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Preparado específicamente por personal de GMV para la competición
Fecha: 24-03-2009
COMPETICION
BEST-GMV
CASO TECNICO-(UPC y UPM)
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NORMAS DE LA PRUEBA
El jurado evaluará y puntuará el ejercicio que proporcione la solución
correcta o que a su criterio más se acerque a la misma. La decisión del
jurado será inapelable.
En caso de igualdad de puntos entre dos o más equipos, ganará el que haya
entregado en el menor tiempo.
Los equipos deberán afrontar la resolución del problema con el criterio que
crean oportuno. Cuando el equipo considere que el problema está resuelto,
éste levantará la mano para entregarlo y el jurado tomará nota del tiempo
de entrega.
Recuerde que el tiempo de entrega puede ser esencial para ganar el
concurso.
Se dispone de un máximo de 2,5 horas para la resolución del problema.
Para su resolución se podrá usar una calculadora científica.
No se admiten preguntas.
¡Suerte!
CASO TÉCNICO (UPC Y UPM)
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Pregunta 1 (4 puntos)
Las medidas radiométricas han sido usadas desde el comienzo de la
exploración espacial para determinar la órbita de las sondas
interplanetarias. El seguimiento con señales radiométricas se basa en enviar
una señal desde una estación en tierra, reflejarla en el vehículo espacial y
recibirla de vuelta en la misma estación (existen otras variantes que no
vamos a considerar en este problema).
Las medidas de rango miden el tiempo de viaje de la señal para observar la
distancia ρ entre la estación de seguimiento y la sonda. Las medidas
Doppler se basan en medir el cambio de fase entre la señal recibida y la
señal emitida durante un cierto tiempo para obtener la componente de la
velocidad topocéntrica (respecto a un punto en la superficie de la Tierra) de
la nave en dirección a la estación en tierra dρ/dt.
a) Deducir el contenido de información de la medida Doppler cuando la
nave está a gran distancia de la Tierra (despreciar los términos de
segundo orden y superiores).
NB: el contenido de información de la medida Doppler es la fórmula de
dρ/dt en función de la posición geocéntrica del vehículo, el tiempo y los
parámetros de la Figura 1 (donde el eje de rotación de la Tierra se
considera inercial)
b) ¿Se puede obtener la posición angular (ascensión recta y declinación) de
la sonda con medidas Doppler? Se puede asumir un conocimiento muy
preciso de la posición de la estación de tierra y de la velocidad de
rotación de la Tierra.
Figura 1. Posición de la sonda interplanetaria y de la estación de seguimiento en Tierra
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 r : distancia geocéntrica de la nave espacial
 rs : distancia de la estación de seguimiento al eje de rotación de la Tierra
 zs : posición de la estación de seguimiento según el eje de rotación de la Tierra
 λs : longitud de la estación de seguimiento
 α : ascensión recta de la nave espacial
 δ : declinación de la nave espacial
 αg : ascensión recta del meridiano de Greenwich en el tiempo de referencia t0
 ωE : velocidad de rotación de la Tierra
Pregunta 2 (3 puntos)
Los radio púlsares son estrellas de neutrones cuya emisión de radio
presenta una serie uniforme de pulsos con periodos entre pocos
milisegundos y varios segundos. Los púlsares emiten un pulso de radiación
durante una pequeña fracción del periodo de rotación. La señal pulsar es
una señal aleatoria de banda ancha pero el periodo de rotación es en
algunos casos más estable que los más precisos relojes.
Se va a analizar la posibilidad de realizar navegación interplanetaria
obteniendo medidas Doppler de la señal de radio púlsares con una antena
en el vehículo espacial. Se supone que el proceso de extracción de la
medida Doppler consiste en observar la diferencia entre la señal recibida en
la nave y la de referencia (obtenida en radiotelescopios terrestres) durante
un tiempo de conteo TC hasta observar un decalado temporal igual a un
periodo del pulsar. Como fuentes para la navegación se usan púlsares con
un periodo de 10 ms.
Calcular el tiempo de conteo para obtener una medida Doppler de una
sonda que se mueve en una órbita circular de radio 780e6 km (5.2 UA) y
periodo 3934 días. Asumimos que siempre existirá un púlsar en la dirección
óptima para minimizar el tiempo de conteo.
Pregunta 3 (3 puntos)
La forma habitual de determinar la órbita de una sonda interplanetaria
consiste en hacer un seguimiento durante muchos días de la nave desde
una estación de tierra obteniendo largos arcos de medidas Doppler. Para
reducir la incertidumbre de la firma Doppler se toman medidas Delta-DOR
de forma más espaciada.
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Las medidas Delta-DOR (Delta Differential One-way Range) se forman de la
diferencia entre dos medidas interferométricas de muy larga base (VLBI).
Una medida es el retraso temporal de la señal desde la nave obtenida en las
dos estaciones que forman la base, y la otra el retraso de la señal de una
fuente radio extragaláctica muy estable (habitualmente un quasar), como
se presenta en la Figura 2. El contenido de información de esta medida es la
posición angular de la nave en la dirección de la base en el sistema de
referencia de los quasar.
Figura 2. Contenido de información de la medida Delta-DOR (distancia angular entre la nave y un
quasar cercano)
Una nueva forma de navegación consiste en usar la señal de púlsares de
rayos-X. En el caso de los púlsares de rayos-X la medida consiste en la
diferencia entre el tiempo de llegada (TOA según sus siglas en inglés) de la
señal a la sonda y el TOA al baricentro del sistema solar (ver Figura 3). El
TOA al baricentro del sistema solar se conoce de antemano para todos los
púlsares.
En las siguientes cuestiones, vamos a asumir un problema plano, es decir la
trayectoria se encuentra en el plano XY. El origen del sistema de referencia
es el baricentro del sistema solar. Es importante resaltar que no se obtienen
observaciones en dirección del sol, o sus proximidades, debido a las
interferencias que éste introduce en las señales.
Dos medidas Delta-DOR con bases ortogonales se toman cuando la Tierra
está en el eje X ([149e6 , 0] km) y determinan que la sonda se encuentra
en la dirección del eje X.
a) Si la sonda observa un púlsar en la dirección del eje Y para obtener la
diferencia de TOA, ¿cuál será la medida que obtenga? ¿Está
completamente determinada la posición de la sonda?
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b) La sonda observa un púlsar en la dirección que maximiza la medida
diferencia de TOA y dicha diferencia es 3000 s. Si la precisión de la
medida Delta-DOR es 100e-9 rad (1σ) y la del TOA es 5e-4 s (1σ),
calcular las incertidumbres en la posición de la sonda.
Figura 3. Geometría de la navegación usando púlsares de rayos-X
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