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4. VARIABLES ALEATORIAS Y
SUS PROPIEDADES
Dr. Edgar Acuña
http://math.uprm.edu/~edgar
UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO
RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ
4.1 Variables Aleatorias
Una variable aleatoria es una funcion que asume sus valores de acuerdo a los
resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por las
últimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es una
función cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango Rx, es un
subconjunto de los números reales.
Ejemplos de variables aleatorias:
•
•
•
•
•
X: La suma que aparece al lanzar un par de dados.
Y: El número de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces.
Z: El número de errores que se encuentran en la página de un libro.
T: El tiempo de vida de la componente de un sistema
W: El tiempo de espera para ser atendido en un banco
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Ejemplo 2.1
De una caja que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 bolas
una por una y sin reposición. Entonces X: El mayor de los tres números
sacados, es una variable aleatoria.
El espacio muestral es:
S = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5),
(2,4,5), (3,4,5)}
y la variable aleatoria X asume los valores: 3, 4 y 5. Por ejemplo,
X (2,3,4) = 4
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Si el rango de valores Rx de la variable aleatoria X es finito
o infinito enumerable entonces se dice que es una
variable aleatoria discreta. Si su rango de valores Rx
es infinito no enumerable entonces se dice que es una
variable aleatoria continua.
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4.1.1. Función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria discreta con rango de valores Rx
entonces, su función de probabilidad se define por:
p(x) = P[X = x], para todo x Rx
y tiene las siguientes propiedades:
•
•
p(x) > 0 y
Σ p(x) = 1,
x∈ Rx
Cuando Rx no contiene muchos valores es más conveniente expresar
p(x) en una tabla de valores, la cual es llamada tabla de función de
probabilidad.
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Ejemplo 2.2.
Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 2.1.
Solución: En este caso el rango de valores de X es Rx = {3, 4, 5} y la
función de probabilidad esta dada en la siguiente tabla:
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X
P(x)
3
1/10
4
3/10
5
6/10
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4.1.2. Función de distribución
acumulativa
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) y
rango de valores Rx, entonces su función de distribución
acumulativa se define por:
F(t) = P( X ≤ t) = ∑ p(x)
x≤t
t es cualquier número real. En particular, si t es un valor que está en
Rx , el cual consiste de enteros no negativos, entonces:
F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +…+ p(t)
Ejemplo 2.3. Hallar la función de distribución acumulativa para el
Ejemplo 2.2.
Solución:
x
F(x)
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3
1/10
4
4/10
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1
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Distribucion acumulada(cont)
La gráfica de una función de distribución acumulativa es no
decreciente y del tipo escalonado, con saltos en los
puntos que están en el rango de valores y cuya
magnitud es igual al valor de la función de probabilidad
en dicho punto. Más formalmente tiene la siguiente
propiedad:
Propiedad. La relación entre la función de distribución de
probabilidad y la función de distribución acumulativa
está dada por:
p(x) = F(x) - F(x-1)
para todo valor de x en el rango de valores de la variable
aleatoria.
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Distribucion acumulada(cont.)
lim b → ∞ F (b ) = F (∞ ) = 1
lim b → −∞ F (b ) = F ( −∞ ) = 0
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4.1.3 Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria X se dice que es continua si existe una funcion no
negativa f(x) definida para todo numero real en (−∞, ∞) que satisface
P( x ∈ B) = ∫ f ( x)dx
B
Donde B es cualquier subconjunto de los numeros reales. La
funcion f(x) es llamada la funcion de densidad de la variable
aleatoria X.
Notar que
∞
P ( −∞ ≤ x ≤ ∞ ) =
∫
f ( x ) dx = 1
−∞
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4.1.3 Variables aleatorias continuas
Si B es un intervalo [a,b], y f representa la funcion de densidad de X
entonces
b
P(a ≤ x ≤ b) = ∫ f ( x)dx = Area debajo de f ( x)
a
Notar que
xo
P( x = x o ) = ∫ f ( x)dx = 0 = area
de
una
linea
xo
Tambien, si f(x) es cualquier funcion continua no negativa tal que
∞
c =
∫
f ( x ) dx
−∞
entonces
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g ( x) =
f ( x)
c
es una funcion de densidad
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Ejemplo 2.4
El promedio de graduacion de los estudiantes de una universidad es una
variable aleatoria continua con funcion de densidad
f (x) = cx(4 − x)
para 0 ≤ x ≤ 4
y f(x)=0 en otro caso
a) Hallar el valor de c
b) Un estudiante que se gradua con promedio 3.25 o mas recibe un
premio. Cual es la probabilidad de que esto ocurra
Solucion:
∞
4
3
x 3 4 32
a) ∫ f ( x)dx = ∫ cx(4 − x)dx = c[2 x − ]0 = c = 1 ⇒ c =
3
3
32
0
−∞
2
4
b ) P ( X > 3 .25 ) =
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x3 4
3
3
3
3 .25 3
2
2
x
x
dx
x
(
4
−
)
=
[
2
−
]
=
1
−
[
2
(
3
.
25
)
−
] = 1 − .9077 = .0923
3 .25
∫ 32
32
3
32
3
3 .25
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Variables aleatorias continuas (cont.)
Si f representa la funcion de densidad de la variable aletoira X entonces
su funcion de distribucion acumalativa esta dada por
t
F (t ) =
∫ f (x)dx =
−∞
Teorema: f(x)=F’(x)
Prueba:
x+h
F (x + h) − F (x)
F ( x ) = lim
=
h→ 0
h
donde
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x<ε <x+h
∫
x+h
x
f ( t ) dt −
−∞
∫
−∞
h
f ( t ) dt
=
∫
f ( t ) dt
x
h
=
hf ( ε )
= f (ε )
h
. Luego F’(x)=f(x).
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Variables aleatorias continuas(cont.)
Si F representa la distribucion acumulativa de la v.a.c. X entonces
P(X>a)=1-F(a)
P(a<x<b)=F(b)-F(a)
Ejemplo 2.5: Si la variable aleatoria X tiene la siguiente funcion de densidad
f (x) =1− | x | si | x |≤1
f(x)=0 si |x|>1
a) Hallar F(x) y graficarla
b) Hallar P(.2<X<.6)
c) Probar que como X es simetrica,P(-a<X<a)=2*F(a)-1
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Ejemplo 2.5 (solucion)
⎧
0 t < −1
⎪
⎪ t
x2 t
t2 1
−1 ≤ t < 0
⎪ ∫ (1 + x ) dx = ( x + ) |−1 = t + +
2
2 2
⎪
a ) F (t ) = ⎨ −1 t
2
2
⎪ 1 + (1 − x ) dx = 1 + ( x − x ) |t = 1 + t − t
0 ≤ t <1
0
⎪ 2 ∫0
2
2
2
2
⎪
1 t ≥1
⎪⎩
b) P (.2 < X < .6) = F (.6) − F (.2) = [.5 + .6 − .18] − [.5 + .2 − .02] = .24
c ) Por simetria P ( − a < X < a ) = F ( a ) − F ( − a ) = F ( a ) − [1 − F ( a )] = 2 F ( a ) − 1
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Ejemplo 2.6
El numero de horas diarias que un nino vee television se considera como una
variable aleatoria con funcion de densidad
f ( x ) = xe
−x
si x > 0
f(x)=0 en otro caso
a) Hallar la distribucion acumulada de X
b) Hallar la probabilidad de que un nino vea mas de tres horas diarias
de television
Solucion:
0
⎧
⎪t
a ) F (t ) = ⎨ xe − x dx = (− xe − x − e − x ) |t = 1 − te −t − e −t
0
⎪⎩∫0
t<0
t >0
b ) P ( X > 3) = 1 − F (3) = 1 − [1 − 3e −3 − e −3 ] = 4 e −3 = .1991
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4.1.4 Valor Esperado y Varianza de
una Variable Aleatoria Discreta
Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) y
rango de valores Rx, entonces su Valor Esperado o Media se define como
el número:
μ = E ( X ) = ∑ xp( x)
x
La suma es sobre todos los valores x que están en Rx.
Propiedades del valor Esperado:
a)E(X+c)=E(X)+c
b)E(cX)=cE(X)
c) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
d) E[g(X)]=∑ g ( x) p( x). En particular, si g(x)=xk con k=1,2…, entonces
k
x
E(Xk)=∑ x p ( x) , que es llamado el k-esimo momento
x
de X
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Ejemplo 2.7 Un juego consiste en acertar un número del 1 al 1000. A la persona que acierta el
número se le da un premio de 500 dólares y a las dos personas que tienen el número que le
antecede o precede se le dan 100 dólares. Si el boleto cuesta 1 dólar. ¿Cuál será la Ganancia
Neta esperada de una persona que compra un boleto?
Solución:
La Ganancia Neta es igual a la ganancia por el premio recibido menos el costo del boleto.
Sea G la ganancia por el premio recibido. Hallaremos primero la Ganancia Esperada:
G
P(G)
Gp(G)
500
1/1000
500/1000
100
2/1000
200/1000
0
997/1000
0
Luego, la ganancia esperada por boleto será 700/1000 = 0.70. Así que la Ganancia Neta
esperada será 0.70 - 1.00 = -0.30. Lo que significa que una persona pierde 30 centavos
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Valor Esperado y Varianza de una
Variable Aleatoria Discreta (cont.)
La Varianza de una variable aleatoria discreta X con función de
probabilidad p(x) y media μ se define por:
VAR( X ) = σ 2 = E ( X − μ ) 2 = ∑ ( x − μ ) 2 p( x)
Donde la suma es sobre todos los valores del rango de X.
Propiedades:
a) Var(a)=0
b) Var(X+a)=Var(X)
c) Var(aX)=a2Var(X)
d) VAR( X ) = E ( X − μ ) 2 = E ( X 2 − 2 Xμ + μ 2 ) = E ( X 2 ) − 2μE ( X ) + μ 2 =
E ( X 2 ) − 2μ 2 + μ 2 = E ( X 2 ) − μ 2
La raiz cuadrada positiva de la varianza es llamada desviacion estandar y se
representa por σ
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Ejemplo 2.8. Hallar la media y varianza para la variable
aleatoria del Ejemplo 2.1.
Solución:
x
p(x)
Xp(x)
X-μ
(x-u)2p(x)
3
1/10
.3
-1.5
.225
4
3/10
1.2
-0.5
.075
5
6/10
3.0
0.5
.15
μ=4.5
σ2=0.45
Otra formas del calcular la varianza es σ2 = ∑x2p(x)-μ2.
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Ejemplo 2.9
Una caja contiene 2n bolas de n colores distintos con dos bolas de cada color.
Se extraen al azar y con reemplazamiento bolas de la caja hasta que salgan
dos bolas del mismo color. Sea X el numero de bolas extraidas.
a) Hallar P(X>k) para k=2,3,….
b) Hallar la funcion de probabilidad de X
c) Hallar el valor esperado de X.
Solucion: a) El evento [X>k] es equivalente a decir que entre las primeras k
n
bolas hay una de cada color. Esto puede ocurrir de ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟k!= Pkn maneras. Las
k⎠
combinaciones son las maneras de elegir los colores⎝distintos
y k! son los
distintos arreglos que se pueden hacer con los colores elegidos. Por otro lado
hay nk maneras posibles de extraer las k bolas. Por lo tanto,
P( X > k) =
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n!
(n − k)!nk
para k=1,2,…..,n
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Ejemplo 2.9 (cont.)
b) P(X=k)=F(k)-F(k-1)=(1-P(X>k))-(1-P(X>k-1))=P(X>k-1)-P(X>k)
Usando los resultados de la parte a) se tiene
n!
n!
n!
1
1
−
=
−
[
]
(n−k+1)!nk−1 (n−k)!nk (n−k)!nk−1 (n−k+1) n
n!(k−1)
P(X =k) =
(n−k+1)!nk
P(X =k) =
n+1
para k=2,3,….n+1. Notar que
n +1
∑
k =2
∑P(X =k) = p
k=2
n+1
+ pn + pn−1 +.....+ p2 .Luego,
n! n! ( n − 1) n! n ( n − 2)
n! n n − 2
pk = n +
+
+ ....... + n
n
nn
n n 2!
n ( n − 1)!
n −1
n −1
n −1
n!
n j −1 ( n − j )
n!
n j n −1 n j −1
n!
n j n −1 n k
] = n [1 + ∑
] = n [1 + ∑
= n [1 + ∑
−∑
−∑ ]
n
j!
n
n
j =1
j =1 j!
j =1 ( j − 1)!
j =1 j!
k k!
=
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n!
n n −1
[
1
+
− 1] = 1
nn
( n − 1)!
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Ejemplo 2.9 (cont)
c)
E ( X ) = P ( X > 1) +
n
∑
= 1+[
n!
∑
k
k = 1 ( n − k )! n
n!
n!
]
+ ....... +
+
( n − 2 )! n 2 ( n − 1)! n
P(X > k) = 1+
k =1
n!
n!
n!
+
+
n n n n −1 2! n n − 2
n
n!
n2 n3
n n −1
]
= 1 + m [1 + n +
+
+ ...... +
n
2!
3!
( n − 1)!
Wel resultado anterior se puede simplificar mas usando el hecho
que el n! se puede aproximar usando la formula de aproximacion
de Stirling y la suma es una parte de la serie exponencial de en
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4.1.5 Valor Esperado y Varianza de
una Variable Aleatoria continua
Si X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f, entonces
su media y varianza estan definidos por
∞
E(X ) =
∫ xf ( x ) dx
−∞
∞
VAR ( X ) =
∫ (x − μ )
2
f ( x ) dx
−∞
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Ejemplo 2.10
Hallar el valor esperado y varianza del ejemplo 2.4.
Solucion:
∞
4
3 4x3 x4 4
3
− ]0 = 2
E ( X ) = ∫ xf ( x ) dx = ∫ x[ x ( 4 − x )]dx = [
3
4
32
32
0
−∞
El valor del promedio academico de graduacion que se espera es de 2.0
Var ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) 2 = E ( X 2 ) − 4
∞
4
3 4 x5 4 3(44 ) 24
3
=
E( X ) = ∫ x f ( x)dx =∫ x [ x(4 − x)]dx = [ x − ]0 =
(
32
)
5
5
32
5
32
0
−∞
2
2
2
Luego, Var(X)=24/5-4=4/5=.8
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Ejemplo 2.11
Hallar el valor esperado del ejemplo 2.6
Solucion:
∞
∞
∞
E ( X ) = ∫ x ⋅ xe dx = ∫ x e dx = − x e | +2∫ xe − x dx = 0 + 2(1) = 2
0
−x
0
2 −x
2 −x ∞
0
0
La ultima integral vale 1, porque representa el area total debajo de la
funcion de densidad. Se espera que un nino mire television, 2 horas
semanales
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Ejemplo 2.12
Sea X un variable aleatoria discreta con rango de valores RX={0,1,….,n}.
Entonces,
n
E ( X ) = ∑ P( X ≥ i )
i =1
Similarmente si X es una variable continua no negativa con funcion de
distribucion acumulada F, entonces
∞
E ( X ) = ∫ [1 − F ( x )] dx
0
Solo probaremos el caso continuo
∞
∞x
∞∞
∞
0
00
0 t
0
E( X ) = ∫ xf (x)dx = ∫∫ f (x)dtdx= ∫∫ f (x)dxdt= ∫[1− F(t)]dt
La prueba basicamente se basa en el cambio en el orden de los limites de
integracion
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Desigualdad de Markov
Si
X ≥ 0 entonces
P( X ≥ a) ≤
E( X )
a
Para todo a>0
Solo probaremos el caso continuo
∞
a
∞
∞
0
0
a
a
E ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ xf ( x)dx + ∫ xf ( x)dx ≥ ∫ af ( x)dx ≥ aP ( X > a )
La primera desigualdad se justifica porque el integrando de
la primera integral es positivo y en la segunda integral x>a.
Luego,
E( X )
≥ P( X > a)
a
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Desigualdad de Chebychev
Para cualquier variable aleatoria X, y cualquier k>0 se cumple que
P [| X − μ |≥ k σ ] ≤
1
k2
En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de
su media en mas de k veces su desviacion estandar es a lo mas 1/k2
La prueba de la desigualdad de Chebychev se obtiene aplicando la
desigualdad de Markov a la variable nonegativa (X-μ)2 con a=k2σ2. Lo
cual da
E ( X − μ )2
σ2
2
2
2
De donde
P [( x − μ ) > k σ ] ≤
=
k 2σ
P[| x − μ |> kσ ] ≤
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k 2σ
2
2
1
k2
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