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Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n.
Álgebra Lineal – Taller No 3
Instrucciones. Recuerde que los ejercicios marcados con * indican un mayor nivel de dificultad que el resto y es importante
que el estudiante ataque una razonable cantidad de ellos por sı́ mismo.
Conjuntos Generadores
1.
En cada uno de los casos, determine si el vector v es una combinación lineal de los vectores ui
1
1
2
(a) v =
u1 =
u2 =
2
−1
−1
1
−1
2
(b) v =
u1 =
u2 =
2
3
−6
 
 
 
1
1
0
(c) v = 2
u1 = 1
u2 = 1
3
0
1
 
 
 
1
1
1
(d) v = 2
u1 = 1
u2 = 0
3
0
1
 
 
 
 
1
1
1
1
u3 =  2 
u2 = 0
u1 = 1
(e) v = 2
−1
1
0
3
2.
En cada uno de los casos, determine si el
1
(a) A =
3

1
(b) A =  4
7
3.
Demuestre que u, v y w están en gen(u, v, w).
4.
Demuestre que u, v y w están en gen(u, u + v, u + v + w).
vector b está en el conjunto generado por las columnas de la matriz A
2
5
b=
4
6

 
10
2 3
5 6 
b = 11
12
8 9
5.* Sean k y ` enteros positivos con k ≤ `. Sean u1 , u2 , . . . , u` vectores de Rn y S = {u1 , u2 , . . . , uk }, T = {u1 , u2 , . . . , u` }.
a) Demuestre que gen(S) ⊆ gen(T ).
b) Deduzca que si Rn = gen(S), entonces Rn = gen(T ).
6.* Sean u1 , u2 , . . . , u` , v1 , v2 , . . . , vk vectores de Rn . Suponga que cada ui es combinación lineal de los vectores
v1 , v2 , . . . , vk .
a) Demuestre que si w es una combinación lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , u` , entonces también es una combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vk .
b) Utilice (a) para concluir que gen(u1 , u2 , . . . , u` ) ⊆ gen(v1 , v2 , . . . , vk ).
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Independencia Lineal
7.
En cada uno de los casos, determine si los vectores son linealmente independientes. Si la respuesta puede determinarse
por simple inspección, justifique su respuesta.
 
 
3
−2
1
(a) 1
4
1
 
 
 
0
2
2
1
0
(b) 1
2
3
1
 
 
 
 
2
−5
4
3
1
3
1
(c) −3
7
1
0
5
 
 
 
 
0
1
−1
1
1
0
1
−1
 
 
 

(d) 
−1
1
0
1
1
−1
1
0
 
 
 
 
0
0
0
4
0
0
3
3

 
 
 
(e) 
0
2
2
2
1
1
1
1
8.
Demuestre que dos vectores son linealmente dependientes si y sólo si uno es múltiplo escalar del otro.
9.* Demuestre que todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
10.* Sean w1 , w2 y w3 vectores linealmente independientes. Demuestre que v1 = w2 − w3 , v2 = w1 − w3 y v3 = w1 − w2
son linealmente dependientes.
11.
Sean v1 , v2 , v3 , v4 ∈ R3 , complete los enunciados.
a) Estos cuatro vectores son linealmente dependientes pues ...
b) Los vectores v1 y v2 son linealmente independientes si ...
c) Los vectores v1 y (0, 0, 0) son linealmente dependientes pues ...
12.* Encuentre dos vectores linealmente independientes en el plano x + 2y − 3z = 0 de R3 . ¿Por qué no pueden hallarse
tres vectores linealmente independientes en dicho plano?
13.
Los vectores v + w y v − w son combinaciones lineales de los vectores v y w. Escriba v y w como combinaciones
lineales de v + w y v − w.
14.
Sean v1 , . . . , v6 seis vectores en R4 . En las oraciones a continuación elija la palabra correcta.
a) Los vectores (generan)(no generan)(podı́an generar) R4 .
b) Los vectores (son)(no son)(podrı́an ser) linealmente independientes.
c) Cuatro vectores cualesquiera (son)(no son)(podrı́an ser) linealmente independientes.
15.* Establezca la verdad o falsedad de los siguientes enunciados probándolos o con un contraejemplo.
a) Sea S ⊆ R3 un conjunto que contiene mas de tres vectores. Luego S es linealmente dependiente.
b) Sea S ⊆ R3 un conjunto linealmente dependiente, luego S tiene mas de tres vectores.
c) Sea S ⊆ R3 un conjunto linealmente independiente, luego S tiene tres vectores.
d ) gen(R3 ) = R3 .
e) gen(R3 − {i, j, k}) 6= R3 .
f ) Si v1 , v2 , v3 son vectores de R3 , entonces gen{v1 , v2 , v3 } es un plano o todo el espacio.
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Aplicaciones – Sistemas Lineales – Asignación de Recursos
16.
Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales que contienen rosas, margaritas y crisantemos. Cada arreglo
pequeño contiene una rosa, tres margaritas y tres crisantemos. Cada arreglo mediano contiene dos rosas, cuatro
margaritas y seis crisantemos. Cada arreglo grande contiene cuatro rosas, ocho margaritas y seis crisantemos. Un
dı́a, la florista nota que usó un total de 24 rosas, 50 margaritas y 48 crisantemos para surtir pedidos de estos tres
tipos de arreglos. ¿Cuantos arreglos de cada tipo elaboró?
17.
Una empresa emplea tres personas A, B y C temporalmente para producir cuatro tipos de artı́culos. El número de
horas que participa cada empleado en la producción de UNA unidad de cada artı́culo se representa en la siguiente
tabla:
Artı́culo
W
X
Y
Z
Empleado A
1
2
1
3
Empleado B
2
5
0
1
Empleado C
3
6
4
10
Suponiendo que los empleados A, B y C tienen contratos por 120, 100 y 400 horas respectivamente, se desea
determinar cuál es el número de unidades de cada tipo de artı́culo que se pueden producir durante el tiempo de los
contratos.
(a) Plantee un sistema lineal de ecuaciones que permita resolver el problema.
(b) Encuentre un intervalo, para la variable libre, donde las soluciones tengan sentido.
(c) Suponga que la utilidad que obtiene la empresa al vender cada artı́culo es de $10 por cada artı́culo del tipo W,
$12 por cada artı́culo del tipo X, $14 por cada artı́culo del tipo Y, $16 por cada artı́culo del tipo Z, y suponga
que todos los artı́culos que se producen se pueden vender. Teniendo en cuenta las restricciones obtenidas en (b),
encuentre el número de artı́culos que maximizan la utilidad de la empresa.
18.
En un tanque de agua, se cultivan tres tipos diferentes de peces alimentándolos con tres fuentes alimenticias distintas
A, B y C. Cada dı́a 2500 unidades de A, 5500 de B y 8500 de C se colocan en el tanque. Cada pez consume cierto
número de unidades de cada alimento por dı́a de acuerdo a la siguiente tabla.
Tipo de pez
I
II
III
Alimento A
1
1
2
Alimento B
1
2
5
Alimento C
1
3
8
Suponiendo que los peces consumen todo el alimento, se desea determinar cuál es la cantidad de peces de cada tipo
que se pueden cultivar.
(a) Plantee un sistema lineal A~x = ~b que permita resolver el problema.
(b) Halle la forma escalonada reducida de [A|~b].
(c) Determine el intervalo de los valores posibles para cada tipo de pez.
19.* Encuentre todas las combinaciones posibles de 20 monedas de 5, 10 y 25 centavos que sumen exactamente $ 3.00.
Aplicaciones – Sistemas Lineales – Balanceo de Ecuaciones Quı́micas
20.
Balancee la ecuación quı́mica de cada reacción
F e S2 + O2 → F e2 O3 + S O2
C4 H10 + O2 → C O2 + H2 O
C5 H11 OH + O2 → H2 O + C O2
H Cl O4 + P4 O10 → H3 P O4 + Cl2 O7
N a2 C O3 + C + N2 → N a C N + CO
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Matlab
21.
Verificar los resultados de los ejercicios 1, 2 y 7 en Matlab. Describa el procedimiento para resolver este tipo de
problemas en general.