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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PRINCIPALES DE
UN ÁNGULO UTILIZANDO LOS DOS TEOREMAS FUNDAMENTALES
DE LA TRIGONOMETRÍA:
1- Determina todas las razones trigonométricas del ángulo x si cos x =-0.8 y el ángulo x está
en el tercer cuadrante
2
sen x  cos 2 x  1  sen 2 x  1  (0,8) 2  1  0,64
sen 2 x  0,36  sen x   0,36  0,6
sen x  0,6
tg x 
sen x  0,6 6 3

 
cos x  0,8 8 4
Soluciones: sen x =-0.6
Tg x = 0.75
2- Si la tg x =-0.5 y x esta en el cuarto cuadrante determina el resto de las razones
trigonométricas
sen 2 x  cos 2 x  1
sen x
tg x 
 0,5  sen x  0,5 cos x
cos x
sen 2 x  cos 2 x  1  (0,5 cos x) 2  cos 2 x  1
0,25 cos 2 x  cos 2 x  1,25 cos 2 x  1
1
 0,8  cos x   0,8  0,894
1,25
cos x  0,894( por _ el _ cuarto _ cuadrante )
cos 2 x 
sen x  0,5 * 0,894  0,447
Soluciones: cos x =0.89
Sen x =-0.44
3- Calcula el seno y coseno de un triangulo del tercer cuadrante sabiendo que su tg = √3
sen 2 x  cos 2 x  1
sen x
tg x 
 3  sen x  3 cos x
cos x
sen 2 x  cos 2 x  1  ( 3 cos x) 2  cos 2 x  1
3 cos 2 x  cos 2 x  4 cos 2 x  1
1
1
1
 cos x  

4
4
2
1
cos x   ( por _ el _ cuarto _ cuadrante )
2
1
3
sen x  3·( )  
2
2
Soluciones: cos x = -0.5
Sen x =-0.86
cos 2 x 
4- Sabiendo que sen x =3/5 y que 0º≤x ≤ 90º; calcula el cos x y tg x
sen 2 x  cos 2 x  1
2
9 16
3
2
2

   cos x  1  cos x  1 
25 25
5
cos x  
16
4

25
5
4
, porque _ el _ ángulo _ está _ en _ cuadrante _ uno
5
sen x 3 4 3
tg x 
 : 
cos x 5 5 4
Soluciones: cos x =4/5
Sen x =3/4
cos x 
5- Si el ángulo x esta en el segundo cuadrante calcula el resto de las razones
trigonométricas si el cosec x =2.5
1
1
2
cos ecx  2,5  2,5 
 sen x 

sen x
2,5 5
sen x 2  cos 2 x  1
2
4 21
2
2
2

   cos x  1  cos x  1 
25 25
5
cos x  
21
21

25
5
cos x  
21
5
tg x 
sen x 2 
21 
2
2 21

 :  


cos x 5  5 
21
21
Soluciones: sen x =0.4
Cos x =-0.91
Tg x =-0.43
6- Si el sen x =0.8 y que 90º≤x≤180º calcula el resto de las razones trigonométricas
sen 2 x  cos 2 x  1
0,82  cos 2 x  1  cos 2 x  1  0,64  0,36
cos x   0,36  0,6
cos x  0,6, porque _ el _ ángulo _ está _ en _ cuadrante _ segundo
sen x
8
4
 0,8 : (0,6)    
cos x
6
3
Soluciones: cos x =-0.6
Tg x =-1.3
tg x 
7- Calcula las razones trigonométricas del siguiente triangulo:
Sen x= 7/8.6
Cos x= 5/8.6
Tg x =7/5
sen ß =5/8.6
cosß= 7/8.6
tgß= 5/7
5cm
7 cm
8-calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas de todos los ángulos del
siguiente triangulo:
sen x = 8/10.63
cos x =7/10.63
tg x =8/7
7cm
8 cm
PROBLEMAS
senß = 7/10.63
cos ß= 8/10.63
tg ß= 7/8
1
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m.
Resolver el triángulo
sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B
2
c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c =
21 m. Resolver el triángulo
tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B
a = 33/0.5437 = 39.12 m
3
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B =
22°. Resolver el triángulo
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22°
b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
4
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B =
37º. Resolver el triángulo
C = 90° - 37° = 53º
a = b/sen B
c = b · cotg B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
5
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B =
41.7°. Resolver el triángulo
6
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B =
54.6°. Resolver el triángulo
7
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4
m. Resolver el triángulo.
8
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5
m. Resolver el triángulo.
9
Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra d e 60 m de
larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
.
10
Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue
un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del
pueblo se halla?
11
Hallar
el
radio
de
una
circunferencia
sabiendo
que
una
cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70°
12
Calcular el área de una parcela triang ular, sabiendo que dos
de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de
70°.
13
Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto
del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos
acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.
14
La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Hallar
los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita.
.
15
Calcular
la
longitud
del
lado
y
de
la
apotema
de
un
octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de
radio.
16Tres
pueblos
A,
B
y
C
están
unidos
por
carreteras.
La
distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman
estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?
17 Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte
más alta bajo un ángulo de 45º.
cos 45º = a / 25 =  2 / 2
25  2 / 2 = a
sen 45º = x / 25 2 / 2 = 2 x / 25
sen 45º = 2 x / 25 2
 2 / 2 = 2 x / 25 2
x = 25m
18 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su
copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.
tg 60º = x / y =  3 x = y  3
tg 30º = x / y +10 =  3 / 3
y  3 / y + 10 =  3 / 3
3y  3 = (y+10)*  3
y=5
x = 5* 3
x= 8´6m
19 Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra
orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de
observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río.
tg 60º = x / y =  3 x = y 3
tg 45º = x / y+10 = 1
y 3 / y+10 = 1
y 3 = y +10
y 3 - y = 10
y( 3 -1) = 10
y = 10/ 3-1 = 13´6 m anchura río
x = y 3 = 23´6 m altura árbol