplo anterior
con la métrica d discreta.
Es decir se si d 0 es la métrica discreta en X entonces:
τ d0 = P ( X )
Ejemplo 2.3 Topología indiscreta
Sea ( X , d ) un espacio seudométrico con d indiscreta entonces:
τ d = {φ , X }
es una topología llamada indiscreta. Claramente no es metrizable porque no existe
una métrica asociada (seudemétrica si).
Ejemplo 2.4 Cofinito
Sea X ≠ φ la topología τ definida como:
τ = { A ⊂ X : AC es finito} U {φ }
veremos que es una topología llamada de complementos finitos
1) φ , X ∈ τ
2) Si { Aα }α∈I ∈ τ ∀α ∈ I entonces:
C


C
C
 U Aα  = I Aα es finito por cada Aα es finito
 α∈I 
α∈I
entonces:
3) Sean A1 ,..., An ∈ τ entonces:
UA
α ∈I
α
∈τ
C
n
 n 
C
A
=
 I i  U Ai
 i =1 
i =1
que es finito por ser unión de una cantidad finito “n” de conjuntos finitos AiC
Luego:
n
I A ∈τ
i =1
i
Además se en vez de finito ponemos numerable sigue siendo una topología
- 44 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 45 -
Ejemplo 2.5
En ¢ definimos:
τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A ∀n ∈ ¢}
τ es una topología ya que:
Si { Aα } ∈ τ y n ∈ ¢
Si 2n ∈ U Aα ⇔ 2n ∈ Aα0 para algún α 0
α ∈I
⇔ 2n − 1 ∈ Aα0 ⇔ 2n − 1 ∈ U Aα
α ∈I
idem con la intersección
La forma de los abiertos de τ son {1,2} ,{1, 2,3, 4} ,...,{3, 4} , {3, 4,5, 6} ,...,{5,6} ,.. etc.
Cada vez que un par pertenece al conjunto el anterior también y cada vez que un
impar pertenece al conjunto su siguiente también, así {5, 6,11,12} es un abierto.
Ejemplo 2.6
En ¡ definimos:
τ = {φ } U { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A}
también es una topología.
Definición 2.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico e Y ⊂ X llamamos topología
relativa en Y a:
τ Y = {U I Y : U ∈ τ }
Sea {Uα }α∈I ∈ τ ⇒ Uα I Y ∈ τ Y ∀α ∈ I entonces:
U (U
α ∈I
α
IY ) =


 U Uα 
1
α ∈I
424
3
I Y ∈τ Y
∈τ por ser τ una popología
ídem con la intersección ⇒ τ Y es un topología.
Definición 2.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológica y x ∈ X N ⊂ X es un entorno de
x si existe un abierto U ∈ τ tal que:
x ∈U ⊂ N
Sea N x la familia de entornos de x es decir:
N x = { N ⊂ X : N es entorno de x}
Ejemplo 2.7
Si ( E , d ) es un espacio métrico, x ∈ E entonces N ∈ E es un entorno de x si y solo
sí :
- 45 -
Topología General
Capítulo 2
- 46 -
∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ N
Demostración
⇐ Se toma A = B ( x, ε )
⇒ Si N ∈ N x por definición existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ N
Como U es abierto en un espacio métrico ⇒ por definición ∃ε > 0 tal que:
B ( x, ε ) ⊂ U ⇒ B ( x, ε ) ⊂ N
Ejemplo 2.8
Sea ( X ,τ ) el espacio topológico discreto
N ∈ Nx ⇔ x ∈ N
Ejemplo 2.9
Sea ( X ,τ ) espacio topológico indiscreto, los abiertos ya vimos que son φ y todo X
entonces:
N x = { x}
Ejemplo 2.10
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A}
{1, 2} ∈ N 2 
 ⇒ N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A}
{1, 2,3} ∈ N 2 
Ejemplo 2.11
Sea ( X ,τ ) con τ topología de complementos finitos.
Sean x ∈ X entonces:
si N ∈ N x ⇒ existe U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N
C
C
entonces N C ⊂ U
{ ⇒ N es finito ⇒ N ∈ τ es decir:
finito
N x = {U ∈ τ : x ∈ U }
Proposición 2.1 Sea ( X ,τ ) es un espacio topológico, x ∈ X entonces:
1) N ∈ N x y N ⊂ M ⇒ M ∈ N x
2) Si N , M ∈ N x ⇒ N I M ∈ N x
3) N x ≠ φ
4) U ⊂ X es abierto ⇔ U ∈ N x ∀x ∈ U es decir si U es entorno de todos sus
puntos.
- 46 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 47 -
Demostración
1) Si N ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N
y como N ⊂ M ⇒ x ∈ U ⊂ M ⇒ M ∈ N x
2) Sean U N ,U M tal que:
x ∈U N ⊂ N 
 ⇒ x ∈U N I U M ⊂ N I M
x ∈U M ⊂ M 
y como U N I U M ∈ τ ⇒ N I M ∈ N x
3) X ∈ N x ∀x ∈ X ⇒ N x ≠ ?
4) ⇒ Si U es abierto y para todo x ∈ U ⇒ x ∈ U ⊂ U
⇒ U ∈ Nx
⇐ Si U ∈ N x para todo x ∈ U ⇒ que para cada x ∈ U existe U x ∈ τ tal que:
x ∈U x ⊂ U ⇒
UU
x∈U
x
⊂U
pero como ∀x ∈ U ⇒ x ∈ U x ⇒ x ∈ U U x ⇒ U ⊂
x∈U
∴U=
y como U x ∈ τ ⇒
UU
x∈U
UU
x∈U
x
UU
x∈U
x
x
∈ τ por propiedad 2 de la definición de topología y luego
U ∈ τ (es abierto)
Observación 2.1 De la definición de entorno y de la propiedad anterior podemos
tenemos:
A es abierto ⇔ ∀x ∈ A ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A
Es decir que un conjunto es abierto si para todo punto de él se puede encontrar un
elemento de la topología incluido en él.
Si sustituimos elemento de la topología por bolas es la misma propiedad que
teníamos para espacios métricos. Lo que era de esperar ya que los elementos de la
topología en el caso de espacios métricos son las bolas.
Definición 2.5 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X . Se dice que x ∈ A es un
punto interior a A, si A es entorno del punto, es decir A ∈ N x .
Y llamaremos interior de A al conjunto de los puntos interiores de A
Ao = { x ∈ X : x es interior de A}
Observación 2.2 De la misma definición se desprende que.
- 47 -
Topología General
Capítulo 2
- 48 -
Ao ⊂ A
Proposición 2.2 Dado ( X ,τ ) espacio topológico y A, B ⊂ X dos conjuntos con
A ⊂ B entonces:
Ao ⊂ B o
Demostración
Que x ∈ Ao implica que A es entorno de x y por definición de entorno:
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A
y como A ⊂ B se tiene:
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ B
luego B es entorno de x y eso implica que x es interior a B ⇒ Ao ⊂ B o
Proposición 2.3 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces si A es abierto
se tiene que A = Ao .
Demostración Por definición sabemos que se cumple Ao ⊂ A . Para probar la otra
inclusión
Si x ∈ A como A es abierto, es entorno de todos sus puntos es decir A ∈ N x lo que
implica por definición que x ∈ Ao luego
A ⊂ Ao
y se da la igualdad.
Proposición 2.4 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces Ao es el mayor
abierto contenido en A.
Demostración Primero probaremos que Ao es abierto, para ello probaremos que es
entorno de todos sus puntos.
Sea x ∈ Ao ⇒ por definición A ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que:
x ∈U ⊂ A
Pero esto no alcanza trataremos de ver que U ⊂ Ao y para ello:
Si y ∈ U ⇒ y ∈U ⊂ A ⇒ A ∈ N y ⇒ por definición y ∈ Ao luego:
es decir que ∃U ∈τ tal que:
U ⊂ Ao
- 48 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 49 -
x ∈ U ⊂ Ao ⇒ Ao ∈ N x
Esto mismo se tiene para todo punto de Ao entonces por proposición 2.1 – 4) Ao es
abierto.
Para probar de que es el mayor probamos que cualquier otro abierto incluido en A
está contenido en Ao
Sea entonces B ⊂ A ⇒ por proposición 2.2 B o ⊂ Ao y como B es abierto se tiene
por proposición 2.3 B = B o luego:
B ⊂ Ao
Observación 2.2 Uniendo las proposiciones 2.2 y 2.3 se tiene que:
A es abierto ⇔ A = Ao
Ejemplo 2.12
Sea ( ¡,τ ) τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ }
Dado A ⊂ ¡
 A si 0 ∈ A
Ao = 
φ si 0 ∉ A
Definición 2.6 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es T0 si se verifica que
si dados x ≠ y ⇒ N x ≠ N y
Ejemplo 2.13
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ }
N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A}
N1 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A}
Luego N1 = N 2 pero 1 ≠ 2 ⇒ que no es T0
Proposición 2.5 Un espacio topológico ( X ,τ ) es T0 si y solo sí dados x ≠ y existe
N ∈ N x tal que y ∉ N o existe:
M ∈ N y tal que x ∉ M
N
x
y
Demostración
⇒ si ∃N ∈ N x tal que y ∉ N ⇒ N ∉ N y 
 ⇒ N x ≠ N y por definición es T0
∃M ∈ N y tal que x ∉ M ⇒ M ∉ N x 
- 49 -
Topología General
Capítulo 2
- 50 -
⇒ Si X es T0 x ≠ y ⇒ N x ≠ N y entonces puede suceder al menos una de las
siguientes posibilidades:
1) ∃N ∈ N x tal que N ∉ N y ⇒ por ser N entorno
∃U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N si y ∈U ⇒ y ∈U ⊂ N
Y entonces N ∈ N y lo cual es absurdo o sea que y ∉ U y como U es abierto es
entorno de todos sus puntos o sea encontramos un U ∈ N x tal que y ∉ U .
2) ∃M ∈ N y tal que M ∉ N x ⇒ al igual que lo anterior ∃V ∈ N y tal que x ∉ V .
Ejemplo 2.14
Dado el espacio topológico ( ¡,τ ) con τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ }
Sean dos puntos x ≠ y cualesquiera distintos en principio de cero.
x ≠ y entonces {0, x} ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos en particular de x o
sea que {0, x} ∈ N x donde y ∉ {0, x} .
Ahora si uno de ellos es el cero. Sea x = 0 entonces claramente {0} ∈ τ o sea :
{0} ∈ N 0 y ∉ {0}
Luego este espacio topológico es T0 .
A pesar de que todos los entornos de y contienen al cero es decir al cero lo podemos
separar del y por entornos pero no al y del cero.
Nuestro próximo axioma de separación contemplará que tanto unos como otros son
separables por entornos.
Definición 2.7 Dado un espacio topológico decimos que es T1 si se verifica que:
I N = {x}
N ∈N x
Proposición 2.6 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) este es T1 si y solo sí, dados
x ≠ y cualesquiera existen N y M con:
N ∈ N x tales que y ∉ N
x
y
M ∈ N y tales que x ∉ M
Demostración
⇒ Si ( X ,τ ) es un espacio topológico T1 , x ≠ y entonces por definición
I
N = { x} y como x ≠ y ⇒ y ∉
N ∈N x
lo que significa que:
I
N ∈N x
∃N ∈ N x tal que y ∉ N
- 50 -
N
Topología General
Espacios Topológicos
- 51 -
⇐ Si ∃N ∈ N x tal que y ∉ N esto implica:
y∉
I
∀y ≠ x
N ⇒ { x} =
N ∈N x
I
N
N ∈N x
Corolario 2.7 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) si es T1 ⇒ es T0
Demostración La proposición 2.6 implica la proposición 2.5 que es más débil y por
lo tanto se cumple que es T0
Ejemplo 2.15
Sea ( ¡,τ ) con τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } como
I
N = {0, x} si x ≠ 0 no es T1
N ∈N x
Ejemplo 2.16
Sea X con la topología de complemento finito.
C
C
Dados dos puntos x ≠ y {y} ∈ N x e y ∉ { y} luego X es T1 .
Definición 2.8 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) decimos que es T2 (o de
Hausdorff ) si dados x ≠ y existen:
N ∈ N x , M ∈ N y tales que N I M = φ
N
M
x
y
Observación 2.3 Todo espacio topológico que es T2 ⇒ T1
Claramente por definición.
Ejemplo 2.18
Sea X infinito con la topología de complemento finito.
Si A, B ∈ τ tal que A I B = φ con A y B no vacíos entonces:
C
X={
AC U B
{ ⇒ X sería finito
finito
finito
con esta topología no tenemos abiertos disjuntos, y como:
N x = { A ∈ τ : x ∈ A}
Si A ∈ N x , B ∈ N y tales que A I B = φ serían dos abiertos no vacíos disjuntos que
ya vimos que en esta topología no los hay ⇒ X no es T2 aunque sí T1 como ya
vimos.
Ejemplo 2.19
Todo espacio métrico es de Hausdorff.
- 51 -
Topología General
Capítulo 2
- 52 -
Demostración
Si x ≠ y Sea ε <
1
d ( x, y )
2
Entonces :
B ( x, ε ) I B ( y , ε ) = φ
Ya que si existiera z tal que:
z ∈ B ( x, ε ) I B ( y , ε )
se tendría:
d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) < 2ε < d ( x, y )
x
d
y
Definición 2.9 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que x es adherente a un
subconjunto A de X si todo entorno de x contiene puntos de A.
Es decir que x es adherente a A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ
Definición 2.10 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) , A ⊂ X , la clausura de A es el
conjunto de todos los puntos adherentes a A.
A = { x ∈ X : ∀N ∈ N x es N I A ≠ φ }
además decimos que A es cerrado si y solo sí A = A
Proposición 2.8 A ⊂ A
Demostración
Si x ∈ A ∀N ∈ N x ⇒ x ∈ N I A ⇒ x ∈ A luego:
uniendo esto con Ao ⊂ A tenemos:
A⊂ A
Ao ⊂ A ⊂ A
Proposición 2.9 Si A ⊂ B ⇒ A ⊂ B
Demostración
Si x ∈ A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ y como A ⊂ B se tiene:
N I B ≠ φ ∀N ∈ N x ⇒ x ∈ B
o sea
A⊂B
- 52 -
Topología General
Espacios Topológicos
Ejemplo 2.20
Sea ( ¡,τ ) donde τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ }
- 53 -
A
Si A = {1} ⇒ A = {1} ya que:
si x ≠ 1 {0, x} I A = φ
0
Sea A = {0} A = ¡
En general en esta topología para un subconjunto A cualquiera tenemos:
 ¡ si 0 ∈ A
A=
 A si 0 ∉ A
Ejemplo 2.21
Sea ( E , d ) un espacio métrico definimos bola cerrada, y anotamos B − ( x, ε ) de
centro x y radio ε como:
B − ( x, ε ) = { y ∈ E : d ( x, y ) ≤ ε }
probaremos que es cerrada es decir:
B − ( x , ε ) = B − ( x, ε )
Demostración
Tenemos que la inclusión B − ( x, ε ) ⊂ B − ( x, ε ) se cumple siempre.
Para probar la otra inclusión
(
B − ( x, ε ) ⊂ B − ( x, ε ) probaremos ( B − ( x, ε ) ) ⊂ B − ( x, ε )
C
Sea y ∉ B − ( x, ε ) ⇒ d ( x, y ) > ε
)
C
∃δ > 0 tal que δ < d ( x , y ) − ε ver figura
Si z ∈ B − ( x, ε ) I B ( y , δ ) entonces:
d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z , y ) < ε + δ < d ( x, y )
123 123
≤ε
luego
x
<δ
δ
ε
d ( x, y ) < d ( x, y )
O sea que:
B ( y , δ ) ∈ N y tal que B ( y , δ ) I B − ( x, ε ) =? lo que significa que y ∉ B − ( x, ε )
C
∴  B − ( x, ε )  ⊂  B − ( x, ε ) 


como queríamos probar.
- 53 -
C
y
Topología General
Capítulo 2
- 54 -
Proposición 2.10 Sea ( X ,τ ) espacio topológico A ⊂ X .Entonces A es cerrado si y
solo sí el complemento es abierto:
A es cerrado ⇔ AC es abierto
Demostración
⇒ Si A es cerrado ⇒ A = A
Sea y ∈ AC ⇒ y ∉ A = A ⇒ ∃N ∈ N y tal que
N I A = φ ⇒ N ⊂ AC
y por definición de entorno:
∃U ∈ τ tal que y ∈U ⊂ N ⊂ AC
Es decir que
∀y ∈ AC ∃U ∈ τ tal que y ∈ U ⊂ AC
por observación 2.1 AC es abierto.
Recíprocamente:
⇐ AC es abierto aplicando otra vez la observación 2.1
∀y ∈ AC ∃U ∈ τ tal que y ∈ U ⊂ AC y como U es abierto es entorno de todos sus
puntos ⇒ U ∈ N y y A I U = φ luego
y ∉ A ⇒ y ∈ ( A)
C
⇒ A⊂ A
Como la otra inclusión se cumple siempre.
∴A = A
Corolario 2.11 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces se cumplen:
1) X , φ son cerrados
2) Sea { Aα }α∈I una familia de cerrados ⇒ I Aα es cerrado.
α∈I
n
3) Sean A1 ,..., An cerrados ⇒ U Ai es cerrado.
i =1
Demostración
Todas se demuestran en forma análoga usando las leyes de Morgan y la proposición
anterior, veamos a modo de ejemplo la 2)
Como cada Aα es cerrado ⇒ AαC es abierto ⇒ U AαC es abierto luego:
α∈I
C


C
 I Aα  = U Aα es abierto
 α∈I 
α∈I
- 54 -
Topología General
Espacios Topológicos
entonces.
IA
α∈I
- 55 -
es cerrado
α
Proposición 2.12 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) , es T1 si y solo sí :
{ x} es cerrado ∀x ∈ X
Demostración
⇒ Sea ( X ,τ ) espacio topológico T1 entonces por definición dado y ∈ X :
lo que significa si ∀x ≠ y
x∉
I
I
N = { y}
N ∈N y
N⇒
N ∈N y
∃N ∈ N y tal que x ∉ N
entonces:
N I { x} = φ ⇒ y ∉ { x}
Como esto es válido para cada y de X se tiene:
{ x} = { x}
e { x} es cerrado ∀x ≠ y pero como el y es arbitrario en realidad se tiene ∀x ∈ X
Recíprocamente:
C
C
⇐ Dado x, y ∈ X con x ≠ y si { x} ,{ y} son cerrados ⇒ { x} ,{ y} son abiertos
entonces como y ≠ x ⇒ y ∈ { x} que por ser abierto es entorno de todos sus
puntos
C
C
⇒ { x} ∈ N y y x ∉ { x}
análogamente
C
C
C
como x ≠ y x ∈ { y} que por ser abierto { y} ∈ N x e y ∉ { y}
Luego por proposición 2.6 ( X ,τ ) es T1 .
C
Lema 2.13 a)Dado ( X ,τ ) espacio topológico y A ⊂ X entonces:
( A)
Demostración
Sea x ∈ ( A )
}
⇒
C
= ( AC )
o
por definición
C
⇒ x∉ A
∃N ∈ N x tal que N I A = φ lo que significa que:
- 55 -
Topología General
Capítulo 2
- 56 -
N ⊂ AC
y por definición de entorno:
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N ⊂ AC
luego:
AC ∈ N x
entonces por definición de punto interior:
x ∈ ( AC )
o
Recíprocamente:
Si x ∈ ( AC )
o
⇒
{
AC ∈ N x y por definición de entorno:
por definición
∃V ∈ τ tal que x ∈V ⊂ AC
entonces por un lado A I V = φ y por otro lado como V es abierto es entorno de
todos sus puntos en particular de x. O sea:
∃V ∈ N x tal que A I V = φ
Luego
x ∉ A ⇒ x ∈ ( A)
Como queríamos probar.
Análogamente se prueba que
Lema 2.13 b)
(A )
o C
C
= ( AC )
Proposición 2.14 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X . Entonces A es el
menor cerrado que contiene a A.
Demostración
Primero que nada A es cerrado ya que por la proposición anterior:
( A)
C
= ( AC )
o
y como ya vimos que el interior de un conjunto es abierto (proposición 2.4) entonces
( A)
C
es abierto ⇒ A es cerrado .
Sea ahora B ⊂ X un conjunto cerrado cualquiera que contenga a A.
Entonces como A ⊂ B {
⇒ A ⊂ B {= B luego:
prop. 2.6
cerrado
A⊂B
es decir que la clausura de A es el menor cerrado que contiene a A.
- 56 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 57 -
Corolario2.15 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, y A ⊂ X entonces:
1) ( Ao ) = Ao
o
2) ( A ) = A
Demostración.
1) Ya demostramos que el interior de un conjunto es abierto y si es abierto que es
igual a su interior.
Ao abierto ⇒ ( Ao ) = Ao
o
2) También ya demostramos que la clausura de un conjunto es cerrado entonces:
A cerrado ⇒
{ ( A) = A
def.
Ejemplo 2.22
o
Sea ( X ,τ ) espacio topológico como X ∈ τ ⇒ es abierto ⇒ ( X ) = X
o
Y como φ ∈ τ ⇒ es abierto (φ ) = φ
Por otro lado como X C =? ⇒ es cerrado ⇒ ? =?
Y φ C = X ⇒ es cerrado ⇒ X = X
La clausura y el interior son invariantes para X e φ
Definición 2.11 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, y A ⊂ X decimos que x ∈ X es
un punto de acumulación de A si y solo sí:
∀N ∈ Nx A I ( N \ { x}) ≠ φ
llamamos conjunto derivado al conjunto de puntos de acumulación.
A′ = { x ∈ X : x es de acumulación de A}
claramente por definición
A′ ⊂ A
Definición 2.12 Si ( X ,τ ) es un espacio topológico, A ⊂ X decimos que x ∈ X es
un punto aislado si no es punto de acumulación.
Definición 2.13 Si ( X ,τ ) es un espacio topológico, A ⊂ X llamamos frontera de A
al conjunto δ A como:
δ A = A I AC
de la definición sacamos que un punto x ∈ δ A si se cumplen:
- 57 -
Topología General
Capítulo 2
- 58 -
 x ∈ A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ
⇒
C
C
 x ∈ A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ
Es decir que un punto pertenece a la frontera si para todo entorno del punto este
corta tanto al conjunto como al complemento.
Ejemplo 2.23
Sea ( X ,τ ) con τ = {φ } U { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A}
¡ si 0 ∈ A
A=
 A si 0 ∉ A
Sea 0 ∈ A {0} ∈ τ ⇒ {0} ∈ N 0 pero {0} \ {0} =? 0 no es punto de acumulación.
Si x ∈ ¡ y 0 ≠ x ∀N ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N pero si U es abierto
implica si no es vacío que contiene al cero ⇒ 0 ∈ N ⇒ 0 ∈ N \ { x} ∀N ∈ N x
como 0 ∈ A ⇒ A I { N \ { x}} ≠ φ
x es de acumulación.
Si 0 ∈ A veamos cual es la frontera:
δA= {
A I AC = ¡ I AC = AC
y si 0 ∉ A
=¡
δ A = A I AC = A I ¡ = A
Definición 2.14 Dado ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que Y ⊂ X es denso en X
si:
Y=X
Definición 2.15 Dado ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que X es separable si
tiene un subconjunto Y denso numerable
Y ⊂ X tal que Y = X con Y es numerable.
Proposición 2.16 Dado ( X ,τ ) espacio topológico, Y ⊂ X es denso si y solo sí:
Para cada U ∈ τ , U ≠ φ se cumple U I Y ≠ φ
Demostración
⇒ Si Y ⊂ X e Y denso, sea U ∈ τ , U ≠ φ
Como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea:
- 58 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 59 -
∀x ∈ U ⇒ U ∈ N x y como Y = X ⇒ x ∈ Y lo que significa por definición:
∀N ∈ N x N I Y ≠ φ
y en particular
U ∈ Nx U I Y ≠ φ
Recíprocamente:
⇐ Si x ∈ X y N ∈ N x ⇒ por definición ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N
y por hipótesis como U ∈ τ se tiene
U IY ≠ φ ⇒ N IY ≠ φ
por definición
Si N ∈ N x es N I Y ≠ φ ⇒ x ∈ Y
luego
x ∈ Y Y = X ⇒ Y es denso en X
Ejemplo 2.24
El conjunto de los racionales ¤ es denso en ¡ ⇒ ¡ es separable
Ejemplo 2.25
Sea ( X ,τ ) con X no numerable yτ la topología discreta entonces X es no separable
ya que si consideramos que existe un subconjunto denso A ⊂ X entonces:
∀U ∈ τ U I A ≠ φ
y en particular
como ∀x ∈ X { x} ∈τ ⇒ { x} I A ≠ φ ⇒ x ∈ A
X ⊂ A⇒ X = A
es decir que el único conjunto denso es el propio X que por definición es no
numerable luego X es no separable.
Ejemplo 2.26
En la topología τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } se tiene que
{0} es denso ⇒ ( ¡,τ ) es separable
Ejemplo 2.27
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A}
Sean I = imparares P = pares como:
I = ¢ y P = ¢ ⇒ que es denso
tanto I como P son densos por lo que ¢ es separable.
- 59 -
Topología General
Capítulo 2
- 60 -
Ejemplo 2.28
Sea ( X ,τ ) con X infinito y τ la topología de complemento finito.
Cualquier subconjunto infinito de X cumple:
Y ⊂ X infinito Y = X ⇒ X denso
ya que si consideramos que:
U ∈ τ tal que U I Y = φ ⇒ Y ⊂ U C ⇒ U C es infinito, pero ⇒ U ∉ τ
luego
∀U ∈ τ U I Y ≠ φ
por la proposición 2.16 Y es denso en X.
Ejemplo 2.29
Definición 2.16 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que B ⊂ τ es una base
de τ si todo abierto no vacío es unión de miembros de B.
Dicha definición e equivalente a decir que B es base de la topología si se cumplen:
1) ∀B ∈B ⇒ B ∈ τ
2) Dado x ∈ U ∈ τ ⇒ ∃Bx ∈B tal que x ∈ Bx ⊂ U
La primer condición es obvia y la segunda si se cumple tenemos:
Si U ∈ τ ⇒ U = U Bx
x∈U
es decir es unión de elementos de B. Y recíprocamente todo abierto es unión de
elementos de B es decir:
U=UB ⇒
B∈B
Si x ∈ U ⇒ x ∈ U B ⇒ ∃B ∈B tal que x ∈ B además este B ⊂ U ⇒ 2)
B∈B
Ejemplo 2.32
En un espacio métrico la bolas abiertas es una base porque ya vimos que todo
abierto es igual a la unión de bolas abiertas.
Ejemplo 2.33
Sea ( X ,τ ) con la topología discreta.
B = {{ x} : x ∈ X }
es una base
Ejemplo 2.34
( ¡,τ ) con τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ }
- 60 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 61 -
B = {{0, x} : x ∈ ¡}
es una base ya que si A es abierto
A = U {0, x}
x∈A
Proposición 2.17 Sea X un conjunto no vacío B ⊂ P ( X ) existe una topología τ en
X para la cual B es una base si y solo sí se cumplen:
1) U A = X
A∈B
2) Si A, B ∈B, x ∈ A I B ⇒ ∃C x ∈B tal que
x ∈ Cx ⊂ A I B
Demostración
⇒ Si B es una base de τ , entonces como X es abierto implica de que es unión de
elementos de B
X=UA
A∈B
Para probar la segunda propiedad sean A, B ∈B con x ∈ A I B como A y B son
abiertos también lo es A I B entonces:
A I B = U Bα si x ∈ A I B ⇒ ∃α 0 tal que
Bα ∈B
x ∈ Bα0 luego x ∈ Bα0 ⊂ A I B o sea C x = Bα0 ∈B
⇐ recíprocamente: Si B verifica 1) y 2). Construiremos una topología de la que B
es base. Sea entonces τ la familia de conjuntos que son unión de miembros de B.
τ = {U Bα : Bα ∈B} U {φ }
probaremos primero que τ es una topología.
1) φ ∈ τ y X =
{ U B ⇒ X ,φ ∈ τ
por hip. B∈B
2) Si Aα ∈ τ la unión de conjuntos de τ también está en τ por ser unión de uniones
de elementos de B.
3) Sean A, B ∈ τ ⇒ A = U Aα B = U Bβ entonces:
Aα ∈B
Bβ ∈B
A I B = U Aα I U Bβ = U ( Aα I Bβ )
Si x ∈ A I B ⇒ x ∈ Aα x I Bβ x para algún α x , β x y existe C x ∈B tal que:
x ∈ C x ⊂ Aα x I Bβ x
consideremos
U
x∈ AI B
Cx ∈τ
- 61 -
Topología General
AI B ⊂
U
x∈ AI B
Capítulo 2
- 62 -
C x ⊂ U ( Aα x I Bβ x ) ⊂ A I B
∴AI B =
U
x∈ AI B
Cx ⇒ A I B ∈τ
entonces τ es una topología de la que B es base por construcción
Corolario 2.18 Sea B un recubrimiento de un conjunto X cerrado por
intersecciones finitas entonces existe una única topología τ sobre X respecto de la
cual B es una base.
Demostración Por ser un recubrimiento se cumple la condición 1) de la proposición
anterior. Y por ser cerrado por intersecciones finitas se cumple la condición 2).
Luego solo es una formulación diferente (más débil) de la proposición anterior.
Dicha topología es única por la condición 2 de ser base.
Definición 2.17 Si ( X ,τ ) es un espacio topológico, S ⊂ τ decimos que es una
subbase de τ si:
B = { A1 I A2 I ... I An : Ai ∈ S , n ∈ ¥} U {φ }
es una base.
Proposición 2.19 Si X es un conjunto no vacío, S ⊂ P ( X ) ,S es una subbase de una
topología si y solo sí:
U A= X
A∈S
Se dice que τ es la topología generada por S
Demostración
⇒ Por ser S subbase ⇒ B = { A1 I ... I An : Ai ∈ S , ∀i = 1,..., n} entonces si
B ∈B ⇒ B = A1 I ... I An ⇒ B ⊂ Ai por lo menos para algún i
X=
U B⊂ UA
B∈B
⇒ X =
A∈S
UA
A∈S
⇐ Hay que probar que B = { A1 I A2 I ... I An : Ai ∈ S } es una base de τ o sea
probaremos las propiedades 1 y 2 de la proposición anterior.
1) Ai ∈B ya que Ai = Ai I Ai ∀i ⇒ S ⊂ B además:
por hipótesis X = U A ⊂
A∈S
2) Si A y B ∈B ⇒
- 62 -
UA
A∈B
Topología General
Espacios Topológicos
- 63 -
A = A1 I A2 I ... I An con Ai ∈ S ∀i = 1,..., n
B = B1 I B2 I ... I Bm con Bi ∈ S ∀i = 1,..., m
A I B = A1 I .... I An I B1 I ... I Bm ∈B por definición
entonces B es una base y S una subbase
Definición 2.18 Si τ y σ son dos topologías en X se dice que τ es más fina que σ
si
σ ⊂τ
Proposición 2.20 Si X es un conjunto no vacío, S ⊂ P ( X ) tal que:
U A= X
A∈S
la topología τ generada por S en X es la menos fina en X que contiene a S.
Demostración
Supongamos que σ es una topología en X y S ⊂ σ entonces:
Si A1 , A2 ,..., An ∈ S ⇒ A1 I A2 I ... I An ∈ σ La intersección finita de abiertos es
también un abierto. Como además la unión de elementos de σ está en σ entonces
por definición de τ
τ ⊂σ
Definición 2.19 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico decimos que verifica el segundo
axioma de numerabilidad si tiene una base numerable.
Para abreviar decimos que es N2
Ejemplo 2.35 Sea X no numerable con la topología de complemento finito veremos
que no es N2
Supongamos que { Bn }n∈¥ es una base entonces:
C


C
 I Bn  = U Bn
 n∈¥ 
n∈¥
C
pero como los Bn son abiertos ⇒ Bn es finito y como la unión numerable de
numerables (finitos) es numerable
C


⇒ U B es numerable ⇒  I Bn  ≠ X
 n∈¥ 
n∈¥
C
n
- 63 -
Topología General
Capítulo 2
- 64 -
ya que X es no numerable ⇒ I Bn ≠ φ entonces ∃x ∈ I Bn ⇒ x ∈ Bn ∀n ∈ ¥ por
n∈¥
n∈¥
otro lado el conjunto { x} es abierto (por tener complemento finito que es el { x} )
pero este abierto no se puede escribir como uniones de los elementos de la base ya
que si fuera así.
 x ∉ { x}C



C
{ x} = U Bnk pero tenemos  x ∈ B ∀n ∈ ¥ ⇒ x ∈
U Bnk  ⇒
nk
k
{nk }⊂ ¥

{nk }⊂ ¥

C
Proposición 2.21 Si ( X ,τ ) es un espacio topológico N2 entonces es separable.
Demostración
Sea { Bn }n∈¥ una base numerable
Construiremos un conjunto denso numerable para ello tomamos un elemento de
cada abierto de la base, y ese conjunto que es numerable resultará que es denso.
Sea { xn } con xn ∈ Bn ∀n ∈ ¥ Tomemos un abierto U no vacío por ser { Bn }n∈¥ una
base se puede escribir:
U = U Bnk
{nk }⊂ ¥
y como ∀nk ∈ ¥ se tiene que xnk ∈ Bnk ⇒ xnk ∈ U I { xn }n∈¥ entonces
U I {xn }n∈¥ ≠ φ ⇒ { xn }n∈¥ es denso
y esto significa que X es separable.
No vale el recíproco en general, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.36
Sea X no numerable con la topología de complemento finito, ya vimos que es
separable (ejemplo 2.28 ) y que no es N2 (ejemplo 2.35)
Pero en espacios métricos sí vale el recíproco como veremos en la siguiente
proposición.
Proposición 2.22 Si ( E , d ) es un espacio métrico separable, entonces es N2
Demostración
Por hipótesis existe un subconjunto { xn }n∈¥ denso en E tomemos:
B = {B ( xn , 1 m ) : n, m ∈ ¥}
- 64 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 65 -
es claro que B es numerable. Probaremos de que es una base.
Sea entonces A ∈ E un abierto no vacío. Por ser abierto en un espacio métrico
implica que si x ∈ A ⇒ ∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ A ahora consideremos mx tal que:
1 ε
1
<
y xnk tal que d ( x, xnk ) <
mx 2
mx
que es posible por ser { xn } denso ⇒ { xn } I B ( x, 1 mx ) ≠ φ entonces x ∈ B ( xnk , 1 mx )
además si z ∈ B ( xnk , 1 mx ) tenemos:
2
<ε
d ( x, z ) ≤ d ( x, xnk ) + d ( xnk , z ) <
1
424
3 1
424
3 mx
<
1
<
mx
1
B ( x, ε )
mx
⇒ z ∈ B ( x, ε ) ⇒ B ( xnk , 1 mx ) ⊂ B ( x, ε ) ⊂ A
B ( xnk , 1 mx )
xnk
z
entonces para cada x ∈ A ∃ una bola ∈B
B ( xnk , 1 mx ) tal que :
x
A
x ∈ B ( xnk , 1 mx ) ⊂ A o sea:
A = U B ( xnk , 1 mx )
x∈A
Lo que implica de que B es base y por lo tanto ( E , d ) es N2.
Definición 2.20 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico un cubrimiento por abiertos de X
es una familia:
{ Aα }α∈I ⊂ τ tal que U Aα = X
α∈
Definición 2.21 Dado ( X ,τ ) espacio topológico y en él un cubrimiento { Aα }α∈I por
abiertos de X , un subcubrimiento es una subfamilia de la anterior { Aβ } ⊂ { Aα } que
también es cubrimiento por abiertos de X.
Ejemplo 2.37
Si X = ( 0,1)
{
}
{
}
 1 ,1 : n ∈ ¥ es un cubrimiento de X


n 
 1 ,1 : n ∈ ¥ es un subcubrimiento del anterior.


 2n 
Definición 2.22 Un espacio topológico ( X ,τ ) decimos que es de Lindelöff si todo
cubrimiento por abiertos de X admite un subcubrimiento numerable.
- 65 -
Topología General
Capítulo 2
- 66 -
Ejemplo 2.38
Sea X no numerable con la topología de complemento finito entonces X que
sabemos que no es N2 y si es de Lindelöff.
Demostración
Supongamos que tememos un cubrimiento { Aα } por abiertos de X.
Sea
Aα0 ∈ { Aα } , AαC0 = { x1 ,..., xn } que es finito por ser Aα0 abierto
ahora para cada i = 1,..., n sea Aαi tal que xi ∈ Aαi existen por ser
UA
α
α
= X y por el
axioma de elección elegimos uno cuando hay más de uno.
Entonces { Aα0 , Aα1 ,..., Aα n } es un subcubrimiento finito ( luego numerable) que cubre
a todo X
n
X = U Aαi ⇒ que es de Lindelöff
i=0
Ejemplo 2.39
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con X numerable entonces cualquiera se τ en X es
de Lindelöff.
Sea {Uα }α∈I un cubrimiento por abiertos cualquiera:
X = U Uα
α∈I
para cada x ∈ X se tiene que :
x ∈ U Uα ⇒ ∃α x ∈ I tal que x ∈U α x siempre existe al meno uno, de existir más
α ∈I
de uno elegimos uno cualquiera. De esta forma {Uα x }x∈ X es una subfamilia que
además cubre a X ya que:
Si x ∈ X ⇒ x ∈ U α x ⇒ X ⊂
UU
x∈ X
αx
y por otro lado los U α x ⊂ X ⇒
luego:
X=
UU
x∈ X
UU
x∈X
αx
⊂X
αx
y como X es numerable, entonces tiene un subcubrimiento numerable luego es de
Lindelöff.
Proposición 2.23 Sea ( X ,τ ) es un espacio topológico N2 entonces es de Lindelöff.
Demostración
- 66 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 67 -
Sea { Aα }α∈I un cubrimientos por abierto de X como ( X ,τ ) es N2 ⇒ existe una base
numerable { Bn }n∈¥ de X Primero elegimos los abiertos de la base que están
contenidos en algún abierto del cubrimiento. Y luego consideramos los abiertos
correspondientes del cubrimiento, este será el subcubrimiento que buscamos.
Es decir que definimos el conjunto I n = {α ∈ I : Bn ⊂ Aα } y para cada I n ≠ φ
elegimos un elemento que denominamos α n ∈ I n
Sea I ′ = {α n : n ≥ 1} claramente I’ es numerable además I ′ ⊂ I por construcción
entonces si:
X = U Aαn
α n ∈I ′
sería { Aαn }α ∈I ′ un subcubrimiento de { Aα }α∈I para ello tomemos un x ∈ X = U Aα
n
⇒ ∃α 0 ∈ I tal que x ∈ Aα0 pero como { Bn }n∈¥ es una base ⇒ Aα 0 =
decir:
x ∈ Aα0 =
U
{nk }⊂ ¥
U
{nk }⊂ ¥
α∈I
Bnk es
Bnk ⇒ ∃n0 ∈ {nk } tal que x ∈ Bn0 ⊂ Aα0
lo que significa que I n0 ≠ φ ⇒ ∃α n0 ∈ I n0 ⇒ Bn0 ⊂ Aαn ⇒ x ∈ Aαn con α n0 ∈ I ′
∴X =
UA
α n ∈I ′
0
0
αn
lo que implica que X es de Lindelöff.
Observación El recíproco no es cierto, ver ejemplo 2.38 pero en espacios métricos
si se cumple el recíproco, como veremos en el siguiente enunciado
Proposición 2.24 Dado ( E , d ) espacio métrico las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1) E tiene una base numerable ( es N2 )
L
2) E es un espacio de Lindelöff.
3) E es separable.
N2
Demostración
S
1) ⇒ 2) se cumple para todo espacio
topológico como ya vimos en la proposición
anterior
2) ⇒ 3) Para cada m ∈ ¥ consideremos las bolas abiertas de radio
todo punto x ∈ E , como
E = U B ( x, m1 )
x∈E
- 67 -
1
m
y centro en
Topología General
Capítulo 2
- 68 -
y el espacio es de Lindelöff, entonces existe un subcubrimiento numerable de E es
decir que existen una cantidad numerable de estas bolas B ( x, 1 m ) , como todas son
de igual radio lo que son numerables son los centros de dichas bolas que llamaremos
para cada m; xnm con n ∈ ¥ ,entonces:
E = U B ( xnm , m1 )
n∈¥
Sea el conjunto A = { x : m, n ∈ ¥} claramente es numerable y demostraremos
m
n
además que es denso en E y por lo tanto separable.
Dado ε > 0 existe m ∈ ¥ tal que m1 < ε para este m
E = U B ( xnm , m1 )
entonces si x ∈ E ⇒ x ∈ U B ( x ,
d ( x, x
m
n0
)<
n∈¥
1
m
m 1
n m
n∈¥
) ⇒ ∃n
0
∈ ¥ tal que x ∈ B ( xnm0 , m1 ) o sea:
< ε ⇒ x ∈ B ( x, ε ) y entonces
m
n0
Para cada ε > 0 y x ∈ E existe un xnm ∈ A tal que xnm ∈ B ( x, ε )
es decir
∀ε > 0, x ∈ E A I B ( x, ε ) ≠ φ
y A es entonces denso en E.
3) ⇒ 1) ya lo vimos en la proposición 2.22
Observación En general las implicancias que se cumplen son las del siguiente
diagrama
Y hemos visto ejemplos donde las flecha no se
L
cumplen en sentido contrario al representado en
el esquema. Así L no implica N2 ejemplo 2.38 y S
no implica N2 ejemplo 2.36. Se trata del mismo
N2
espacio topológico que siendo S y L no es N2.
S
Para ver que L no implica S o S no implica L
veremos los dos ejemplo siguientes:
Ejemplo 2.40
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico donde X es no numerable y τ es la topología donde
los abiertos son el vacío y los conjuntos de P ( X ) con complemento numerable.
Para cualquier cubrimiento por abiertos se tiene.
X = U Uα con Uα ∈ τ ∀ α ∈ I
α ∈I
tomemos uno cualquiera de estos abiertos U α0 entonces como su complemento por
- 68 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 69 -
definición de la topología tiene una cantidad de elementos numerable podemos
llamarles a estos xn con n ∈ ¥ , y se tiene:
y para cada xi con i ∈ ¥
U αC0 = { x1 , x2 ,..., xn ,..}
xi ∈ X ⇒ xi ∈ U U α ⇒ ∃α i ∈ I tal que xi ∈ U αi
α∈I
n
y entonces
UU
i =0
αi
es un subcubrimiento de X claramente numerable por lo que X es
de Lindelöff.
Pero no es separable ya que si A es un conjunto denso y numerable en X se tiene por
ser denso:
∀U ∈ τ U I A ≠ φ
y en particular como A es numerable AC ∈ τ y se tiene:
AC I A = φ
luego A no es denso.
Ejemplo 2.41
Veremos un caso en que sí es separable pero no es de Lindelöff.
Sea X = ¡ 2 con la topología de los rectángulos semiabiertos es decir:
τ = {[ a, b ) × [c, d ) ⊂ ¡ 2 : a, b, c, d ∈ ¡}
Sea A = {( p, q ) ∈ ¡ 2 : p, q ∈ ¤} es claro de
que es un conjunto numerable y denso en X.
Sean los abiertos que anotamos U ( a ,− a ) y
U (b,− b) definidos:
U ( a ,− a ) = {[ a, b ) × [ − a, d ) ⊂ ¡ 2 : a, b, d ∈ ¡}
U ( b,− b ) = {[ a, b ) × [c, −b ) ⊂ ¡ 2 : a, b, c ∈ ¡} es
decir los rectángulos con vértice (opuestos)
en la recta y = − x como en la figura.
Claramente
X = U U ( a , − a ) U U U (b , − b )
a∈¡
b∈¡
Como el conjunto de puntos de la recta es discreto y no numerable no existe
entonces un subcubrimiento del anterior que sea numerable. Luego no es de
Lindelöff.
- 69 -
Topología General
Capítulo 2
- 70 -
Definición 2.23 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , una familia Bx de
entornos de x es una base local si dado N ∈ N x existe V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ N
Ejemplo 2.42
Bx = {U ∈ N x : U es abierto en X }
es una base local de x . ya que si:
U ∈ N x ⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ U
y V ∈Bx por definición.
Ejemplo 2.43
Sea ( E , d ) espacio métrico x ∈ E
Bx = { B ( x, 1 n ) : n ∈ ¥}
o
Bx′ = { B ( x, an ) : n ∈ ¥ y an → 0}
son bases de x
Ejemplo 2.44
Si B = {Bα }α∈I es una base de la topología τ en X y si x ∈ X entonces:
Bx = { Bα ∈B : x ∈ Bα }
es una base local.
Ya que dado N ∈ N x ⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ N por definición de entorno pero
como V ∈ τ tenemos:
V = U Bα y si x ∈V ⇒
α∈I
∃α x ∈ I tal que x ∈ Bα x ⊂ V ⊂ N con Bα x ∈Bx es decir que dado un entorno N de x
existe un elemento Bα x ∈Bx tal que Bα x ⊂ N definición de base local.
Ejemplo 2.45
Sea τ la topología discreta entonces
Bx = { x}
es una base local ya que { x} es abierto en esta topología y obviamente esta
contenido en cualquier entorno de x
Ejemplo 2.46
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ }
Entonces:
- 70 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 71 -
B2 n = {{2n, 2n − 1}} = B2 n−1
es una base local.
Definición 2.24 Dado un ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es N1 o que
verifica el primer axioma de numerabilidad si todo punto de X tiene una base de
entornos (base local ) numerable.
Proposición 2.25 Un ( X ,τ ) espacio topológico que es N2 es entonces N1
Demostración
Si B es una base numerable de la topología τ entonces para cada x ∈ X sea:
Bx = {B ∈B : x ∈ B}
ya vimos que es una base local y como
Bx ⊂ B numerable ⇒ Bx es numerable
Ejemplo 2.47
Sea X no numerable y τ la topología discreta entonces:
Bx = {{ x}}
en ejemplo 2.45 vimos que es una base local y por ser un solo elemento es
numerable. Luego es N1 pero no es N2 ya que
Sea B una base de la topología como { x} ∈ τ entonces { x} se puede escribir como
unión de elementos de B ⇒ { x} ∈B ⇒ B no es numerable.
Este es un contraejemplo de que no vale la proposición recíproca de la 2.25
Ejemplo 2.48
Todo espacio métrico es N1 ya que:
Bx = {B ( x, 1n ) : n ∈ ¥}
es una base local numerable.
Ejemplo 2.49
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } entonces:
B2 n = {{2n, 2n − 1}}
es una base local ( con un solo elemento ) numerable luego es N1
Ejemplo 2.50
Sea ( X ,τ ) con X numerable y τ de complemento finito ya vimos que:
PF ( X ) = { A ⊂ X : A finito}
- 71 -
Topología General
Capítulo 2
- 72 -
es numerable y como podemos definir
ϕ : PF ( X ) → τ \ {φ }
de la siguiente forma
ϕ ( A ) = AC
como ϕ es biyectiva y PF ( X ) numerable ⇒ τ \ {φ } es numerable o sea τ es
numerable, luego el propio τ es una base numerable y por lo tanto N2.
Ejemplo 2.51
Sea X no numerable con la topología de complementos finitos ya vimos en el
ejemplo 2.35 que no es N2 ,veremos ahora que tampoco es N1
Supongamos que:
Bx = {U n ∈ τ : x ∈U n , n ∈ ¥}
entonces
C


C
 IUn  = UUn
 n∈¥ 
n∈¥
C
que como U n ∈ τ ⇒ U n es finito ⇒ Unión numerable de numerables es numerable
entonces:
C


C
x}
 I U n  ≠ {{
1

n∈¥
no numerable
424
3
numerable
o sea
IU
n∈¥
n
≠ { x} ⇒ ∃y ≠ x tal que y ∈ I U n
n∈¥
es entonces { y} ⊂ U n ∀n ∈ ¥ ⇒ U ⊂ { y} lo que significa que U n ⊄ { y} pero
C
C
n
C
{ y}C ∈ τ por se abierto es entorno de todos sus puntos en particular como
C
C
C
x ≠ y ⇒ x ∈ { y} ⇒ { y} ∈ N x y U n ⊄ { y} ∀n ∈ ¥ ⇒ U n no es base local de x en
X.
Ejemplo 2.52
Sea l1 = {( xn )n∈¥ , reales o complejas tal que
∞
∑x
n
x = ∑ xn
n =1
define una distancia
d ( x, y ) = x − y
entonces ( l , d ) es un espacio métrico.
1
Definimos el siguiente conjunto en l1
- 72 -
< ∞} con la norma
Topología General
Espacios Topológicos
- 73 -
D = {( yn )n∈¥ : ∃n0 tal que yn = 0∀n ≥ n0 }
Probaremos que D es denso para ello se tiene que cumplir
Que si ε > 0 y x ∈ l1 ⇒ ∃y ∈ D tal que d ( x, y ) < ε y esto se cumple porque
Si x ∈ l1 ⇒ ∀ε > 0 ∃n0 tal que
∞
∑x
i
<ε
n0
2
si la serie converge se puede acotar la
cola de la serie (porque esta tiende a cero) entonces:
 x si n < n0
Definimos y = { yn }n∈¥ tal que yn =  x
⇒ y ∈ D y además
 0 si n ≥ n0
∞
d ( x, y ) = ∑ xi − yi =
i =1
n0
∞
∞
xi − yi + ∑ xi − yi = ∑ xi < ε
∑
{ i = n +1
2
i =1
0
=0
1
424
3 i = n0 +1
=0
lo que significa que cualquier entorno de x tiene un elemento de D o sea que D es
denso
fabriquemos ahora dentro de D un denso numerable.
Sea E = {( zn )n∈¥ ⊂ D : zn ∈ ¤ ∀n ∈ ¥}
Llamemos Em = {( zn ) n∈¥ ⊂ E : zn = 0 ∀n ≥ m} entonces E puede verse como
E=
UE
m∈¥
m
que por ser unión numerable de numerables es numerable.
Falta ver que es denso.
Dado un x ∈ l1 ya vimos que ∃y ∈ D tal que d ( x, y ) < ε
2
Ahora sea z ∈ En0 +1 tal que zi − yi < ε
2n0
∀i ≤ n0 entonces:
∞
n0
n0
i =1
i =1
1
d ( y, z ) = ∑ zi − yi = ∑ zi − yi < ∑
ε
=ε2
2n0
por otro lado
d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) <
luego
ε ε
+ =ε
2 2
dado x ∈ l1 y ε > 0 ∃z ∈ E tal que d ( x, z ) < ε
⇒ E = l1 E numerable ⇒ l1 separable.
Ejemplo 2.53
Sea l∞ = {( xn )n∈¥ : reales o complejas, acotadas } con la norma del supremo
x = sup n∈¥ { xn }
definimos la distancia
- 73 -
Topología General
Capítulo 2
- 74 -
d ( x, y ) = sup n∈¥ { xn − yn }
Consideremos A = {( xn )n∈¥ ⊂ l∞ : xn = 0 o 1 ∀n ∈ ¥}
Sean x, y ∈ A con x ≠ y ⇒ d ( x, y ) = 1 y solo es cero en el caso que sean iguales
entonces A es discreto luego el único conjunto denso es el propio A que no es
numerable por ser de igual cardinal que P ( ¥ ) o ¡ ya que
Sea ϕ : A → P ( ¥ ) definida tal que a ϕ ( A ) le asociamos el conjunto de índices en
los que la sucesión correspondiente vale 1 dicho conjunto pertenece a las partes de
N Claramente dicha función es biyectiva por lo que los conjuntos tienen el mismo
cardinal.
Proposición 2.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, x ∈ X tiene una base local
numerable entonces tiene una base local numerable decreciente.
Demostración
Sea {U n }n∈¥ una base local numerable de x
Tomamos
V1 = U1
V2 = U 2 I V1
V3 = U3 I V2
M
Vn = U n I Vn−1
Por construcción Vn ⊂ Vn−1
Además
Vi = U i I Vi ⇒ Vi es entorno de x ∀i
{
{
entorno
entorno
⇒ Vn ∈ N x ∀n ∈ ¥ y si N ∈ N x ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que U n0 ⊂ N y entonces como
Vn0 ⊂ N ⇒ ∀N ∈ N x ∃Vn tal que Vn ⊂ N para algun n ∈ ¥
O sea que {Vn }n∈¥ es una base local.
- 74 -
Capítulo 3
Convergencia y Continuidad
Definición 3.1 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión es una función de
los naturales a X.
x:¥ → X
xn = x ( n )
Notación cuando nos referimos a la sucesión anotamos { xn } o ( xn ) y para hacer
referencia a un termino de la sucesión xn sin corchetes ni paréntesis.
Definición 3.2 Una sucesión { xn } en un espacio topológico ( X ,τ ) converge a
x ∈ X si dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0
xn ∈ N
Ejemplo 3.1 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con τ la topología indiscreta es decir
τ = {φ , X } ⇒ toda sucesión en este espacio converge a cualquier punto.
Ejemplo 3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con τ la topología discreta, entonces
en este espacio convergen las sucesiones que son constantes a partir de un n0
Definición 3.3 Dado en un espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión { xn } ⊂ X
llamamos a { xnk } subsucesión de la dada si { xnk } ⊂ { xn } y la aplicación de ¥ → ¥
que k → nk tal que lim k →+∞ nk = +∞
Proposición 3.1 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) y una sucesión { xn } ⊂ X
entonces xn → x ⇔ toda subsucesión converge a x
Topología General
Capítulo 3
- 76 -
Demostración
⇒ Es inmediata aplicando la definición
⇐ Si xnk → x ⇒ Dado N ∈ N x por definición ∃n0 ( k ) tal que ∀nk ≥ n0 ( k )
cumple que
se
xnk ∈ N
Como lim k →+∞ nk = +∞ ⇒ dado un cierto n0 ( k ) > 0 ∃k0 tal que ∀k ≥ k0 se cumple
nk > n0 ( k )
Dado N ∈ N x ∃n0 = n0 ( k0 ) tal que ∀n ≥ n0
Proposición 3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X , x ∈ X entonces si
existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que xn converge a x ⇒ x ∈ A
Demostración Por definición de convergencia xn → x
Dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0
xn ∈ N ⇒ N I { xn } ≠ φ
y como
{ xn } ⊂ A
entonces
N I A ≠ φ ⇒ x∈ A
Proposición 3.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X , x ∈ X con base local
numerable en x, entonces si x ∈ A ⇒ existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que converge
a x.
Demostración Como x tiene una base local numerable entonces existe una base
local decreciente {Vn } de x .
Luego si x ∈ A ⇒ ∀n ∈ ¥ Vn I A ≠ φ por definición de clausura.
Entonces elegimos xn ∈ Vn ⊂ A ⇒ { xn } ⊂ A y además dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal
que Vn0 ⊂ N por ser {Vn } base local decreciente
Además
∴ { xn } converge a x
∀n ≥ n0 xn ∈ Vn ⊂ Vn0 ⊂ N
Ejemplo 3.3 Sea R con la topología de complementos numerables y sea
- 76 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 77 -
A = ¡ \ {0}
tenemos que A = ¡ ya que sea U ∈ τ con 0 ∈ U ⇒ U ∈ N 0 por ser abierto U C es
numerable esto implica que U no puede ser solo el cero es decir U ≠ {0} luego
U I A≠φ
lo que significa que A es denso
∴A = ¡
Consideremos una sucesión { xn } tal que xn ≠ 0 ∀n ∈ ¥ entonces como
({ x } )
C C
n
= { xn } es numerable ⇒ { xn } ∈ N 0
C
Ya que { xn } ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos
Luego
C
C
{ xn } ∈ N 0 y { xn } I { xn } = φ
lo que significa que la sucesión no tiende a cero esto sucede por no ser este espacio
topológico N1 y no poder aplicar la proposición anterior.
C
Definición 3.4 Un conjunto dirigido es un par ( D, ≤ ) donde D es un conjunto no
vacío y una relación de orden ≤ que verifica:
i) d ≤ d ∀d ∈ D
d ≤ e
ii)
 ⇒ d ≤ l ∀d , e, l ∈ D
e≤l 
iii) Dados d 0 , d1 ∈ D entonces existe d ∈ D tal que
d ≥ d0
y
d ≥ d1
Ejemplo 3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , ( N x , ≤ ) con la relación de
orden definida como sigue:
Definimos U ≥ V ⇔ U ⊂ V entonces:
( N x , ≤ ) es un conjunto dirigido, es claro que se cumplen 1) y 2) probaremos la 3)
iii) Dados U ,V ∈ N x ⇒ U I V ∈ N x y
U I V ≥ U ,V ya que U I V ⊂ U ,V
Ejemplo 3.5 Sea D = {a, b, c} con la relación de orden
x ≤ x ∀x ∈ D y además :
a≤b
c≤b
Se cumplen las tres propiedades
- 77 -
b
a
c
Topología General
Capítulo 3
- 78 -
Ejemplo 3.6 Sean ( D, ≤ D ) y ( E , ≤ E ) son dos conjuntos dirigidos entonces
definimos:
( D × E , ≤ ) con el orden lexicográfico definido por:
d ×D d ′

( d , c ) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔ o
d = d ′ y c× c′

E
comparar con el orden alfabético de las palabras, se cumple que es un conjunto
dirigido i) y ii) son inmediatas.
iii) Dados ( d , e ) , ( d ′, e′ )
sea d 0 ≥ D d , d 0 ≥ E d ′ y e0 ≥ E e , e0 ≥ E e′ que existen por ser cada conjunto
dirigido y:
( d 0 , e0 ) ≥ ( d , e ) ( d 0 , e0 ) ≥ ( d ′, e′ )
Otro orden es tomar componente a componente es decir:
d ≤ d ′

( d , c ) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔  y
 c ≤ c′

Definición 3.5 sean ( x,τ ) un espacio topológico y ( D, ≤ ) un conjunto dirigido. Una
red es una función T : D → X que anotamos {Td } a toda la red y Td a un elemento
de la red.
Por ejemplo las sucesiones son redes.
Definición 3.6 Sea {Td } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) y sea x ∈ X . Se
dice que {Td } converge a x si dado N ∈ N x existe d 0 ∈ D tal que:
Td ∈ N ∀d ≥ d 0
Ejemplo 3.7 Sea ( X ,τ ) con τ discreta Td converge a x si se cumple que existe
d 0 ∈ D tal que:
Td ∈ {x} ∀d ≥ d 0
es decir que Td = x ∀d ≥ d 0
Ejemplo 3.8 En ¢ con la topología τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A} U {φ } Si Td es
una red que converge a 2n si y solo sí converge a 2n-1. Ya que :
N 2 n = N 2 n −1
- 78 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 79 -
Ejemplo 3.9 Sea D = {an : n ∈ ¥} U {bn : n ∈ ¥} donde los elementos an y bn son
distintos entre sí. Y consideramos la relación ≤ dada por:
an ≤ am si n ≤ m
bn ≤ am si n + 1 ≤ m bn ≤ bn
Podemos representar gráficamente:
a1
a2
a3
a4
b1
b2
b3
Consideremos la red T : D → ¡ dada por
x ( an ) = ( 1n ,0 ) x ( bn ) = ( 1n ,1 − 1n )
2
( 0,1)
x ( b4 )
x ( b3 )
x ( b2 )
x ( b1 )
x ( a4 ) x ( a3 ) x ( a2 )
x ( a1 )
Vemos que Td tiende a ( 0,0 ) pero no tiende a otro punto por ejemplo ( 0,1)
Proposición 3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X , x ∈ X entonces un
punto x está en A ⇔ existe una red {Td } ⊂ A que converge a x.
Demostración
⇐ Si existe una red {Td } ⊂ A convergente a x ⇒ por definición que:
Dado N ∈ N x , existe d 0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d 0 luego
Td0 ∈ N I A y entonces N I A ≠ φ ⇒ x ∈ A
⇒ Sea x ∈ A tomemos el conjunto dirigido ( N x , ≤ ) como ya vimos definido por :
U ≤ V si U ⊃ V
Entonces si U ∈ N x , U I A ≠ φ ya que x ∈ A y U I A ∈ N x
Definimos una red {TU } de la siguiente forma TU = U I A es decir T : N x → A
- 79 -
Topología General
Capítulo 3
- 80 -
Tenemos así una red {TU } ⊂ A y además TU converge a x ya que si N ∈ N x
entonces ∃U 0 = N tal que si U ≥ U 0 se tiene:
TU ∈ U I A ⊂ A I U 0 = A I N ⊂ N
o sea
TU ∈ N ∀U ≥ U 0
lo que implica que TU converge a x
Corolario 3.5 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Un conjunto A ⊂ X es cerrado si y
solo sí para roda red {Td } ⊂ A que converge a x se tiene que x ∈ A
Demostración Es una fácil consecuencia del anterior resultado y del hecho de que A
es cerrado si A = A
Corolario 3.6 Sean σ y τ dos topologías en X entonces σ ⊂ τ si y solo sí toda red
que converge con la topología τ implica que converge con la topología σ .
Es decir:
Td 
→ x ⇒ Td 
→x
τ
σ
Demostración Si σ ⊂ τ observemos que dado un entorno N ∈ N xσ por definición
existe U ∈ σ tal que x ∈ U ⊂ N y como σ ⊂ τ ⇒U ∈τ tal que x ∈ U ⊂ N luego
también por definición N ∈ N xτ .
Entonces como Td 
→ x dado N ∈ N xσ ⊂ N xτ ⇒ ∃d 0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d0
τ
luego Td 
→x
σ
Recíprocamente Tomemos A ⊂ X cerrado con la topología σ
Queremos probar que A es cerrado con la topología τ para lo cual tenemos que
probar que Aτ = A (clausura de A según τ ) una inclusión se cumple siempre
A ⊂ Aτ
Sea x ∈ Aτ entonces por proposición 3.4 existe una red {Td } ⊂ A tal que
σ
→x ⇒
→x ⇒
Td 
{ Td 
{ x∈ A
τ
σ
por hip.
σ
prop. 3.4
y como A es cerrado en σ ⇒ A = A entonces x ∈ A luego Aτ ⊂ A y por lo tanto
Aτ = A y A es τ -cerrado
Es decir que si U ∈ σ ⇒ U C es σ -cerrado ⇒ U C es τ -cerrado ⇒ U ∈ τ luego
σ ⊂τ
τ tiene más abiertos que σ , entonces si una red converge con la topología que tiene
más abiertos (más fina ) converge con la otra topología (más gruesa).
- 80 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 81 -
Observación 3.1 Dos topología coinciden si toda ves que una red converge con una
de las topologías también converge con la otra y viceversa. En cierta forma la
convergencia de las redes caracterizan a la topología.
Proposición 3.7 ( Unicidad de la Convergencia)
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Toda red en X converge a lo sumo en un punto si
y solo sí X es de Hausdöff.
Demostración
⇐ Si X es de Hausdöff supongamos que Td converge a dos puntos x e y distintos.
Sean
U ∈ N x , V ∈ N y tal que U I V = φ
Entonces existen d 0 y d1 ∈ D tales que
Td ∈ U si d ≥ d 0 
d 2 ≥ d0
entonces
 sea d 2 tal que 
Td ∈ V si d ≥ d1 
 d 2 ≥ d1
Td2 ∈ U I V absurdo por ser U I V = φ
⇒ Supongamos que X no es de Hausdöff o sea que existen:
x e y distintos tales que U I V ≠ φ ∀U ∈ N x , V ∈ N y
y sea D = N x × N y con (U ,V ) ≤ (U ′,V ′ ) ⇔ U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V es fácil ver que es un
conjunto dirigido
Si (U ,V ) ∈ N x × N y sea T(U ,V ) ∈
{ U I V ⊂ U entonces T(U ,V ) converge a x ya
elegimos uno
que dado W ∈ N x existe (U 0 ,V0 ) = (W , X ) tal que si (U ,V ) ≥ (W , X ) entonces:
123
d0
T(U ,V ) ∈ U ⊂ W ⇒ T(U ,V ) → x
Análogamente se prueba que T(U ,V ) → y
Definición 3.7 Sea {Td } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) . Un punto x ∈ X
se dice de aglomeración de {Td } si dados N ∈ N x y d 0 ∈ D entonces existe d ∈ D
con d ≥ d 0 tal que:
Td ∈ N
Definición 3.8 Dados ( D, ≤ D ) , ( E , ≤ E ) dos conjuntos dirigidos, una función
f : E → D es cofinal si dado d 0 ∈ D ∃e ∈ E tal que
f ( e ) ≥ d0
- 81 -
Topología General
Capítulo 3
- 82 -
Definición 3.9 Sea {Td }d∈D una red en un ( X ,τ ) espacio topológico y sea ( E , ≤ ) un
conjunto dirigido y f : E → D una función cofinal tal que ∀d 0 ∈ D existe e0 ∈ E
tal que f ( e ) ≥ d 0 si e ≥ e0 entonces {T f (e ) } es una subred de {Td } .
e∈E
Proposición 3.8 Sea {Td } una red en un ( X ,τ ) espacio topológico y x ∈ X entonces
x es de aglomeración de {Td } si y solo sí existe una subred de {Td } que converge a
x
Demostración
⇐ Si existe una subred {T f (e ) } que converge a x con f : E → D cofinal entonces :
Dado N ∈ N x y d 0 ∃e0 ∈ E tal que f ( e ) ≥ d 0 ∀e ≥ e0 y además
∃e1 ∈ E tal que {T f (e ) } ∈ N ∀e ≥ e1
Sea e2 ∈ E tal que e2 ≥ e1 , e2 ≥ e0 ⇒
f ( e2 ) ≥ d 0 y {T f (e2 ) } ∈ N ⇒ que x es de aglomeración.
⇒
Si x es de aglomeración sea E = N x × D con el orden componente a
componente o sea:
U ⊂ U ′
 d ≥ d′
Dado (U , d ) ∈ N x × D sea f (U , d ) ∈ D tal que f : N x × D → D (cofinal ) definida
por: f (U , d ) ≥ d y T f (U ,d ) ∈ U
(U , d ) ≥ (U ′, d ′) 
Dado d 0 ∈ D sea e0 = ( X , d 0 ) entonces si tomamos
(U , d ) ≥ ( X , d 0 ) se tiene f (U , d ) ≥ d ≥ d 0
f (U , d ) ≥ d 0 ⇒ {T f (U ,d ) } es una subred de {Td }
Además:
{T f (U ,d ) } converge a x ya que:
dado N ∈ N x sean d 0 ∈ D y e0 = ( N , d 0 ) si (U , d ) ≥ ( N , d 0 ) entonces:
T f (U ,d ) ∈ U ⊂ N ⇒ T f (U ,d ) ∈ N
luego
{T ( ) } → x
f U ,d
- 82 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 83 -
Definición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y , x ∈ X se dice que f
es continua en x si:
Dado W ∈ N f ( x ) ∃N ∈ N x tal que
f (N) ⊂W
Decimos que f es continua si es continua en todo punto.
Observación para el caso particular de espacios métricos la definición se puede
rescribir f : X → Y , x ∈ X f es continua en x ⇔ dado una bola B ( f ( x ) , ε ) implica
que existe una bola B ( x, δ ) tal que f ( B ( x, δ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) dicho de otra forma :
Si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces
d ( f ( x ) , f ( y )) < ε
Proposición 3.9 Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y una función entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) f es continua
2) ∀x ∈ X , N ∈ N f ( x ) se tiene que f −1 ( N ) ∈ N x
3) A ⊂ Y abierto ⇒ f −1 ( A) es abierto
4) Para toda base B de la topología de Y ; f −1 ( B ) es abierto ∀B ∈B
5) Para toda subbase S de la topología de Y; f −1 ( C ) es abierto ∀C ∈ S
6) Si F ⊂ Y es cerrado, f −1 ( F ) es cerrado.
Demostración
1) ⇒ 2) por definición de continuidad si W ∈ N f ( x ) , ∃N ∈ N x tal que f ( N ) ⊂ W
entonces como
N ⊂ f −1 ( f ( N ) ) ⊂ f −1 (W ) es decir que N ⊂ f −1 (W ) y como
N ∈ N x ⇒ f −1 ( N ) ∈ N x
2) ⇒ 3) Si A es abierto implica que es entorno de todos sus puntos A ∈ N y ∀y ∈ A
pero si y ∈ A ⊂ Y ⇒ ∃x ∈ f −1 ( A ) ⊂ X tal que y = f ( x ) luego A ∈ N f ( x ) ⇒ por la
hipótesis que ∀x ∈ f −1 ( A ) , f −1 ( A ) ∈ N x ⇒ f −1 ( A ) es entorno de todos sus
puntos luego es abierto.
3) ⇒ 4) ⇒ 5) son obvios
5) ⇒ 6) ahora si F ⊂ Y es cerrado ⇒ F C es abierto sea S una subbase de la
topología de Y entonces
- 83 -
Topología General
Capítulo 3
C
α
α
α
F
{ = U S1 I S 2 I ... I Snα
abierto
- 84 índice que indica una
selección.
α
entonces:

f −1 ( F C ) = f −1  U S1α I ... I S nαα
α

f −1 ( S1α ) I ... I f −1 ( S nαα ) es abierto por ser
 = U1
3
 α 424
abiertos
1444424444
3
intersección finita de abiertos es abierto
unión de abiertos luego como
f −1 ( F C ) =  f −1 ( F )  abierto ⇒ f −1 ( F ) es cerrado
C
6) ⇒ 1) Primero observemos que:
Si f −1 ( F ) es cerrado ∀F ⊂ Y ⇒ para todo A ⊂ Y abierto ⇒ AC es cerrado ⇒
f −1 ( AC ) =  f −1 ( A)  es cerrado ⇒ f −1 ( A ) es abierto
C
Sean x ∈ X , W ∈ N f ( x )
⇒
{
∃A ⊂ Y abierto tal que
por def. de entorno
f ( x) ∈ A ⊂ W
( A) es abierto por la observación de más arriba
y f ( x ) ∈ A ⇒ x ∈ f ( A ) por ser abierto es entorno de todos sus puntos llamemos
N a f −1 ( A ) ∈ N x y se tiene que:
como A es abierto ⇒ f
−1
−1


f  f −1 ( A )  ⊂ A ⊂ W ⇒ f ( N ) ⊂ W
424
3
1
 N 
Luego se cumple la definición de continuidad.
Ejemplo 3.10
Sea X con la topología discreta e Y un espacio topológico cualquiera, toda función
f : X → Y es continua ya que para cualquier A ⊂ Y se tiene f −1 ( A ) lo podemos
escribir como la unión de sus elementos que son abiertos en X
f −1 ( A ) = U { x} ⇒ unión de abiertos es abierto .
{
x∈ f −1 A
( ) abierto
Ejemplo 3.11 Sea Y con la topología indiscreta entonces toda función f : X → Y es
continua ya que: Y = {φ } U Y que son los únicos abiertos de Y.
f −1 (φ ) = φ , f −1 (Y ) = X que son abiertos en X
- 84 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 85 -
Ejemplo 3.12 Sea en X dos topologías τ y σ tal que τ ⊂ σ ( σ es más fina que τ ) y
sea la función Id : ( X ,σ ) → ( X ,τ ) es continua ya que:
∀A ⊂ Y tal que A ∈ τ entonces Id −1 ( A) = A ∈ τ ⊂ σ
luego es abierto en el dominio.
Ejemplo 3.13 Sea la función f : X → Y continua , A ⊂ X entonces:
f | A : A → Y definida como f | A ( x ) = f ( x )
(también suele anotarse en vez de f | A ( x ) como f A ( x ) )
es continua con la topología relativa ya que:
Sea U abierto en Y f A−1 (U ) = f −1 (U ) I A ⇒
1
424
3
abierto en X
por definición que f
−1
A
(U ) es abierto en A con la topología relativa.
Ejemplo 3.14 Sea la función f : X → Y continua y consideremos :
f% : X → f ( X ) definida f% ( x ) = f ( x )
tenemos que es continua con la topología relativa en f ( X ) ya que:
Sea U abierto en f ( X ) entonces por definición
U = V I f ( X ) con V abierto en Y
f% −1 (U ) = f% −1 (V ) I f% −1 ( f ( X ) )
= f −1 (V ) I X
luego f% es continua.
= f −1 (V ) que es abierto en X
Ejemplo 3.15 Sean f,g dos funciones continuas
f : X →Y
⇒ g o f : X → Y es continua
g :Y → Z
Sea U abierto en Z entonces


g −1 (U )  ⇒ abierto por f
( g o f )−1 (U ) = f −1  1
3
 424
 abierto por g 
Ejemplo 3.16 Sea X = A U B con A y B cerrados en X si f : X → Y es tal que sus
restricciones f | A = f1 , f |B = f 2 son funciones continuas y tal que en los puntos de
A I B vale f1 = f 2 entonces f es continua.
- 85 -
Topología General
Capítulo 3
- 86 -
Demostración
 f ( x ) si x ∈ A
f ( x) =  1
 f 2 ( x ) si x ∈ B
la condición f1 ( x ) = f 2 ( x ) ∀x ∈ A I B es para que f está bien definida.
Entonces sea F ⊂ X cerrado en X
f −1 ( F ) = f1−1 ( F ) U f 2−1 ( F )
f1 : A → Y es continua ⇒ f1−1 ( F ) es cerrado en A y como A a su vez es cerrado en
X entonces f1−1 ( F ) es cerrado en X ; análogamente con f 2−1 ( F ) es cerrado en X
luego f −1 ( F ) es cerrado o sea f es continua.
Proposición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, x ∈ X entonces f es continua en
x si y solo sí para toda red {Td } que converge a x se tiene que la red { f (Td )}
converge a f ( x ) .
Demostración ⇒ si f es continua y Td → x por definición
Dado W ∈ N f ( x ) ⇒ f −1 (W ) ∈ N x y en consecuencia ∃d 0 ∈ D tal que
entonces si d ≥ d 0
Td ∈ f −1 (W ) ∀d ≥ d 0
f (Td ) ∈ f ( f −1 (W ) ) ⊂ W
f ( Td ) ∈ W
y por lo tanto { f (Td )} converge a f ( x ) .
⇐ Supongamos que f no es continua en x es decir que:
∃W ∈ N f ( x ) tal que ∀N ∈ N x se tiene:
f (U ) ⊄ W
Sea D = N x si U ∈ N x sea TU ∈ U tal que f (TU ) ∉ W
f (U ) ⊄ W .
Dado V ∈ N x , si U ≥ V ⇒ TU ∈ U ⊂ V ⇒ TU → x
Pero { f (TU )} no converge a f ( x ) ya que
f (TU ) ∉ W ∀U ∈ N x
Construimos así una red {TU } convergente a x pero que:
f (TU ) → f ( x )
lo que contradice la hipótesis.
- 86 -
es posible por ser
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 87 -
Proposición 3.11 Sean X e Y espacios topológicos , f : X → Y las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) f es continua.
2) Para todo A ⊂ X se cumple f ( A ) ⊂ f ( A )
3) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B )
4) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) )
o
Demostración
1) ⇒ 2) Sea x ∈ A ( ⇒ f ( x ) ⊂ f ( A ) ) ⇒ por proposición 3.4 ∃{Td } ⊂ A tal que
Td → x y además f (Td ) ⊂ f ( A ) y f es continua ⇒ f ( Td ) → f ( x ) entonces por
la misma proposición 3.4
f ( x ) ∈ f ( A ) o sea f ( A ) ⊂ f ( A )
2) ⇒ 3) como B ∈ Y ⇒ f −1 ( B ) ⊂ X y aplicamos lo anterior
(
)
f f −1 ( B ) ⊂ f ( f −1 ( B ) ) ⊂ B
14243
⊂B
Luego
( (
))
f −1 f f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B )
(
)
f −1 ( B ) ⊂ f −1  f f −1 ( B )  ⊂ f −1 ( B )


es decir
f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B )
3) ⇒ 4) usando el lema 2.13 b)
f
−1
(B ) = f
o
−1
(
 o
( B ) 
( )
)
C C
C
o C
=  f −1 ( B )   =


o
C
=  f −1 B C  ⊂  f −1 ( B C )  = ( f −1 ( B C ) )  =






C
C
o
o
C
=  f −1 ( B C )  = ( f −1 ( B ) )


4) ⇒ 1) Sea B abierto en Y entonces como B o = B aplicando lo anterior
f −1 ( B ) = f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) ) ⊂ f −1 ( B )
o
luego f −1 ( B ) = ( f −1 ( B ) ) ⇒ f −1 ( B ) es abierto y por lo tanto f es continua.
o
- 87 -
Topología General
Capítulo 3
- 88 -
Definición 3.11 Sean E y F espacios métricos, f : E → F es uniformemente
continua si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si x, y ∈ E , d ( x, y ) < δ ⇒
d ( f ( x ) , f ( y )) < ε
El concepto de continuidad es un concepto local (para un punto) mientras que el
concepto de continuidad uniforme es un concepto global.( no depende del punto).
De la definición se desprende que continuidad uniforme implica continuidad.
Definición 3.12 Sean E , F espacios métricos f : E → F es una inmersión
isométrica si:
d ( x, y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) ∀x, y ∈ E
Proposición 3.12 Si f es un inmersión isométrica se cumplen las siguientes
propiedades:
1) f es inyectiva
2) f es uniformemente continua
3) la composición de inmersiones isométricas es también una inmersión isométrica.
Demostración
1) si f ( x ) = f ( y ) ⇒ 0 = d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) ⇒ x = y porque estamos en un
espacio métrico.
2) Dado ε > 0, tomando δ = ε entonces si d ( x, y ) < δ ⇒
d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) < δ = ε
3) es inmediato por definición.
Definición 3.13 Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva.
Definición 3.14 Dos espacios métricos E,F son isométricos si existe
i : E → F isometría
Observación
La inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías.
La isometría se comporta como una relación de equivalencia.
Definición 3.15 Sea ( E , d ) un espacio métrico, A ⊂ E , A ≠ φ
Si x ∈ E la distancia de x a A es por definición:
d ( x, A ) = inf {d ( x, a ) : a ∈ A}
como consecuencia de lo anterior definición :
- 88 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 89 -
A = { x : d ( x, A ) = 0}
Demostración
Si d ( x, A ) = 0 ⇒ ∃{ xn } ⊂ A tal que
1
d ( xn , x ) <
⇔ B ( x, 1n ) I A ≠ φ ⇔ x ∈ A
n
Definición 3.16 Definimos un función llamada función distancia d A : E → ¡ tal
que
d A ( x ) = d ( x, A )
Proposición 3.13 La función distancia es uniformemente continua.
Demostración
Dado ε > 0 si d ( x, y ) <
ε
, a∈ A
2
d ( y , a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
d ( x, a ) ≤ d ( y , a ) + d ( x, y )
ε
2
x
y
a
d ( x, a ) − d ( x, y ) ≤ d ( y , a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
Si tomamos la primer desigualdad
d ( x , a ) − d ( x, y ) ≤ d ( y , a )
d ( x, a ) ≤ d ( y, a ) + d ( x, y ) como
d A = inf {d ( x, a ) : a ∈ A}
entonces
d A ( x ) ≤ d ( x, a ) ∀a ∈ A
d A ( x ) ≤ d ( x, a ) ≤ d ( y, a ) + d ( x, y ) ∀a ∈ A
d A ( x ) ≤ d ( y, a ) + d ( x, y ) ∀a ∈ A
si la desigualdad se cumple siempre también se cumple con el ínfimo
ε
d A ( x ) ≤ d A ( y ) + d ( x, y ) ≤ d A ( y ) +
2
tomando la segunda desigualdad
d ( y , a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
d A ( y ) = inf {d ( y, a ) : a ∈ A}
luego
d A ( y ) ≤ d ( y, a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y ) ∀a ∈ A
- 89 -
A
Topología General
Capítulo 3
- 90 -
pasando al ínfimo
d A ( y ) ≤ d A ( x ) + d ( x, y ) ≤ d A ( x ) +
ε
2
es decir:
ε
d A ( x ) ≤ d A ( y ) + 
2 ⇒ d x − d y < ε <
ε
( )

A( )
ε
2
dA ( y) ≤ dA ( x) +
2 
ε
ε > 0 ∃δ =
tal que si d ( x, y ) < δ ⇒ d A ( x ) − d A ( y ) < ε ⇒ d A ( x )
Dado
2
uniformemente continua.
es
Definición 3.17 Si X , Y son espacios topológico f : X → Y es un homeomorfismo
si f es tal que:
i) f es continua.
ii) f es biyectiva
iii) f −1 es continua.
Definición 3.18 Se dice que los espacios topológicos X,Y son homeomorfos si
existen f : X → Y homeomorfismo.
Ejemplo 3.17 Sean X,Y espacios topológicos discretos entonces f : X → Y es
continua por ser X discreto entonces f −1 es continua por ser Y discreto, entonces
tienen el mismo cardinal si y solo sí son homeomorfos.
Ejemplo 3.18 X e Y indiscretos son homeomorfos si y solo sí tienen el mismo
cardinal.
Definición 3.19 Sean X,Y espacios topológicos f : X → Y se dice que f es abierta si
f ( A ) esabiertoparatodo A ⊂ X abierto.
Y se dice que f es cerrada si f ( F ) es cerrado para todo F ⊂ X cerrado.
Proposición 3.14 Sean X,Y espacios topológicos f : X → Y biyectiva entonces las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) f es un homeomorfismo
2) f es continua y abierta
3) f es continua y cerrada.
- 90 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 91 -
Demostración
1) ⇒ 2) como f −1 es continua solo para que la notación quede más amigable
llamemos a f −1 = g si A ⊂ X es abierto entonces
( g −1 ( A) ) es abierto = f ( A)
2) ⇒ 3) si F es cerrado implica F C es abierto y por hipótesis
( f ( F ))
f ( F C ) es abierto ⇒
C
C
es cerrado = f ( F )
3) ⇒ 1) Si F ⊂ X es cerrado llamemos g = f −1 entonces
f ( F ) es cerrado = g −1 ( F )
luego g = f −1 es continua y por lo tanto un homeomorfismo.
Definición 3.20 Sean E y F espacios métricos consideremos el conjunto
B ( E , F ) = { f : E → F : acotada}
f acotada: f ( E ) ⊂ F es acotada como conjunto es decir:
diamf ( E ) = sup {d ( f ( x ) , f ( y ) ) : x, y ∈ E} < ∞
a su vez podemos definir una distancia en B ( E , F ) de la siguiente forma:
d ( f , g ) = sup {d ( f ( x ) , g ( x ) ) : x, y ∈ E}
en el conjunto B ( E , F ) el supremo es finito.
Sea e ∈ E ∀x ∈ E
d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ d ( f ( x ) , f ( e )) + d ( f ( e ) , g ( e ) ) + d ( g ( e ) , g ( x ) )
1442443
144244
3
≤ diamf ( E )
entonces
≤ diamf ( E )
d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ diamf ( E ) + d ( f ( e ) , g ( e ) ) + diamf ( E )
14243 144244
3 14243
acotado
acotado
acotado
luego el supremo de d ( f ( x ) , g ( x ) ) es finito por estar la distancia acotada.
Definición 3.21 El conjunto de funciones acotadas B ( E , F ) con la distancia del
supremo define un espacio métrico llamado espacio de convergencia uniforme.
Definición 3.22 Una red { f d } de funciones se dice que converge uniformemente a f
si para cada ε > 0 ∃d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple:
d ( f d ( x ) , f ( x ) ) < ε ∀x ∈ E
u
Anotamos f d à f o f d 
→f
El nombre de dicho espacio métrico está justificado por la siguiente proposición
- 91 -
Topología General
Capítulo 3
- 92 -
Proposición 3.15 Una red { f d } ⊂ B ( E , F ) que converge a f en ( B ( E , F ) , d ) si y
solo sí { f d } converge uniformemente a f.
Demostración
⇒ Si f d → f ⇒ dado ε >0 existe d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0
d ( fd , f ) < ε
es decir que
∀x ∈ E d ( f d ( x ) , f ( x ) ) ≤ sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E} < ε
luego f d à f
⇐ Si d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple:
ε
∀x ∈ E
d ( fd ( x ) , f ( x ) ) <
2
tomando supremo
ε
d ( f d , f ) = sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E} ≤ < ε
2
luego f d Πf converge uniformemente.
Proposición 3.16 Sea el conjunto Cb ( E , F ) = { f : E → F : continuas y acotadas }
entonces Cb ( E , F ) es cerrado en ( B ( E , F ) , d ) .
Demostración Sea f ∈ Cb ( E , F ) ⇒ ∃{ f n } ⊂ Cb ( E , F ) tal que
fn → f
hay que probar que f es acotada y continua para probar que f ∈ Cb ( E , F )
por definición de convergencia dado x ∈ E , ε > 0 sea n0 tal que ∀n ≥ n0
ε
d ( fn , f ) <
3
Y como f n0 es continua sabemos que existe δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces
d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) <
ε
3
y entonces ∀x, y ∈ E
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d ( f ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f ( y ) ) ≤
ε
≤ d ( f , f n0 ) + + d ( f n0 , f ) < ε
1424
3 3 1424
3
<ε
3
<ε
3
luego f es continua
- 92 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 93 -
análogamente como f n0 es acotada esto significa que ∀x, y ∈ E existe M positivo tal
que
d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) < M
entonces ∀x, y ∈ E
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d ( f ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f ( y ) ) ≤
ε
≤ d ( f , f n0 ) + M + d ( f n0 , f ) < 2 + M
1424
3
1424
3
3
<ε
3
<ε
3
luego f está acotada y entonces f ∈ Cb ( E , F ) .
Definición 3.23 Sea el conjunto de funciones
F ( X ,Y ) = { f : X → Y }
con X e Y espacios topológicos una red { f d } en este conjunto se dice convergente
puntualmente a f del mismo conjunto si para todo x ∈ X la red { f d ( x )} converge a
p
f ( x ) en Y. Lo anotamos f d 
→f
Definición 3.24 Sean X e Y espacios topológicos para cada x ∈ X y para cada abierto
U ⊂ Y con U ∈ N f ( x ) sea
Wx ,U = { g ∈F ( X , Y ) : g ( x ) ∈ U }
entonces el conjunto
S = {Wx ,U : x ∈ X , U ⊂ Y abierto}
es una subbase de una topología llamada de convergencia puntual
La afirmación de que es una subbase está justificada por ser
F ( X , Y ) = U Wx ,U
x∈ X
U abierto en Y
ya que por definición Wx ,U ⊂ F ( X , Y ) y además
Si f ∈F ( X , Y ) ⇒ si x ∈ X y U ∈ N f ( x ) con U abierto en Y entonces f ( x ) ∈ Wx ,U
implica
f ( x ) ∈ U Wx ,U
x∈X
U abierto en Y
entonces
B = {Wx1 ,U1 I .... I Wxn ,U n : con xi ∈ X ,U i ∈τ Y ,U i ∈ N f ( xi ) }
es una base de la topología llamada de convergencia puntual.
- 93 -
Topología General
Capítulo 3
- 94 -
Proposición 3.17 Toda red { f d } en F ( X , Y ) converge en la topología definida
como de convergencia puntual si :
f d → f ⇔ f d ( x ) → f ( x ) para cada x ∈ X
Demostración
⇒ Sea
x ∈ X U abierto en Y U ∈ N f ( x )
queremos
ver
que
∃d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple que
fd ( x ) ∈U
Sea Wx ,U es un entorno de f y como f d → f ⇒ para cada entorno de f en particular
el Wx ,U entorno de f existe d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0
f d ∈ Wx,U ⇒ f d ( x ) ∈ U
luego
fd ( x ) → f ( x )
⇐ Sea V un abierto de la base tal que f ∈ V ⇒
V = Wx1 ,U1 I ... I Wxn ,U n = { g : X → Y : g ( xi ) ∈ Ui}
luego
f ∈ V ⇒ f ( xi ) ∈ U i y como f d ( xi ) → f ( xi )
implica que ∃di ∈ D tal que f d ( xi ) ∈ U i ∀d ≥ di ∀i = 1,..., n tomando
d 0 = max {di : i = 1,..., n} que existe por ser D un conjunto dirigido entonces
∀d ≥ d 0 f d ( xi ) ∈ U i ∀i = 1,..., n es decir
f d ∈ Wx1 ,U1 I ... I Wxn ,U n = V
luego f d → f
- 94 -
Capítulo 4
Conjunto de Cantor
Estudiaremos en este capítulo un ejemplo de subespacios de la recta más
importantes e interesantes en Topología definido por Cantor en 1883, y que ha
aparecido desde entonces en multitud de ejemplos y teoremas topológicos.
Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo
[0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para
estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de
Cantor. Para entender más esto vamos primero a introducir un poco de notación.
2 (b − a ) 
b−a 
Si I = [ a, b ] ⇒ I ∗ =  a,
U a +
, b  , si I = U I k ⇒ I ∗ = U I k∗

3  
3


k
k
∗
1
2
Introducida la notación comencemos, sea A0 = [ 0,1]; A1 = A0 = [ 0, 3 ] U [ 3 ,1]
A2 = A1∗ = [ 0, 19 ] U [ 29 , 13 ] U [ 23 , 97 ] U [ 89 ,1]
en general An = An∗−1 entonces el conjunto de Cantor es:
∞
C = I An
n= 0
A1 es unión de 2 intervalos
A2 es la unión de 4 intervalos
M
An es la unión de 2n intervalos disjuntos.
2n
An = U  ank , bnk 
k =1
y
bnk − ank =
n
1
3n
1
2
o sea la medida de An es 2 . n =   .
3  3
Ahora veremos algunas de las propiedades más importantes del conjunto de Cantor
n
Topología General
Capítulo 4
- 96 -
Proposición 4.1El conjunto de Cantor C es cerrado.
Demostración An para todo n es unión finita de cerrados luego es cerrado y como C
es intersección de cerrados es cerrado.
Proposición 4.2 C no contiene ningún intervalo abierto es decir que
C o =φ
Demostración Supongamos por el absurdo que sí tenemos un abierto ( c, d ) ⊂ C lo
que implica ( c, d ) ⊂ An ∀n y como An es unión de intervalos disjuntos lo que
significa que tiene que estar en uno de ellos
( c, d ) ⊂  ank , bnk  para algún k
por lo tanto
0< d −c ≤
1
∀n ⇒ d − c = 0
3n
{
→0
Proposición 4.3 Los extremos de las intervalos cerrados disjuntos dos a dos que
definen An se escriben como
 n xi
{a } = ∑ 3i : xi ∈ {0, 2}
 i =1

k
n
Demostración Lo demostraremos por inducción completa.
A0
Primero que nada observemos que a10 = 0
{a } = {0, }
{a } = {0, ,
En A1
A2
Etc...
H)
k
1
2
3
k
2
2
9
{a } = ∑ 3
k
n
n
 i =1
xi
i
2
3
A1
, 23 + 92 }
A2

: xi ∈ {0, 2}

1
3n+1
 n+1 xi

T) {a } = ∑ i : xi ∈ {0, 2}
 i =1 3

k
n +1
j
n
a
64748
k
144424443 an +1
2
3n+1
- 96 -
anj +1
Topología General
Conjunto de Cantor
- 97 -
Demostración
 anj para algún j
{ank+1} =  j 2
 an + n +1 para algún j
3
n
n
xi
∑
i
i =1 3
∑3
xn +1 = 0
xn +1 = 2
i =1
n +1
xi
∑3
i =1
xi
i
+
2
3n +1
xi ∈ {0, 2}
: xi ∈ {0, 2}
i
por lo tanto
n +1
xi
 i =1
i
{a } = ∑ 3
k
n +1

: xi ∈ {0, 2}

Proposición 4.4 Si m > n y  amj , bmj  I  ank , bnk  ≠ φ entonces:
 amj , bmj  ⊂  ank , bnk 
Demostración
m
n
yi
xi
k
con xi , yi ∈ {0, 2}
a
=
∑
n
i
i
i =1 3
i =1 3
Vamos a analizar tres casos
Caso a)
Sea xi = yi ∀i = 1,..., n en este caso tenemos:
m
n
m
y
x
y
amj − ank = ∑ ii − ∑ ii = ∑ ii ≥ 0
i =1 3
i =1 3
n +1 3
lo que significa amj ≥ ank
Sean amj = ∑
ank
amj
más precisamente
- 97 -
Topología General
Capítulo 4
- 98 -
m
yi
1
a − a = ∑ i ≤ 2∑ i =
i = n +1 3
n +1 3
j
m
k
n
m
 1   1 m  1   1 n  
1 −    
 1 −   
3
3
3


 3 
 m 1 n 1


= 2 ∑ i − ∑ i  = 2 
− 
=
 1− 1

1− 1
 i =1 3 i =1 3 
3
3 



m
  1 n
1 

m
n
1 −  3  1 −  3  
1
1






 = 1−   −1+  
= 2
−
2
 3
 3
 2



n
1
1
=   −  
3 3
m
es decir
1 1
−
3n 3m
1
1
amj + m ≤ ank + n
33 123
3
1
424
amj − ank ≤
=bmj
ank
amj
bmj
bnk
=bnk
bmj ≤ bnk
por lo tanto
 amj , bmj  ⊂  ank , bnk 
Caso b)
Sea xl ≠ yl , yi = xi ∀i < l < n
Entonces ⇒ yl − xl = ±2
Analicemos primero i) yl − xl = 2
≥0
=−2
67
8
67
8
l −1
n
yi − xi 2
yi − xi m yi
j
k
am − an = ∑
+ l +∑
+∑ i ≥
3i
3 l +1 3i
i =1
n +1 3
≥
=
n
∞
2
1 2
1
−
2
≥
−
2
=
∑
∑
l
i
l
i
3
3
l +1 3
l +1 3
( )
1
l +1
2
−2 3
l
3
1− 1
=
3
Luego
- 98 -
2 1 1 1
− = >
3l 3l 3l 3n
Topología General
Conjunto de Cantor
amj − ank >
1
3n
amj > ank +
ank
bnk
ii) yl − xl = −2
amj
- 99 -
1
= bnk
n
3
bmj no hay intersección
≤2
≤2
67
8
}
m
m
−2
y −x
y −2
1
amj − ank = l + ∑ i i i + ∑ ii ≤ l + 2∑ i ≤
3
3
3
l +1
n +1 3
l +1 3
n
∞
−2
1 −2
≤ l + 2∑ i = l + 2
3
3
l +1 3
( 13 )
2
l +1
3
=
−2 1 −1 −1
+ =
<
3l 3l 3l 3m
luego
amj − ank <
−1
3m
1
amj + m < ank
33
1
424
amj
bmj
ank
bnk
=bmj
bmj < ank
absurdo porque en esta situación no hay intersección.
Entonces solo es posible el primer caso en que ya vimos que.
 amj , bmj  ⊂  ank , bnk 
Proposición 4.5 Si C es el conjunto de Cantor entonces:
∞ x

C = ∑ ii : xi ∈ {0, 2}
 i =1 3

∞
xi
con xi ∈ {0, 2}
i
i =1 3
Por construcción Si m ≥ n ⇒ Am ⊂ An
m
m
xi
x
Y como ∑ i ∈ Am ⇒ ∑ ii ⊂ An ∀m ≥ n y por lo tanto su límite pertenece a la
i =1 3
i =1 3
clausura.
Demostración Sea y = ∑
- 99 -
Topología General
Capítulo 4
- 100 -
Pero An = An por ser cerrados
Entonces
m
y = lim m ∑
i =1
xi
∈ An ∀n ⇒ y ∈ I An = C
3i
n∈¥
Recíprocamente: en primer lugar:
si t ∈ C = I An implica que para cada n ∃k ( n, t ) tal que t ∈  ank ( n ,t ) , bnk ( n ,t )  ⇒
n∈¥
ank ( n ,t ) − t <
1
→0
3n
Luego
ank ( n ,t ) → t
En segundo lugar
Como ∀m ≥ n t ∈  amk ( m ,t ) , bmk ( m,t )  I  ank ( n ,t ) , bnk ( n,t )  implica por proposición 4.4 que:
 amk ( m ,t ) , bmk ( m,t )  ⊂  ank ( n ,t ) , bnk ( n ,t ) 
es decir que:
ank ( n ,t ) ≤ amk ( m ,t ) ≤ t
siendo
n
ank ( n ,t ) = ∑
i =1
xi
3i
m
y amk ( m ,t ) = ∑
i =1
yi
pero ya vimos que xi = yi ∀i = 1,..., n si m ≥ n
3i
entonces
ank ( n ,t ) y amk ( m ,t ) son reducidas de la serie
∞
xi
∑3
i =1
i
entonces como existe el límite de
las reducidas ( por ser monótonas crecientes y acotadas superiormente )
∞
x
k ( n ,t )
∴ t = lim n an
= ∑ ii
i =1 3
Proposición 4.6 Todos los puntos del conjunto C de Cantor son de acumulación
Demostración
∞
xi
con xi ∈ {0, 2}
i
i =1 3
Si no existe n0 a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las
sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y
siempre hay una a distancia menor que un cierto ε > 0 arbitrario.
Supongamos que ∃n0 tal que xi = 0 ∀i > n0
Entonces
Si t ∈ C
⇒ t=∑
- 100 -
Topología General
Conjunto de Cantor
n0
t=∑
i =1
- 101 -
xi
y sea t ′ ∈C tal que
3i
n0
n
xi
0 ∞ 2
+
+∑ i
∑
i
i
3
3
i =1
n0 +1
n +1 3
Claramente t’ pertenece a C por proposición anterior.
Entonces:
n +1
∞
2 1
2
1
1
3
t′ = t + ∑ i = t +
= t + n ⇒ t − t′ = n
2
3
3
n +1 3
3
2
1
2
Sea ε tal que n < ε ⇒ t − t ′ = n < n < ε esto significa:
3
3
3
t ′ ∈ C I B ( t , ε ) \ t ⇒ t es de acumulación
t′ = ∑
( )
Proposición 4.7 Existe una función f : C → [ 0,1] sobre y uniformemente continua
Definida como:
 ∞ x  ∞ xi
f  ∑ ii  = ∑ 2i con xi ∈ {0, 2}
 i =1 3  i =1 2
Demostración
 ∞ x  ∞ y
x
Si xi ∈ {0, 2} ⇒ yi = i ∈ {0,1} y podemos escribir f  ∑ ii  = ∑ ii con
2
 i =1 3  i =1 2
yi ∈ {0,1}
f es sobreyectiva ya que en primer lugar si yi = 0 ∀i ⇒ f ( ) = 0 y si yi = 1 ∀i
∞
1
implica f ( ) = ∑ i = 1
i =1 2
en segundo lugar
∞
yi
con yi ∈ {0,1} es un número en base dos entre cero y uno.
∑
i
i =1 2
1
Ahora dado ε > 0 Sea n0 tal que n0 < ε tomamos dos elementos del conjunto de
2
∞
∞
x
y
1
Cantor a distancia menor que n0 Sean ∑ ii , ∑ ii ⇒ xi = yi ∀i ≤ n0 en este
3
i =1 3
i =1 3
caso:
- 101 -
Topología General
Capítulo 4

d

 ∞ x
f  ∑ ii
 i =1 3
- 102 -
  ∞ yi   1 ∞ xi − yi
≤
, f  ∑ i  = ∑
i
  i =1 3   2 n0 +1 2
∞
1 ∞ xi − yi
1
1
1
≤
= n0 < ε
2
∑
∑
i
i
2 n0 +1 2
2 n0 +1 2 2
1
entonces si t , s ∈ C y d ( t , s ) < n0 = δ entonces:
3
d ( f (t ) , f ( s )) < ε
por lo que f es uniformemente continua.
Como corolario podemos afirmar que el conjunto de Cantor es no numerable.
≤
- 102 -
Capítulo 5
Topología Producto
Veamos primero la definición de topología producto para el cado finito.
Definición 5.1 Sea {( X i ,τ i ) : i = 1,..., n} una familia finita de espacios topológicos.
Entonces la familia de subconjuntos del producto cartesiano X 1 × X 2 × ... × X n
B = {U1 × U 2 × ... × U n : U i ∈ τ i ∀i = 1,..., n}
Como X 1 × X 2 × ... × X n se puede expresar como unión de elementos de B ,basta
con tomar los U i = X i que son elementos de τ i , y como este conjunto es cerrado por
intersecciones finitas Por tanto según corolario 2.18 existe una única topología sobre
dicho conjunto respecto de la cual B es una base. La llamaremos topología
producto y al espacio resultante producto topológico.
Observación Para referirnos a un elemento del espacio producto podemos adoptar
las siguientes anotaciones:
n
n


X
=
f
n
→
X i : f ( i ) ∈ X i ∀i = 1,..., n 
:
1,...,
{
}

U
∏
i


i =1
i =1
también suele usarse la siguiente notación
n
n


X
=
x
:
1,...,
n
→
X i : xi ∈ X i ∀i = 1,..., n 
{
}

U
∏
i


i =1
i =1
poniendo xi en vez de x ( i ) .
Definición 5.2 Dado el producto cartesiano
n
∏X
i =1
i
definimos las funciones
n
pi : ∏ X i → X i como
i =1
o
pi ( f ) = f ( i )
pi ( x ) = xi
que llamamos proyección canónica asociada al índice i
Topología General
Capítulo 5
- 104 -
Proposición 5.1 Las funciones proyecciones son continuas.
Demostración Para probar el enunciado tenemos que probar que la imagen inversa
de un abierto es abierto.
Sea U i abierto en X i
n


p (U i ) =  x ∈ ∏ X i : pi ( x ) = xi ∈ U i con U i ∈ τ i 


i =1
−1
i
lo que significa:
pi−1 (U i ) = X 1 × ... × X i −1 × U i × X i +1 × ... × X n
y por lo tanto
pi−1 (U i ) es abierto en el producto
por lo que las proyecciones son continuas para todo i
Topología Producto
Caso infinito
Definición 5.3 Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia indexada de espacios topológicos
se define el producto cartesiano de espacios topológicos a:


X α =  f : I → U X α : f (α ) ∈ X α 
∏


α∈I
α∈I
El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacío si y solo sí
cada factor X α no lo es. A los elementos del espacio producto en ocasiones los
anotaremos por x en lugar de f y en este caso x (α ) lo anotamos por xα con esta
notación


X α =  x : I → U X α : xα ∈ X α 
∏


α∈I
α ∈I
Definición 5.4 Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia de espacios topológicos indexada
definimos topología producto como la menor (la menos fina) topología que hace
continua a las proyecciones
pα : ∏ X β → X α
β∈I
para todo α ∈ I .Así que definimos como topología producto como a la generada por
la subbase
S = { pα−1 (Uα ) : Uα abierto ,Uα ⊆ X α ∀α ∈ I }
los abiertos de la base son entonces de la forma.
- 104 -
Topología General
Topología Producto
- 105 -
pα−11 (U α1 ) I pα−21 (Uα2 ) I ... I pα−n1 (U αn )
con n finito también podemos escribir a los mismos como
∏ X β × Uα1 × ... × Uαn
β ∈I
β ≠{α1 ,...,α n }
Esto es, un abierto B de la base es un producto donde todos los espacios
coordenados son los X α salvo para un número finito de índices α i con i = 1,..., n
donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indexados. Finalmente
un abierto de la topología producto será todo lo que podamos expresar cono unión
de estos elementos B de la base que anotamos por B. Suele llamarse a esta
topología, topología producto de Tychonoff pues fue A. Tychonoff quién en el año
1929 definió esta topología y probó sus más importantes propiedades.
Observación 5.1 Realmente esta topología (τ ) es la menos fina de las que hacen
continua todas las proyecciones.
Demostración Supongamos que tenemos otra topología que llamamos σ que también
hace continuas todas las proyecciones.
Como


B =  I pα−1 (Uα ) : con Uα abierto, Uα ⊆ X α y F ⊂ I finito 
α∈F

es la base de la topología producto τ .
Entonces si U ∈B ⇒ U = pα−11 (Uα1 ) I ... I pα−n1 (Uα n ) y como cada pα−i1 (Uαi ) es
abierto en σ porque esta topología hace continua las proyecciones entonces la
intersección finita de abiertos es abierto en σ y U ∈ σ .
Todo elemento de la base de τ esta en σ entonces si A es abierto con la topología τ
como ⇒ A = U Aα con Aα ∈B y cada Aα es abierto según σ , la unión de abiertos
α
es abierto ⇒ A = U Aα es abierto según σ ⇒ τ ⊂ σ o sea σ tiene más abiertos que
α
τ la topología producto.
Observación 5.2 Si tomamos como base de una topología aquellos conjuntos que
sean producto arbitrario de abiertos, esto es si llamamos B a un elemento de la base:
B = ∏Uα con U α abierto en X α ,α ∈ I
α ∈I
obtenemos la llamada topología caja introducida por H. Tietze en 1923
históricamente anterior a la introducida por Tychonoff la cual posea más abiertos
que nuestra topología producto y por tanto la contiene.
Como las proyecciones son continuas con la topología producto entonces son
continuas con la topología cajas. Ya que:
- 105 -
Topología General
Capítulo 5
- 106 -
f : X →Y

 f continua

−1
1
2
τ 1X ⊂ τ X2
 sea U abierto en τ Y ⇒ f (U ) ∈ τ X ⊂ τ X ⇒ 
2
 según τ X
1 
f continua según τ X 
A menos que especifiquemos lo contrario, cuando hablemos del espacio producto,
entenderemos que la topología involucrada es la topología producto de Tychonoff. Y
la hemos preferido ya que la topología caja tiene ciertos defectos como.
§ Tiene muchos abiertos si lo que queremos es hacer las proyecciones continuas,
es claro que cuanto más abiertos tengamos en el dominio de una función más
fácil es de que sea continua.
§ No siempre el producto de espacios compactos es compacto
§ No siempre el producto de espacios conexos es conexo.
§ La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser
caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas.( ver
ejemplo 5.1)
§ Aún en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de
espacios N1 sea N1
Proposición 5.2 En el espacio producto con la topología producto las proyecciones
son funciones continuas y abiertas.
pα : ∏ X β → X α son continuas y abiertas
β∈I
Demostración Que son continuas porque la topología producto se definió con dicho
propósito.
Para probar que es abierta alcanza con probar que pα ( B ) es abierto para todo
abierto B de la base B .
Tomemos un abierto B de la base ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I y abiertos Uαi ∈ X αi ∀i = 1,..., n
tales que
B = pα−11 (Uα1 ) I ... I pα−n1 (Uα n )
= Uα1 × ... × Uα n ×
∏
β ∈I
Xβ
β ≠{α1 ,...,α n }
entonces
pα ( B ) = Uαi si α = α i 
 para i = 1,..., n
pα ( B ) = X α si α ≠ α i 
en ambos casos la imagen es un abierto. Es decir que la imagen de abiertos de la
base es un abierto.
- 106 -
Topología General
Topología Producto
- 107 -
Proposición 5.3 Dada una red {Td } ⊂ ∏ X β converge a x si y solo sí
β∈I
pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I
Demostración ⇒ Si la red converge Td → x como las proyecciones son continuas
entonces
pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I
⇐ Si pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I
Como si V ∈ N x ⇒ existe A abierto tal que x ∈ A ⊂ V y A es abierto implica que es
unión de elementos de la base
A = U Bβ donde Bβ son abiertos de la base
β
entonces si x ∈ A ⇒ x ∈ U Bβ ⇒ ∃β 0 tal que x ∈ Bβ0 es decir que
β
x ∈ Bβ0 ⊂ A ⊂ V
entonces basta con probar que dado un abierto B de la base que contenga a x existe
d 0 ∈ D tal que
Td ∈ B ∀d ≥ d 0
así
Td ∈ B ⊂ U Bβ = A ⊂ V
β
Luego sea B un abierto de la base que contiene a x
n
B = I pα−i1 (Uαi ) donde Uαi son abiertos en X αi ∀i = 1,..., n
i =1
por hipótesis si x ∈ B ⇒ x ∈ pα−i1 (Uαi ) ⇒ pαi ( x ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n y por hipótesis
∃di ∈ D tal que Td ∈ Uαi ∀d ≥ di con i = 1,..., n sea:
d 0 ≥ max {d1 ,..., d n } que existe porque cada dos di d j se puede obtener una mayor
que esos dos, repetimos este razonamiento con este último y otro d cualquiera y así
tenemos uno mayor que todos .
∀d ≥ d 0 ⇒ d ≥ di ⇒ pαi (Td ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n
o sea
y por lo tanto
Td ∈ pα−i1 (Uαi ) ∀i = 1,..., n
Td ∈ B ∀d ≥ d 0
- 107 -
Topología General
Capítulo 5
- 108 -
Observación 5.3 Sea X un conjunto e Y un espacio topológico. Anotamos
Y X = ∏Y = { f : X → Y }
x∈ X
entonces una red { f d } converge a f ⇔ { f d ( x )} converge a f ( x ) ∀x ∈ X o sea, la
convergencia en la topología producto es la convergencia puntual. El espacio
producto también nos da otra forma de ver las sucesiones, estas son elementos del
espacio X ¥ .
Proposición 5.4 Sean Y , X α ∀α ∈ I espacios topológicos una función
f : Y → ∏ Xα
α∈I
es continua si y solo sí
( pα o f ) : Y → ∏ X α es continua ∀α ∈ I
α ∈I
Demostración
⇒ Como pα es continua pα o f es continua si f
es continua
Y
⇐ Si pα o f son continuas ∀α ∈ I sea x ∈ Y y
sea Td la red que converge a x entonces
pα o f
( pα o f )(Td ) → ( pα o f ) ( x ) en X α
es decir:
pα [ f (Td )] → pα [ f ( x )] ∀α ∈ I
por proposición anterior
f (Td ) → f ( x ) en ∏ X α
f
∏X
α∈I
α
pα
Xα
α∈I
y por proposición 3.10 f es continua.
Ejemplo 5.1 Consideremos ¡ω , el producto numerable de R consigo mismo
infinitas veces. Es decir
¡ω = ∏ X n con X n = ¡ ∀n ∈ ¥
n∈¥
Sea R con la topología usual y definimos f : ¡ → ¡ω mediante la ecuación:
f ( x ) = ( x, x,...., x,...)
la n-ésima función coordenada de f es la función pn ( f ( x ) ) = x cada una de las
funciones coordenadas pn o f : ¡ → ¡ es continua; así pues, la función f es continua
si ¡ω está dotado con la topología producto por la proposición anterior. Pero f no es
- 108 -
Topología General
Topología Producto
- 109 -
continua si ¡ω está dotado con la topología por cajas. Consideremos, por ejemplo,
el elemento básico
1 1
1 1
B = ( −1,1) ×  − ,  ×  − ,  × ......
 2 2  3 3
para la topología por cajas. Afirmamos que f −1 ( B ) no es abierto en R. Ya que
primero que nada como el 0 ∈ B y f −1 ( 0 ) = 0 ⇒ 0 ∈ f −1 ( B ) entonces si f −1 ( B ) es
abierto en R es entorno de todos sus puntos en particular del cero entonces tendría
algún abierto ( −δ , δ ) ⊂ f −1 ( B ) . Esto significa que f ( ( −δ , δ ) ) ⊂ f ( f −1 ( B ) ) ⊂ B ,
por lo que aplicando pn a ambos lado de la inclusión,
1 1
pn ( f ( −δ , δ ) ) ⊂  − ,  ∀n ∈ ¥
144244
3  n n
=( −δ ,δ )
lo que implica que δ = 0 ⇒ ( −δ , δ ) = {0} que no es abierto en R con la topología
usual.
Proposición 5.5 Dados ( X α ,τ α ) α ∈ I espacios topológicos tenemos entonces que
son Hausdöff para todo α ∈ I si y solo sí
∏X
α∈I
Demostración
α
es de Hausdöff.
⇒ X α sean de Hausdöff ∀α ∈ I tomamos
x, y ∈ ∏ X α con x ≠ y
α∈I
entonces ∃α 0 ∈ I tal que x (α 0 ) ≠ y (α 0 ) y como X α 0 es de Hausdöff implica que
existen U ,V abiertos en X α0 tales que x (α 0 ) ∈ U , y (α 0 ) ∈ V con U I V = φ y como
pα−01 (U ) , pα−01 (V ) son abiertos de la subbase de
∏X
α∈I
α
y además son disjunto ya que
de no serlo el elemento en común tendría que proyectarse sobre X α 0 en la interseción
de U y V que es vacía.
x ∈ pα−01 (U )
Tenemos que
y ∈ pα−01 (V )
abiertos y disjuntos ⇒ que el producto es de Hausdöff
⇐ Si ∏ X α es de Hausdöff tomemos un X α 0 cualquiera y en él sean xα 0 , yα 0 ∈ X α 0
α∈I
con xα0 ≠ yα0 y sean x, y ∈ ∏ X α tales que x (α ) = y (α ) ∀α ≠ α 0 y :
α ∈I
x (α 0 ) = xα 0
y (α 0 ) = yα0
- 109 -
Topología General
Capítulo 5
- 110 -
Entonces como x ≠ y implica que existen abiertos de la base U, V disjuntos tales
que x ∈ U e y ∈ V lo que significa a su vez que:
existen α1 ,...,α n ∈ I tales que Uαi abierto de X αi ∀i = 1,..., n y β1 ,..., β m ∈ I tal que
Vβi abierto de X βi ∀i = 1,..., m tales que:
n
U = I pα−i1 (Uαi ) = Uα1 × ... × Uα n ×
i =1
m
V = I pβ−i1 (Vβi ) = Vβ1 × ... × Vβ m ×
i =1
∏
Xα
∏
Vβ
α ≠{α1 ,...,α n }
β ≠{ β1 ,..., β m }
U
Uα0 xα0 Vα0 yα0
como:
x ∈U ⇒
V
X α0
p i ( x ) ∈ Uαi ∀i = 1,..., n
1α2
3
= pαi ( y ) si α i ≠α 0
= pαi ( x ) si α i ≠α 0
y ∉ U ⇒ ∃α i con i = 1,..., n tal que
678
pαi ( y ) ∉ Uαi
es decir que uno de los α i = α 0 (podemos suponer que además es único ya que de
haber más de uno tomamos la intersección de ellos )
Análogamente ∃j tal que β j = α 0 único.
Entonces proyectando U,V sobre X α 0
xα0
∈

 }
pα0  Uα1 × ... × U α n × ∏ X α  = Uα0
α ≠{α1 ,...,α n }




pα0  Vβ1 × ... × Vβ m × ∏ X β  = Vα0
β ≠{ β1 ,..., β m }

 {
abiertos disjuntos en X α0
∈
yα0
ya que como U I V = φ ⇒ Uα 0 I Vα 0 = φ luego conseguimos dos abiertos disjunto
que separan a x (α 0 ) e y (α 0 ) en X α 0 ⇒ es de Hausdöff .
Proposición 5.6 Sean ( E1 , d1 ) ,..., ( En , d n ) espacios métricos y :
d ∞ ( ( x1 ,..., xn ) , ( y1 ,..., yn ) ) = max {di ( xi , yi ) : ∀i = 1,..., n}
la topología inducida por d ∞ es la topología producto.
Demostración Sea {Td } una red en E1 × E2 × ... × En tal que:
d∞
Td 
→ x Entonces dado ε > 0 ∃d 0 ∈ D tal que :
- 110 -
Topología General
Topología Producto
- 111 -
pi (Td )
 }

Td = (Td (1) ,..., Td ( n ) ) 
P


 
y
 max  di  Td ( i ) , xi   < ε ∀d ≥ d 0

 

x = ( x1 ,..., xn )


 
→ xi ∀i ya que:
lo que implica pi (Td ) = Td ( i ) 
di
Si el máximo de los di ( Td ( i) , xi ) es < ε ⇒ que son todos menores que ε
Sea
di (Td ( i ) , xi ) < ε
∴ pi (Td ) = Td ( i ) 
→ xi ∀i
di
y como la convergencia coordenada a coordenada implica en la topología producto
que Td → x con la topología producto y recíprocamente todas las implicaciones son
recíprocas.
Proposición 5.7 Sea {En }n∈¥ una familia numerable de espacios métricos entonces:
∞
∏E
n
es metrizable
1
Demostración Recordar que si ( E , d ) es un espacio métrico decimos que es acotado
si:
∃k > 0 tal que d ( x, y ) ≤ k ∀x, y ∈ E
Si no esta acotado sea:
d 0 ( x, y ) = min {1, d ( x, y )}
es una distancia en E y además esta acotada probaremos que induce la misma
topología que d.
O sea d 0 , d inducen la misma topología porque:
Si xn 
→ x ⇔ d ( x, xn ) → 0 ⇔ d 0 ( x, xn ) → 0 ⇔ xn 
→x
d
d0
Entonces se puede suponer que los espacios métricos ( En , d n ) están acotados para
todo n si no es así cambiamos por ( En , d 0 ) y no cambia la topología entonces:
d n ( x, y ) ≤ 1 ∀n ∈ ¥
Se define
∞
∞
1
1
d : ∏ En × ∏ E n → ¡
x = { x ( i )} y = { y ( i )} :
∞
d ( x, y ) = ∑
1
di ( x ( i ) , y ( i ) )
2i
es fácil ver que es una distancia y además
- 111 -
Topología General
Capítulo 5
- 112 -
∞
1
=1< ∞
i
1 2
d induce la topología producto en ∏ En como:
d ( x, y ) ≤ ∑
n∈¥
Te 
→ x ⇔ Te ( i ) 
→ x (i )
top. prod.
di
entonces tenemos que probar que:
Te 
→ x ⇔ Te ( i ) 
→ x (i )
d
di
⇐ Dado ε > 0 sea k ∈ ¥ tal que:
y para i ≤ k sea ei tal que:
∞
1
∑2
k +1
i
<
ε
que existe si ε > 0
2
ε
si e ≥ ei
2
Sea e tal que e ≥ ei ∀i = 1,..., k Entonces si e ≥ e
di ( Te ( i ) , x ( i ) ) <
di ( Te ( i ) , x ( i ) )
=
2i
1
k
di ( Te ( i ) , x ( i ) ) ∞ di ( Te ( i ) , x ( i ) )
=∑
+∑
≤
2i
2i
1
k +1
k ε
∞
1 ε k 1 ε
≤ ∑ 2i + ∑ i < ∑ i + <
2 1 2 2
1 2
k +1 2
∞
d (Te , x ) = ∑
<
ε ∞ 1 ε ε ε
∑ + = + =ε
2 1 2i 2 2 2
∴ Te 
→x
d
y recíprocamente
Si Te 
→ x, dado ε > 0, n ∈ ¥, sea e0 tal que:
d
d (Te , x ) <
entonces como
ε
2n
∀e ≥ e0
d n (Te ( n ) , x ( n ) ) ∞ di ( Te ( i ) , x ( i ) )
≤∑
= d ( Te , x )
2n
2i
1
o sea
1
ε
d T ( n ) , x ( n ) ) ≤ d (Te , x ) < n
n n( e
2
2
⇒ d n (Te ( n ) , x ( n ) ) < ε si e ≥ e0 ∀n
⇒ Te ( n ) 
→ x ( n ) ∀n ⇒ la tesis
dn
- 112 -
Capítulo 6
Espacios Conexos
Definición 6.1 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, vamos a decir que X disconexo si
existen abiertos no vacíos y disjuntos U,V tales que:
X = U UV
En caso contrario diremos que X es conexo.
Ejemplo 6.1 Sea X con la topología discreta, entonces si X tiene más de un punto no
es conexo ya que para cualquier punto { x} se tiene que es abierto y cerrado luego
C
{ x} es abierto y:
X = { x} U { x}
C
claramente disjuntos.
Ejemplo 6.2 Sea X con la topología indiscreta. Tenemos que es conexo porque no
hay abiertos disjuntos no vacíos ( los únicos abiertos son X ,φ )
Ejemplo 6.3 Sea X con la topología de complementos finitos y X de infinitos
elementos
Sean A y B abiertos disjuntos y B ≠ φ entonces:
C
Si A I B = φ ⇒ A ⊂ B
{ ⇒ A es finito
finito
luego A no es finito y como A es abierto implica que es vacío, o sea no hay
abiertos disjuntos no vacíos luego es conexo.
C
Definición 6.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico , Y ⊂ X decimos que Y es conexo
si es conexo con la topología relativa.
Topología General
Capítulo 6
- 114 -
Ejemplo 6.4 Sea X = ( 0,1) U ( 2,3] con la topología relativa.
No es conexo ya que

 

3
3



X = −1,
IX U
, 4 I X  = ( 0,1) U ( 2,3]
2
2
 14
4244
3   14243 
 abierto relativo   abierto relativo 
(
)
(
)
Ejemplo 6.5 Sean los racionales Q con la topología relativa
Como
¤ = −∞, 2 I ¤ U 2, +∞ I ¤ ⇒
14
4244
3 14
4244
3
(
que Q es disconexo.
)
abierto en ¤
(
)
abierto en ¤
Proposición 6.1 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1) X es conexo
2) No existen cerrados disjuntos no vacíos A y B tal que:
X = AU B
3) Si A ⊂ X es abierto y cerrado, entonces:
A=φ o A= X
4) No existe función f : X → {0,1} que sea continua y sobreyectiva.
Demostración
1) ⇒ 2) supongamos por el absurdo que sí existen A y B cerrados disjunto no vacíos
tales que:
X = A U B ⇒ AC = B , B C = A con AC , B C son abiertos disjuntos
ya que φ = AC I B C tales que
X = AC U B C
2) ⇒ 3)
Supongamos que A ≠ φ , A ≠ X y A ⊂ X abierto y cerrado ⇒
A , AC son cerrados y X = A U AC
con A , AC cerrados disjuntos no vacíos ⇒
contradice 2)
- 114 -
Topología General
Espacios Conexos
- 115 -
3) ⇒ 4)
Supongamos que existe f : X → {0,1} continua y sobre entonces f −1 ( 0 ) es abierto
y cerrado en {0,1} y f −1 ( 0 ) no es vacío, ni todo el espacio por ser f sobre. O sea
f −1 ( 0 ) ≠ φ
lo que contradice 3)
f −1 ( 0 ) ≠ X
4) ⇒ 1)
Sea X disconexo ⇒ ∃ A y B abiertos disjuntos no vacíos tales que X = A U B
Entonces definimos f : X → {0,1} de la siguiente forma:
1 si x ∈ A
f (X ) = 
0 si x ∈ B
f −1 ( 0 ) = B

 ⇒ que la preimagen
f −1 (1) = A

−1
−1
f (φ ) = φ , f ({0,1}) = X 
de todo abierto es un abierto ⇒ f es continua y sobreyectiva y esto contradice 4)
f definida así es continua ya que :
Proposición 6.2 En los reales y con la topología usual [0,1] es conexo .
Demostración
Supongamos por el absurdo que no es conexo es decir que existen A y B cerrados
disjuntos no vacíos tales que
[ 0,1] = A U B
Como 0 ∈ A U B ⇒ que pertenece a alguno de ellos, podemos suponer sin perder
generalidad que 0 ∈ A y definimos el siguiente conjunto:
A0 = {a ∈ A : a ≤ b ∀b ∈ B}
Por definición A0 ⊂ A , además como 0 ∈ A y A I B = φ ⇒ 0 ≤ b ∀b ∈ B
⇒ 0 ∈ A0 luego A0 ≠ φ acotado superiormente por 1 implica que tiene extremo
superior, le llamemos α .
Tenemos que α ∈ A0 ⊂ A =
{ A ⇒ α ∈ A ahora puede suceder que
1) α = 1 ⇒ [ 0,1] I B = φ
2) α < 1 Sea
cerrado
⇒
{
por ser AI B =φ
B =φ
β = inf {b ∈ B} entonces β ∈ B =
{ B
cerrado
entonces por definición de A0 α ≤ β pero
- 115 -
Topología General
Capítulo 6
α = β como α ∈ A
 ⇒ AI B ≠ φ
β ∈B
luego α < β ⇒ ∃t ∈ [ 0,1] tal que α < t < β
Ahora si t ∈ A ⇒ por ser t < β ⇒ t ≤ b ∀b ∈ B ⇒ t ∈ A0
extremo superior de A0 ⇒ t ∉ A
Pero t ∉ B por ser t < β (ínfimo) pero [ 0,1] = A U B
conexo.
- 116 -
por ser α el
por lo tanto [0,1] es
Proposición 6.3 ( Teorema de Bolzano)
Sean X e Y espacios topológicos, f : X → Y continua si X es conexo entonces
f ( X ) también es conexo.
Demostración
Sea f : X → f ( X ) que es continua con la topología relativa en f ( X ) si este no es
conexo ⇒ existe
g : f ( X ) → {0,1} continua y sobre
entonces como
g o f : X → {0,1} es continua y sobre
luego X no es conexo
Proposición 6.4 Sea X un espacio topológico {Yα }α∈I una familia tal que Yα ⊂ X
convexos ∀α ∈ I tal que Yα I Yβ ≠ φ ∀α , β ∈ I entonces
UY
α∈I
α
es conexo
Demostración
Supongamos por el absurdo que no es conexo ⇒ que existe una función
g : U Yα → {0,1} continua y sobre. Como g |Yα : Yα → {0,1} es continua y como Yα es
α∈I
conexo ⇒ que no es sobre. g ( y ) = cte ∀y ∈ Yα (esa constante es cero o uno)
podemos entonces afirmar que:
g ( y ) = g ( z ) ∀y, z ∈ Yα
Sea x, y ∈ U Yα ⇒ x ∈ Yα ( x ) e y ∈ Yα ( y ) con α ( x ) ,α ( y ) ∈ I y como Yα ( x ) I Yα ( y ) ≠ φ
α ∈I
por hipótesis entonces:
∃z ∈ Yα ( x ) I Yα ( y ) ⇒ g ( x ) = g ( z ) = g ( y )
y g es constante lo que contradice el que g sea sobre .
- 116 -
Topología General
Espacios Conexos
- 117 -
Proposición 6.5 Sea X un espacio topológico X es conexo si y solo sí ∀x, y ∈ X
existe C ⊂ X conexo tal que x ∈ C , e y ∈ C
Demostración
⇒ Si X es conexo se toma C = X y tenemos la tesis.
⇐ Fijemos y ∈ X entonces ∀x ∈ X sea Cx ⊂ X conexo tal que x ∈ C x e y ∈ Cx
sabemos que existe por hipótesis además los Cx no son disjuntos, pues y pertenece a
todos ellos. Como:
X = U Cx
x∈X
entonces por proposición anterior X es conexo.
Ejemplo 6.6 Un subconjunto A ⊂ ¡ es conexo si y solo sí es un intervalo.
Demostración
Si a, b ∈ A ∀c tal que a < c < b se tiene que c ∈ A ya que si c ∉ A podemos
considerar:
U = ( −∞, c ) I A , V = ( c, +∞ ) I A
donde U I V = φ y A = U U V con U y V abiertos disjuntos no vacíos ⇒ A es
disconexo .
Recíprocamente probaremos que si I ⊂ ¡ es un intervalo ⇒ I es conexo.
Si I es un intervalo entonces dados x, y ∈ I , [ x, y ] ⊂ I como existe:
h : [ 0,1] → [ x, y ] homeomorfismo
(función continua y sobre ) entonces aplicando teorema de Bolzano al ser [0,1]
conexo ⇒ [ x, y ] es conexo luego por proposición anterior I es conexo.
Se concluye que cualquier intervalo ( a, b ] , [ a, b ) , ( a, b ) o [ a, b ] donde a o b pueden
ser −∞ o + ∞ respectivamente.
Proposición 6.6 Dado ( X ,τ ) espacio topológico, A ⊂ X conexo y A ⊂ B ⊂ A
entonces B es conexo.
Demostración
Para la demostración vamos a considerar que existe una función f : B → {0,1}
continua y ver que no puede ser sobre.
Como A ⊂ B ⇒ f | A : A → {0,1} es continua y como A es conexo ⇒ f ( A ) es el
conjunto unitario {0} o {1} . Podemos suponer sin perder generalidad que
f ( A ) = {0} .
- 117 -
Topología General
Por ser f continua
Capítulo 6
- 118 -
f ( A) ⊂ f ( A)
y si B ⊂ A ⇒
f ( B ) ⊂ f ( A ) ⊂ f ( A ) = {0} =
{ {0}
top. disc.
lo que significa que f no es sobre ⇒ B es conexo.
Como corolario tenemos la siguiente proposición
Proposición 6.7 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, C ⊂ X conexo entonces C es
conexo
Demostración Es inmediata si ponemos C ⊂ C ⊂ C y aplicamos proposición
anterior
Definición 6.3 Sea ( X , ) un espacio normado,
un conjunto A ⊂ X es convexo si ∀x, y ∈ A
∀t ∈ [ 0,1] se tiene que:
tx + (1 − t ) y ∈ A
(1 − t )( y − x )
x
⇒ x + ( t − 1) x + (1 − t ) y
x + (1 − t )( y − x ) ∈ A
Ejemplo 6.5
B ( 0, ε ) es convexo ya que
B ( 0, ε ) = {a ∈ X : x < ε }
sean x, y ∈ B ( 0, ε ) , t ∈ [ 0,1] entonces:
tx + (1 − t ) y ≤ tx + (1 − t ) y =
= t x + 1− t y =
= t x + (1 − t ) y < tε + (1 − t ) ε = ε
o sea
∀t ∈ [ 0,1] tx + (1 − t ) y ∈ B ( 0, ε )
Si la bola no es centrada en cero como existe un homeomorfismo:
h : B ( 0, ε ) → B ( x0 , ε )
dada por h ( x ) = x + x0 (traslación)
La bola trasladada es también convexo.
- 118 -
y
Topología General
Espacios Conexos
- 119 -
Proposición 6.8 Sea A un conjunto convexo en un espacio normado entonces A es
conexo.
Demostración
Sea a ∈ A fijo y ∀x ∈ A sea el segmento Cx = {ta + (1 − t ) x : t ∈ [ 0,1]} consideramos
h : [ 0,1] → C x por h ( t ) = ta + (1 − t ) x esta función es continua y sobre para cada x lo
que implica por Bolzano que su imagen Cx es conexo (por ser imagen por medio
de una función continua de un conexo).
Entonces
A = U Cx
x∈A
es conexo por ser unión de conexos con intersección dos a dos no vacíos, porque a
es común a todos.
Ahora veremos en primer lugar que el producto finito de espacios topológicos es
conexo si y solo sí es conexo cada uno, para después ver el caso infinito.
Proposición 6.9 Sean { X i }i =1 espacios topológicos entonces
n
solo sí X i es conexo ∀i = 1,..., n
n
∏X
i =1
i
es conexo si y
Demostración
 n



⇒ Como p j  ∏ X i  = X j ⇒ X j es conexo
{ i =1
continua  { 
 conexo 
⇐ probemos solo para dos y después por inducción generalizamos
Sean X 1 , X 2 conexos probaremos que X 1 × X 2 es conexo.
X 1 × {a2 }
Sea ( a1 , a2 ) ∈ X 1 × X 2 fijo
X2
Dado un x = ( x1 , x2 ) ∈ X 1 × X 2 sea
a2
C = X × {a } U { x } × X
x1
1
2
1
2
Consideremos h1 : X 1 × {a2 } → X 1 dada por
h1 ( z , a2 ) = z
Claramente h1 es una proyección luego es
continua y biyectiva.
h1−1 : X 1 → X 1 × {a2 }
h1−1 ( z ) = ( z , a2 )
- 119 -
{ x1} × X 2
a1
x1
X1
Topología General
Capítulo 6
- 120 -
Sea una red { zd } ⊂ X 1 tal que zd → z entonces:
h1−1 ( zd ) = ( zd , a2 ) → ( z , a2 ) = h1−1 ( z )
lo que implica que h1−1 es continua. Luego h1 es un homeomorfismo y si X1 es
conexo entonces X 1 × {a2 } es conexo.
Sea h2 : { x1} × X 2 → X 2 definida por
h2 ( x1 , z ) = z al igual que h1 h2 es una proyección y por lo tanto continua y
biyectiva y de la misma manera que se hizo para h1 se demuestra que h2 es un
homeomorfismo Luego como por hipótesis X 2 es conexo entonces { x1} × X 2 es
conexo.
Y como ( x1 , a2 ) ∈ X 1 × {a2 } I { x1} × X 2 ⇒ que la unión es conexo es decir Cx1 es
1
424
3 1
424
3
conexo
conexo
conexo ∀x1 ∈ X 1 luego como
X1 × X 2 =
UC
x1∈X 1
x1
Ya que si ( x1 , x2 ) ∈ X 1 × X 2 entonces ( x1 , x2 ) ∈ C x1 por definición y recíprocamente
si ( x, y ) ∈ C x1 ⊂
{ X 1 × X 2 ⇒ ( x, y ) ∈ X 1 × X 2
por def.
Además todos los conjuntos Cx1 tienen en común el punto ( a1 , a2 ) y son conexos
luego su unión es conexo ⇒ X 1 × X 2 es conexo.
Generalizamos tomando X = X 1 × X 2 e Y = X 3 por lo anterior X × Y es conexo es
decir X 1 × X 2 × X 3 es conexo y así sucesivamente tenemos que X 1 × ... × X n es
conexo.
Veamos ahora el caso infinito.
Proposición 6.10 Sea { X λ }λ∈I una familia de espacios topológicos entonces
∏X
λ∈I
λ
es conexo si y solo sí los X λ son conexos para todo λ ∈ I .
Demostración El caso directo es inmediato por ser la proyección una función
continua al igual que el caso finito.
Para el recíproco consideremos un punto fijo {aλ }λ∈I ∈ ∏ X λ tomamos una
λ∈I
cantidad de índices finitos λ1 , λ2 ,..., λn ∈ I y definimos:
X λ1 ,...,λn = X λ1 × X λ2 × ... × X λn ×
- 120 -
∏
λ∈I
λ ≠{λ1 ,...,λn }
aλ
Topología General
Espacios Conexos
- 121 -
es decir:


X λ1 ,...,λn =  x ∈ ∏ X λ : xλ = aλ ∀λ ≠ λ1 ,..., λn 


λ∈I
definimos la función
ϕ : X λ1 ,..., λn → X λ1 × ... × X λn
como la proyección de X λ1 ,..., λn sobre X λ1 × ... × X λn luego es continua y biyectiva
para probar que la inversa es continua lo demostramos igual que el caso finito, nos
tomamos una red convergente.
ϕ −1 : X λ1 × ... × X λn → X λ1 ,..., λn
Sea { zd } ⊂ X λ1 × ... × X λn tal que zd → z
=
aλ → aλ 
ϕ −1 ( zd )( λ )
{
λ
∉
λ
λ
si
,...,


{
}
1
n
−1
ϕ −1 ( zd ) =  −1
 = ϕ ( z)
=
zd → z 
{
 ϕ ( zd )( λ )
si λ∈{λ1 ,..., λn }


−1
por lo que ϕ es continua y lleva conexo en conexo luego como por hipótesis cada
X λ es conexo entonces por proposición anterior X λ1 × X λ2 × ... × X λn es conexo y
entonces X λ1 ,..., λn es conexo.
Sea
Z=
U
{λ1 ,..., λn }⊂ I
X λ1 ,..., λn
como {aλ } ∈ X λ1 ,...,λn ∀{λ1 ,.., λn } ⊂ I tienen intersección no vacía y luego su unión
es un conjunto conexo.
Además si U es un abierto de la base de la topología producto.
U = pα−11 (U1 ) I ... I pα−k1 (U k ) con U i ⊂ Xαi ∀i = 1,..., k
Como
X α1 ,...,αn I U ≠ φ
ya que
U = U1 × ... × U k × ∏ X λ con U i ⊂ X αi
14243 λ∉{α ,...,α }
⊂ X α1 ×...× X αk
1
X α1 ,...,αk = X α1 × ... × X αk ×
k
∏
λ∉{α1 ,...,α k }
aλ
luego
Z I U ≠ φ ∀U abierto de la base ⇒ Z = ∏ X λ y como Z es conexo implica que Z
es conexo luego
∏X
λ∈I
λ∈I
λ
es conexo.
- 121 -
Topología General
Capítulo 6
- 122 -
Definición 6.4 Sea X un espacio topológico , x, y ∈ X . Se dice que x e y están
conectados (anotamos x : y ) si existe un conjunto C ⊂ X conexo tal que
x, y ∈ C
Proposición 6.11 X es un espacio topológico conexo si y solo sí x : y ∀x, y ∈ X
Demostración por la proposición 6.5 X es conexo si y solo sí ∀x, y ∈ X existe un C
conexo con x, y ∈ C ⇔ por definición que x : y .
Proposición 6.12 Estar conectado es una relación de equivalencia.
Demostración
1) x : x ya que { x} es conexo
2) Si x : y ⇒ y : x por definición
Si x : y 
3)
⇒ x : z
e y:z
Ya que x : y ⇒ ∃C ⊂ X conexo tal que x, y ∈ C
y : z ⇒ ∃D ⊂ X conexo tal que y, z ∈ D
Entonces
x, z ∈ C U D y como C U D es conexo por ser unión de conexos no disjuntos ya
que y ∈ C I D luego x : z
Toda relación de equivalencia en un conjunto establece una partición del mismo en
clases de equivalencia tales que son disjuntas y su unión es el conjunto. Podemos
entonces introducir la siguiente definición.
Definición 6.5 Sea X un espacio topológico, x ∈ X llamaremos componente conexa
de x a la clase de equivalencia de x. Anotamos Cx
Cx = { y ∈ X : y : x}
también podemos escribir
Cx = { y ∈ X : ∃C ⊂ X , conexo tal que x, y ∈ C}
para un A subconjunto de X definimos la componente conexa de x en A que
anotamos CxA como:
CxA = { y ∈ A : y : x}
o también
CxA = { y ∈ A : ∃C ⊂ A, conexo tal que x, y ∈ C}
Observar que de acuerdo a la definición siempre CxA ⊂ A .
- 122 -
Topología General
Espacios Conexos
- 123 -
Proposición 6.13 Dado un espacio topológico X este es conexo si y solo sí tiene una
única componente conexa.
Demostración Por la proposición 6.11 tenemos que X es conexo si y solo sí para
todo x, y ∈ X , x ∼ y entonces si fijo x implica que y ∈ Cx ∀y ∈ X ⇒ X ⊂ C x como
la otra inclusión es obvia entonces son iguales Cx = X luego tiene solo una
componente conexa.
Proposición 6.14 La componente conexa de x es el mayor conexo que contiene a x
Demostración Tenemos que probar dos cosas primero que cualquier otro conexo que
contenga a x esta contenido en Cx y luego que la componente conexa Cx es conexo.
Sea D ⊂ X conexo con x ∈ D ⇒ ∀y ∈ D y : x por definición de conectado lo que
implica por definición de componente conexa que y ∈ Cx luego D ⊂ C x .
Como ∀y ∈ Cx ⇒ y : x ⇒
{ ∃Dy ⊂ X conexo tal que x, y ∈ Dy pero por lo anterior
por def.
Dy ⊂ C x entonces
Cx =
UD
y∈C x
y
y como la unión no disjunta de conexos es conexo ⇒ Cx es conexo.
Corolario 6.15 Las componentes conexas son cerrados.
Demostración Se tiene que por proposición anterior las componentes conexas son
conexas luego su clausura C x es también conexa ⇒ C x ⊂ C x porque la componente
conexa es el mayor conexo que contiene a x. Luego como siempre Cx ⊂ C x ⇒
Cx = C x
Ejemplo 6.6 Sea X = ( 0,1) U [ 2,3) las componentes conexas son ( 0,1) y [ 2,3) que
son abiertos y cerrados a la vez
Ejemplo 6.7 Sean los racionales ¤ con la topología heredada de ¡ las componentes
conexas de un punto p ∈ ¤ es el propio p es decir C p = { p} ya que si la
componente
conexa
tuviera
más
de
un
punto
por
ejemplo
p, q ∈ C p con p ≠ q ⇒ ∃α irracional tal que p < α < q y entonces podemos escribir
C p = ( −∞,α ) I C p U C p I (α , +∞ )
14
4244
3 14
4244
3
abierto
- 123 -
abierto
Topología General
Capítulo 6
- 124 -
se puede escribir a C p como unión de abiertos disjuntos, luego C p no es conexo lo
cual es absurdo.
Con p racional claramente { p} es cerrado ya que ¤ con la topología relativa a la
usual de ¡ es T1. Pero no es abierto, ya que un abierto en ¤ es un abierto de ¡
intersección ¤ que claramente tiene más de un punto (contiene infinitos puntos).
Ejemplo 6.8 El conjunto de Cantor C es un conjunto donde las componentes
conexas son los conjuntos unipuntuales ya que no hay intervalos en C.
Definición 6.6 Sea X un espacio topológico decimos que X es localmente conexo si
∀x ∈ X se tiene una base de entornos conexos.
Ejemplo 6.9 Los reales ¡ es localmente conexo ya que
{( x − ε , x + ε ) : ε > 0}
es una base de entornos conexos de x. Además ¡ es conexo.
Ejemplo 6.10 Sea el espacio X = ( 0,1) U ( 2,3] no es conexo pero sí es localmente
conexo.
Ejemplo 6.11 Sea ¡ × ¤ ⊂ ¡ 2 no es conexo, ni localmente conexo
Ejemplo 6.12 Sea ¡ × ¤ U [( x, x ) : x ∈ ¡ ] no es localmente conexo pero sí es conexo.
Dos puntos de una misma recta están
conectados, dos puntos de rectas distintas están
conectados pero siguiendo el camino indicado
por las flechas, ya que ese camino es unión de
segmentos (conexos) no disjuntos luego la
unión es conexa. Es decir existe un conexos
incluido en el espacio que contiene a los
puntos.
Proposición 6.16 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) X es localmente conexo
2) Si A ∈ τ las componentes conexas de A son abiertas.
- 124 -
Topología General
Espacios Conexos
- 125 -
3) Existe una base de la topología τ cuyos miembros son conexos.
Demostración
1) ⇒ 2) Si X es localmente conexo ⇒ ∀x ∈ X se tiene :
Bx = {V ∈ N x : V conexo}
Sea A abierto y C una componente conexa de A.( C ⊂ A )
Tomemos x ∈ C al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos,
como x ∈ A ⇒ A ∈ N x por definición de base local ⇒ ∃V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ A .
Como V,C conexos y x ∈ V U C ⇒ V U C es conexo ⇒ V U C ⊂ C por proposición
6.14 y esto último significa que V ⊂ C .
En resumen ∀x ∈ C ∃V entorno conexo tal que x ∈ V ⊂ C ⇒ que C es abierto.
2) ⇒ 3) Sea
B = { A ∈ τ : A es conexo}
Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas de B son abiertas llamemos a
estas CxB para x ∈ B entonces:
B = U C xB
x∈B
B
x
y por ser los C conexos y abiertos ⇒ C ∈B ∀x ∈ B luego todo abierto se puede
escribir como unión de elementos de B ⇒ es una base.
3) ⇒ 1) Sea B una base de conexos, x ∈ X , definimos.
Bx = {V ∈B : x ∈ V }
implica queBx es una base de entornos conexos de x ya que si V ∈B ⇒ V es abierto
y como x ∈ V ⇒ V ∈ N x y conexo.
B
x
Corolario 6.17 Cualquier componente conexa C de un espacio X localmente conexo
es abierta y cerrada.
Demostración Primero aplicamos el teorema anterior para el abierto X por lo que las
componentes de X son abiertas y por el corolario 6.15 estas son cerradas.
Proposición 6.18 Sea X un espacio topológico localmente conexo, sea Y un espacio
topológico, f : X → Y continua si además f es abierta o cerrada entonces f ( X ) es
localmente conexo.
Demostración Primero haremos la demostración para el caso de que la función f sea
abierta.
Que X sea localmente conexo significa por definición:
- 125 -
Topología General
Capítulo 6
- 126 -
∀x ∈ X Bx = {V ∈ N x : V conexo} es una base local esto implica a su vez que:
Dado N ∈ N x existe V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ N
Como f es continua ⇒ dado W ∈ N f ( x ) ⇒ ∃N ∈ N x tal que f ( N ) ⊂ W
Y como para cada N ∈ N x existe V ∈Bx tal que V ⊂ N entonces
f (V ) ⊂ f ( N ) ⊂ W
Por otro lado que V ∈ N x ⇒ ∃U abierto tal que x ∈ U ⊂ V ⇒ f ( x ) ∈ f (U ) ⊂ f (V )
y como f es abierta ⇒ f (U ) es abierto ⇒ por definición de entorno que
f (V ) ∈ N f ( x )
además al ser V conexo y f continua ⇒ f (V ) es conexo.
Entonces si consideramos
Bf ( x ) = { f (V ) : V ∈B} = { f (V ) : V ∈ N x , V conexo}
Se tiene que:
Para cada W ∈ N f ( x ) ⇒ ∃f (V ) ∈Bf ( x ) tal que
f (V ) ⊂ W
lo que significa por definición que Bf ( x ) es una base local donde sus elementos son
conexos luego es f ( X ) localmente conexo.
Ahora consideremos la hipótesis de que f es cerrada y en primer lugar observemos
que f : X → f ( X ) es sobre y por lo tanto vale:
∀A ⊂ f ( X ) , f ( f −1 ( A) ) = A
Lo que vamos a probar es que para todo abierto en f ( X ) tiene sus componentes
conexas abiertas.
Dado A ⊂ f ( X ) abierto sea D una componente conexa de A.
Como f es continua f −1 ( A ) es abierto en X y como ya vimos en la demostración de
la proposición 6.16 que un abierto en un espacio localmente conexo se puede
escribir como unión de las componentes conexas de todos sus puntos, es decir:
f −1 ( A ) = U Cα
α ∈ f −1 ( A )
donde las componentes conexas Cα ya vimos que son abiertas.
Y como D ⊂ A ⇒ f −1 ( D ) ⊂ f −1 ( A ) ⇒ f −1 ( D ) = f −1 ( A) I f −1 ( D ) y sustituyendo
f −1 ( D ) =
U
α ∈ f −1 ( A )
Cα I f −1 ( D )
Supongamos que Cα I f −1 ( D ) ≠ φ lo que significa que.
- 126 -
Topología General
Espacios Conexos
- 127 -
x ∈ Cα ⇒ f ( x ) ∈ f ( Cα )


∃x ∈ Cα I f −1 ( D ) ⇒ 
 ⇒ f ( x ) ∈ f ( Cα ) I D
−1
−1
x
∈
f
D
⇒
f
x
∈
f
f
D
=
D
(
)
(
)
(
)
(
)


Luego f ( Cα ) I D ≠ φ
Por otro lado como Cα es componente conexa de f −1 ( A ) implica que:
Cα ⊂ f −1 ( A) ⇒ f ( Cα ) ⊂ f ( f −1 ( A ) ) = A
Como Cα es conexo y f es continua ⇒ f ( Cα ) es conexo en A pero como D es
componente conexa de A y f ( Cα ) I D ≠ φ ⇒ f ( Cα ) ⊂ D
Demostramos que
Si Cα I f −1 ( D ) ≠ φ ⇒ Cα ⊂ f −1 ( D )
entonces podemos escribir:
f −1 ( D ) =
U Cα
Cα I f −1 ( D ) ≠φ
y por ser unión de abiertos es abierto por lo tanto
 f −1 ( D )  es cerrado
C
y como  f −1 ( D )  = f −1 ( D C ) entonces como f es cerrada


−1
C
C

f f (D ) = D
{
424
3
1
 cerrado  cerrado
Luego D es abierto.
C
Definición 6.7 Sea X un espacio topológico, x, y ∈ X Un camino de x a y en X es
una función f : [ 0,1] → X continua y tal que:
 f (0) = x

 f (1) = y
Definición 6.8 Se dice que un X espacio topológico, x, y ∈ X están conectados por
caminos si existe un camino de x a y . Anotamos x : C y
Definición 6.9 Decimos que un espacio topológico X es conexo por caminos si :
x : C y ∀x, y ∈ X
A ⊂ X decimos que A es conexo por caminos si lo es como espacio al considerar
sobre él la topología relativa.
Proposición 6.19 Si x e y están conectados por caminos implican que están
conectados.
- 127 -
Topología General
Capítulo 6
- 128 -
x :C y ⇒ x : y
Demostración Por hipótesis como estar conectados por caminos implica que
tenemos una función continua f : [ 0,1] → X y como [ 0,1] es conexo y f continua
implica que f ([ 0,1]) es conexo y contiene a x e y ⇒ por definición que x está
conectado con y.
Corolario 6.20 Si el espacio topológico X es conexo por camino entonces X es
conexo
X conexo por ca min os ⇒ conexo
Demostración Por definición si X es conexo por camino entonces ∀x, y ∈ X
se tiene que x : C y ⇒ x : y ⇒
{ que X es conexo
prop.6.11
El recíproco no vale ver ejemplo 6.13
Proposición 6.21 Estar conectados por camino ( : C ) es una relación de
equivalencia.
Demostración
a) f : [ 0,1] → X definido f ( t ) = x ∀t ∈ [ 0,1] ⇒ x : C x
b) f : [ 0,1] → X cont. con  f ( 0 ) = x

 f (1) = y
Sea g : [ 0,1] → X dado por g ( t ) = f (1 − t ) ∀t ∈ [ 0,1] ⇒
g es continua y  g ( 0 ) = f (1) = y

 g (1) = f ( 0 ) = x
⇒ y :C x
c) f , g : [ 0,1] → X continuas tal que:
 f (0) = x

 f (1) = y = g ( 0 )
 g (1) = z

Consideremos h : [ 0,1] → X definidas por :
f
1
 f ( 2t ) si t ∈ [ 0, 2 ]
h (t ) = 
1
 g ( 2t − 1) si t ∈ [ 2 ,1]
el recorrido de x a y , y a z lo tenemos que hacer el doble de rápido.
- 128 -
g
z
x
Topología General
Espacios Conexos
- 129 -
H es continua ya que es la cocatenación de funciones continuas y f (1) = g ( 0 ) con
h ( 0 ) = f ( 0 ) = x

 h (1) = g (1) = z
luego x : C y .
Definición 6.10 La relación de equivalencia de estar conectado por camino establece
una partición en clases de equivalencia que llamamos componente conexa por
camino de X.
Anotamos CCx para referirnos a la componente conexa por camino de x.
Proposición 6.22 El espacio topológico X es conexo por caminos si y solo sí tiene
una única componente conexa por camino.
Demostración Por definición tenemos que X es conexo por camino si y solo sí para
todo x, y ∈ X , x ∼C y entonces si fijo x implica que y ∈ CC x ∀y ∈ X ⇒ X ⊂ CC x
como la otra inclusión es obvia entonces son iguales CCx = X luego tiene solo una
componente conexa.
Proposición 6.23 Sea X un espacio topológico entonces las componentes conexas
por camino están incluidas en las componentes conexas de X.
CCx ⊂ Cx
Demostración Esto es porque estar conectados por camino implica estar conectado
es decir:
Si y ∈ CC x ⇒ y : C x ⇒
{ y : x ⇒ y ∈ Cx
Pr op. 6.19
Luego
CCx ⊂ Cx
Proposición 6.24 Dado X espacio topológico, sea x ∈ X entonces la componente
conexa por camino CCx es el mayor subconjunto conexo por camino que contiene a
x.
Demostración CCx que es el mayor conexo por camino, implica que, por un lado es
el mayor en el sentido que contiene a todo conjunto conexo por camino y que él es
conexo por camino. Lo demostraremos por separado:
- 129 -
Topología General
Capítulo 6
- 130 -
a) Si A ⊂ X conexo por camino y x ∈ A entonces por definición
∀y ∈ A ⇒ y : C x en A ⇒ se puede unir y con x mediante un camino en A, pero
como A ⊂ X se puede unir y con x por medio de un camino en X. ⇒ y ∈ CC x .
Luego
A ⊂ CC x
b) CCx es conexo por camino.
Tenemos que probar que no puede suceder
lo que está representado en la figura en
punteado, es decir que el camino no sale de
la componente conexa CCx .
Dado un camino σ en X con σ ( 0 ) = x
llamemos I = [ 0,1] todos los puntos del
σ ( I ) = {σ ( s ) ∈ X : s ∈ I }
camino
son
A
CCx x
y
X
entonces todos los puntos σ ( s ) ∈ σ ( I ) pueden ser unidos con x por el camino
σ ′ ( t ) definido como sigue:
σ ′ ( 0 ) = σ ( 0 ) = x
σ ′ ( t ) = σ ( st ) = 
σ ′ (1) = σ ( s )
Luego σ ( s ) : C x ∀s ∈ I ⇒ σ ( s ) ∈ CC x ∀s ∈ I es decir que σ ( I ) ⊂ CCx ⇒ CC x
es conexa por caminos en X.
Proposición 6.25 Si X es un espacio topológico conexo por camino y f es una
función continua entonces f ( X ) es conexa por camino.
Demostración Sean f ( x ) , f ( y ) ∈ f ( X ) al ser X conexo por camino implica que
para todo x, y ∈ X se cumple x : C y ⇒ existe h : [ 0,1] → X continua y tal que:
h ( 0 ) = x
entonces sea f o h : [ 0,1] → f ( X )

 h (1) = y
que es continua por ser composición de continuas y tal que:
( f o h )( 0 ) = f ( h ( 0 ) ) = f ( x )
⇒ f ( x) :C f ( y )

f
o
h
1
=
f
h
1
=
f
y
(
)(
)
(
)
(
)
(
)

Luego f ( X ) es conexo por camino.
Ejemplo 6.13
Sea X = A U B ⊂ ¡ 2 con A = {0} × [ 0,1] y B = {( x, sen πx ) : x ∈ ( 0,1]}
- 130 -
Topología General
Espacios Conexos
- 131 -
Para todo los puntos de B se tiene
que hay un camino que los conecta
que es el propio gráfico de sen ( πx )
Luego B es conexo por camino ⇒
es conexo.
Además A ⊂ B entonces como
B ⊂ X ⊂ B ⇒ que X es conexo.
Probaremos que X no es conexo
por camino.
Para lo que consideramos un
camino que llamamos α ( t )
definido α : [ 0,1] → X tal que.
α ( 0 ) = ( 0,1) es decir que partimos
del punto (0,1) de A. Llamemos α ( t ) = (α1 ( t ) ,α 2 ( t ) ) empezamos a movernos en el
conjunto A y queremos saber en que momento dejamos él mismo para ello
definimos :
t0 = sup {T ∈ [ 0,1] : α1 ( t ) = 0 ∀t ≤ T }
Como α1 es continua y {0} es cerrado ⇒ α1−1 ({0} ) es cerrado ⇒ t0 ∈ α1−1 ({0} ) ⇒
α1 ( t0 ) = 0
Si t0 = 1 ⇒ ∀t ≤ 1 α1 ( t ) = 0 es decir que no salimos del conjunto A ⇒ α ([ 0,1]) ⊂ A
Supongamos que t0 < 1 . Como α es continua:
Dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si t − t0 < δ entonces
α ( t ) − α ( t0 ) < ε
Sea t1 tal que t1 − t0 < δ entonces
α ( t1 ) ∈ B I B (α ( t0 ) , ε )
pero tenemos que existe t ∈ ( t0 , t1 ) tal que α1 ( t ) =
3
2
1
y para este t
+ 2n
 1

α (t ) =  2
, −1 ∉ B (α ( t0 ) , ε )
 3 + 2n

Luego t0 < 1 nos lleva a un absurdo por lo tanto t0 = 1 ⇒ que no podemos salimos
de A. Lo que implica que no es conexo por camino. Además sus componentes
conexas por camino son A y B (B no es cerrado) Mientras que componente conexa
hay una sola, ya que X es conexo.
Definición 6.11 Sea X un espacio topológico decimos que es localmente conexo por
caminos si todo punto x ∈ X tiene una base de entornos conexos por caminos.
- 131 -
Topología General
Capítulo 6
- 132 -
Anotamos lcc
Proposición 6.26 Sea X un espacio topológico las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1) X es lcc
2) Si A ⊂ X abierto entonces las componentes conexas por camino de A son
abiertas.
3) Existe una base de X cuyos miembros son conexos por camino.
Demostración
1) ⇒ 2) Si X es localmente conexo por camino ⇒ ∀x ∈ X se tiene :
Bx = {V ∈ N x : V conexo por camino}
Sea A abierto y C una componente conexa por camino de A.( C ⊂ A )
Tomemos x ∈ C al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos,
como x ∈ A ⇒ A ∈ N x por definición de base local ⇒ ∃V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ A .
Como V es conexo por camino y tiene a x en común con C entonces:
∀y ∈ V ⇒
{ y :C x ⇒
{ y ∈ C ⇒V ⊂ C
x∈V
x∈C
en resumen ∀x ∈ C ∃V ∈ N x tal que V ⊂ C
por lo tanto C es abierto.
2) ⇒ 3) Sea
B = { A ∈ τ : A es conexo por camino}
Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas por camino de B son abiertas
llamemos a estas CCxB para x ∈ B entonces:
B = U CC xB
x∈B
y por ser los CC conexos y abiertos ⇒ CCxB ∈B ∀x ∈ B luego todo abierto se
puede escribir como unión de elementos de B ⇒ es una base.
3) ⇒ 1) Sea B una base de conexos por caminos, x ∈ X , definimos.
Bx = {V ∈B : x ∈ V }
implica queBx es una base de entornos conexos por camino de x ya que si
V ∈B ⇒ V es abierto y como x ∈ V ⇒ V ∈ N x y conexo por camino.
B
x
Proposición 6.27 Si X es un espacio topológico localmente conexo por camino
entonces las componentes conexas por camino CCx de x, son abiertas y cerradas
∀x ∈ X .
Demostración Por la proposición anterior 2) si tomamos A = X tenemos que las
componentes conexas por camino de X son abiertas.
- 132 -
Topología General
Sea
x0 ∈ ( CC x )
C
Espacios Conexos
- 133 -
⇒ x0 : C x como el espacio es localmente conexo por camino
implica que existe N ∈ N x0 con N conexo por camino
∀y ∈ N supongamos que y : C x como y : C x0 ⇒ x : C x0
Luego y : C x ⇒ y ∈ ( CCx )
C
⇒ N ⊂ ( CCx ) o sea que el complemento es abierto y
C
por lo tanto la componente conexa por camino es cerrada.
Proposición 6.28 Sea X un espacio topológico localmente conexo por camino
entonces:
X es conexo si y solo sí, X es conexo por camino.
Demostración ⇐ ya está demostrado en la proposición 6.20
⇒ Sea x ∈ X y CCx su componente conexa por camino que por la proposición
anterior es abierta y cerrada luego como por hipótesis X es conexo, entonces usando
proposición 6.1(2)
CC = φ
⇒ x
CCx = X
y como CCx es no vacía ya que x ∈ CCx ⇒ CCx = X
Es decir que X tiene solo una componente conexa por camino ⇒ es conexo por
camino (por proposición 6.22).
Ejemplo practico
Sea X un espacio topológico y A ⊂ X . Sea C ⊂ X un conjunto conexo tal que
C I A ≠ φ y C I AC ≠ φ . Probar que C I ∂A ≠ φ
Demostración Supongamos por absurdo que
C I ∂A = φ
primero que nada observemos que
C I A \ ∂A = C I A − C
I ∂A = C I A
123
=φ
y como A \ ∂A = Ao ⇒ es abierto en X pero esto a su vez implica que C I A es
abierto en C y distinto del vacío por hipótesis.
Por otro lado como ∂A = ∂AC ya que por definición:
∂A = A I AC
y entonces aplicando la definición al complemento se tiene
- 133 -
Topología General
Capítulo 6
- 134 -
∂AC = AC I ( AC ) = AC I A = ∂A
C
luego podemos hacer el mismo razonamiento que más arriba para C I AC .
C I AC \ ∂AC = C I AC − C I ∂{
AC = C I AC
=∂A
1
424
3
=φ
y como
A \ ∂A = ( A
C
C
)
C o
que es abierto en X luego C I AC es abierto en C y
distinto del vacío por hipótesis.
Es decir que en resumen tenemos que los conjuntos C I A y C I AC son abiertos
no vacíos en C y disjuntos por serlo A y AC tales que:
C = ( C I A) U ( C I AC )
lo cual es absurdo por ser C conexo.
Luego tiene que ser C I ∂A ≠ φ
- 134 -
Capítulo 7
Espacios Métricos Completos
Definición 7.1 Una sucesión { xn } es de Cauchy en un espacio métrico ( E , d ) si:
Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple:
d ( xm , xn ) < ε
Proposición 7.1 Si una sucesión { xn } es convergente entonces es de Cauchy
Demostración Si xn → x ⇒ Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0
ε
d ( xn , x ) <
2
entonces si n, m ≥ n0 aplicando la desigualdad triangular
d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , x ) + d ( xm , x ) < ε
1
424
3 1
424
3
<
ε
2
<
ε
2
Proposición 7.2 Una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es
convergente.
Demostración Sea { xn } de Cauchy ⇒ dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0 se
cumple
ε
d ( xn , xm ) <
2
Por hipótesis xnk → x ⇒ Para el ε anterior ∃k0 ∈ ¥ tal que ∀nk ≥ nk0 se tiene que:
ε
2
entonces para todo n > n%0 existe nk > n%0 (por definición de
d ( xnk , x ) <
Sea n%0 ≥ max {n0 , nk0 }
subsucesión) tal que:
Topología General
Capítulo 7
- 136 -
d ( xn , x ) ≤ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x ) <
y por lo tanto xn → x
ε ε
+ <ε
2 2
Proposición 7.3 Sea ( E , d ) un espacio métrico y una sucesión { xn } ⊂ E de Cauchy
entonces { xn } está acotada.
Demostración Primero observemos que { xn } acotada ⇔ para algún K > 0 se tiene:
sup {d ( xn , xm ) : m, n ∈ ¥} < K
Tomemos ε = 1 y apliquemos la definición de Cauchy para ese ε ⇒ ∃n0 ∈ ¥
tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple:
d ( xn , x m ) < 1
A partir de n0 la sucesión está acotado por 1 y como los n0 primeros también están
acotados por ser éste un conjunto finito. Luego existe M positivo tal que:
M = sup {d ( xi , xn0 ) : i ≤ n0 }
Entonces si i ≤ n0 y m ≥ n0
d ( xi , xm ) ≤ d ( xi , xn0 ) + d ( xn0 , xm ) < M + 1
1424
3 14243
<M
por lo tanto d ( xn , xm ) < M + 1 ∀n, m ∈ ¥
<1
El recíproco no es cierto vasta con ver el siguiente ejemplo
Ejemplo 7.1 Una sucesión puede ser acotado como ( −1) y no ser de Cauchy como
se puede ver claramente.
n
Proposición 7.4 Sea f : E → F una función uniformemente continua si { xn } ⊂ E es
de Cauchy entonces { f ( xn )} es de Cauchy.
Demostración Por ser f uniformemente continua implica que dado ε > 0 ∃δ > 0 tal
que si d ( x, y ) < δ entonces
d ( f ( x) , f ( y )) < ε
como { xn } es de Cauchy implica que para ese δ > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0 se
tiene
d ( xn , xm ) < δ
luego
- 136 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 137 -
d ( f ( xn ) , f ( xm ) ) < ε
por lo tanto { f ( xn )} es de Cauchy.
Ejemplo 7.2 Una función que es solo continua no lleva sucesiones de Cauchy en
sucesiones de Cauchy como muestra el siguiente ejemplo.
1
1
es de Cauchy
Sea f : ( 0,1) → ¡ tal que f ( x ) = es continua en ( 0,1) y { xn } =
n
x
pero { f ( xn )} = {n} no es de Cauchy.
Esto nos muestra que la noción de que una sucesión sea de Cauchy no es una
propiedad topológica ya que solo se conserva por homeomorfismos uniformes (que
sean uniformemente continuos).
{}
Ejemplo 7.3 Toda sucesión de Cauchy no tiene porque ser convergente por ejemplo
n
1
1

en ( 0,1) es de Cauchy pero no converge en ese espacio. Otro ejemplo 1 + 
n
 n
en los racionales ¤ es de Cauchy pero claramente no converge en los racionales.
Es decir que la convergencia esta sujeto a lo que sucede en el espacio ( si le faltan
puntos por ejemplo ).
Nos va a interesar el estudios de aquellos espacios métricos en que las sucesiones de
Cauchy sean convergentes y por eso introducimos la siguiente definición
{}
Definición 7.2 Un espacio métrico ( E , d ) es completo si toda sucesión de Cauchy
en E es convergente.
Ejemplo7.4 Los reales son un espacio métrico completo. Los racionales ya vimos
que no y el intervalo [ 0,1] es completo mientras que ( 0,1) no es completo porque
{ 1 n} es de Cauchy y converge a cero que no pertenece al intervalo.
Proposición 7.5 Sea E y F espacios métricos, f : E → F continua, biyectiva y con
inversa uniformemente continua entonces si E es completo implica F es completo.
Demostración Sea { yn } ⊂ F de Cauchy por proposición anterior (7.4) aplicado a la
función inversa. ⇒ { f −1 ( yn )} es de Cauchy y como { f −1 ( yn )} ⊂ E que es
completo por hipótesis, luego f −1 ( yn ) → e ∈ E y como f es continua :
f ( f −1 ( yn ) ) → f ( e )
14243
= yn
- 137 -
Topología General
Capítulo 7
- 138 -
como f ( e ) ∈ F demostramos entonces que yn → f ( e ) ∈ F converge en F ⇒ que
F es completo.
Corolario 7.6 Sean E y F son isométricos entonces E es completo si y solo sí F es
completo.
Demostración Como las isometrías son funciones uniformemente continuas y como
las inversas de isometrías son isometrías tenemos que su inversa también es
uniformemente continua. Luego se puede aplicar la proposición anterior tanto en el
directo como en el recíproco.
Vamos a ver ahora dos proposiciones que relacionan el ser completo con ser cerrado
Proposición 7.7 Sea ( E , d ) un espacio métrico completo y F ⊂ E cerrado entonces
F es completo.
Demostración Tomemos una sucesión de Cauchy { xn } en F y como F ⊂ E dicha
sucesión es de Cauchy en E ⇒ xn → x ∈ E .
Tenemos entonces que existe una sucesión { xn } ⊂ F tal que xn → x luego por la
proposición 3.2 x ∈ F {= F ⇒ { xn } converge en F ⇒ F es completo.
cerrado
Proposición 7.8 Sea ( E , d ) un espacio métrico, y F ⊂ E completo entonces F es
cerrado.
Demostración Tomemos x ∈ F implica por proposición 3.2 que existe una sucesión
{ xn } ⊂ F tal que xn → x como F es completo y la sucesión está en F entonces { xn }
converge en F
⇒ x ∈ F luego F ⊂ F como la otra inclusión se cumple siempre
F = F y por lo tanto F es cerrado.
Proposición 7.9 Sean E y F dos espacios métricos consideremos el espacio
producto E × F con cualquiera de las métricas ( d1 , d 2 , o d ∞ ) se tiene que es
completo si y solo sí lo son E y F.
Demostración Recordemos primero que dichas
métricas son equivalentes ya que
2d1 ( x, y ) ≤ d ∞ ( x, y ) ≤ d1 ( x, y )
lo que equivale a:
B d1 ( x, ε ) ⊂ B d∞ ( x, ε ) ⊂ B d1 ( x, 2ε )
- 138 -
B d1
B d1
B d∞
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 139 -
y
2d 2 ( x, y ) ≤ d ∞ ( x, y ) ≤ d 2 ( x, y )
lo que equivale
B d2 ( x, ε ) ⊂ B d∞ ( x, ε ) ⊂ B d2 x, 2ε
(
)
B d2
B d∞
Todas las métricas son equivalentes
B d2
Consideremos la función identidad
Id : ( E × F , d ∞ ) → ( E × F , d i )
Con i = 1, 2 estas funciones son continuas , biyectivas y con inversa uniformemente
continua.
Entonces ( E × F , di ) es completo si y solo sí ( E × F , d ∞ ) es completo.
Demostremos solo entonces que ( E × F , d ∞ ) es completo.
⇒ Consideremos una sucesión de Cauchy { xn } ⊂ E por definición ⇒ dado ε > 0
entonces existe n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple d E ( xn , xm ) < ε
Sea y0 ∈ F fijo y consideremos la función
h : E → ( E × F , d ∞ ) definida por h ( x ) = ( x, y0 ) h es una inmersión isométrica ya
que d ∞ ( h ( x ) , h ( x′ ) ) = max {d E ( x, x′ ) , dE ( y0 , y0 )} = d E ( x, x′ ) entonces aplicando la
proposición 7.4 por ser la inmersión isométrica uniformemente continua
{h ( xn )} = {( xn , y0 )} es de Cauchy en E × F luego
x → x
( xn , y0 ) → ( x, y ) ⇒  n
 y0 → y = y0
luego ( E , d E ) es completo. Análogamente con ( F , d F )
⇐ Si ( E , d E ) y ( F , d F ) son completos y consideramos una sucesión de Cauchy
{( xn , yn )} en el producto ( E × F , d∞ ) como:
d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [( xn , yn ) , ( xm , ym )] = max {d E ( xn , xm ) + d F ( yn , ym )}
al ser {( xn , yn )} de Cauhy se tiene que para cada ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0
d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [( xn , yn ) , ( xm , ym )] < ε
por lo tanto al ser
d ( xn , xm ) < ε ∀m, n ≥ n0 ⇒ { xn } es de Cauchy en E
De la misma forma { yn } es de Cauchy en F entonces como E y F son completos
xn → x en E 
 ⇒ ( xn , yn ) → ( x, y ) en E × F
yn → y en F 
- 139 -
Topología General
Capítulo 7
- 140 -
Lema 7.10 Sea ( E , d ) un espacio métrico y en el xn → x e yn → y entonces
d ( xn , yn ) → d ( x, y )
es decir lim n d ( xn , yn ) = d ( x, y )
Es como que podemos pasar del límite de la distancia al límite de sus componentes
Demostración
Si xn → x ⇒ para cada ε > 0 ∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1 se cumple
d ( xn , x ) < ε
y que yn → y ⇒ para cada ε > 0 ∃n2 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n2 se cumple
d ( yn , y ) < ε
entonces si tomamos n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se cumple:
d ( xn , y n ) − d ( x , y ) ≤
≤ d ( xn , y n ) − d ( xn , y ) + d ( xn , y ) − d ( x , y ) ≤
≤ d ( yn , y ) + d ( xn , x ) < ε
1
424
3 1
424
3
<ε
luego ( xn , yn ) → ( x, y )
<ε
2
2
Proposición 7.11 Sean E y F espacios métricos y consideremos:
B ( E , F ) = { f : E → F acotadas}
con la métrica
d ( f , g ) = sup {d ( f ( x ) , g ( x ) ) : x ∈ E}
sea el espacio métrico
completo.
( B ( E , F ) , d ) entonces Si F es completo ( B ( E , F ) , d ) es
Demostración Sea una sucesión { f n } de Cauchy en ( B ( E , F ) , d ) lo que significa
que
Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0
ε
d ( fn , fm ) <
2
pero por definición de distancia
d ( f n , f m ) = sup {d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) : x ∈ E}
entonces por definición de supremos
ε
∀x ∈ E d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) ≤ d ( f n , f m ) <
2
luego { f n ( x )} es de Cauchy en F y como F es completo
- 140 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 141 -
⇒ fn ( x ) → f ( x ) ∈ F
Por otro lado si { f n } es de Cauchy implica que está acotado para todo n en particular
para n0
∃k > 0 tal que d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) < k
∀x, y ∈ E
entonces ∀n, m ≥ n0
d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) ≤ d ( f n ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f m ( y ) ) < k + ε
1442443 144
42444
3 144
42444
3
<ε
<ε
<k
2
Llamemos a k + ε = L y ∀m, n ≥ n0 entonces
Tenemos que hemos demostrado que
∀x, y ∈ E d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) < L
por el lema anterior pasamos al límite
lim d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) = d ( f ( x ) , f m ( y ) ) ≤ L
2
n →∞
luego tenemos que
∀x, y ∈ E
o sea que
lim d ( f ( x ) , f m ( y ) ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ L
m →∞
∀x, y ∈ E d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ L
lo que implica que f ∈ B ( E , F )
retomando el hecho de que { f n } es de Cauchy en ( B ( E , F ) , d ) y que esto implica
d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) ≤ sup {d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) : x ∈ E} = d ( f n , f m ) <
ε
3
por el lema anterior pasando al límite
lim d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) = d ( f ( x ) , fm ( x ) ) ≤
n →∞
ε ε
<
3 2
por lo tanto
ε
2
si dicha desigualdad se cumple para todo x de E entonces también se cumple para el
supremo
ε
sup {d ( f ( x ) , f m ( x ) ) : x ∈ E} ≤ < ε
2
P
∀x ∈ E
d ( f ( x ), fm ( x )) <
d ( fm , f ) < ε
luego f m → f y se tiene que ( B ( E , F ) , d ) es completo.
Corolario 7.12 El conjunto de la funciones continuas Cb ( E , F ) es completo
- 141 -
Topología General
Capítulo 7
- 142 -
Demostración Ya vimos que el conjunto
Cb ( E , F ) = { f : E → F : continuas y acotadas} ⊂ B ( E , F )
y el conjunto de las funciones continuas es cerrado (proposición 3.16) en un
conjunto que es completo entonces es completo.
Definición 7.3 Dada una función f : A → Y continua, A ⊂ X llamamos extensión
continua de f a una función
f% : X → Y tal que f% |A = f
Proposición 7.13 Sea f : X → N una función uniformemente continua definida en
un subconjunto denso de un espacio métrico M ( X = M ) y tomando valores en un
espacio métrico completo N Entonces existe una única extensión continua
f% : M → N de f, donde f% es uniformemente continua y además si f es una
inmersión isométrica entonces f% también y además Im f% = Im f
Demostración
Dado
x ∈ M = X ⇒ ∃{ xn } ⊂ M tal que xn → x
Luego definimos
f% ( x ) = lim f ( xn )
xn → x
X =M
f%
N
esta definición tiene sentido si { f ( xn )} es
f
X
convergente y además este límite no cambia
cuando consideramos otra sucesión que
converge a x.
1) Por ser { xn } convergente es de Cauchy y como f es uniformemente continua se
tiene que { f ( xn )} es de Cauchy en N que es completo luego converge.
2) Por ser f uniformemente continua para cada ε > 0
ε
∃δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces d ( f ( x ) , f ( y ) ) <
2
δ
∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1 d ( xn , x ) <
x → x { xn } ⊂ X 
2
Si n
⇒
yn → x { yn } ⊂ X 
δ
∃n2 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n2 d ( yn , x ) <
2
Sea n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0
Como d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , x ) + d ( yn , x ) < δ entonces
- 142 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
d ( f ( xn ) , f ( yn ) ) <
y por el lema 7.10 se tiene:
(
ε
2
)
d lim f ( xn ) , lim f ( yn ) = lim n d ( f ( xn ) , f ( yn ) ) ≤
es decir que
xn → x
yn →x
(
- 143 -
ε
<ε
2
)
d lim f ( xn ) , lim f ( yn ) < ε ∀ε > 0
xn → x
luego
yn → x
lim f ( xn ) = lim f ( yn )
xn → x
yn → x
y dicho límite no depende de la sucesión, luego:
f% ( x ) = lim f ( xn ) donde { xn } ⊂ X está bien definido
xn → x
δ
Sean { xn } ,{ yn } ⊂ X tal que:
3
δ
∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1 d ( xn , x ) <
xn → x 
3
⇒
yn → y 
δ
∃n2 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n2 d ( yn , x ) <
3
Sea n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se cumple
d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , x ) + d ( x , y ) + d ( y , yn ) < δ
otra vez por la continuidad uniforme
ε
d ( f ( xn ) , f ( yn ) ) <
2
y por el lema 7.10
Si x, y ∈ X = M tal que d ( x, y ) <
(
)
ε
d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) = d lim f ( xn ) , lim f ( yn ) = lim d ( f ( xn ) , f ( yn ) ) ≤ < ε
n →∞
n →∞
n →∞
2
luego
∀ε > 0
d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) < ε
por lo tanto f% es uniformemente continua.
Si f es una inmersión isométrica se tiene
d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) = lim d ( f ( xn ) , f ( yn ) )
n →∞
=
{
f inm. isom.
lim d ( xn , yn ) = d ( x, y )
n →∞
luego f% también es una inmersión isométrica además como f% : M → f% ( M ) es
sobre entonces es una isometría.
Por ser f% ( x ) = lim f ( xn ) ⇒ f% ( x ) ∈ Im f ⇒ Im f% ⊂ Im f
Por otro lado
- 143 -
Topología General
Capítulo 7
- 144 -
Como M = X tenemos que es cerrado luego por ser f% es una isometría f% ( M ) es
cerrado ⇒ Im f% = Im f% entonces
como Im f ⊂ Im f%
luego
⇒ Im f ⊂ Im f% = Im f%
Im f = Im f%
(
Definición 7.4 Sea M un espacio métrico una completación de M es un par Mˆ , i
)
donde M̂ es completo e i : M → Mˆ es una inmersión isométrica tal que
i ( M ) = Mˆ
Ejemplo 7.5 La pareja ( ¡,inc ) es una completación de ¤ ya que inc:¤ → R es una
inmersión isométrica y ¤ = ¡ .
Ejemplo 7.6 Un espacio métrico completo X tiene como completación la pareja
( X , Id.)
Proposición 7.14 Si M,N son espacios métricos, N completo f : M → N
uniformemente continua, Mˆ , i una completación de M entonces existe una única
(
)
f% : Mˆ → N uniformemente continua. Y si además f es una inmersión isométrica
entonces f% también y además:
( )
f% Mˆ = f ( M )
Im f% = Im f
Demostración
Sea
−1
ˆ
i
i −1
X = i ( M ) ⊂ M y sea f 0 = f o i
Como f es uniformemente continua implica
M
que f 0 también
Al ser X = Mˆ por teorema anterior existe
una única f% : Mˆ → N tal que f% es una extensión continua de f
Si x ∈ M tenemos
f%
i ( M ) ⊂ Mˆ
N
f
0
( f% o i ) ( x ) = f% (i ( x )) = ( f o i ) (i ( x ) ) = f ( x )
−1
f% es uniformemente continua y es una inmersión isométrica si f lo es.
- 144 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 145 -
( )
Como Mˆ = i ( M ) ⇒ Mˆ es cerrado y como f% : Mˆ → f% Mˆ
( )
tiene que f% Mˆ es cerrado .
( )
(
es una isometría se
)
Por otro lado f% Mˆ = f% i ( M ) ⊂ f% ( i ( M ) ) = ( f o i −1 ) ( i ( M ) ) = f ( M )
Luego
( )
f% Mˆ ⊂ f ( M )
( )
por ser f% una extensión de f tenemos f ( M ) ⊂ f% Mˆ
Tenemos
( )
f ( M ) ⊂ f% Mˆ ⊂ f ( M )
y por lo tanto
( )
f ( M ) ⊂ f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M )
f ( M ) ⊂ f% Mˆ ⊂ f ( M )
es decir que
( )
f% Mˆ = f ( M )
Proposición 7.15 Sea ( M , d ) un espacio métrico. Si
( Mˆ , i ) y ( Mˆ , i )
1 1
2
son dos
2
completaciones de M entonces existe una isometría j : Mˆ 1 → Mˆ 2 tal que j o i1 = i2
m
i1
M
i2
i1 ( m )
i1
i2 ( m )
i2
M̂ 1
j
M̂ 2
j
Demostración Podemos aplicar el teorema
anterior tomando f = i2 ⇒ f% = j
Como además i2 es una inmersión isométrica implica
que j es una inmersión isométrica y
j Mˆ = i ( M ) = Mˆ
( )
1
2
2
Como j es sobre entonces es una isometría
- 145 -
M
i2
i1−1
i1
M̂ 1
M̂ 2
j
Topología General
Capítulo 7
- 146 -
Proposición 7.16 Todo espacio métrico tiene una completación
Demostración Consideremos un punto fijo m0 ∈ M entonces para cada x ∈ M nos
definimos una función
f x : M → ¡ tal que f x ( y ) = d ( y, x ) − d ( y, m0 )
f x es continua para cada x ∈ M por ser la distancia una función continua.
Probaremos que está acotada
fx ( y) − fx ( z ) =
d ( y, x ) − d ( y, m0 ) − ( d ( z , x ) − d ( z , m0 ) ) ≤
≤ d ( y, x ) − d ( y, m0 ) + d ( z , x ) − d ( z , m0 ) ≤
y
z
≤ d ( x, m0 ) + d ( x, m0 ) =
= 2d ( x, m0 ) cte para cada x ∈ M ∀y, z
x
Luego f x está acotada ⇒ f x ∈Cb ( M , ¡ ) y este
último es cerrado y completo ( proposición 7.12)
Definimos i : M → Cb ( M , ¡ ) como i ( x ) = f x
Tenemos que probar que i es una inmersión isométrica.
d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M }
m0
y como
f x ( z ) − f y ( z ) = d ( z , x ) − d ( z , m0 ) − d ( z , y ) + d ( z , m0 ) =
= d ( z , x ) − d ( z , y ) ≤ d ( x, y )
luego
d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } ≤ d ( x, y )
y como para z = x se tiene
f x ( x ) − f y ( x ) = d ( x, x ) − d ( x, m0 ) − d ( x, y ) + d ( x, m0 ) = d ( x, y )
por lo tanto
d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } = d ( x, y )
es decir
d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( x, y )
por lo que i es una inmersión isométrica.
Consideremos M̂ = i ( M ) como M̂ es cerrado dentro de Cb ( M , ¡ ) que es completo
entonces M̂ es completo y por lo tanto el par Mˆ , i es una completación de M.
(
- 146 -
)
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 147 -
Proposición 7.17 (Teorema de Cantor) Sea ( M , d ) un espacio métrico entonces M
es completo si y solo sí para toda sucesión { Fn } de conjuntos cerrados no vacíos
encajados, es decir Fn ⊂ Fn−1 cuyo diámetro tiende a cero se tiene que existe a ∈ M
tal que I Fn = {a}
Demostración
⇒ tomemos un xn ∈ Fn esto es posible por ser los Fn no vacíos.
Que el diámetro tienda a cero implica que dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 se
cumple que diamFn = sup {d ( x, y ) : x, y ∈ Fn } < ε
Ahora
xn ∈ Fn ⊂ Fn0 
∀m, n ≥ n0
 ⇒ d ( xn , xm ) < diam Fn0 < ε
xm ∈ Fm ⊂ Fn0 
luego
d ( xn , xm ) < ε
∀m, n ≥ n0
⇒ { xn } es de Cauchy en M que es completo luego ∃a ∈ M tal que xn → a
Es decir que si tomamos B ( a, ε ) ∃n0 ∈ ¥ tal que xn ∈ B ( a, ε ) entonces
B ( a, ε ) I Fn ≠ φ ∀n ≥ n0
y si n < n0 ⇒ Fn0 ⊂ Fn
B ( a, ε ) I Fn ⊃ B ( a, ε ) I Fn0 ≠ φ
luego
es decir {a} ∈ I Fn
B ( a, ε ) I Fn ≠ φ ∀n ∈ ¥ ⇒ a ∈ Fn =
{ Fn
cerrados
n∈¥
ahora si existiera otro {b} ∈ I Fn ⇒ a, b ∈ Fn ∀n ∈ ¥ y
n∈¥
d ( a, b ) ≤ diamFn < ε
para todo ε > 0 d ( a, b ) < ε ⇒ d ( a, b ) = 0 ⇒ a = b .luego existe un único punto
a ∈ M que cumple la tesis.
⇐ Sea { xn } una sucesión de Cauchy en M.
Definimos
Fn
Fn = { xk : k ≥ n}
xn
xn+1
Por ser la sucesión de Cauchy se cumple que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0
se cumple que
- 147 -
Topología General
Capítulo 7
- 148 -
ε
3
Sea Fn con n ≥ n0 y tomemos dos puntos x, y ∈ Fn como x ∈ { xk : k ≥ n} entonces
por definición de clausura para cualquier entorno del punto x tenemos puntos del
conjunto y en particular:
ε
∃xl con l ≥ n ≥ n0 tal que d ( xl , x ) <
3
análogamente para y ∈ Fn
ε
∃xt t ≥ n ≥ n0 tal que d ( xt , y ) <
3
entonces aplicando desigualdad triangular
d ( x, y ) ≤ d ( x, xl ) +
d ( xl , xt )
+ d ( xt , y ) < ε
1
424
3
1
424
3
1
424
3
d ( xn , xm ) <
<ε
3
<ε
3
por ser de Cauchy y n ≥ n0
<ε
3
es decir que ∀x, y ∈ Fn se tiene d ( x, y ) < ε entonces
diamFn = sup {d ( x, y ) : x, y ∈ Fn } ≤ ε < 2ε = ε ′ y esto además se cumple ∀n ≥ n0
⇒ diamFn < ε ′ ∀n ≥ n0 ⇒ diamFn → 0 y por hipótesis ∃a ∈ M tal que
{a} = I Fn
n∈¥
como a ∈ Fn y xn ∈ Fn ⇒ d ( a, xn ) ≤ diamFn < ε ′ si n ≥ n0 luego para cada ε ′ > 0
existe n0 tal que ∀n ≥ n0 se tiene d ( xn , a ) < ε ′ por definición de límite xn → a
Luego M es completo.
Definición 7.5 Sea M un espacio métrico y f : M → M se dice que f es una
contracción si existe c ∈ ( 0,1) tal que d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ c.d ( x, y )
Definición 7.6 Sea M un espacio métrico y f : M → M una función decimos que
tiene un punto fijo si existe un x0 ∈ M tal que f ( x0 ) = x0
Proposición 7.18 Si f es una contracción entonces es uniformemente continua
Demostración Por ser f contracción existe c ∈ ( 0,1) para el cual se cumple la
definición de contracción, y se tiene que:
Dado ε > 0 si d ( x, y ) < δ ≤ ε entonces se cumple
c
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ c.d ( x, y ) < c.δ = ε
que es la definición de uniformemente continua.
- 148 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 149 -
Proposición 7.19 Sea M un espacio métrico completo y f : M → M una
contracción entonces existe un único punto fijo por f, “a”.tal que
Si x ∈ M lim f n ( x ) = a siendo f n = f o f o ... o f
14243
n
n veces
Demostración
Sea x0 ∈ M definimos
x1 = f ( x0 )
x2 = f ( x1 ) = f 2 ( x0 )
M
xn = f ( xn−1 ) = ... = f n ( x0 )
entonces
d ( x2 , x1 ) = d ( f ( x1 ) , f ( x0 ) ) ≤ c.d ( x1 , x0 )
d ( x3 , x2 ) = d ( f ( x2 ) , f ( x1 ) ) ≤ c.d ( x2 , x1 ) ≤ c 2 .d ( x1, x0 )
M por inducción
d ( xn +1 , xn ) = d ( f ( xn ) , f ( xn −1 ) ) ≤ c.d ( xn , xn −1 ) ≤ .... ≤ c n d ( x1 , x0 )
Sea m > n entonces
m −1
d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , xn +1 ) + d ( xn +1 , xn + 2 ) + ... + d ( xm −1 , xm ) = ∑ d ( xi , xi +1 ) ≤
i =n
m −1
m −1
i=n
i=n
≤ ∑ ci d ( x1 , x0 ) = d ( x1 , x0 ) ∑ ci
∞
Como c ∈ ( 0,1) ⇒ ∑ ci < ∞ ⇒ ∃n0 tal que
i=1
Luego si m, n ≥ n0 se tiene
m −1
∞
i=n
i=n
∞
∑c
i=n
i
<
ε
d ( x1 , x0 )
d ( xn , xm ) ≤ d ( x1 , x0 ) ∑ ci ≤ d ( x1 , x0 ) ∑ ci < d ( x1 , x0 )
ε
=ε
d ( x1 , x0 )
es decir que dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que si n, m ≥ n0 entonces
d ( xn , xm ) < ε
así { xn } es de Cauchy y por se M completo ∃a ∈ M tal que xn → a y por ser f
continua.
f ( xn ) → f ( a ) 
{

P
 ⇒ por ser M T2 entonces f ( a ) = a

xn+1 → a
luego a es punto fijo.
- 149 -
Topología General
Capítulo 7
- 150 -
Además si tuviera otro punto fijo b se tendría f ( b ) = b se tiene que:
d ( a, b ) = d ( f ( a ) , f ( b ) ) ≤ c.d ( a, b ) × d ( a, b )
{
lo que es absurdo salvo que d ( a, b ) = 0 ⇒ a = b
Luego el punto fijo es único.
si d ( a ,b ) ≠ 0
Definición 7.6 Sea M un espacio topológico y X ⊂ M se dice nunca denso en M si
o
X =φ
Definición 7.7 Sea M un espacio topológico e X ⊂ M se dice que es magro si
∞
X ⊂ U Ai con Ai nunca denso ∀i ∈ ¥
i =1
Ejemplo 7.7 Sea M espacio métrico entonces X = { x} es nunca denso ya que
o
o
{ x} = φ ⇔ { x} = φ ⇔ {x} no es abierto ⇒ x no es aislado
Ejemplo 7.8 Sea M = ¤ racionales entonces ¤ = U { x} como { x} no es aislado
x∈¤
entonces es nunca denso lo que implica que ¤ es magro.
o
o
Por otro lado ¤ como subconjunto de ¡ no es nunca denso ya que ¤ = ¡ = ¡ pero
sí sigue siendo magro.
Ejemplo 7.9 Sea M espacio métrico A ⊂ M abierto
o
o
Como ∂A = A I AC es cerrado y entonces ∂A = ∂A = φ ya que si
 x ∈ A ⇒ ∀ε > 0 B ( x, ε ) I A ≠ φ

x ∈ ∂A ⇒ 
y

C
C
 x ∈ A ⇒ ∀ ε > 0 B ( x, ε ) I A ≠ φ
es decir que cualquier bola de centro x contiene puntos de A y como A I ∂A = φ por
ser A abierto, entonces no hay bola que este totalmente contenida en ∂A . ⇒ Tiene
interior vacío.
Ejemplo 7.10 Sea M = ¡ y consideremos el conjunto de Cantor C ya vimos que
o
o
C = C = φ ⇒ C nunca denso en ¡
- 150 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 151 -
esto implica que es magro en ¡ ( pero más adelante veremos que no es magro en sí
mismo)
Observación 7.1 A es magro si y solo sí A ⊂
UD
n∈¥
n
con Dn cerrados con interior
o
vacíos ya que por definición es magro si A ⊂ U Fn con Fn = φ pero siempre
Fn ⊂ Fn ⇒ A ⊂
UF
n∈¥
n
⊂
UF
n
n∈¥
n∈¥
con Fn cerrado.
⇐ A ⊂ U Dn con Dn cerrado ⇒ Dn = Dn
n∈¥
o
y como tienen interior vacío por
o
hipótesis se cumple Dn = Dn = φ por definición A es magro.
Observación 7.2 Todo conjunto nunca denso es magro ya que lo podemos ver como
la unión de sí mismo. Es decir es la unión numerable (un solo conjunto ) de
conjuntos nunca densos (él mismo). Pero no se cumple el recíproco, por ejemplo los
racionales ya dijimos que es magro pero no es nunca denso.
Proposición 7.20 Sea X un espacio topológico, A ⊂ X entonces
1) A es nunca denso en X si y solo sí ( AC ) es denso en X
o
2) Si A es cerrado, A nunca denso si y solo sí AC es denso.
Demostración Sea B = ( A ) ⇒ por lema 2.13 (a) B = ( AC ) por otro lado como
o
C
o
B = A y A nunca denso ⇔ A = φ ⇔ ( B C ) = φ ⇔ ( B ) = φ ⇔ B = X ⇒ B es
C
o
C
denso en X.
2) Si A es cerrado , y A nunca denso ⇔ por 1) ( AC ) es denso ⇔ ( A ) es denso ⇔
o
C
como A es cerrado entonces AC es denso en X.
Proposición 7.21 (Teorema de Baire) Sea M un espacio métrico completo y
{U n }n∈¥ una familia numerable de abiertos densos en M entonces IU n es denso en
M.
Demostración Vamos a probar que ∀x ∈ M y r > 0 entonces B ( x, r ) I ( IU n ) ≠ φ
Dado entonces x ∈ M , r > 0 Sea B1 = B ( x, r ) como U 1 es denso ⇒ ∃x2 ∈ U1 I B1
además por ser U 1 y B1 abierto ⇒ U1 I B1 es abierto y entonces existe r1 > 0 tal que
- 151 -
Topología General
{ }
Capítulo 7
- 152 -
B ( x2 , r1 ) ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1
1 r1
,
entonces B ( x2 , ε 2 ) ⊂ B ( x2 , r1 )
2 2
Llamemos B2 = B ( x2 , ε 2 ) se tiene que:
Sea ε 2 = min
B2 ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 ⊂ B1
es decir B2 ⊂ B1 a su vez como U 2 es denso ⇒ ∃x3 ∈U 2 I B2 y por ser U 2 y B2
abiertos ⇒ U 2 I B2 es abierto luego igual que antes existe r2 > 0 tal que:
B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2
1 r
Sea ε 3 = min , 2 ⇒ B ( x3 , ε 3 ) ⊂ B ( x3 , r2 )
3 2
Llamemos B3 = B ( x3 , ε 3 ) se tiene que:
{ }
B3 ⊂ B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2 ⊂ B2
De esta forma tenemos { xn } , ε n tales que Bn = B ( xn , ε n ) con ε n < 1n y Bn ⊂ B n−1
cerrados no vacíos y como U n es denso tenemos que existe xn+1 ∈ U n I Bn y por ser
U n y Bn abiertos U n I Bn es abierto ⇒ ∃rn > 0 tal que B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn
1 r
Sea ε n+1 = min , n ⇒ B ( xn+1 , ε n+1 ) ⊂ B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn
n 2
Llamemos Bn+1 = B ( xn+1 , ε n+1 ) se tiene que:
{ }
Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ Bn ⊂ Bn
obtenemos una sucesión de cerrados encajados no vacíos cuyo diámetro cumple:
diamBn < 2n ⇒ diamBn → 0
entonces podemos aplicar el teorema de Cantor es decir que existe a ∈ M tal que
a ∈ I Bn
n∈¥
Entonces:
∀n ∈ ¥ a ∈ Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ U n ⇒ a ∈ I U n


 ⇒ a ∈ B1 I ( IU n )
a ∈ Bn+1 ⊂ Bn ⊂ ... ⊂ B2 ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 ⇒ a ∈ B1 
Por lo tanto IU n es denso en M.
n∈¥
Una forma diferente de enunciar el teorema de Baire es el siguiente corolario
o
Corolario 7.22 Sea M un espacio métrico completo y F es magro entonces F es
vacío.
- 152 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 153 -
o
Demostración F magro si F ⊂ U Dn con Dn cerrado y Dn = φ ver observación 7.1
o
Sea D = U Dn afirmamos que D = φ ya que
D C = ( U Dn ) = I DnC
C
como Dn es cerrado ⇒ DnC es abierto, por la proposición 7.20 por ser Dn nunca
denso entonces ( DnC ) es denso ⇒ DnC es denso, por el teorema de Baire, al ser M
o
un espacio métrico completo la intersección numerable de abiertos densos es denso.
Es decir que D C = I DnC es denso
DC = X
lema 3.13 b
o
o

⇒ o C
⇒
F
⊂
D
⇒
F
⊂
D
=φ
 D  = X ⇒ Do = φ
 
 
Corolario 7.23 Si M es un espacio métrico completo entonces no es magro en sí
mismo.
Demostración Si M fuera magro en M por corolario anterior
o
M = M =φ
lo que es un absurdo.
Corolario 7.24 Sea M un espacio métrico tal que M = U Fn y Fn es cerrado
o
entonces existe n0 ∈ ¥ tal que Fn0 ≠ φ
o
o
Demostración Si no fuera así se tendría que Fn =
{ Fn = φ ∀n ∈ ¥ ⇒ nunca denso
cerrado
o
lo que quiere decir que M es magro y por corolario 7.23 ⇒ M = φ
Observación 7.3 El teorema de Baire como alguno de sus corolarios siguen siendo
verdaderos si sustituimos la hipótesis de espacio métrico por la de espacio
topológico homeomorfo a un espacio métrico completo.
Definición 7.8 Un espacio topológico cualquiera se dice de Baire si todo conjunto
magro tiene interior vacío
- 153 -
Topología General
Capítulo 7
- 154 -
Con esta terminología y con el corolario 7.22 podemos enunciar el teorema de Baire
como sigue.
Proposición 7.25 Sea M un espacio métrico completo entonces es un espacio de
Baire.
Observación 7.4 La terminología usada por el propio Baire era, a los espacios de
Baire se les llamaba espacios de primera categoría y se decía que otro espacio que
no fuera de Baire, de segunda categoría
Proposición 7.26 Sea M un espacio métrico completo, A abierto entonces A es
homeomorfo a un espacio métrico completo.
Demostración Sea una función f : M → ¡ definida como:
d ( x, AC ) = inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } si x ∈ A
f ( x) = 
0 si x ∈ AC
Primero que nada f es continua por ser d continua y la función 0 estando definidas
en cerrados tales que su unión es todo el espacio y en los puntos comunes valen lo
mismo es decir
si x ∈ ∂A = A I AC ⇒ x ∈ AC ⇒ d ( x, AC ) = 0
(ver ejemplo 3.16 )
Además tenemos que si para algún x f ( x ) = 0 ⇒ inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } = 0 e implica
que existe bn ∈ AC tal que d ( x, bn ) <
1
n
C
lo que significa que bn → x ⇒ x ∈ AC =
{ A
cerrado
luego si f ( x ) = 0 ⇔ x ∈ A entonces ∀x ∈ A ⇒ f ( x ) > 0 y definimos la siguiente
función:
ϕ : A→ M ס
C
(
es decir ϕ ( a ) = a,
1
f (a)
)

1 
a →  a,

 f (a) 
está bien definida por ser f ( a ) > 0 y es continua ya que:
π 1 o ϕ ( a ) = a es continua
π 2 oϕ (a) = 1
que tambien es continua
f (a)
además Im ϕ ⊂ {( x, r ) ∈ M × ¡ : f ( x ) r = 1} y
Sea ( x, r ) ∈ M × ¡ tal que f ( x ) r = 1 ⇒ f ( x ) ≠ 0 entonces existe x ∈ A tal que
- 154 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 155 -
1
y luego ( x, r ) = ϕ ( x )
f ( x)
implica que ( x, r ) ⊂ Im ϕ luego:
Im ϕ = {( x, r ) ∈ M × ¡ : f ( x ) r = 1}
ahora probaremos que este conjunto es cerrado.
Para ello sea {( xn , rn )}n∈¥ ⊂ Im ϕ una sucesión tal que ( xn , rn ) → ( x, r )
r=
Ahora como los ( xn , rn ) ∈ Im ϕ ⇒ f ( xn ) rn = 1 y como f es continua f ( xn ) → f ( x )
y por se rn → r se tiene que
f ( xn ) rn → f ( x ) r
luego ( x, r ) ∈ Im ϕ por lo tanto Imϕ es cerrado en M × ¡ que es completo luego
Imϕ es completo.
Además ϕ : A → ϕ ( A ) es inyectiva por ser la primer coordenada inyectiva (es la
identidad). Entonces sobre su imagen es biyectiva y con inversa:
ϕ −1 ( x, r ) = x
que es la proyección luego es continua.
Así tenemos que ϕ es un homeomorfismo de A en Imϕ que es un espacio métrico
completo. La métrico correspondiente es la inducida por M × ¡ o sea:
d (ϕ ( x1 , r1 ) ,ϕ ( x2 , r2 ) ) = d M ( x1 , x2 ) + r1 − r2
Ejemplo 7.11 Sea M un espacio métrico completo con una cantidad numerable de
elementos entonces de acuerdo al teorema de Baire (corolario 7.22) debe tener un
punto aislado porque de lo contrario M sería magro y por lo tanto el interior de M
sería vacío y esto es absurdo. En realidad M debe tener infinitos puntos aislados
pues si x1 ∈ M es aislado (ya sabemos que hay uno) entonces M − { x1} es cerrado
en M y por lo tanto completo (proposición 7.7) luego existe un punto aislado
x2 ∈ M − { x1} y así sucesivamente.
En particular todo subconjunto cerrado numerable del espacio euclidiano ¡ n posee
una infinidad de puntos aislados.
El teorema de Baire proporciona también una demostración de que el conjunto de
los números reales no es numerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos
aislados.
Ejemplo 7.12 El conjunto de cantor C es cerrado en [ 0,1] que es completo luego por
proposición 7.7 es completo y como por la proposición 4.7 todos sus puntos son de
acumulación, es decir no tiene puntos aislados entonces como en el ejemplo anterior
no es numerable.
Además C no es magro en sí mismo, por corolario 7.23, ver ejemplo 7.10.
- 155 -
Topología General
Capítulo 7
- 156 -
Ejemplo practico
Enunciado Un subconjunto P de un espacio topológico se llama perfecto si y solo sí
es igual al conjunto de sus puntos de acumulación.
a) Probar que un espacio métrico perfecto y completo no es numerable.
b) Dar un ejemplo de un espacio métrico perfecto numerable.
a) Dado un espacio métrico P sabemos que es de Hausdöff luego es T1 y los
conjuntos unipuntuales son cerrados .
{ x} = { x}
Todo conjunto se puede escribir como la unión de sus elementos es decir:
P = U { x}
x∈P
Decimos que un punto es aislado si no es de acumulación; entonces un conjunto
perfecto no tiene puntos aislados y como:
o
{ x} = φ si {x} no es aislado
o sea que
o
{ x} = φ si x es de acumulación
Entonces si P es perfecto y numerable se tiene
o
o
P = U { x} y { x} = { x} = φ
x∈P
es decir un conjunto perfecto P numerable es magro por ser unión numerable de
conjuntos nunca densos
Pero ya vimos que un espacio métrico completo no es magro en sí mismo porque
sino sería vacío. Luego si P es perfecto y completo entonces no es numerable.
b) Los racionales ¤ ⊂ ¡ con la topología relativa usual
§ Primero que nada es un espacio métrico con la métrica relativa a la de ¡ en ¤ .
§ Además es perfecto porque no contiene puntos aislados ya que todo entorno de
un racional siempre contiene puntos racionales.
§ Y los racionales son numerables.
- 156 -
Capítulo 8
Espacios Compactos
Cuando un espacio topológico posee una propiedad local, es natural considerar la
familia de los entornos (abiertos) donde se satisface dicha propiedad. Esta familia
constituye un recubrimiento del espacio, y en el estudio de la propiedad dada es, sin
duda, de gran ayuda saber que este recubrimiento puede ser reducido a uno finito.
La compacidad de un espacio nos proporciona siempre un recubrimiento finito
dentro de cualquier recubrimiento abierto del espacio, y ello permite, bajo ciertas
hipótesis, poder pasar de lo “local” a lo “global” ; es decir, poder obtener una
propiedad del espacio como consecuencia de resultados locales en un número finito
de puntos.
Por su naturaleza, los espacios compactos retienen muchas propiedades de los
conjuntos finitos. Así, a modo de ejemplos, tenemos que toda función real continua
de un espacio compacto siempre alcanza su máximo y su mínimo, y que dos
subconjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdörff pueden ser separados
por abiertos disjuntos.
Definición 8.1 Un espacio topológico X decimos que es compacto si todo
cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimiento finito.
Si A ⊂ X decimos que es compacto si lo es con la topología relativa
Proposición 8.1 Dado el espacio topológico X, A ⊂ X es compacto si y solo sí para
todo cubrimiento de A por abiertos de X admite un subcubrimiento finito que lo
sigue recubriendo.
Demostración ⇒ Un cubrimiento por abiertos de X con la topología relativa es una
familia de la forma
{Uα I A}α∈I donde Uα es abierto en X ∀α ∈ I
si A = U (Uα I A )
α ∈I
Topología General
Capítulo 8
- 158 -
esto es la mismo que tomar una familia {Uα }α∈I de abiertos en X tales que:
A ⊂ U Uα
α∈I
Entonces como A es compacto con la topología relativa significa que existen
(Uα1 I A) ,..., (Uαn I A) con αi ∈ I ∀i = 1,..., n tal que
n
A = U (Uαi I A )
i =1
lo que es lo mismo
n
A ⊂ U U αi
i =1
Entonces todo cubrimiento de A por abiertos de X tienen un subcubrimiento finito
que lo siguen recubriendo. Y recíprocamente:
Sea A = U Vα con Vα abierto de la topología relativa o sea que
α∈I
entonces
Vα = Uα I A con Uα abierto en X
A = U (Uα I A ) ⇒ A ⊂ U Uα
α ∈I
α ∈I
entonces por hipótesis existen Uα1 ,...,Uα n con α i ∈ I ∀i = 1,..., n tal que
n
n
A ⊂ U Uαi ⇒ A = U (Uαi I A )
i =1
i =1
n
∴ A = UVαi
i =1
y por definición A es compacto
Ejemplo 8.1 Los reales no es compacto ya que {( −n, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimiento de
¡ por abiertos sin recubrimiento finito
¡ = U ( − n, n )
n∈¥
si tuviera subcubrimiento finito
l
¡ = U ( − nk , nk ) = ( − m, m )
siendo m = max {nk : k = 1,..., l}
k =1
Ejemplo 8.2 Sea X finito con cualquier topología
X = UUα
α∈I
- 158 -
Topología General
Espacios Compactos
sea α i ∈ I tal que xi ∈Uαi entonces:
X=
UU
xi ∈X
- 159 -
αi
que es un subcubrimiento finito por ser X finito
Ejemplo 8.3 X con la topología discreta es compacto si y solo sí es finito ya que
X = U { x}
x∈X
es un cubrimiento por abiertos de X solo existe subcubrimiento finito si X es finito.
Ejemplo 8.4 Sea X con la topología de complementos finitos tomemos un
cubrimiento {Uα }α∈I por abiertos de X .
X = UUα
α∈I
tomemos un abierto cualquiera no vacío Uα0 se tiene por definición de abierto en
esta topología UαC0 = { x1 ,..., xn } para cada xi ∃Uαi tal que xi ∈ Uαi y entonces
{U
α0
,Uα1 ,...,Uαn } es un cubrimiento finito ⇒ X es compacto.
Ejemplo 8.5 Sea ( 0,1] no es compacto ya que
( 0,1] = U ( 1n ,1]
n∈¥
supongamos que existe un subcubrimiento finito
( 0,1] = U ( 1n ,1]
n∈F
tal que F es un conjunto finito luego podemos tomar el max {n ∈ F } = m
U ( ,1] = ( ,1] ≠ ( 0,1] ya que
n∈F
1
n
1
m
1
m
>0
Proposición 8.2 ( Teorema de Heire-Borel )
Sean los reales con la topología usual entonces [ a, b ] ⊂ ¡ es compacto.
Demostración Sea {Uα }α∈I una familia de abiertos en ¡ tal que cubren al intervalo
[ a, b ] es decir
[ a, b ] = U U α
α∈I
definimos el siguiente conjunto


S =  x ∈ [ a, b ] : [ a, x ] ⊂ U Uα para algún F finito 


α∈F
- 159 -
Topología General
Capítulo 8
- 160 -
con F = {α1 ,...,α n }
es decir es el conjunto de los x para el cual existe un subcubrimiento finito
El conjunto S no es vacío ya que a ∈ S [ a, a ] = {a} que claramente es cubierto por
algún abierto por definición de cubrimiento.
Además S está acotada superiormente por b, luego existe extremo superior o
supremo que llamaremos c .Como c ∈ [ a, b ] ⇒ ∃Uα 0 tal que c ∈ Uα 0 como Uα0 es
abierto ⇒ ∃ε > 0 tal que ( c − ε , c + ε ) ⊂ Uα 0 por definición de supremos ∃s ∈ S tal
que
n
c − ε < s ≤ c ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tal que [ a, s ] ⊂ UUαi
s
i =1
Uα0
x
entonces
n
[ a , c ] ⊂ UU α U U α
i =1
i
a
c −ε
c
c +ε
b
0
y por lo tanto c ∈ S .
Sabemos que c ≤ b :
Supongamos que c < b ⇒ ∀x tal que c{
< x < c{
+ ε entonces
x∈Uα0
<b
n
[ a , x ] ⊂ UU α U U α ⇒ x ∈ S y x > c
i =1
i
0
Luego c = b ⇒ [ a, b ] tiene subcubrimiento finito y luego es compacto
Proposición 8.3 Sea X un espacio topológico Hausdörff , K ⊂ X compacto x ∉ K
entonces existen abiertos disjuntos U ,V tales que K ⊂ U , x ∈ V
Demostración Sea y ∈ K como x ∉ K y es espacio es de Hausdörff entonces existen
entornos (que podemos tomar abiertos) U y ,Vy tales que
y ∈ U y , x ∈ Vy con U y I Vy = φ
tenemos que K ⊂
UU
y∈K
y
y como K es compacto existe un subcubrimiento finito es
n
decir ∃y1 ,..., yn tal que K ⊂ UU yi
i =1
n
nos definimos a U = UU yi tenemos que es
i =1
n
abierto por ser unión de abiertos por construcción y tomemos como V = IVyi que
i =1
es abierto por ser la intersección finita de abiertos y como x ∈ Vy ∀y ⇒ x ∈ V
además
- 160 -
Topología General
Espacios Compactos
- 161 -
n

 z ∈ U = UU yi ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ U yk
z ∈U IV ⇒ 
⇒
i =1
 z ∈ V ⇒ z ∈ V ∀i = 1,..., n ⇒ z ∈ V
yi
yk

z ∈ U yk I V yk
absurdo ya que por construcción estos son disjuntos.
Luego U y V así obtenidos son los abiertos de la tesis.
Proposición 8.4 Dado un espacio topológico X de Hausdörff y en él dos conjuntos
disjuntos K ⊂ X , L ⊂ X compactos entonces existen abiertos U ,V abiertos disjuntos
tales que K ⊂ U y L ⊂ V .
Demostración Como los conjuntos K y L son disjuntos si tomamos x ∈ L ⇒ x ∉ K y
podemos aplicar la proposición anterior, luego existen abiertos U x ,Vx tales que:
K ⊂ Ux 
 y U x I Vx = φ
x ∈ Vx 
tenemos que L ⊂ U Vx luego como L es compacto ∃x1 ,..., xn tales que:
x∈L
n
L ⊂ UVxi
i =1
n
entonces nos definimos
V = UVxi que es abierto por ser unión de abiertos y
i =1
n
U = IU xi que es abierto por ser la intersección finita de abiertos además K ⊂ U x
i =1
para todo x lo que implica que K ⊂ U y también por construcción L ⊂ V ahora si
n

 z ∈ V = UVxi ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ Vxk
z ∈U IV ⇒ 
⇒
i =1
 z ∈ U ⇒ ∀i = 1,..., n z ∈ U ⇒ z ∈ U
xi
xk

z ∈ U xk I Vxk
absurdo ya que por construcción esos conjuntos son disjuntos.
Luego U y V son disjuntos y son los que cumplen con el enunciado de la
proposición.
Proposición 8.5 Sea X un espacio topológico compacto,Y ⊂ X cerrado entonces Y
es compacto.
Demostración Sea {Uα }α∈I una familia de abiertos de X tales que
Y ⊂ UUα
α∈I
- 161 -
Topología General
Capítulo 8
- 162 -
como Y es cerrado Y C es abierto y entonces {Uα }α∈I U Y C es un cubrimiento por
abiertos de X que es compacto ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tales que {Uαi }i =1 U Y C sigue siendo
n
un recubrimiento de X (a Y C lo agregamos en caso que no integre el cubrimiento
finito ) entonces se tiene:
n
n
i =1
i =1
X = UU αi U Y C ⇒ Y ⊂ UU αi
entonces por la proposición 8.1 Y es compacto
Proposición 8.6 Sea X un espacio topológico de Hausdörff e K ⊂ X compacto
entonces K es cerrado.
Demostración Primero que nada si K = X el enunciado no aporta nada nuevo,
entonces podemos considerar que existe un x ∉ K y por la proposición 8.3 existen
abiertos U ,V tales que
K ⊂ U , x ∈ V con U I V = φ ⇒ V I K = φ
es decir que
x ∈V ⊂ K C
luego ∀x ∈ K C ∃V abierto tal que x ∈ V ⊂ K C lo que quiere decir que K C es
abierto ⇒ K es cerrado.
Ejemplo 8.6 Sea {Kα }α∈I una familia de compactos en un espacio topológico de
Hausdörff entonces
IK
α∈I
α
es compacto.
Demostración Por la proposición anterior los Kα son cerrados y por lo tanto la
intersección de ellos es un cerrado tal que
I Kα ⊂ Kα0 para cualquier α 0 ∈ I
α∈I
luego por la proposición 8.5 ( un cerrado en un compacto es compacto) ⇒ I Kα es
α∈I
compacto.
Ejemplo 8.7 Un conjunto K ⊂ ¡ con la topología usual es compacto si y solo sí es
cerrado y acotado.
Demostración Si K ⊂ ¡ es compacto como ¡ es de Hausdörff por proposición 8.6
K es cerrado. Además es acotado porque {( −n, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimiento por
abierto de ¡ y en particular como:
- 162 -
Topología General
Espacios Compactos
- 163 -
K ⊂ U ( −n, n )
n∈¥
entonces tiene un subcubrimiento finito luego:
m
K ⊂ U ( −nk , nk )
k =1
m
sea m0 = max {nk : k = 1,..., m} ⇒ K ⊂ U ( −nk , nk ) ⊂ ( − m0 , m0 )
k =1
y por lo tanto K ⊂ ( −m0 , m0 ) está acotado.
Recíprocamente
Si K es cerrado y acotado en ¡ ⇒ ∃a, b ∈ ¡ tal que K ⊂ [ a, b ] y como este último es
compacto por la proposición 8.5 K es compacto.
Proposición 8.7 ( Lema de Alexander )
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico si existe S una subbase de τ tal que todo
cubrimiento por abiertos de S tiene un subcubrimiento finito entonces X es
compacto.
Demostración Supongamos por el absurdo que X no es compacto.
Definimos el siguiente conjunto:
F = {U : U es cubrimiento de X sin subcubrimiento finito}
F ≠ φ porque supusimos que X no es compacto.
Ordenamos F por inclusión es decir establecemos el siguiente orden parcial:
U ≤V ⇔U ⊂V
obtenemos así un conjunto (F , ≤ ) ordenado
Sea {Uα }α∈I ⊂ F linealmente ordenado (una cadena) consideremos:
U = U Uα
α∈I
Probaremos que U ∈F para lo cual suponemos por el absurdo que no es así
n
entonces existen U1 ,...,U n ∈ U tal que X = UU i pero como los U i ∈ U = U Uα
i =1
α∈I
⇒ ∃α i ∈ I tal que U i ∈Uαi ∀i = 1,..., n pero por orden lineal existe α 0 ∈ {α 1 ,...,α n }
tal que Uαi ⊂ Uα0 ∀i = 1,..., n ⇒ Uαi ∈ Uα0 ∀i = 1,..., n ⇒ Uα 0 es un cubrimiento por
abiertos que tiene un subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque Uα0 ∈F .
Luego U ∈F ⇒ F ordenado y acotado entonces por el Lema de Zorn existe
elemento maximal M ∈F .
Antes de seguir con la demostración demostraremos tres afirmaciones necesarias
para terminar de demostrar este lema
- 163 -
Topología General
Capítulo 8
- 164 -
Afirmación 1 Sea φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M ⇔ ∃M 1 ,..., M n ∈ M tal que
X = A U M 1 U .... U M n
Demostración Como φ ≠ A ∉ M y M ∈F maximal esto implica que
M U A ∉F
luego tiene un subcubrimiento finito lo que implica ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que
X = A U M 1 U ... U M n
además A tiene que formar parte del recubrimiento finito porque sino sería M el
que tiene subcubrimiento finito ⇒ M ∉F lo cual es absurdo.
Recíprocamente si existen M 1 ,..., M n ∈M tal que X = A U M 1 U .... U M n entonces
A ∉M porque sino fuera así se tendría un subcubrimiento de X en M lo cual es
absurdo porque M ∈F .
Afirmación 2 φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M A ⊂ B ∈ τ ⇒ B ∉ M
Demostración Si A ∉ M ⇒ por la afirmación 1 que ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que
X = A U M 1 U ... U M n ⊂ B U M 1 U ... U M n
como la otra inclusión es obvia
X = B U M 1 U ... U M n
y por el recíproco de la afirmación 1 ⇒ B ∉M
Afirmación 3 Si
A, B ∉ M 
 ⇒ A I B ∉M
A, B ∈ τ \ φ 
Demostración Como φ ≠ A ∉M por la afirmación 1 ∃M 1 ,..., M n ∈M tal que
X = A U M 1 U ... U M n
Análogamente φ ≠ B ∉M por la afirmación 1 ∃N1 ,..., N m ∈M tal que
X = B U N1 U ... U N m
ahora si x ∉ M 1 U ... U M n U N1 U ... U N m ⇒ x ∈ A I B luego :
14
4244
3 14
4244
3
x∈A
x∈B
X = A I B U M 1 U ... U M n U N1 U ... U N m
y por el recíproco de la afirmación 1 A I B ∉ M
Continuemos con la demostración del Lema
Sea S la subbase de la topología τ de la hipótesis, con S = { Aα }α∈I .
- 164 -
Topología General
Espacios Compactos
- 165 -
Para cada x ∈ X se tiene que existe M x ∈M tal que x ∈ M x por ser M un
cubrimiento por abiertos de X además por definición de subbase ∃Aα1 ,..., Aα n ∈ S tal
que:
n
x ∈ I Aαi ⊂ M x
i =1
n
Por la afirmación 2 como M x ∈ M ⇒ I Aαi ∈ M ya que si no fuera así es decir si
i =1
n
IA
i =1
αi
∉ M como
n
IA
i =1
αi
⊂ M x por la afirmación 2 ⇒ M x ∉M lo cual es absurdo
y por la afirmación 3 (contrarecíproco de la misma )
n
Si I Aαi ∈ M ⇒ ∃α 0 ∈ {α 1 ,...,α n } tal que Aα0 ∈ M
i =1
Es decir que x ∈ Aα0 ∈M En resumen para cada x ∈ X encontramos un Aα0 ( x ) ∈ S
tal que
x ∈ Aα 0 ( x ) ∈ S I M ⇒ X =
UA
x∈ X
α0 ( x )
tenemos que { Aα0 ( x ) : x ∈ X } = S I M es un cubrimiento de X por elementos de S
que como S I M ⊂ M ⇒ que no tiene subcubrimiento finito lo cual es absurdo
porque contradice la hipótesis.
Proposición 8.8 Sean X e Y espacios topológicos, con X compacto y una función
f : X → Y continua entonces f ( X ) es compacto.
Demostración Consideremos un cubrimiento {Uα }α∈I por abiertos de Y es decir:
como f ( X ) ⊂ Y ⊂ U Uα se tiene
Y ⊂ UUα
α∈I
α∈I


X ⊂ f −1 ( f ( X ) ) ⊂ f −1  U Uα  = U f −1 (Uα )
 α∈I  α∈I
−1
y como f es continua los f (Uα ) son abiertos en X , { f −1 (Uα )}α∈I es entonces un
cubrimiento por abiertos de X que por hipótesis es compacto luego tiene un
subcubrimiento finito ⇒ ∃α1 ,...,α n tal que
n
X ⊂U f
i =1
−1
n
n
f ( f (U ) ) ⊂ UU
(U ) ⇒ f ( X ) ⊂ U 14
4244
3
αi
i =1
- 165 -
−1
⊂Uαi
αi
i =1
αi
Topología General
Capítulo 8
- 166 -
y por lo tanto f ( X ) es compacto.
Proposición 8.9 Sea X e Y espacios topológicos con X compacto e Y Hausdörff y
sea f : X → Y una función continua entonces f es cerrada.
Si además f es biyectiva entonces f es un homeomorfismo.
Demostración Sea F ⊂ X cerrado, como X es compacto por proposición 8.5
tenemos que F es compacto y por ser f continua por la proposición anterior se tiene
que f ( F ) es compacto pero Y es Hausdörff ⇒ f ( F ) es cerrado luego f lleva
cerrados en cerrados y por la proposición una función biyectiva que sea cerrada y
continua es un homeomorfismo.
Proposición 8.10 Sea X un espacio topológico compacto y f : X → ¡ continua
entonces f alcanza máximo y mínimo.
Demostración Como X es compacto y f continua, luego f ( X ) es compacto en ¡ ya
vimos que es cerrado y acotado ver ejemplo 8.7 luego existe s = sup { f ( x ) : x ∈ X } y
como
s ∈ f ( X ) {= f ( X ) ⇒ es máximo
cerrado
análogamente con el mínimo.
Proposición 8.11 ( Teorema de Tijonov )
Sean X α espacios topológicos ∀α ∈ I , entonces
es compacto ∀α ∈ I .
Demostración
⇒ Si
∏X
α
∏X
α
es compacto si y solo sí X α
es compacto ⇒ X α = Pα ( ∏ X α ) y como Pα es
continua ∀α ∈ I ⇒ X α es compacto para todo α .
⇐ Sea S = {Pα−1 ( A ) : A ⊂ X α abierto ∀α ∈ I } es una subbase del
∏X
α
como
vimos en su momento.
Probaremos que si tenemos un cubrimiento por abiertos de la subbase podemos
obtener un subcubrimiento finito para aplicar el lema de Alexander.
Tomemos un cubrimiento A ⊂ S por abiertos de ∏ X α y definimos para cada
α∈I
Aα = { A abiertos ⊂ X α : y tal que P ( A ) ∈A }
Probaremos que existe α 0 ∈ I tal que Aα0 es un cubrimiento de X α 0 .
−1
α
α ∈I
Supongamos de que no es así o sea que para todo α ∈ I Aα no cubre a X α luego
existe
- 166 -
Topología General
xβ ∈ X β \
U
Espacios Compactos
- 167 -
A con β ∈ I
U
A∈Aβ
Entonces sea x ∈ ∏ X α tal que x ( β ) = xβ
x
Como x ∈ ∏ X α que es cubierto por
A ⇒ ∃U abierto tal que U ∈A pero los
abiertos de A son elementos de la subbase S
es decir U = Pα−1 ( A) con A abierto de X α
A
xβ
α=β
∀α ∈ I en particular para α = β es decir que existe U = Pβ−1 ( A) con A abierto en
X β y tal que x ∈ U ⇒ xβ = x ( β ) ∈ Pβ (U ) = Pβ ( Pβ−1 ( A ) ) = A ⊂ X β es decir
xβ ∈ A pero por definición A ∈Aβ ⇒ xβ ∈
U
A
A∈Aβ
luego existe α 0 ∈ I tal que Aα 0 es un cubrimiento de X α 0 que por hipótesis es
compacto lo que implica que ∃A1 ,..., An abiertos de X α 0 que siguen recubriendo a
X α0 y por lo tanto
∏X
α
{P
−1
α0
( A1 ) ,..., Pα−1 ( An )} ⊂ A es un subcubrimeiento finito de
0
con elementos de S ya que:
n
Si x ∈ ∏ X α ⇒ Pα 0 ( x ) ∈ X α 0 = U Ai ⇒
i =1
∃i ∈ {1,..., n} tal que Pα0 ( x ) ∈ Ai ⇒ x ∈ Pα−01 ( Ai )
n
n
i =1
i =1
es decir que x ∈ U Pα−01 ( Ai ) ⇒ ∏ X α ⊂ U Pα−01 ( Ai )
∏X
Aplicando el lema de Alexander es
α
compacto.
Corolario 8.12 Sea K ⊂ ¡ n es compacto si y solo sí es cerrado y acotado.
Demostración ⇒ Si K es compacto en un espacio de Hausdörff (por ser producto de
espacios de Hausdörff ) entonces por la proposición 8.6 es cerrado y como además
{B ( 0, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimieto de K
por se K compacto existe un cubrimiento finito
k
{B ( 0, n1 ) ,..., B ( 0, nk )} ⇒ K ⊂ U B ( 0, ni )
i =1
sea n0 = max {ni : i = 1,..., k} entonces
k
K ⊂ U B ( 0, ni ) ⊂ B ( 0, n0 )
i =1
- 167 -
Topología General
Capítulo 8
- 168 -
y por lo tanto K está acotado.
⇐ Si K es cerrado y acotado en ¡ n significa que está acotado en cada coordenada o
sea que existen [ ai , bi ] con i = 1,..., n tal que Pi ( K ) ⊂ [ ai , bi ] ∀i = 1,..., n y se tiene:
n
K ⊂ U [ ai , bi ]
i =1
y como cada [ ai , bi ] ⊂ ¡ es compacto entonces por la proposición anterior se tiene
n
∏ [ a , b ] compacto
i =1
i
i
entonces K que es cerrado dentro de un compacto es compacto.
Definición 8.2 Sea X un conjunto y {Sα }α∈I una familia de subconjuntos no vacíos
de X. Se dice que {Sα }α∈I tiene la propiedad de intersección finita si:
n
IS
i =1
≠ φ ∀n ∈ ¥ α i ∈ I
αi
es decir que siempre que tomemos una cantidad finita de ellos la intersección es
distinta del vacío.
Ejemplo 8.8 Sea X = ¡ S x = [ x, +∞ ) este conjunto tiene la propiedad de
intersección finita que siempre que tomamos finitos de ellos
l
I [ x , +∞ ) = [ m, +∞ ) ≠ φ
i =1
i
siendo m = max { xi : i = 1,..., l}
Proposición 8.13 Sea X un espacio topológico , X es compacto si y solo sí para
toda familia {Fα } de cerrados con la PIF (propiedad de intersección finita) se tiene:
IF
α
α
≠φ
Demostración Si X es compacto y {Fα } una familia de cerrados con la PIF
supongamos que
C


Iα Fα = φ ⇒  Iα Fα  = Uα FαC = X
y como Fα son cerrados ⇒ FαC son abiertos ⇒ {FαC } es un cubrimiento por abierto
de X y como X es compacto admite un subcubrimiento finito {FαC1 ,..., FαCn } tal que
- 168 -
Topología General
Espacios Compactos
n
UF
C
αi
i =1
- 169 -
=X
Tomando los complementos
C
n
 n C
F
Fαi = X C = φ
=
I
 U αi 
 i =1

i =1
lo cual es absurdo por ser {Fα } un conjunto con la P.I.F.
Recíprocamente Si {Uα } es un cubrimiento por abiertos de X entonces los
complementos son cerrados y
C


Iα U =  Uα Uα  = X C = φ
entonces por hipótesis no tiene la P.I.F. porque sino
IUαC ≠ φ
C
α
α
luego existe una cantidad finita de los UαC tal que:
n
IU
i =1
C
αi
= φ para algún n
y tomando otra vez complemento
C
es decir que los Uα1 ,...,Uα n
n
 n C
 IU α i  = UU α i = X
 i =1

i =1
son un subcubrimiento finito de X ⇒ X es compacto.
Proposición 8.14 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, X es compacto si y solo sí toda
red tiene una subred convergente.
Demostración ⇒ Sea X compacto y tomemos una red {Td }d∈D ⊂ X entonces si
d ∈ D se define Fd = {Te : e ≥ d }
{Fd } es una familia de cerrados con la P.I.F. ya
que dados Fd1 ,..., Fdn , sea e ∈ D tal que e ≥ di
para todo i = 1,..., n que existe porque D es un
conjunto dirigido. Entonces:
n
n
i =1
i =1
Te ∈ I Fdi ⇒ I Fdi ≠ φ
- 169 -
Fd
d
Topología General
Capítulo 8
- 170 -
y como además X es compacto entonces por proposición anterior
x ∈ I Fd es de aglomeración de la red {Td } ya que:
IF
d∈D
d
≠ φ luego si
d ∈D
Dados N ∈ N x y d 0 ∈ D como x ∈ Fd ∀d ∈ D en particular
x ∈ Fd0 = {Td : d ≥ d 0 } ⇒ N I {Td : d ≥ d 0 } ≠ φ
lo que implica ∃d ≥ d 0 tal que Td ∈ N ⇒ que x es de aglomeración de {Td }
⇐ Sea {Fα : cerrados α ∈ I } con la P.I.F. y nos definimos:
n

F = I Fαi : α1 ,...,α n ∈ I 
 i =1

ordenado por inclusión es decir F , G ∈F F ≤ G ⇔ F ⊃ G el conjunto F es un
conjunto dirigido.
∀F ∈F ⇒ F ≠ φ ∃xF ∈ F entonces { xF }F∈F es una red entonces por hipótesis
existe una subred convergente ⇒ ∃x ∈ X de aglomeración entonces :
Para todo N ∈ N x y ∀F0 ∈F ∃F > F0 tal que xF ∈ N luego como
F ⊂ F0 tal que xF ∈ N
pero
xF ∈ F ⇒ xF ∈ N I F ⊂ N I F0
∴ N I F0 ≠ φ
entonces
∀N ∈ N x ∀α ∈ I N I Fα ≠ φ
⇒ x ∈ Fα = Fα ⇒ x ∈ I Fα
α
y por proposición anterior el conjunto X es compacto.
Corolario 8.15 Sea X compacto y N1 entonces toda sucesión tiene una subsucesión
convergente.
Demostración Sea { xn }n∈¥ una sucesión que es un caso particular de red entonces
tiene punto x de aglomeración ⇒ x ∈ { xn } por ser N1 (proposición 3.3) existe
{x } ⊂ {x }
nk
n
tal que
xnk → x
Definición 8.3 Dado un espacio topológico X decimos que es secuencialmente
compacto o compacto por sucesiones si toda sucesión en él tiene una subsucesión
convergente.
- 170 -
Topología General
Espacios Compactos
Proposición 8.16 Dado un espacio topológico X
secuencialmente compacto.
- 171 -
compacto y N1 entonces es
Demostración Sea en X una sucesión { xn }n∈¥ por el corolario anterior tiene una
subsucesión convergente luego por definición es secuencialmente compacto.
Proposición 8.17 Sea ( M , d ) es un espacio métrico compacto entonces M es
completo.
Demostración Dada una sucesión de Cauchy { xn }n∈¥ como por hipótesis M es
compacto y espacio métrico (que es N1) esto implica por proposición anterior que es
secuencialmente compacto luego tiene una subsucesión convergente y por
proposición 7.2 la sucesión dada es convergente lo que significa por definición que
M es completo.
Proposición 8.18 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico secuencialmente compacto y N2
entonces X es compacto.
Demostración Sea {Uα }α∈I un cubrimiento por abierto de X como el espacio es N2
implica que es de Lindelöff o sea que existe un subcubrimiento numerable que
llamamos {U n }n∈¥ supongamos por el absurdo que este cubrimiento no tiene
subcubrimiento finito o sea :
U1 ≠ X ya que de no ser así U1 sería un subcubrimiento de {U n }n∈¥ obviamente
finito. ⇒ ∃x1 ∉ U1 y como {U n } cubre a X ⇒ ∃n1 ∈ ¥ tal que x1 ∈ U n1
n1
análogamente sea A1 = UU i ≠ X que tampoco es un subcubrimiento luego x2 ∉ A1
i =1
lo que implica que ∃n2 ∈ ¥ tal que x2 ∈ U n2 con n2 > n1 ya que si no fuera así se
tendría que x2 ∈ A1 y esto es absurdo.
nk −1
Sea
Ak −1 = U U i ≠ X ⇒ ∃xk ∉ Ak −1
luego
i =1
∃nk ∈ ¥ con nk > nk −1 tal que xk ∈ U nk
nk
tenemos que así construimos sucesiones { xk }k∈¥ , {nk }k∈¥ ( creciente) y Ak = UU i
i =1
tal que { xk }k∈¥ no tiene punto de aglomeración porque si este fuera x ∈ X como
{U n }n∈¥ es cubrimiento de X ⇒ ∃i0 ∈ ¥ tal que x ∈ U i0 como U i0 es abierto es
- 171 -
Topología General
Capítulo 8
- 172 -
entorno de todos sus puntos U i0 ∈ N x y {nk }k∈¥ es creciente entonces existe
k0 ∈ ¥ tal que nk0 −1 ≤ i0 ≤ nk0 ⇒ ∀k ≥ k0
nk0
xk ∈ Ak pero xk ∉ Ak −1 ⇒ xk ∉ Ak0 = UU i ⇒ xk ∉ U i0 ∀k ≥ k0
i =1
es decir que
∀x ∈ X ∃U i0 ∈ N x , k0 ∈ ¥ tal que ∀k ≥ k0 xk ∉ U i0
luego
{ xk } no tiene puntos de
aglomeración lo que significa que no
tiene subsucesión convergente o sea no
es secuencialmente compacto lo que es
absurdo por hipótesis.
N1
X cto
X sec. cto
N2
Definición 8.4 Un espacio topológico X decimos que tiene la propiedad de BolzanoWeiestrass (B-W) si todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación
Ejemplo 8.9 ¡ no es B-W ya que el conjunto de los enteros ¢ es infinito y no tiene
ningún punto de acumulación en ¡ .
Proposición 8.19 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces se cumple que
1) Si X es secuencialmente compacto implica que verifica B-W
2) Si X verifica B-W, es T1 y N1 implica que es secuencialmente compacto.
Demostración 1) Sea un conjunto A infinito incluido
T1 y N1
en X entonces existe { xn } ⊂ A tal que
X B -W
xn ≠ xm si n ≠ m como { xn } es una sucesión en X X sec. cto
que es sec. cto. Implica que tiene una subsucesión
convergente a y; sea N ∈ N y ∃n0 ∈ ¥ tal que
xnk ∈ N ∀nk ≥ n0 como además xn ≠ y por como se eligió la sucesión entonces
{ xn } I N − { y} ≠ φ
es más tiene infinitos elementos luego y es de acumulación de { xn } ⊂ A y por lo
tanto es de acumulación de A lo que significa que verifica B-W.
2) Sea { xn } ⊂ X si { xn } es finito implica que hay una subsucesión constante y por lo
tanto convergente luego es sec. cto.
Si { xn } es infinito por ser B-W tiene un punto y de acumulación en X que por ser N1
tiene una base local numerable y decreciente {Vn } del punto y
Dado V1 existe n1 ∈ ¥ tal que xn1 ∈ V1 − { y}
- 172 -
Topología General
Espacios Compactos
Como X es T1 existe W2 ∈ N y tal que
{ x ,..., x } I W
n1
1
2
- 173 -
=φ
Por ser { xn } − { x1 ,..., xn1 } es infinito e y es de acumulación entonces existe
n2 ∈ ¥ tal que xn2 ∈ V2 I W2 − { y} además n2 > n1 repetimos el procedimiento por ser
X espacio T1 existe W3 ∈ N y tal que
{ x ,..., x
1
n1
, xn1 +1 ,..., xn2 } I W3 = φ
así sucesivamente sea: xnk ∈ Vk con n j > n j −1 ∀j = 2,..., k entonces por ser T1
implica que
∃Wk +1 ∈ N y tal que
{ x ,..., x
1
n1
}
, xn1 +1 ,..., xn2 ,..., xnk −1 +1 ,..., xnk , I Wk +1 = φ
por ser y de acumulación entonces existe xnk +1 ∈ Vk +1 I Wk +1 − { y} además nk +1 > nk
14243
construimos así una subsucesión
{x }
nk
∈N y
k∈¥
de { xn } ya que los {nk }k∈¥ es una
sucesión creciente en los naturales tal que xnk ∈ Vk luego xnk → y es decir que
tenemos una subsucesión convergente lo que implica que X es sec. Cto.
Proposición 8.20 Sea ( E , d ) un espacio métrico secuencialmente. compacto
entonces es separable.
Demostración Supongamos que E tiene más de un elemento si no fuera así no hay
que probar nada.
Definimos
An = { A ⊂ E : d ( x, y ) ≥ 1n si x, y ∈ A, x ≠ y}
como el espacio E tiene más de un elemento entonces tenemos al menos dos
puntos x, y ∈ E y sea n0 tal que
1
1
d ( x, y ) ≥ ⇒ n0 ≥
>0
n0
d ( x, y )
1 1
además ∀n ≥ n0 ⇒ ≤ ≤ d ( x, y ) ⇒ { x, y} ∈ An ⇒ An ≠ φ ∀n ≥ n0
n n0
Para cada n ordenamos los An por inclusión ( A ≤ B ⇔ A ⊂ B ) y sea { Aα }α∈I una
cadena ( conjunto linealmente ordenado) en ( An , ≤ )
Probaremos que
U Aα ∈ An
α∈I
ya que si x, y ∈ U Aα ⇒ ∃α1 ,α 2 ∈ I tal que x ∈ Aα1 e y ∈ Aα 2 luego
α ∈I
⇒ { x, y} ∈ max { Aα1 , Aα 2 } ∈ An ⇒ d ( x, y ) ≥
- 173 -
1
si x ≠ y ⇒ { x, y} ∈ An
n
Topología General
Capítulo 8
luego
UA
α∈I
α
- 174 -
⊂ An
Entonces ( An , ≤ ) es un conjunto ordenado tal que toda cadena en él esta acotada lo
que implica por el lema de Zorn que existe elemento maximal y llamémosle
M n ∀n ≥ n0
Además M n es finito para todo n ≥ n0 ya que si fuera infinito ∃{ xn } ⊂ M n con
xk ≠ x j ∀k ≠ j como estamos en un espacio secuencialmente compacto implica que
tendríamos una subsucesión { xni }n ∈¥ convergente en M n pero la subsucesión { xni }
i
no puede ser convergente ya que por construcción:
d xn j , xnk ≥ 1n si xn j ≠ xnk
(
)
es decir que no es de Cuachy lo que es absurdo por proposición 7.1 luego M n es
finito y por lo tanto numerable.
Sea
M = U Mn
n∈¥
como M es unión numerable de conjuntos numerables es numerable y además
probaremos que M = E es decir es denso y por lo tanto E es separable.
Si x ∈ M ⇒ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒ x ∈ M
Por otro lado si x ∉ M ⇒ x ∉ M n ∀n ≥ n0
dado ε sea n0 tal que n10 < ε entonces { x} U M n 'M n lo que significa { x} U Mn ∉ An
por ser M n el elemento maximal de An lo que implica que no cumple la definición
del conjunto An o sea ∃y ∈ M n tal que d ( x, y ) < 1n ≤ n10 ≤ ε ∀n ≥ n0 luego
∃y ∈ B ( x, ε ) ⇒ y ∈ B ( x, ε ) I M n ⊂ B ( x, ε ) I M
∴ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒
{ x∈ M
por def.
Proposición 8.21 Sea ( E , d ) un espacio métrico entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
1) E es compacto
2) E es secuencialmente compacto
3) E verifica B-W
Demostración 1) ⇔ 2) como ( E , d ) es espacio métrico ⇒ que es N1 entonces
compacto y N1 ⇒ secuencialmente compacto ahora por la proposición anterior en
- 174 -
Topología General
Espacios Compactos
- 175 -
espacios métricos secuencialmente compacto ⇒ separable ⇒ N 2 por proposición
2.21 y por ser sec. cto y N2 ⇒ es compacto.
Espacios métricos
N1
X cto
X cto
X se. cto
N2
X se. cto
T1 y N1
X B-W
X B-W
2) ⇔ 3) Sea ( E , d ) espacio métrico luego es N1 y es Haurdösff ⇒ T1 ; entonces si el
espacio es sec. cto ⇒ que verifica B-W y ahora como es espacio métrico es T1 y N1
⇒ sec. cto.
Proposición 8.22 Sea ( E , d ) un espacio métrico compacto y {Uα }α∈I un
cubrimiento por abiertos de E entonces ∃λ > 0 tal que ∀x ∈ E ∃α ( x ) ∈ I se cumple
B ( x, λ ) ⊂ U α ( x )
además decimos que λ es el número de Lebesgue del cubrimiento
Demostración Para cada x ∈ E se tiene ∃α ( x ) ∈ I tal que x ∈ Uα ( x ) por ser éste
último
abierto
en
un
espacio
consideremos el conjunto:
métrico
⇒ ∃r ( x ) tal que B ( x, r ( x ) ) ⊂ Uα ( x )
{ B ( x, ( ) ) : x ∈ E }
r x
2
Que es un cubrimiento por abiertos de E que por ser compacto ∃x1 ,..., xn tal que:
n
E ⊂ U B xi , r (2xi )
i =1
Sea λ = min
{ ( ) : i = 1,..., n} probaremos
ri x
2
(
)
que este λ cumple con la tesis de
proposición .
∀x ∈ E ⇒ ∃i0 ∈ {1,..., n} tal que

r ( xi0 ) 
x ∈ B  xi0 ,


2 

ahora si z ∈ B ( x, λ ) ⇒ d ( x, z ) < λ y
- 175 -
la
Topología General
Capítulo 8
d ( z , xi0 ) ≤ d ( z , x ) + d ( x, xi0 ) < λ +
luego se tiene que z ∈ B ( xi0 , r ( xi0 ) ) es decir que:
- 176 r ( xi0 )
2
≤ r ( xi0 )
B ( x, λ ) ⊂ B ( xi0 , r ( xi0 ) ) ⊂ Uα ( x )
i0
∴ B ( x, λ ) ⊂ Uα ( x ) con α ( xi0 ) ∈ I
i0
Corolario 8.23 Dado ( E , d ) espacio métrico, K ⊂ E compacto, sea U abierto tal
que K ⊂ U entonces existe λ > 0 tal que
U B ( x, λ ) ⊂ U
x∈K
Demostración Sea {Uα }α∈I un cubrimiento por abiertos de K la prueba es la misma
que la proposición anterior poniendo E = K .
Definición 8.5 Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es localmente
compacto si es Hausdörff y todo punto tiene un entorno compacto.
Ejemplo 8.9 Si X es compacto y T2 ⇒ localmente compacto.
En los reales ¡ dado x ∈ ¡ se tiene [ a, b ] es compacto y tal que x ∈ [ a, b ] luego es
localmente compacto pero no es compacto.}
Al igual que ¡ n no es compacto pero para cualquier punto x siempre existe una bola
B ( x, δ ) tal que x ∈ B ( x, δ ) compacto
X con la topología indiscreta el propio punto { x} es compacto
Ejemplo 8.10 Los racionales ¤ ya vimos que no es compacto pero sí es localmente
compacto porque dado un q ∈ ¤ tenemos que:
q − ε , q + ε ] I ¤ ⊂ [ a, b ] ⇒ [ q − ε , q + ε ] es compacto
[1442443
{
cerrado en ¤
compacto
Ejemplo 8.11 Como ¤ es numerable sabemos que existe f : ¥ → ¤ biyectiva y sea
¥ con la topología indiscreta ⇒ que f es continua ya que:


B = U q ⇒ f −1 ( B ) = f −1  U q  = U f −1 ( q ) abierto
{
∈¤
q∈B
 q∈B  q∈B 123
abierto
la compacidad local no se conserva por aplicaciones continuas.
- 176 -
Topología General
Espacios Compactos
- 177 -
Lema 8.24 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico de Hausdörff y compacto dado en X
un cerrado F y un abierto A con F ⊂ A entonces existe un abierto V tal que F ⊂ V
yV⊂A
Demostración Como
F ⊂ A ⇒ F I AC = φ
además como A es abierto ⇒ AC es cerrado
entonces los conjuntos F , AC como son cerrados
en un compacto son compactos y podemos
aplicar la proposición 8.4 es decir existen
abiertos U ,V ⊂ X disjuntos tales que
F
C
A ⊂U y F ⊂V
A
F
V
Pero si AC ⊂ U ⇒ U C ⊂ A además V I U = φ
ya que de no ser así
U abierto
}

 z ∈U ⇒ U ∈ N z
Si z ∈ V I U ⇒ 
 z ∈ V ⇒ V I U ≠ φ
luego V I U = φ ⇒ V ⊂ U C ⊂ A encontramos un abierto que contiene a F y su
clausura esta dentro del A como queríamos.
Proposición 8.25 Sea X un espacio topológico de Hausdörff entonces los entornos
cerrados del punto constituyen una base local.
Demostración para demostrar la tesis tenemos que demostrar que dado un entorno
cualquiera del punto es posible encontrar un entorno del punto cerrado.
Dado N ∈ N x ⇒ ∃A abierto tal que x ∈ A ⊂ N .Como { x} es cerrado por se X de
Hausdörff podemos tomar F = { x} y aplicar el lema anterior luego existe V abierto
tal que { x} = F ⊂ V y V ⊂ A entonces como
x ∈ V{ ⊂ V ⇒ V ∈ N x
abierto
tal que V ⊂ A ⊂ N encontramos un entorno cerrado del punto contenido en el
entorno dado.
Proposición 8.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico localmente compacto entonces
los entornos compacto de cada punto constituyen una base local.
Demostración Sea
x ∈ X tomemos un entorno cualquiera de x N ∈ N x y
encontremos un entorno compacto de x en N.
- 177 -
Topología General
Capítulo 8
- 178 -
Como X es localmente compacto implica que existe U ∈ N x compacto entonces
como U I N ∈ N x existe una abierto A tal que x ∈ A ⊂ U I N como el punto x es
un subconjunto cerrado por ser X de
Hausdörff ( T2 ⇒ T1 ) en un abierto A
podemos aplicar el lema tomando
U
N = X y F = { x} luego existe un abierto N
V ⊂ N tal que
x ∈V V ⊂ A ⊂ U I N
x
V
en particular V ⊂ U ,al ser V abierto en N y
A
como V ⊂ A y A es abierto en X implica
que V es abierto en X . También V es
cerrado en U más como X es de Hausdörff
el compacto U es cerrado en X luego V coincide con la clausura de V en X. Por otro
lado como V es cerrado en U que es compacto implica que es compacto.
Luego conseguimos un V compacto tal que x ∈ V{ ⊂ V ⇒ V ∈ N x
abierto
Proposición 8.27 El producto finito de espacios localmente compacto es localmente
compacto.
Demostración
Hausdörff .
Primero vamos a probar que el producto de Hausdörff es de
n
Sean entonces dos puntos del producto distintos x ≠ y ∈ ∏ X i por ser distintos
i =1
significa que existe j ∈ {1,..., n} tal que x j ≠ y j y como X j es de Hausdörff existen
abiertos disjuntos U ,V ⊂ X j tal que x j ∈ U , y j ∈ V entonces
x ∈ X 1 × ... × X j −1 × U × X j +1 × ... × X n 
 abiertos disjuntos
y ∈ X 1 × ... × X j −1 × V × X j +1 × ... × X n 
n
luego
∏X
i =1
i
es Hausdörff
n
Sea x ∈ ∏ X i ⇒ ∀xi ∈ X i ∃U i ∈ N xi ⊂ X i con U i compacto entonces:
i =1
n
x ∈ ∏ U i es compacto y entorno del x
i =1
Luego es localmente compacto.
Veamos algunas aplicaciones.
- 178 -
Topología General
Espacios Compactos
Proposición 8.28 ( Teorema de Dini )
Sea X un espacio topológico compacto
continuas tales que:
i) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ∀x ∈ X
ii) existe lim f n ( x ) = f ( x ) continua
- 179 -
f n : X → ¡ sucesiones de funciones
n
entonces f n à f (converge uniformemente)
Demostración Dado ε > 0 tomemos
Fn = { x ∈ X : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε }
Por ser f n y f continuas ⇒ f n − f es continua luego


−1
Fn = ( f n − f )  [ε , +∞ )  ⇒ Fn es cerrado ∀n ∈ ¥
 123 
 cerrado 
como f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) entonces:
f n ( x ) − f ( x ) = f ( x ) − f n ( x ) ≥ f ( x ) − fn+1 ( x ) = f n+1 ( x ) − f ( x ) ≥ ε
luego si x ∈ Fn+1 ⇒ x ∈ Fn ⇒ Fn+1 ⊂ Fn
Por la hipótesis de convergencia puntual (ii) ∀x ∈ X ∃n0 ( x ) ∈ ¥ tal que
f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 ( x )
luego
x ∉ Fn ∀n ≥ n0 ( x )
por lo tanto
I Fn = φ
n∈¥
es decir no hay un x que pertenezca a todos los Fn luego como estamos en un
espacio compacto { Fn } no puede tener la P.I.F
⇒ ∃n1 ,..., nk tales que
IF
j =1
nj
IF
j =1
sea n%0 = max { x1 ,..., xk } entonces
k
k
nj
=φ
= Fn%0 = φ ⇒ ∀n ≥ n%0 Fn ⊂ Fn%0 = φ ⇒ Fn = φ
luego
∀n ≥ n%0 f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀x ∈ X
luego por definición converge uniformemente.
- 179 -
Topología General
Capítulo 8
- 180 -
Corolario 8.29 Sea X un espacio topológico compacto supongamos que existe
{ Pn } sucesión de polinomios Pn ∈ ¡ [ X ] en las hipótesis del teorema anterior con
f ( x ) = x en [0,1] entonces
Pn à f
Demostración Consideremos P0 ( t ) = 0 y
Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) ) ∀n ≥ 1 si t ∈ [ 0,1]
Por inducción se demuestra que
0 ≤ Pn ( t ) ≤ t
Sea g : [0,1] → ¡
g ( x ) = x + 12 t − x 2 
como g ′ ( x ) = 1 − x ≥ 0 en [ 0,1] ⇒ g Z y g
entonces si 0 ≤ x < t ⇒ g ( x ) ≤ g
( t)=
( t)=
t
t
como
0 ≤ Pn ( t ) ≤ t
g ( Pn ( t ) ) ≤ t
1
424
3
P
Pn +1 ≤ t
Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) ) ≥ Pn ( t )
14243
≥0
Pn+1 ( t ) ≥ Pn ( t )
Al ser Pn creciente y Pn ( t ) ≤ t acotada superiormente entonces existe el límite
puntual
∃ lim Pn ( t ) = ϕ ( t )
n
tomando límite en la siguiente igualdad
Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) + 12 ( t − Pn2 ( t ) )
↓
↓
↓
ϕ ( t ) = ϕ ( t ) + 12 ( t − ϕ 2 ( t )
⇒ t − ϕ 2 ( t ) = 0 ⇒ como ϕ ≥ 0 es ϕ ( t ) = t
)
que es continua entonces como
tenemos que Pn : [ 0,1] → ¡ con Pn ( t ) ≤ Pn+1 ( t ) y tal que Pn ( t ) 
→ t luego por el
n
teorema de Dini
- 180 -
Topología General
Espacios Compactos
- 181 -
lim Pn ( t ) Ã t
n
Proposición 8.30 Sea K ⊂ ¡ compacto y
f ( x ) = x entonces existe qn ( x ) ∈ ¡ [ x ] tal que
qn à f en K
f :X →¡
definida
como
Demostración Se tiene que existe L ∈ ¡ tal que K ⊂ [ − L, L ] sea g : [ − L, L ] → [ 0,1]
tal que
2
x
g (x) =  
L
Sabemos que existe Pn ∈ ¡ [ X ] tal que Pn ¶ x en [0,1] luego:
x
Pn o g à g ( x ) =
{
L
polinomio
Sea qn = L.Pn ( g ( x ) ) ∈ ¡ [ X ]
Ejemplo practico
Enunciado Probar que un espacio métrico compacto y localmente conexo tiene un
número finito de componentes conexas Probar con ejemplos que las hipótesis son
necesarias.
Sea X espacio topológico compacto y localmente conexo.
Por ser localmente conexo sabemos que si A ⊂ X es abierto entonces sus
componentes conexas son abiertas , en particular si A = X las componentes conexas
de X son abiertas. Llamemos C x la componente conexa que contiene a x entonces
{C x } x∈X es un cubrimientos por abiertos de X, que por ser compacto tiene un
subcubrimiento finito es decir existen { x1 ,..., xn } tal que
n
X = U C xi
i =1
luego X tiene una cantidad finita de componentes conexas que serían a lo sumo las
C xi con i = 1,..., n .Digo a lo sumo porque podría suceder que C xi I C x j ≠ φ y eso
implica que C xi , C x j es la misma componente conexa.
§ Sea en los reales el siguiente subconjuto X con la topología relativa usual
- 181 -
Topología General
Capítulo 8
- 182 -
X = U ( n, n + 1)
n∈¢
Tenemos que es localmente conexo ya que:
x ∈ X = U ( n, n + 1) ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que x ∈ ( m, m + 1)
n∈¢
y los intervalos ( x − δ , x + δ ) con δ < min { x − m, m + 1 − x} es una base de entornos
conexos de x.
Además como los conexos en ¡ vimos que son los intervalos tenemos que
( n, n + 1) ⊂ X es conexo para todo n ∈ ¢ que son disjuntos por ser abiertos luego
son componentes conexas y por lo tanto tenemos infinitas componentes conexas.
En este ejemplo no se cumple que el espacio sea compacto ya que en los reales, los
compactos son cerrados y acotados y por definición X no es acotado.
§ Sea C el conjunto de Cantor sabemos que es compacto por ser cerrado dentro de
[ 0,1] que es compacto. Por otro lado sabemos que no tiene ningún intervalo luego
los únicos conjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. En este ejemplo lo que
no se cumple es la hipótesis de localmente conexo porque las componentes conexas
(conjuntos unipuntuales ) no son abiertos ya que si fueran abiertos serían aislados y
sabemos que son de acumulación y tenemos no numerables componentes conexas.
- 182 -
Capítulo 9
Espacio Cociente
Modelos geométricos sencillos como el cono, el cilindro o la pirámide son
habitualmente construidos pegando partes de una pieza plana de papel de acuerdo
con ciertas reglas. Esta operación es un ejemplo muy simple de la noción de objeto
cociente en matemática. Habitualmente éste viene definido por una relación de
equivalencia sobre el conjunto subyacente al objeto dado, compatible, en cierto
sentido, con su estructura.
Definición 9.1 Sea f : X → Y una función entre el espacio topológico ( X ,τ ) y un
conjunto Y llamamos topología final de τ por medio de f es la topología τ f dada
por
τ f = {U ⊂ Y : f −1 (U ) ∈ τ }
Definición 9.2 Sea p : X → Y una función sobreyectiva entre el espacio topológico
( X ,τ ) y un conjunto Y , llamamos topología cociente a la topología final de τ por
medio de p. Y a la función p le llamamos aplicación cociente.
Definición 9.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, ~ una relación de equivalencia en
X y π : X → X : la proyección canónica. Llamaremos espacio cociente a
( X : ,τ π ) siendo τ π la topología cociente definida por π ( es decir la topología
final de τ por medio de π ) donde:
π ( x ) = [ x ]:
y [ x ]: denota la clase de x por medio de la relación de equivalencia ~
A la topología cociente τ π también suele anotarse como τ X : y por lo antes dicho:
τ X : = { A ⊂ X : : π −1 ( A ) ⊂ τ }
los abiertos de la topología cociente son los que su imagen inversa por π
(proyección canónica) son abiertos en X.
Topología General
Capítulo 9
- 184 -
Proposición 9.1 Sea A ⊂ X : ⇒ π (π −1 ( A ) ) = A
Demostración Para cualquier función π y cualquier conjunto A siempre:
π (π −1 ( A ) ) ⊂ A
para probar la otra inclusión tomemos un elemento
a ∈ A ⊂ X : como
π : X → X : es sobreyectiva implica que existe x ∈ X tal que a = π ( x ) lo que
implica x ∈ π −1 ( A ) o sea:
a = π ( x ) ∈ π (π −1 ( A ) )
y luego A ⊂ π (π −1 ( A ) ) por lo cual se cumple la igualdad.
Sin embargo no es cierto siempre que π −1 (π ( B ) ) = B lo que podemos afirmar es
que:
π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ X : x : b para algún b ∈ B}
en general lo que se cumple es que B ⊂ π −1 (π ( B ) ) .
Definición 9.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y π la proyección canónica
asociada a una relación de equivalencia ~ .Se dice que B ⊂ X es saturado por π si
π −1 (π ( B ) ) = B Además el saturado de un conjunto C ⊂ X es π −1 (π ( C ) ) anotamos
sat ( C ) = π −1 (π ( C ) )
veremos algunas propiedades relacionadas con los conjuntos saturados.
Proposición 9.2 Sea B ⊂ X entonces es saturado si y solo sí existe A ⊂ X : tal
que π −1 ( A ) = B
Demostración ⇒ por ser B saturado B = π −1 (π ( B ) ) llamemos A = π ( B ) ⊂ X :
luego se cumple la tesis.
⇐ si existe A ⊂ X : tal que B = π −1 ( A ) ⇒ π ( B ) = π (π −1 ( A ) ) = A por ser π sobre
entonces sustituyendo:


B = π −1  π ( B ) 
{
 A 
luego B es saturado.
Proposición 9.3 Sea A ⊂ X : entonces es cerrado si y solo sí π −1 ( A ) es cerrado
- 184 -
Topología General
Espacio Cociente
- 185 -
Demostración A es cerrado ⇔ AC es abierto ⇔ π −1 ( AC ) es abierto pero:
π −1 ( AC ) = (π −1 ( A) ) abierto ⇔ π −1 ( A ) es cerrado
C
Proposición 9.4 π lleva compactos en compactos, conexos en conexos.
Demostración π : X → X : es continua y sobre entonces si
X compacto X : = π ( X ) es compacto
X conexo X : = π ( X ) es conexo
Proposición 9.5 A ⊂ X : es abierto si y solo sí existe B ⊂ X abierto saturado tal
que A = π ( B ) .
Demostración ⇒ Si A es abierto en X : , sea B = π −1 ( A ) ⇒ B es abierto en X y
saturado por proposición 9.2 entonces:
π ( B ) = π (π −1 ( A ) ) = A
∴ A = π ( B)


⇐ Sea A = π ( B ) con B abierto y saturado ⇒ B = π −1  π ( B )  = π −1 ( A) abierto
{
 A 
luego A es abierto en X :
Definición 9.5 Dada una relación de equivalencia, decimos que es una relación
abierta (cerrada) si la proyección canónica π es abierta (cerrada) .
Ejemplo 9.1
Sea X = ¡ y la relación x : y ⇔ x − y ∈ ¢
Sea B ⊂ ¡ abierto entonces π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ ¡ : x : b para algún b ∈ B} lo que
podemos escribir:
π −1 (π ( B ) ) = {b + n ∈ ¡ : n ∈ ¥, b ∈ B} = U B + n
n∈¥
B + n = {b + n ∈ ¡ : b ∈ R} es homeomorfo a B para cada n ya que si consideramos
la aplicación
f :B → B+n
b→b+n
- 185 -
Topología General
Capítulo 9
- 186 -
es decir f ( b ) = b + n es un homeomorfismo ya que es una traslación, continua
biyectiva y abierta (lleva bolas abiertas en bolas abiertas) luego es un
homeomorfismo y por lo tanto B + n es abierto ⇒ U B + n es abierto
⇒ π (π ( B ) ) es abierto ⇒ π ( B ) es abierto ⇒ : es abierta.
Ahora consideremos B cerrado como por ejemplo:
B = {n + 1n : n ≥ 2}
B es cerrado ya que su complemento:
B C = ( −∞, 2 + 12 ) U U ( n + 1n , n + 1 + n1+1 )
−1
n∈¥
n≥2
es unión de abiertos ⇒ es abierto.
Tomemos el saturado de B
π −1 (π ( B ) ) = {n + 1n + m ∈ ¡ : n ≥ 2, m ∈ ¢}
y tomando m = − n nos queda
{
{
}
1
∈ ¡ : n ≥ 2 es decir que:
n
}
1
∈ ¡ : n ≥ 2 ⊂ π −1 (π ( B ) )
n
pero 0 ∈ π −1 (π ( B ) ) \ π −1 (π ( B ) ) ⇒ que no es cerrado luego π no es cerrada ⇒ ~ no
es cerrada.
Proposición 9.6 La relación ~ es abierta (cerrada) si el saturado de un abierto
(cerrado) es abierto (cerrado).
Demostración Sea B un abierto de X entonces
π ( B ) es abierto ⇔ π -1 (π ( B ) ) es abierto ⇔ sat ( B ) es abierto
análogamente con cerrado.
Ejemplo 9.2
Si B ⊂ ¡ tenemos que:
 x=y

Sea X = ¡, x : y ⇔  o
 x, y ∈ ¢

 B si B I ¢ = φ
sat ( B ) = π −1 (π ( B ) ) = 
 B U ¢ si B I ¢ ≠ φ
- 186 -
Topología General
Espacio Cociente
- 187 -
implica que si B es cerrado sat ( B ) en ambos casos es cerrado por ser B C I ¢ C
abierto, entonces por definición la relación es cerrada.
Además no es abierta ya que si tomamos
B = ( − 12 , 12 ) como 0 ∈ B ⇒ sat ( B ) = ( − 12 , 12 ) U ¢
que no es abierto luego la relación ~ no es abierta.
Por otro lado
X : no es N1. Supongamos por el absurdo que si es N1 ⇒ que si tiene una base
local numerable ⇒ por la proposición 2.25 que también tiene una base local de
abiertos numerable decreciente {Vn } de por ejemplo π ( 0 ) .
π ( 0 ) = { y ∈ ¡ : 0 : y} = { y ∈ ¢} = ¢
π
-1
0
1
2
3
4
-1
0
2
3
4
π −1
Vn ∈ Nπ ( 0) ⇒ ¢ ∈ Vn entonces π (Vn ) = Vn
Al ser π continua y Vn abierto π −1 (Vn ) es abierto y ¢ ⊂ π −1 (Vn ) entonces
∀n ∃an ∈ π −1 (Vn ) tal que n < an < n + 1
y sea
B = {an : n ∈ ¥}
que es abierto y saturado ya que ¢ ⊂ B
sat ( B ) = B U ¢ = B ⇒
{ π ( B ) es abierto
C
9.5
−1
y por lo tanto π ( B ) ∈ Nπ ( 0) y como an ∈ π (Vn ) ⇒ π ( an ) ∈ Vn
{Vn } es base local decreciente de π ( 0 ) ⇒ si π ( B ) ∈ Nπ ( 0) ⇒ ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 :
Vn ⊂ π ( B ) ∈ Nπ ( 0 )
y como
π ( an ) ∈ Vn ⊂ π ( B ) ⇒ π ( a n ) ∈π ( B )
⇒ an ∈ π −1 (π ( B ) ) = B
Proposición 9.7 Sean X,Y espacios topológicos , ~ una relación de equivalencia en
X ,y una función f : X : → Y entonces f es continua si y solo sí f o π es continua.
- 187 -
Topología General
Capítulo 9
Demostración
⇒ Si f es continua como π es continua entonces
f o π es continua.
⇐ Si f o π es continua sea U ⊂ Y abierto
entonces:
−1
π −1 ( f −1 (U ) ) = ( f o π ) (U ) es abierto
pero si
- 188 -
X
f oπ
π
Y
f
X :
π −1 ( f −1 (U ) ) es abierto ⇒ f −1 (U ) es abierto en X ∼
∴ f es continua
Proposición 9.8 (propiedad universal del cociente)
Sea f : X → Y continua con X,Y espacios topológicos, sea ~ la relación de
equivalencia x, y ∈ X x : y ⇔ f ( x ) = f ( y ) entonces existe una única función
f% : X : → Y continua tal que el siguiente diagrama conmuta.
O sea
f = f% o π y además Im f = Im f%
Demostración
Si existe f% debe cumplir:
f% ([ x ]~ ) = ( f% o π ) ( x ) = f ( x )
X
π
f
Y
f%
como [ x ]~ = [ y ]~ ⇒ f ( x ) = f ( y ) o sea:
X :
f% ([ x ]~ ) = f ( x )
esta bien definida además f% es continua ya que
f% o π = f es continua y Im f = Im f% porque π es sobre.
Ejemplo 9.3 Sea I = [ 0,1] , ~ una relación de equivalencia en I definida como sigue:
x= y


x: y⇔
0
{ x, y} = {0,1}

vamos a probar que I : es homeomorfo a S 1 = { z ∈ £ : z = 1}
Sea ϕ : [ 0,1] → S 1 por ϕ ( t ) = e 2π it se tiene que:
ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ e2π it = e2π is ⇔ t − s ∈ ¢
- 188 -
Topología General
Espacio Cociente
- 189 -
t=s




⇔
o
⇔t :s


{t , s} = {0,1}
entonces por el teorema anterior existe ϕ% continua tal
que:
ϕ% o π )( t ) = ϕ ( t )
(1
424
3
X
ϕ
ϕ%
π
P
Y
ϕ% ([t ]) = ϕ ( t )
I :
y como
ϕ% ([t ]) = ϕ% ([ s ]) ⇔ ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ t : s ⇔ [t ] = [ s ]
luego ϕ% es inyectiva y por ser ϕ sobre ⇒
{ ϕ% es sobre ⇒ ϕ% es biyectiva.
Im ϕ = Im ϕ%
Por ser entoncesϕ% continua , biyectiva y ser [ 0,1] compacto entonces ϕ% : [ 0,1] → S 1
es un homeomorfismo por proposición 8.9 ya que S 1 es Hausdörff .
Ejemplo 9.4 Toro
El toro n-dimensional T n = ¡ n : con ~ definido:
( x1 ,..., xn ) : ( y1 ,..., yn ) ⇔ xi − yi ∈ ¢ ∀i = 1,...n
T n es homeomorfo a S114
×24
... ×3
S1
Definimos ϕ : ¡ n → ( S
n veces
1 n
)
como ϕ ( x1 ,..., xn ) = ( e 2π ix1 ,..., e 2π ixn ) entonces:
ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y entonces existe ϕ% : ¡ n : → ( S 1 )
(S )
1 n
(
entonces ϕ% es sobre y al ser
⇒ π [ 0,1]
n
)=¡
n
n
Como ϕ |[0,1]n es sobre
[ 0,1] compacto ⇒ [0,1]n es compacto
: es compacto y por lo tanto como en el ejemplo anterior ϕ% es
un homeomorfismo.
Ejemplo 9.5 Cilindro
Sea J = [ − 12 , 12 ] en J 2 definimos
( x, y ) = ( x′, y′ )
( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔ 
1
 x = ± 2 y = y′
es homomorfo al cilindro
- 189 -
− 12
1
2
Topología General
Capítulo 9
- 190 -
Ejemplo 9.6 Cinta de Möbius
Sea J 2 : con la relación ~ definida como
sigue:
 ( x, y ) = ( x′, y′ )
( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔  1
1
( − 2 , y ) : ( 2 , − y )
Ejemplo 9.7 Botella de Klein
Sea J 2 : con la relación ~ de equivalencia
definida como sigue:
 ( x, y ) : ( x′, y′ )

( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔  ( − 12 , y ) : ( 12 , y )
( − y, 1 ) : ( y, − 1 )

2
2
Ejemplo 9.8 Espacio proyectivo real
¡ n+1 \ {0}
n
PR =
donde la relación de equivalencia x : y ⇔ x = λ y para algún
:
n
λ ∈ ¡ PR n es homeomorfo a S
donde ~1 esta definida: x :1 y ⇔ x = ± y
:1
 1 
Sn
Sea ϕ : ¡ \ {0} →
definida por ϕ ( x ) =  x  con x =
:1
 x  :1
1
1
Entonces ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇒
x=±
y despejando:
x
y
x
x=±
y⇒x: y
y
Si
n +1
- 190 -
(∑( x ) )
2
i
1
2
Topología General
Espacio Cociente
- 191 -
 λ 
x : y ⇒ x = λ y ⇒ ϕ ( x) = 
y =
y
λ

 :1
λ 1 

1 
 λ . y y  =  ±1 y y  = ϕ ( y )

 :1 
 :1
∴ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y
⇒ ϕ% : PR → S es inyectiva y continua y sobre . PR n es además compacto
alcanza con proyectar la esfera S n
¡ n+1 \ {0}
n
n
n +1
PR = π ( S ) π : ¡ \ {0} →
entonces:
:1
PR n es compacto y S n es Hausdörff ⇒ ϕ% es un homeomorfismo.
n
n
- 191 -
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sobre este material por favor
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por correo electrónico.
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-v-
Indice
Capítulo 0
Relación de Orden......................................................................................
Orden total..................................................................................................
Cadena........................................................................................................
Lema de Zorn.............................................................................................
Axioma de Elección...................................................................................
Cardinal......................................................................................................
Teorema de Cantor.....................................................................................
Conjunto finito...........................................................................................
Conjunto Numerable..................................................................................
7
8
9
9
10
11
13
14
14
Capítulo 1
Distancia métrica.......................................................................................
Norma........................................................................................................
Bola Abierta...............................................................................................
Métrica Relativa.........................................................................................
Conjunto Abierto........................................................................................
Conjunto Cerrado.......................................................................................
Métricas Equivalentes................................................................................
29
31
33
35
35
38
39
Capítulo 2
Espacios Topológicos.................................................................................
Metrizable...................................................................................................
Entorno........................................................................................................
Interior.........................................................................................................
T0..................................................................................................................
T1................................................................................................................
T2 o Hausdörff............................................................................................
Clausura......................................................................................................
Punto de Acumulación................................................................................
Punto Aislado..............................................................................................
- vi -
43
44
45
47
49
50
51
52
57
57
Frontera........................................................................................................
Conjunto Denso...........................................................................................
Conjunto Separable......................................................................................
Base..............................................................................................................
Sub-base.......................................................................................................
N2.................................................................................................................
Cubrimiento.................................................................................................
Subcubrimiento...........................................................................................
Espacio de Lindelöff...................................................................................
Base Local...................................................................................................
N1.................................................................................................................
57
58
58
60
62
63
65
65
65
69
70
Capítulo 3
Sucesión Convergente................................................................................
Conjunto Dirigido......................................................................................
Red.............................................................................................................
Punto de Acumulación..............................................................................
Continuidad...............................................................................................
Continuidad Uniforme...............................................................................
Homeomorfismo........................................................................................
Función Abierta.........................................................................................
Función Acotada..........................................................................................
75
77
78
81
83
88
90
90
91
Capítulo 4
Conjunto de Cantor..................................................................................... 95
Capítulo 5
Topología Producto..................................................................................... 103
Proyección Canónica................................................................................... 103
Capítulo 6
Espacio Conexo........................................................................................... 113
Teorema de Bolzano.................................................................................... 116
- vii -
Conexo en Espacios Normados................................................................... 118
Conectados................................................................................................... 122
Componente Conexa.................................................................................... 122
Localmente Conexo..................................................................................... 124
Camino......................................................................................................... 127
Localmente Conexo por Camino................................................................. 131
Capítulo 7
Sucesión de Cauchy..................................................................................... 135
Espacio Métrico Completo.......................................................................... 137
Completación............................................................................................... 144
Teorema de Cantor...................................................................................... 147
Contracción y punto fijo.............................................................................. 148
Magro........................................................................................................... 150
Capítulo 8
Espacio Topológico Compacto.................................................................... 157
Teorema de Heire-Borel.............................................................................. 159
Lema de Alexander...................................................................................... 163
Teorema de Tychonoff................................................................................ 166
PIF............................................................................................................... 168
Espacio Secuencialmente Compacto........................................................... 170
Espacio de Bolzano-Weiestrass................................................................... 172
Capítulo 9
Topología Final............................................................................................ 183
Topología Cociente...................................................................................... 184
Conjunto Saturado....................................................................................... 184
Relación de Equivalencia Abierta (Cerrada)............................................... 185
Propiedad Universal del Cociente............................................................... 188
Cinta de Möbius........................................................................................... 190
- viii -
Índice alfabético
Adherente 52
Aplicación cociente 183
Axioma de elección 10
Base 60
Base local 69
Bola abierta 33
Botella de Klein 190
Cadena 9
Camino 127
Cardinal 11
Cardinal del conjunto potencia 27
Cilindro 189
Cinta de Möbius 190
Clase de equivalencia 6
Clausura 52
Cofinito 44
Complementos finitos 44
Completación 144
Componente conexa 122
Componente conexa por camino 129
Conectado por camino 127
Conectados 122
Conjunto abierto 35
Conjunto cerrado 38
Conjunto compacto 157
Conjunto conexo 113
Conjunto convexo 118
Conjunto de Cantor 95
Conjunto de índices 5
Conjunto de partes finitas 22
Conjunto denso 58
Conjunto dirigido 77
Conjunto finito 14
Conjunto numerable 14
Conjunto ordenado 8
Conjunto saturado 184
Conjunto totalmente ordenado 8
Contracción 148
Convergencia puntual 93
Convergencia uniforme 91
Cota superior 8
Cubrimiento por abiertos 65
Disconexo 113
Distancia 29
Distancia discreta 30
Elemento maximal 8
Entorno 45
Equipotente 11
Espacio cociente 183
Espacio de convergencia uniforme 91
Espacio discreto 34
Espacio métrico 29
Espacio métrico completo 137
Espacio proyectivo real 190
Espacio topológico compacto 157
Espacio topológico de Baire 153
Espacio vectorial normado 31
Espacios conexos 113
Espacios homeomorfos 90
Espacios isométricos 88
Espacios Topológicos 43
Extensión continua 142
Familia indexada de conjuntos 5
Frontera 57
Función abierta 90
Función cerrada 90
Función cofinal 81
Función continua 83
Función distancia 89
Función Indexada 5
Función uniformemente continua 88
Hausdörff
51
Homeomorfismo 90
Inductivo 15
Inmersión 88
Interior 47
Isometría 88
Lema de Alexander 163
Lema de Zorhn 9
Lindelöff 65
Localmente compacto 176
Localmente conexo 124
Localmente conexo por camino 131
Magro 150
Máximo 8
Métrica relativa 35
Métricas equivalentes 39
Metrizable 44
N1 70
N2 63
Norma 31
Número de Lebesgue 175
Nunca denso 150
Partición
7
Primer axioma de numerabilidad 70
Principio del buen orden 15
Producto cartesiano 10
Producto cartesiano 103
Propiedad Bolzano-Weiestrass 172
Propiedad de intersección finita 168
Propiedad universal del cociente 188
Proyección canónica 103
Punto aislado 57
Punto de acumulación 57
Punto de aglomeración 81
Punto fijo 148
Punto interior 47
Red 78
Red convergente 78
Relación 6
Relación abierta 185
Relación cerrada 185
Relación de equivalencia 6
Relación de orden parcial 7
Relación de orden total 8
Secuencialmente compacto 170
Segundo axioma de numerabilidad 63
Separable 58
Seudo distancia 29
Subcubrimiento 65
Subred 82
Subsucesión 75
Sucesión 75
Sucesión convergente 75
Sucesión de Cauchy 135
T1 50
T2
51
Teorema de Baire 151
Teorema de Bolzano 116
Teorema de cantor 13
Teorema de Cantor 147
Teorema de Cantor-Bernstein 13
Teorema de Dini 179
Teorema de Heire-Borel 159
Teorema de Tijonov 166
Teorema de unicidad de convergencia 81
To
49
Topología discreta 44
Topología final 183
Topología indiscreta 44
Topología más fina 62
Topología Producto 103
Topología relativa 45
Toro 189
Unión de numerables 18