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TRANSFORMADOR REAL
Norberto A. Lemozy
1 INTRODUCCIÓN
En los transformadores reales no se cumplen las premisas que definían a los ideales, pero se
les aproximan mucho, especialmente en las unidades de gran potencia, en efecto, se tiene que:
Tabla I. Características de los transformadores reales.
Pero …
Son pequeñas.
R>0
PFe > 0
Son pequeñas.
Es muy alta.
µFe < ∞
C > 0 Son muy pequeñas.
Si bien estas diferencias son pequeñas, en la mayoría de los casos, deben ser tenidas en cuenta.
Una conclusión inmediata de lo establecido en la tabla I, es que el rendimiento, auque muy
elevado, resulta menor que la unidad y además se producirán caídas de tensión, en general muy
pequeñas.
A continuación se hace un análisis de las principales consecuencias de las diferencias
establecidas en la tabla I y como se las tiene en cuenta para establecer un circuito equivalente del
transformador real.
2 EL FLUJO Y LA REACTANCIA DE DISPERSIÓN
Cuando se estudió el reactor, al flujo se lo consideró único, porque no era necesario hacer
ninguna separación; pero en el estudio de las máquinas eléctricas, en general conviene separar el
flujo que se cierra principalmente a través del hierro, y concatena a los distintos arrollamientos de
la máquina; del que se cierra principalmente por el aire y concatena a un solo arrollamiento, al
que se lo denomina flujo de dispersión o en aire.
El flujo que se cierra principalmente a través del hierro, se denomina flujo mutuo o principal,
es mucho mayor que el de dispersión y es el responsable de la transferencia y de la conversión de
la energía.
En realidad el flujo dentro de las máquinas es único y la división en mutuo y disperso, la que
es un tanto arbitraria y naturalmente imprecisa, resulta muy útil y es de uso generalizado. La
razón de esta división es que el flujo disperso, al cerrarse principalmente por el aire, y como se
vio al estudiar el reactor en aire, es proporcional a la corriente que lo está produciendo y está en
fase con la misma, por lo que sus efectos prácticamente no están afectados por alinealidad del
núcleo ferromagnético.
En la figura 1 se muestra un esquema de un transformador, con núcleo de columnas y de dos
arrollamientos donde, por razones de claridad en el dibujo, se han colocado al primario y al
secundario en columnas separadas, lo no es usual por el gran flujo disperso que se produciría.
1
En esa figura se han indicado esquemáticamente los flujos mutuo Φ y de dispersión Φd que se
producirían con esa configuración de arrollamientos y con la fuerza magnetomotriz F1 = N1 I1
mayor que la F2 = N2 I2 como es lo normal.
Φ
Φ d1
Φ d2
Φ d1
Φ d2
I1
I2
Fig. 1. Flujos mutuo y de dispersión.
Al dividir el flujo en dos partes, cada uno de ellos producirá una fuerza electromotriz inducida,
y, por ejemplo, la tensión primaria del transformador de la figura 1, se puede expresar como:
U& 1 = E&1 + E& d 1 + r1 I&1
(1)
Donde el subíndice 1 denota al primario y E y Ed son las fuerzas electromotrices inducidas por
los flujos mutuo y de dispersión primario, respectivamente. Como la fuerza electromotriz Ed1 es
proporcional al flujo disperso, y como éste se cierra principalmente por el aire, donde no hay
saturación, ese flujo es proporcional a la corriente I1; por lo tanto la fuerza electromotriz de
dispersión resulta prácticamente proporcional a la corriente que la está produciendo, está en
cuadratura con ella, figura 2, y se la puede expresar como:
E& d 1 = j x1 I&1
(2)
Ed
Φd
I
Fig. 2. Corriente, flujo y fem de dispersión.
En la que el operador j se agrega para tener en cuenta que la fuerza electromotriz inducida
adelanta 90 grados al flujo y a la corriente que lo están produciendo. Como esta situación es
semejante a lo que ocurre en una reactancia inductiva, al coeficiente de proporcionalidad se lo
indica con una x, se lo denomina reactancia de dispersión y es prácticamente constante.
Reemplazando la ecuación (2) en la (1), resulta:
U& 1 = E&1 + j x1 I&1 + r1 I&1 = E&1 + (r1 + j x1 ) I&1
2
(3)
Si bien es posible aplicar el mismo criterio a la fuerza electromotriz inducida E1, la reactancia
resultante, de tipo magnetizante, debido a la saturación del núcleo ferromagnético, no es
constante, y su aplicación no es tan frecuente, no obstante hay modelos de máquinas que así lo
hacen y son usados para el estudio de transitorios.
Por lo dicho las ecuaciones de tensión de un transformador monofásico de dos arrollamientos
resultan:
U& 1 = E&1 + (r1 + j x1 ) I&1
(4)
U& 2 = E& 2 − (r2 + j x2 ) I&2
(5)
Donde el subíndice 2 de la ecuación (5) denota al secundario y el cambio de signo es
consecuencia de las convenciones de signo adoptadas, a saber: el primario en convención
consumidora y el secundario en convención generadora como se estableció al estudiar el
transformador ideal.
Las caídas de tensión en la resistencia y en la reactancia de dispersión de los arrollamientos,
son un pequeño porcentaje de la respectiva fuerza electromotriz inducida.
Representando fasorialmente las ecuaciones (4) y (5) resulta la figura 3, donde las caídas de
tensión en las resistencias y en las reactancias de dispersión se han ampliado para mayor claridad
en el dibujo.
U1
E d1 = j x 1I 1
r1 I 1
E2
r2 I 2
U2
ϕ2
E1
ϕ1
E d1
Φd1
E d2 = j x 2I 2
I1
E d2
Φ
Φd2
I2
Φ
Fig. 3. Diagramas fasoriales del primario y del secundario.
Los ángulos de las corrientes I1 e I2 dependen de la carga del transformador, en el ejemplo de
la figura 3, se supuso una carga del tipo inductivo resistivo, de forma que las corrientes resulten
atrasadas de las respectivas tensiones U1 y U2 en los ángulos ϕ1 y ϕ2 respectivamente; ángulos
que, debido a los pequeños valores que tienen las impedancias de los arrollamientos, son muy
próximos entre sí. La relación entre las corrientes I1 e I2 se establece en el punto siguiente.
3 FUERZAS MAGNETOMOTRICES
Como se vio en el transformador ideal la suma de las fuerzas magnetomotrices primaria y
secundaria dan la fuerza magnetomotriz resultante que es la que produce el flujo mutuoΦ, ese
mismo criterio se aplica al transformador real, pero en éste caso la resultante no puede ser nula
debido a la reluctancia no nula del núcleo:
3
& =
F&R = F&1 + F&2 = R Φ
l Fe
µ 0 µ Fe S Fe
& >0
Φ
(6)
Reemplazando las fuerzas magnetomotrices del primario y del secundario y teniendo en
cuenta las convenciones de signo, resulta:
N1 I&1 − N 2 I&2 = F&R
(7)
Si el transformador, como es lo normal, está alimentado a tensión y frecuencia constantes, el
flujo y la fuerza magnetomotriz resultante, también deben serlo, en efecto como ocurre en todas
las máquinas eléctricas la diferencia entre la tensión aplicada U y la fuerza electromotriz inducida
E es pequeña y entonces:
E = 4,44 f N Φ máx ≅ U = cte⎫
⎬ ⇒ Φ ≅ cte ⇒ FR ≅ cte
y f = cte
⎭
(8)
Lo anterior se debe cumplir en todas las condiciones de funcionamiento. En el caso particular
del funcionamiento en vacío, es decir sin carga, que se indica con un subíndice 0, se tiene:
I&1 = I&0
I&2 = 0
(9)
Donde I0 es la denominada corriente de vacío, mucho menor que la nominal. Entonces,
cuando el transformador está sin carga, la ecuación (7) queda:
N1 I&0 = F&R
(10)
Reemplazando en la ecuación (7) el valor de la fuerza magnetomotriz resultante por la dada en
(10):
N1 I&1 − N 2 I&2 = N1 I&0
(11)
Que es la ecuación de fuerzas magnetomotrices de un transformador real.
Esta ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:
I&
I&
I&1 − 2 = I&1 − 2 = I&1 − I&2′ = I&0
N1
a
N2
(12)
Donde I´2 es la corriente secundaria referida al primario y reordenada resulta:
I&1 = I&2′ + I&0
(13)
4 LA RELACIÓN DE TRANSFORMACIÓN
El valor eficaz de cada una de las fuerzas electromotrices inducidas es:
E1 = 4,44 f N 1Φ
(14)
E 2 = 4,44 f N 2 Φ
(15)
Haciendo el cociente de las ecuaciones (14) y (15) se obtiene la relación de transformación
4
a=
N1 E1
=
N 2 E2
(16)
Como en el transformador real las tensiones difieren ligeramente de las fuerzas
electromotrices inducidas y el segundo miembro de la ecuación (11) no es nulo por la presencia
de la corriente de vacío; la relación de las tensiones o de las corrientes difiere ligeramente de la
relación de transformación definida por la relación de espiras o fuerzas electromotrices.
a≅
U1 I 2
≅
U 2 I1
(17)
Como se verá oportunamente, bajo determinadas condiciones de funcionamiento del
transformador, la relación (17) se aproxima mucho a la relación de transformación (16).
5 CIRCUITOS EQUIVALENTES DEL TRANSFORMADOR
En el modelo circuital o circuito equivalente del transformador real se deben cumplir las
ecuaciones (4), (5) y (13), Además, y como ya se vio en el reactor, la corriente de vacío conviene
descomponerla en sus componentes magnetizante Im y de pérdidas Ip, la primera atrasada 90° de
la E1 y la segunda en fase.
I&0 = I&m + I& p
(18)
El circuito que cumple con esas ecuaciones es el siguiente, figura 4, donde el subíndice 1
denota al primario y el 2 al secundario. Para poner de manifiesto la componentes de pérdidas y la
magnetizante de la corriente de vacío, y como se hizo en el reactor con núcleo ferromagnético, se
agregaron la resistencia de pérdidas Rp y la reactancia magnetizante Xm. Se puede observar que
para establecer las relaciones entre las fuerzas electromotrices E1 y E2 y las corrientes I’2 e I2, el
circuito tiene un transformador ideal de relación a.
+
U1
−
I1
r1
x1
I´2
Ip
Rp
I0
Im
Xm
+
a
r2
+
x2
I2
+
E1
E2
U2
−
−
−
Fig. 4. Circuito equivalente exacto no referido.
Un posible diagrama fasorial con carga resistivo inductiva se indica en la figura 5, donde se
supuso un transformador reductor con a ≈ 1,4 y los triángulos de caídas de tensión y la corriente
de vacío se los dibujó bastante más grande de lo que suelen ser para darle mayor claridad al
dibujo. Si el dibujo se realiza en la escala correcta los ángulos de fase del primario ϕ 1 y del
secundario ϕ 2 resultan muy poco diferentes entre sí.
5
U2
ϕ2
I0
U1
E2
0
ϕ1
r2 I 2
j x2 I 2
E1
r1 I 1
j x1 I 1
I 2 /a
I2
Φ
I1
Fig. 5. Diagrama fasorial exacto no referido con carga RL.
Si el transformador hubiese tenido una relación de transformación mayor, no sería práctico
dibujar los diagramas fasoriales del primario y del secundario con las mismas escalas, porque
resultarían muy desproporcionados. En ese caso es preferible dibujarlos por separado y con
escalas distintas.
Las impedancias que están a ambos lados del transformador ideal del circuito de la figura (4)
se pueden referirlas y agruparlas todas de un mismo lado, por ejemplo, si la impedancia del
secundario se refiere al primario, el circuito equivalente queda como se muestra en la figura 6.
+
U1
−
I1
r1
x1
Ip
Rp
I´2 = I 2 /a r´2
+
I0
Im
E 1= E´2
Xm
−
x´2
+
U´2 = aU 2
−
a
I2
+
U2
−
Fig. 6. Circuito equivalente exacto referido al primario.
r2′ = a 2 r2
x2′ = a 2 x2
E&1 = E& 2′ = aE& 2
U& 2′ = aU& 2 ≅ U& 1
I&
I&2′ = 2 ≅ I&1
a
(19)
Cuando se trabaja con parámetros referidos a un mismo lado del transformador, resulta muy
cómodo hacer el diagrama fasorial de esa parte solamente, por ejemplo para el caso del circuito
de la figura 6 se haría solamente el del primario y de esta forma se evitan los problemas de
escalas mencionados más arriba.
6
A modo de ejemplo, en la figura 7, se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito
equivalente referido al primario de la figura 6, cuando el transformador tiene una carga resistivo
inductiva.
I0
r1 I 1
E'2 E 1
0
U'2
ϕ2
r'2 I'2
ϕ1
U1
j x1 I 1
j x'2 I'2
I'2
Φ
I1
Fig. 7. Diagrama fasorial exacto referido con carga RL.
Si el transformador está alimentado por una fuente de tensión U1 y tiene una carga Zc en el
secundario, el circuito resulta como el de la figura 8 donde, donde para simplificar, las
impedancias se indicaron como rectángulos.
I1
z1
I´2
+
U1
−
I0
Z0
z´2
a
I2
+
+
E 1= E´2
U´2
U2
−
−
−
Fig. 8. Transformador con carga.
z&1 = r1 + jx1
z& '2 = r '2 + jx'2
1
1
=
Z& 0 =
1
1
Y&0
−j
Rp
Xm
+
ZC
(20)
En la figura 8 la impedancia de carga que se encuentra a la derecha del transformador ideal,
también se puede referir al primario del mismo y resulta el circuito de la figura 9.
7
I1
z1
I´2
+
+
+
E 1= E´2
U´2
−
−
I0
U1
Z0
z´2
−
Z´C
Fig. 9. Transformador con carga referida al primario.
Z& c′ = a 2 Z& c
(21)
Al resolver el circuito de la figura 9 se obtienen valores referidos de tensión y de corriente
secundarias, para obtener los verdaderos valores, presentes en la carga, se debe realizar el proceso
inverso:
U& ′
U& 2 = 2
(22)
a
&I = aI&′
2
2
5.1 Circuitos aproximados
Los circuitos mostrados en las figuras 4, 6, 8 y 9, donde las impedancias del transformador
están formando una “T”, se denominan “exactos” y son circuitos de dos mallas cuya solución, si
bien no es compleja, no es directa. Como en todos los transformadores se cumple que:
z&1 ≅ z& ′2 << Z& 0
(23)
La impedancia Z& 0 se puede desplazar a los terminales de entrada o a los de salida del
transformador, o incluso, para algunos cálculos, suprimirla, sin cometer errores importantes. Los
circuitos equivalente que resultan se denominan “aproximados”, son de resolución directa y se
los emplea muy frecuentemente.
Por ejemplo un circuito equivalente aproximado con la impedancia paralelo trasladada a los
terminales de entrada, se muestra en la figura 10.
+
U1
I1
ze
I´2
+
I0
Z0
U´2
−
Z´C
−
Fig. 10. Circuito equivalente aproximado.
z&e = z&1 + z& ′2
8
(24)
Este es el circuito normalmente utilizado para la determinación de los parámetros y del
rendimiento del transformador.
U1
j x'e I'2
0
ϕ1
I'2
U'2
I0
r'e I'2
ϕ2 = 0
I1
Fig. 11. Diagrama fasorial aproximado con rama paralelo y carga R.
Para el cálculo de la distribución de cargas y de las caídas de tensión se emplean circuitos sin
rama en paralelo, como el de la figura 12.
+
ze
I 1= I´2
+
U1
U´2
−
−
Z´C
Fig. 12. Circuito equivalente aproximado sin rama en paralelo.
En la figura 13 se muestra el diagrama fasorial correspondiente al circuito de la figura 12 con
una carga capacitiva, donde se puede observar que la tensión de secundaria en carga U’2 referida,
resulta mayor que la tensión de entrada U1.
I'2 = I 1
ϕ2
ϕ1
U1
0
U'2
j x'e I'2
r'e I'2
Fig. 13. Diagrama fasorial aproximado sin rama paralelo y carga RC.
Estas simplificaciones son posibles debido a lo dicho en la introducción: las diferencias entre
los transformadores reales y los ideales son pequeñas.
En algunos casos particulares y en transformadores de gran potencia, es posible hacer aún más
simplificaciones, como ser despreciar la resistencia equivalente re o hasta suponerlos ideales.
9
6 BIBLIOGRAFÍA
EE Staff del MIT: “Circuitos Magnéticos y Transformadores” Editorial Reverté, 1943.
A. E. Fitzgerald, C. Kingsley y A. Kusko: “Máquinas Eléctricas” Ed. Mac Graw Hill, 1975.
Stephen J. Chapman: “Máquinas Eléctricas” Editorial Mac Graw Hill, 2005.
B. S. Guru y H. R. Hiziroğlu: “Máquinas Eléctricas y Transformadores” Editorial Oxford
University Press, 2003.
Ing. Norberto A. Lemozy
2010
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