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Razones trigonométricas directas
Introducción
Vamos a definir las razones directas que existen entre las medidas de los lados de un
triángulo rectángulo y los ángulos agudos del mismo. Consideremos el siguiente triángulo
e identifiquemos a los lados de la siguiente manera:
Cateto opuesto al ángulo β  b
Cateto adyacente al ángulo β  c
Hipotenusa  a
Recordar

Que la hipotenusa es lado mas largo del triángulo rectángulo o el lado frente al
ángulo recto.

El cateto opuesto se define como aquel lado que se encuentra frente al ángulo
con el que se trabaja.

Y el cateto adyacente es el que esta vecino al ángulo con el que se trabaja.
Razones directas con sus respectivas razones inversas:


1) Función seno y su inversa arco seno arcsen o sen -1 :
( )
( )
|1|


2) Función coseno y su inversa arco coseno arccos o cos-1 :
( )
( )


3) Función tangente su inversa arco tangente arctan o tan -1 :
( )
( )
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos, su perímetro y área. Es necesario
conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto.
Existen diferentes situaciones que detallaremos a continuación:
1) Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo
Resolver el siguiente triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa es a = 45 m y se
conoce el ángulo agudo B = 22°
|2|
1) Determinamos primero el ángulo C:
C = 90° - 22° = 68°
Recordar las siguientes propiedades:
 La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es siempre 180°
Caso especial de la propiedad anterior:
 La suma de los ángulos agudos de un triangulo rectángulo cualquiera es
siempre 90°
2) Luego calculamos el cateto b usando la definición de la razón seno, ya que
tenemos como datos la hipotenusa a y el ángulo agudo B opuesto al cateto b:
sen  B  
Op. b

 b = a sen  B 
Hip. a
b  45m sen  22 
b  45m 0.3746  b  16.86m
3) Luego buscamos la medida del cateto c utilizando la definición del coseno, ya
que poseemos la hipotenusa a y el ángulo agudo B adyacente el cateto c:
cos  B  
Ad. c
  c = a cos  B 
Hip. a
c  45m cos  22 
c  45m 0.9272  c  41.72m
|3|
2) Se conocen un cateto y un ángulo agudo
Resolver el triángulo conociendo el cateto b = 5.2 m y el ángulo agudo C = 37º
1) Hallamos el ángulo agudo faltante:
B = 90° - 37° = 53º
2) Se encuentra la hipotenusa a usando la definición de coseno, ya que conocemos
un ángulo agudo y el cateto b adyacente a este:
cos  C  
Ad. b
b

 a=
Hip. a
cos  B 
a=
a 
5.2m
cos  37 
5.2m
 a  6.51m
0.7986
3) Por ultimo calculamos el cateto c aplicando la definición de la tangente:
tan  C  
Op. c

 c =b tan  C 
Ad. b
c =5.2m tan  37 
c  5.2m 0.7536  c  3.92m
|4|
3) Se conocen la hipotenusa y un cateto
Resolver el triángulo conociendo la hipotenusa a = 415 m y el cateto b = 280 m

Vamos a calcular primero el ángulo agudo B, planteamos la función seno, ya que
conocemos la hipotenusa a y el cateto b opuesto al ángulo buscado B:
sen  B  
b
280
 sen  B  
a
415
sen  B   0.6747  B  sen 1  0.6747 
B  42.43  B  42 25'
Para determinar el ángulo B tuvimos que utilizar la función inversa del seno, el arco
seno, ya que teníamos como dato el valor del seno y nos faltaba el ángulo que determina
este valor:
y=sen  x   x=sen 1  y 
sen  B  
280
 280 
 B=sen 1 

415
 415 
También se puede representar usando la notación x=arcsen  y 

Luego hallamos el ángulo agudo que nos falta:
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′

Ahora resolvemos el cateto c utilizando la razón del coseno del ángulo B:
|5|
cos  B  
c
 c =a cos  B 
a
c =a cos  B 
c  415m 0.7381  c  306.31m
4) Se conocen los dos catetos
Resolver el triángulo conociendo: b = 33 m y c = 21 m

Determinamos el ángulo B usando la función inversa de la tangente, el arco
1
tangente, recuerda que se puede simbolizar como tan o también como arctan :
tan  B  
Op.
33
 tan  B  
Ad.
21
 33 
B  tan 1    B  tan 1 1.571
 21 
B  57.52  B  57 31'

Luego, calculamos el ángulo agudo faltante:
C = 90° − 57° 31′ = 32° 29′

Por ultimo, resolvemos la hipotenusa a usando la función seno del ángulo B:
|6|
sen  B  
a=
a
b
b
a=
a
sen  B 
33m
sen  57 31' 
33m
 a  39.12m
0.8435
Problemas de aplicación
1) Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el
ángulo de elevación del sol en ese momento.
tan   
Op. 50

Ad . 60
5
 
  tan 1      39.8
6
  39 48' 20 ''
2) Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un
ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
|7|
tan 12  
d
Op. 800m
800m

d 
Ad
d
tan 12 
800m
 d  3, 755.87 m
0.213
3) Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene
como arco correspondiente uno de 70º
sen  35°  =
|8|
Op.
Hip.
4) Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden
80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
sen  C  
Op.
h
 sen  70  
Hip.
80m
5) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa
su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
|9|
tan  30  
h
 h  tan  30  10  x 
10  x
tan  60  
h
 h  tan  60  x
x
tan  30  10  x   tan  60  x
3
 x  10   3 x  x  5m
3
h  tan  60  5m  h  5 3m
6) Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en
una circunferencia de 49 centímetros de radio.
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7) Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y
la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A
y B?
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