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TRIÁNGULOS
INTRODUCCIÓN
Esta unidad está dedicada al estudio del triángulo como polígono de menor número de lados. El conocimiento de sus características, propiedades y relaciones métricas es muy importante para toda la Geometría, debido a la omnipresencia de triángulos en las más diversas figuras planas o espaciales.
Los contenidos de la unidad pueden dividirse en tres apartados:
III. Conceptos y procedimientos básicos en los triángulos:
• Clasificación y propiedades.
• Construcción, nomenclatura y relaciones métricas.
III. Rectas, puntos y circunferencias asociados a un triángulo:
• Medianas, baricentro.
• Alturas, ortocentro.
• Mediatrices, circuncentro, circunferencia circunscrita.
• Bisectrices, incentro, circunferencia inscrita.
III. Teorema de Pitágoras:
• Relación entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un
triángulo rectángulo.
• Relación algebraica, a2 = b2 + c2, entre las longitudes de los lados que permite calcular la longitud de uno de ellos conociendo las de los otros dos.
• Posibilidad de reconocer si un triángulo es o no rectángulo recurriendo a la
relación anterior.
CONOCIMIENTOS MÍNIMOS
Para el bagaje formativo de alumnas y alumnos, es imprescindible:
• Utilizar la nomenclatura relativa a los elementos de los triángulos.
• Conocer los distintos tipos de triángulos según sus lados y ángulos, y las relaciones métricas entre ellos.
• Poseer soltura aplicando el teorema de Pitágoras para obtener un lado (cateto o
hipotenusa) en un triángulo rectángulo del que se conocen los otros dos.
COMPLEMENTOS IMPORTANTES
La mayor parte de los alumnos deberán, además:
• Saber construir triángulos a partir de sus elementos.
• Reconocer igualdad de triángulos.
• Construir medianas y alturas, reconocer el baricentro, ortocentro, circuncentro
e incentro, así como las circunferencias inscrita y circunscrita.
• Reconocer la oportunidad de aplicar el teorema de Pitágoras en casos no triviales y
comprobar si un triángulo es o no rectángulo a partir de las longitudes de sus lados.
Ya en el terreno de la profundización, podemos detenernos en los siguientes contenidos:
• Conocimiento de la posición que ocupan el ortocentro, el baricentro, el circuncentro y el incentro según el tipo de triángulo de que se trate.
• Justificación de los criterios de igualdad de triángulos.
• Demostración del teorema de Pitágoras.
• Aplicación del teorema de Pitágoras en el espacio.
• Reconocimiento de si un triángulo es acutángulo u obtusángulo a partir de las
longitudes de sus lados.
• Conocimiento como tales de algunas ternas de números pitagóricos.
Sugerimos las siguientes manipulaciones y líneas de investigación:
• La obtención de medianas, alturas, mediatrices y bisectrices mediante plegado
de papel, que se describe muy brevemente en el CD-ROM Recursos Didácticos,
es una actividad interesante que (si se realizó en la unidad anterior la correspondiente actividad de plegado para obtener perpendiculares, bisectrices, etc.) resulta razonablemente sencilla y entretenida. Pueden proponerse al alumno en los
correspondientes apartados, sin necesidad de realizarlas todas juntas al final.
• Si el tiempo lo permite, es deseable que los alumnos realicen las experiencias que
se discuten en los apartados 11.2 y 11.3.
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ESQUEMA DE LA UNIDAD
LOS TRIÁNGULOS
se pueden
CONSTRUIR
COMPARAR
interesa estudiar
son de gran importancia
SUS RECTAS Y
PUNTOS NOTABLES
LOS TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
como son
en los que se cumple
para
determinar
su igualdad
LAS
MEDIANAS
LAS
ALTURAS
LAS MEDIATRICES
DE SUS LADOS
LAS BISECTRICES
DE SUS ÁNGULOS
que se cortan en
que se cortan en
EL TEOREMA
DE PITÁGORAS
conociendo
que sirve para
que se cortan en que se cortan en
sus tres lados
dos lados y el
ángulo que forman
un lado y sus dos
ángulos adyacentes
un punto
un punto
un punto
un punto
denominado
denominado
denominado
denominado
BARICENTRO
ORTOCENTRO
CIRCUNCENTRO
INCENTRO
calcular la
hipotenusa
conociendo
los catetos
calcular
un cateto
conociendo la
hipotenusa y el
otro cateto
averiguar
si un triángulo
es rectángulo
conociendo
sus tres lados