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1
DIFERENCIADORES E INTEGRADORES
En la Figura 1 tenemos un amplificador en el que las resistencias de entrada y
realimentación han sido sustituidas por impedancias, es decir, Z1 y Zf representan
asociaciones de resistencias y condensadores (raramente se incluyen inductancias).
Zf
Z1
Vi
VO
Figura 1.
Para el circuito anterior podemos escribir una relación semejante a la del amplificador
inversor estudiado en el Capítulo 3.
Avf
=
vo
vi
Zf
= −
(1)
Z1
Esta ecuación será de gran utilidad en los apartados siguientes, donde consideraremos
asociaciones de componentes resistivos y capacitivos.
2.
EL DIFERENCIADOR
Este circuito presenta una salida proporcional a la variación de la señal de entrada. En la
Figura 2, tenemos el circuito de un diferenciador elemental.
CONDICION DEL CIRCUITO DIFERENCIADOR
τ = RC << T/2
Aplicando la ley de Kirchhoff en el punto a tenemos
C
dvi
dt
+
de donde se obtiene:
vo
Rf
= 0
vo
= −Rf C
dvi
dt
(2)
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2
Veamos que la señal de salida está invertida con relación a la de entrada.
if
Rf
i
Vi
a
C
vd
VO
b
Figura 2.
Aplicando una señal triangular simétrica a la entrada de un diferenciador, presentará a la
salida una señal rectangular, según se indica el la Figura 3.
Vi
Vp
0
T/2
T
3T/2
2T
t
Vo
+Vop=+RfC (Vpp / T )
2
T/2
T
3T/2
2T
t
-Vop= -RfC (Vpp / T )
2
Figura 3.
De hecho, la señal triangular puede ser vista como un conjunto de “rampas” ascendentes
y descendentes, cuyas derivadas son constantes. Se puede demostrar (y dejaremos esto
para el lector) que los valores de pico de la señal de salida vienen dados por:
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± Vop
3
 V pp 
= ± R f C

 T / 2
Si aplicamos una señal rectangular a al entrada del diferenciador tendremos una serie de
impulsos agudos (“SPIKES”) a la salida. Véase la Figura 4.
Analizaremos a continuación la ganancia del circuito anterior.
tenemos:
Avf = −
De la Ecuación 1
Rf
= − j 2πfR f C
1
j 2πfC
cuyo módulo vale
Avf = 2πfRfC
(3)
Vi
T
+ Vp
T/2
T
3T/2
2T
t
- Vp
Vo
+Vop
0
T/2
T
3T/2
2T
t
-Vop
Figura 4.
La ecuación anterior demuestra que la ganancia es directamente proporcional a la
frecuencia de la señal aplicada, lo que hace que este circuito sea muy sensible a
variaciones de frecuencia. Por esto el diferenciador elemental presenta serios
inconvenientes:
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-
4
inestabilidad de ganancia,
sensibilidad a los ruidos,
proceso de saturación muy rápido.
En el apartado siguiente daremos una solución práctica a estos problemas.
3.
EL DIFERENCIADOR PRÁCTICO
Como hemos visto, la ganancia del circuito anterior era directamente proporcional a la
frecuencia, por lo que el amplificador tenía un proceso rápido de saturación. En la
Figura 5 se observa un diferenciador al que hemos añadido en la entrada una resistencia
y un condensador en serie, lo que permite eliminar algunos de los inconvenientes del
diferenciador elemental y aumentar su estabilidad.
En este caso,
=
Avf
− Rf
1
R1 +
j 2πfC
Rf
Vi
C
R1
VO
RC = R1Rf / (R1+Rf)
Figura 5.
Y tomando el módulo,
Avf
=
R f / R1
1 + (1 / 2πfCR1 )
2
(4)
Según esta ecuación, la ganancia se estabiliza en el valor Rf/R1 (en módulo) cuando la
frecuencia crece indefinidamente. Luego en altas frecuencias el diferenciador se
comporta como un amplificador inversor. Hay que tener en cuenta que los ruidos de alta
frecuencia no afectan demasiado al circuito. En la práctica podemos establecer un valor
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límite de frecuencia por debajo del cual el circuito se comporta como diferenciador y por
encima actúa fundamentalmente como amplificador inversor. Esta frecuencia, que
denominaremos fL, es exactamente la frecuencia de corte de la red de retardo del
diferenciador, o sea,
fL
=
1
2πR1C
(5)
Resumiendo, sea f la frecuencia de la señal aplicada:
si f < fL ⇒ el circuito actúa como diferenciador,
Si f > fL ⇒ el circuito actúa como amplificador inversor de
ganancia -Rf/Rl.
Conviene señalar que las situaciones anteriores serán tanto más ciertas cuanto más nos
alejemos de fL.
Finalmente, este diferenciador será de mayor precisión si se imponen, a la hora de hacer
el proyecto, las condiciones siguientes:
(a)
R1 C ≤ T/10
(b)
Rf
≈ 10 R1
(6)
es decir, la constante de tiempo de la red de retardo de la entrada deberá ser mucho
menor (diez veces al menos) que el período de la señal aplicada, y la ganancia en altas
frecuencias estabilizarse en torno a diez. Mientras que la condición (b) es opcional y
puede no ser adecuada al proyecto, la condición (a) es fundamental y deberá aplicarse.
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4.
6
EL INTEGRADOR
Es uno de los circuitos más importantes con AO. No presenta los problemas del
diferenciador, y es más utilizado en la práctica. Véase en la Figura 6 el circuito del
integrador elemental y su circuito equivalente para análisis. El circuito equivalente de
tierra virtual muestra que desde la entrada a la salida, se puede derivar una expresión
para el voltaje entre la entrada y la salida en términos de la corriente i. Recuerde que la
tierra virtual significa que podemos considerar el voltaje en la unión de R y XC como
sifuera tierra (debido a que Vi ≈ 0v), pero que ninguna corriente pasa a tierra por este
1
1
punto. La impedancia capacitiva puede ser expresada como X C =
=
, donde s
jWC sC
= jw en la anotación de Laplace.
CONDICION DEL CIRCUITO INTEGRADOR
τ = RC >> T/2
if
i
i
a
C
i
a
R1
Vi
R1
vd
VO
b
Vi
(a)
C
Vd = 0
VO
(b)
Figura 6.
Aplicando la ley de Kirchhoff en el punto a, tenemos
vi
Rl
+ C
dv o
dt
vo
= −
1
R1C
= 0
O sea,
t
∫v
o
i
dt
(7)
La ecuación 7 indica que la salida es la integral de la entrada, con inversión y un
multiplicador de escala 1/R1 C. La habilidad de integrar una señal dada proporciona a la
computadora analógica la habilidad de resolver ecuaciones diferenciales y, por lo tanto,
proporciona la habilidad de solucionar eléctricamente analogías de operación de
sistemas físicos. La operación de integración es una sumatoria, porque suma el área bajo
la curva de una onda, a lo largo de un período. Si se aplica un voltaje fijo como entrada a
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un circuito integrador, la ecuación 7 muestra que el voltaje de salida crece a lo largo de
un período, proporcionando una rampa de voltaje. Por lo tanto la ecuación 9 se
comprende para mostrar que la salida de una rampa de voltaje (para una excitación
escalón) es opuesta en polaridad al voltaje de entrada y multiplicada por el factor 1/R1
C. Aunque el circuito de figura 6a, puede operar sobre muchos tipos diversos de señales
de entrada, los siguientes ejemplos usarán solamente un voltaje de entrada escalón,
dando como resultado una rampa de voltaje de salida.
Como ejemplo considere un voltaje de entrada, Vi = 1 (v), al circuito integrador de la
figura 7a. El factor de escala de 1/RC es
1
1
−
=
= −1
RC (1MΩ)(1µF )
por lo que la salida es una rampa negativa (descendente) de voltaje, como se muestra al
figura 7b. Si el factor de escala se cambia, haciendo R = 100 KΩ, por ejemplo,
1
1
−
=
= −10
RC (100 KΩ)(1µF )
y la salida es entonces un voltaje de rampa más pronunciada, igual al que se muestra en
la figura 7c
0V
C = 1µF
1 MΩ
Vi
0V
(- 1 / RC = -1)
(- 1 / RC = -10 )
R1
VO
(a)
- 1 (v)
(b)
- 10 (v)
(c)
Figura 7. Operación de Integración con entrada escalón.
Si hubiera una tensión inicial en el condensador, su valor deberá sumarse al resultado de
la ecuación anterior, por lo que, en ocasiones, se utiliza un interruptor en paralelo con C
para descargarlo antes de utilizar el integrador. El interruptor se cierra para la descarga
y debe volver a abrirse al comenzar el proceso de integración. La Figura 8 ilustra lo que
acabamos de decir.
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8
int
C
Vi
R1
VO
Figura 8.
Aplicando una señal rectangular simétrica en la entrada del integrador obtendremos una
salida triangular, como se ve en la Figura 9.
Se puede demostrar que los valores de pico de la tensión de salida están dados por la
relación.
Vop
 VpT 
= ± 

R
C
4
 1 
Tarea: demostrar ecuación anterior
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9
Vi
+ Vp
T/2
T
3T/2
2T
t
VO
+ Vop
0
T/2
T
3T/2
2T
t
- Vop
Figura 9.
Si consideramos el circuito de la Figura 6, tendremos
−
Avf
= −
1
j 2πfC
R1
= −
1
j 2πfR1C
Cuyo módulo vale
Avf
=
1
2πfR1C
(8)
Nótese que la ganancia es inversamente proporcional a la frecuencia, lo que hace que el
circuito no sea tan sensible como el diferenciador a los ruidos de alta frecuencia.
La Ecuación 8 muestra que, a medida que baja la frecuencia, la ganancia aumenta
considerablemente, tendiendo a infinito al aproximarse aquélla a cero. Análogamente a
como hicimos para el diferenciador, presentaremos un circuito que permita estabilizar la
ganancia en baja frecuencia.
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5.
10
EL INTEGRADOR PRÁCTICO
El circuito de la Figura 10 permite estabilizar la ganancia cuando se tiene una señal de
baja frecuencia aplicada a su entrada.
Rf
C
R1
Vi
VO
R 1 // R f
Figura 10.
Considerando la Ecuación 1:
1
Rf •
−
Avf
=
j 2πfC
1
Rf +
j 2πfC
R1
De donde, después de algunos cálculos, se obtiene
−
Avf
= −
R f / R1
1 + j 2πfR f C
Y tomando el módulo, se obtendrá
Avf
=
R f / R1
(
1 + 2πfR f C
)
2
(9)
La ganancia se estabilizará en un valor igual a Rf / Rl (en módulo) cuando la frecuencia
sea nula.
fL
=
1
2πR f C
(10)
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Resumiendo, sea f la frecuencia de la señal aplicada:
-
si f < fL ⇒ el circuito actúa como amplificador inversor de ganancia -Rf/Rl,
Si f > fL ⇒ el circuito actúa como integrador.
Señalaremos de nuevo que las dos situaciones anteriores son tanto más verdaderas
cuando más nos distanciemos de fL.
Para terminar, las condiciones que siguen permiten mejorar la respuesta de este circuito:
(a) R1C ≥ 10-T
(b) Rf ≈ 10 Rl
(11)
donde T es el período de la señal aplicada. La condición (a) es fundamental mientras
que la (b), a pesar de estabilizar óptimamente el circuito, puede considerarse como
opcional en el proyecto.
6.
INTEGRADORES ESPECIALES
Presentaremos a continuación dos circuitos integradores que pueden ser de utilidad en
muchas aplicaciones prácticas.
En la Figura 11 tenemos el integrador de suma.
V1
R
V2
C
R
V3
R
VO
Figura 11.
La ecuación de salida de este circuito es:
vo
=
1
RC
∫ (v
t
o
1
+ v2 + v3 ) dt
Evidentemente, el número de entradas podría aumentarse.
Tarea: demostrar la ecuación anterior
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(12)
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12
El otro circuito se denomina integrador diferencial y está representado en la Figura 12.
Nótese que su ecuación de salida no presenta inversión de polaridad.
Nuevamente dejamos al lector la demostración de la ecuación de salida:
vo
=
1
RC
V1
1
∫ (v
o
2
− v1 )dt
R
(13)
C
VO
V2
R
C
Figura 12.
6.
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
En el circuito de la Figura 13 tenemos R = 50 KΩ y C = 10µF. En su entrada se
aplica un impulso (o escalón de tensión) de 2 V de amplitud durante 5 segundos.
Suponiendo que C está descargado inicialmente y el AOP alimentado con ± 15 v, se
pide:
a.
Calcular Vo después de 2 segundos.
b.
¿Cuántos segundos tarda en saturarse el AOP con una tensión de -13,5V,
aproximadamente?
c.
Hacer un esbozo de la forma de onda de la señal de salida en el intervalo de 0 a 5
segundos. (Figura 14)
d.
Calcular la pendiente “D” (o coeficiente angular) de la señal de salida generada
antes de que el AOP se sature
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13
Vi
C
0
5
R
Vi
t
VO
Figura 13.
SOLUCIÓN:
a.
b.
1
RC
VO
= −
vo
= −
t
∫ v dt ,
i
O
pero siendo vi = CONSTANTE , tenemos
vi
t ; v o = −8V
RC
-13,5 = -4t ; t = 3,375 segundos.
c.
VO
1
2
3
4
5
3,375
-8
- 13,5
- 16
Figura 14.
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6
t
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d.
D( pendiente) =
−8
2
14
D = − 4V / s
Comentario: Obsérvese que la señal generada es lineal y de pendiente negativa, y
puede ser utilizada, por ejemplo, para accionar un circuito electrónico encargado de
controlar la velocidad de un motor, reduciéndola. Decimos, en este caso, que la señal
generada es una “rampa de desaceleración”. Por otro lado, cambiando la polaridad de la
señal de entrada, obtendríamos una “rampa de aceleración” que aumentaría la velocidad
del motor.
Esta técnica se utiliza muy frecuentemente en la industria para accionar máquinas
eléctricas a través de órdenes electrónicas. Nuestra intención ha sido dar al estudiante
una primera idea sobre este tema.
2.
En el integrador de la Figura 13 tenemos: R1 = 1 KΩ, Rf = 10 KΩ y C = 0,01
µF. Determinar la ganancia (en decibelios) del circuito cuando ω = 10.000 rad/s.
SOLUCIÓN:
Avf
=
10 / 1
(
1 + 10000 • 10 • 10
4
−8
)
2
≈ 7,07
O sea,
Avf (dB) ≈ 16,99 dB
3.
En el gráfico que sigue (figura 15), tenemos un período de la señal de entrada vi
aplicado al circuito diferenciador de la Figura 2. Determinar la tensión de salida VO en
los intervalos de 0 a 150µs y de 250 a 500 µs. Tomar Rf = 1 KΩ y C = 0,01 µF.
Vi (t)
2
Vi 1
0
Vi 2
250
500
Figura 15.
SOLUCIÓN:
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t ( µs)
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15
Como en la entrada aplicamos una señal triangular, la salida será constante en cada
semiperíodo.
Para el primer semiperíodo tenemos:
VO1 = -103 · 10-8 d/dt (t/125)
Véase que la ecuación del semiperíodo de subida es vil = t/125, donde t viene dado en
µs y vil en voltios. Luego:
Vo1
10 6
= − 10 • 10 •
125
−8
3
Vo1 = −80mV
;
Para el segundo semiperíodo:
VO2 = -103 · 10-8 d/dt (-t/125 + 4)
VO2 = -103 · 10-8 (-106/125) ;
4.
Vo2 = 80 mV
Demostrar que el siguiente circuito corresponde a un controlador PI
(proporcional + integral). Considerar para ello un AOP ideal.
I2
C
I1
Vi
R2
R1
VO
Figura 16.
SOLUCIÓN:
Sean Il e I2 las corrientes en R1 y R2C respectivamente, tenemos:
I1
=
vi
R1
; I2
= −
vi
R1
pues I1 + I2 = 0 (AOP ideal).
Sin embargo,
Vo = VR2 = Vc
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vo
−v  1 t
= R2  i  + ∫ i2 dt
 R1  C o
vo
R 
= −  2 vi
 R1 
−
16
1 t
vi dt
R1C ∫o
Finalmente;
vo
R 
= −  2 vi
 R1 
R 
−  2 
 R1 
1
R2C
t
∫ v dt
o
i
La ecuación final muestra que la salida del controlador consta de una parte
correspondiente a la acción proporcional, asociada a otra de acción integral (que viene
multiplicada por la misma ganancia de acción proporcional). Evidentemente, colocando
un amplificador inversor de ganancia unitaria a la salida de este controlador, se
eliminarían las salidas negativas de la ecuación anterior.
7.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Dibujar la forma de la señal de salida de un diferenciador cuando a su entrada
aplicamos los siguientes tipos de señales:
a.
b.
c.
d.
e.
cuadrada (vi = K)
inclinada o en rampa (vi = Kt)
senoidal (vi = Ksent)
parabólica (vi = kt2)
exponencial (vi = Ket)
2.
Repetir el ejercicio anterior para un integrador.
3.
¿Qué aspecto se considera más crítico en el circuito diferenciador de la Figura 2?
4.
¿Qué son los “SPIKES” y cómo se producen en los circuitos con AOP’s?
5.
Concepto y característica principal del diferenciador práctico.
6.
Repetir lo anterior para el integrador práctico.
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