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Retos geométricos con GEOGEBRA
Muñoz Santonja, José1
Fernández Domínguez, Jesús1
Resumen
La resolución de problemas geométricos, difíciles de visualizar y representar en papel, ha sido
siempre un reto complicado para todos aquellos que armados con su inteligencia, regla y
compás se han enfrentado a ellos. La aparición de programas de geometría dinámica ha
implicado que alumnos de Secundaria, y a veces de Primaria, puedan enfrentarse y abordar las
situaciones que en ellos se plantea. En el taller presentaremos una selección de estos retos
geométricos. Desde teoremas más conocidos como el de Varignon, hasta otros que actualmente
están algo olvidados como el de Viviani o el de Napoleón, pasando por el estudio de curiosos
lugares geométricos de puntos y rectas.
1. Introducción
Desde el principio de los tiempos el hombre ha utilizado la matemática en casi
todos los momentos de su vida. Seguramente, las primeras creaciones iban dirigidas en el
sentido de contar, agrupar y ordenar, pero también desde muy pronto la geometría hizo su
presentación para facilitar la distribución y organización del espacio. Aunque en un
principio la geometría fuese eminentemente práctica, a partir de Pitágoras, los ya
denominados matemáticos, comenzaron a investigar equipados de la tecnología punta de
aquella época: la regla y el compás. Descubrir propiedades de las figuras, calcular áreas y
volúmenes, o relacionar entre sí objetos geométricos, fueron algunos de los retos a los que
se enfrentaron.
A lo largo de toda la historia, los matemáticos, tanto profesionales como
aficionados, han obtenido singulares propiedades que han llamado la atención de otros
colegas y de los aficionados a la geometría en general. Incluso en el pasado siglo XX es
posible encontrar ejemplos de localización de propiedades y curiosidades en
construcciones geométricas. Sin ir más lejos, varios de los enunciados que vamos a
1
IEDA (Instituto de Educación a Distancia de Andalucía)
proponer en este taller los hemos encontrado en los antiguos exámenes de grado que se
realizaban al acabar el antiguo PREU, como paso previo para acceder a la Universidad.
Por suerte para nosotros, hoy en día no es necesario acudir a la regla y el compás
para comprobar algunas de estas bellas construcciones. En la actualidad podemos recurrir
al uso de la geometría dinámica. Con un programa como Geogebra podemos hacer
construcciones y observar fácilmente relaciones que difícilmente podríamos ver
mentalmente (al menos los que no recibimos una buena formación en Geometría Clásica).
Es nuestro deseo que pasen un rato entretenido descubriendo propiedades que son
curiosas y no evidentes.
2. Retos geométricos
El objetivo de este taller es jugar con la geometría. Utilizando las potentes
herramientas geométricas de Geogebra vamos a realizar un recorrido por una colección de
construcciones que nos permitirán conocer propiedades curiosas de figuras planas y
acercarnos a problemas clásicos de geometría.
Creemos que las herramientas necesarias para afrontar estos retos están a
disposición de cualquiera que conozca básicamente el programa, por eso no indicaremos,
salvo en aquellos casos que lo creamos oportuno, instrucciones sobre cómo afrontar su
resolución. Vamos pues con las actividades.
Actividad 1: Teorema de Viviani.
En un triángulo equilátero la suma de distancias, desde un
punto interior, a los tres lados se mantiene constante.
Comprueba el Teorema.
¿Qué característica del triángulo equilátero mide la constante?
Solución: Dado que la suma de distancias se mantiene
constante para cualquier punto interior, en el caso límite de
que el punto estuviera en un vértice, la suma anterior
correspondería a la medida de la altura (o cualquier otra recta
notable al ser equilátero) entre un vértice cualquiera y el lado opuesto
Actividad 2: Triángulo órtico.
Dado un triángulo cualquiera, se llama triángulo órtico al que tiene de vértices los pies de las
alturas del triángulo anterior.
Comprueba que el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.
Actividad 3: Triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo trazamos la altura y la mediana relativas a la hipotenusa. El ángulo
formado por estas dos líneas, ¿qué relación tiene con respecto a los ángulos no rectos del
triángulo?
Solución: Es fácil comprobar que el ángulo formado por la mediana y la altura correspondiente
a la hipotenusa es igual a la diferencia entre los ángulos agudos del triángulo.
Actividad 4: Centro de gravedad de un cuadrilátero.
Dibuja el centro de gravedad de un cuadrilátero.
Indicación: Dibuja una de sus diagonales y traza el segmento que une los dos baricentros de los
triángulos resultantes. Traza la otra diagonal y el segmento que une los baricentros de los
nuevos triángulos. El punto de corte de los dos segmentos es el centro buscado.
Actividad 5: Cuadrado a partir de la diagonal.
Dibuja un segmento cualquiera AB. Dibuja un cuadrado cuya diagonal sea el segmento AB.
Actividad 6: Circunferencias tangentes.
Realiza la construcción que aparece en la figura 1, sabiendo
que la distancia entre B y C es triple que entre A y C, y
comprueba que:
a) El cuadrilátero CEDF es un rectángulo.
b) La recta EF es tangente a las dos circunferencias
interiores.
Actividad 7: Tres circunferencias tangentes.
Dibuja tres puntos cualesquiera del plano. Halla las tres
circunferencias, con centros en esos puntos, que sean tangente dos a dos.
Indicación: Una pistas sobre la construcción la puedes consultar en el ejemplo del proyecto
Gauss en la dirección:
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/acer
tijos/tres_circulos/actividad.html
Solución: Si unimos los tres puntos formando un triángulo, los puntos de tangencia de las
circunferencias coinciden con los puntos de tangencia con el triángulo de la circunferencia
inscrita.
Actividad 8: Camino más corto.
Investiga cuál es el camino más corto que une los tres lados de
un triángulo volviendo al punto de partida. Para ello dibuja un
triángulo con vértices en los lados del triángulo original y,
modificando esos puntos, estudia cuándo se obtiene el valor
mínimo.
Solución: Basta colocar visible, mediante un texto, cuanto vale
la suma de las tres distancias e ir moviendo los puntos por los
lados del triángulo para obtener la menor medida. Una vez
conseguido se puede comprobar que los tres puntos forman el
triángulo órtico del que hablamos en la actividad 2.
Actividad 9: Puntos simétricos.
Dibuja tres puntos fijos en el plano, A, B y C. Dibuja un punto variable P. Halla P’ el simétrico
de P respecto A, P’’ simétrico de P’ respecto de B y P’’’ simétrico de P’’ respecto de C. Halla
el punto medio PM del segmento que une P y P’’’. ¿Qué ocurre con PM cuándo se mueve el
punto P?
Solución: Basta realizar la construcción y comprobar que el punto PM es fijo y no depende de
dónde se sitúe el punto P inicial. Basada en esta propiedad existen muchas actividades de
búsqueda de tesoros en los que se puede localizar un tesoro aunque haya desaparecido alguna
de sus referencias.
Actividad 10: Triángulo de Napoleón.
Si sobre los lados de un triángulo cualquiera se dibujan triángulos equiláteros, los centros de
esos triángulos equiláteros también forman un triángulo equilátero. Se llama triángulo de
Napoleón exterior.
¿Qué ocurre si los triángulos equiláteros se dibujan hacia el interior del triángulo?
Solución: Es fácil comprobar que si los triángulos se dibujan hacia el interior se sigue
cumpliendo la propiedad. En este caso se llama triángulo de Napoleón interior.
Aunque no es intención comprobarlo en el taller, el área del triángulo inicial es igual a la
diferencia entre las áreas de los triángulos exterior e interior.
Actividad 11: Punto de Fermat.
Se conoce como punto de Fermat al punto interior a un triángulo acutángulo tal que, la suma de
las distancias a los tres lados sea mínima.
Hay dos formas de encontrarlo.
a) Se dibujan triángulos equiláteros sobre
los tres lados. Se hallan las
circunferencias circunscritas a esos
triángulos. Se comprueba que las tres se
cortan en un punto.
b) Se dibujan triángulos equiláteros sobre
los tres lados. Se unen cada uno de los
vértices exteriores de los triángulos
equiláteros con el vértice opuesto del
triángulo original (el que no forma
parte de ese triángulo equilátero). Las
tres rectas se cortan en un mismo punto.
Dibujar un triángulo, hallar su punto de Fermat y comprobar que es el que da la suma mínima
de distancias.
Actividad 12: Rectas de Simson y Steiner.
a) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprueba
que las proyecciones de ese punto sobre los tres lados del triángulo (o sus
prolongaciones) están alineadas y forman la llamada recta de Simson.
b) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo. Comprueba
que los simétricos de P respecto a los tres lados están en una recta llamada de Steiner.
c) Comprueba que la recta de Steiner pasa por el ortocentro del triángulo.
d) La recta de Steiner es paralela a la recta de Simson.
Hay resultados que son bastante conocidos, por ejemplo, es fácil encontrar la referencia de que
si unimos los puntos medios de un cuadrilátero cualquiera se obtiene siempre un paralelogramo
conocido como paralelogramo de Varignon. Sin embargo, no es tan corriente conocer otra
propiedad parecida cuando se trazan líneas que pasan por las divisiones de los lados en tres
partes.
Actividad 13: Paralelogramo de Wittenbauer.2
Se dividen los lados de un cuadrilátero convexo cualquiera en tres partes. Al trazar las líneas
que unen las dos divisiones más cercanas de los lados que componen cada vértice, con sus
cruces se obtiene un paralelogramo llamado de Wittenbauer.
a) Comprueba que es un
paralelogramo.
b) ¿Se seguirá manteniendo la
propiedad si el cuadrilátero no es
convexo?
c) Comprueba que el punto de corte
de las dos diagonales del
paralelogramo de Wittenbauer
coincide con el centro de gravedad
del paralelogramo inicial.
d) Aprovechando las posibilidades
dinámicas del dibujo estudia qué
debe cumplir el cuadrilátero
original para que el de Wittenbauer
sea un rombo.
e) ¿Y para qué sea un rectángulo?
Solución: Lo más complicado es estudiar los dos últimos apartados. Basta ir probando y
estudiar las medidas de las diagonales del cuadrilátero original. Cuando miden lo mismo, el
paralelogramo de Wittenbauer es un rombo. Cuando son perpendiculares entonces se obtiene
un rectángulo.
Actividad 14: Teorema de Von Aubel.
Dado un cuadrilátero convexo, construye cuatro cuadrados exteriores sobre sus lados. Une los
centros de los cuadrados correspondientes a lados opuestos del triángulo. ¿Qué relación hay
entre los dos segmentos que se dibujan?
Solución: es fácil ver que los dos segmentos son perpendiculares y de la misma medida.
2
Hay un excelente artículo del no menos excelente grupo G4D en la página de divulgamat en
el que se trata los elementos obtenidos al unir los puntos medios en triángulos y cuadriláteros y
también se trabaja el paralelogramo de Wittenbauer. Se puede consultar en:
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/GeoDinamica/conjeturas/Conjeturas.asp
Actividad 15: Teorema de Feuerbach.
a) Dibuja un triángulo cualquiera. Comprueba que existe una circunferencia que pasa por
los puntos medios de los lados y por los pies de las tres alturas del triángulo. Su
descubridor fue el matemático alemán Karl Feuerbach (1800, 1834) y es conocida
como la circunferencia de los seis puntos.
b) Comprueba que la circunferencia anterior
pasa además por los puntos medios de los
segmentos que unen el ortocentro de un
triángulo con los vértices. Esta
circunferencia la nombró el matemático
J.V. Poncelet (1788, 1867) como la
circunferencia de los nueve puntos.
c) Demuestra el Teorema de Feuerbach que
dice: La circunferencia inscrita a un
triángulo es tangente a la circunferencia
de los nueve puntos.
Actividad 16: Recta y punto exterior.
Sea P un punto de una recta r y A un punto exterior
de r. Traza la circunferencia que pasa por A y es tangente a la recta en el punto P. Activar el
rastro del centro de la circunferencia y mover el punto P por la recta. ¿Qué elemento se
obtiene?
Indicación: Para hallar el centro de la circunferencia
basta hallar la mediatriz del segmento PA y una
perpendicular a r en el punto P. El punto de corte de
ambas rectas es el centro.
Solución: El lugar geométrico descrito da lugar a una
parábola que tiene de recta directriz r, y de foco al
punto A.
Actividad 17: Punto interior de una circunferencia.
Dado un punto interior a una circunferencia, hallar el lugar geométrico del centro de las
circunferencias que pasan por el punto y son tangentes a la circunferencia.
¿Qué ocurre si el punto P está fuera de la circunferencia?
Indicación: Tenemos que fijar un punto interior P a la circunferencia c y un punto A sobre la
circunferencia. Trazamos la circunferencia que pasa por P y es tangente en el punto A, a c. Al
mover el punto A por la circunferencia los centros de la nueva circunferencia crean lugares
geométricos.
Solución: Si el punto es interior se obtiene una elipse y si es exterior es una hipérbola.
Actividad 18: Estrofoide.
Tenemos una circunferencia de centro O. Tomamos
A y B dos puntos de la circunferencia. Halla el lugar
geométrico descrito por el baricentro del triángulo
OAB, cuando el punto B recorre la circunferencia.
Ver qué ocurre con el lugar geométrico del
ortocentro. (Folium de Descartes, estrofoide).
¿Y con el incentro?
Estudiar también lo que ocurre con el circuncentro.
Solución: En el caso del baricentro se obtiene una
circunferencia. Se puede preguntar qué relación tiene
dicha circunferencia con respecto a la inicial.
En el caso del circuncentro se obtiene una recta,
¿cuál sería?
Actividad 19: Caracol de Pascal.
Sea Q un punto exterior a una circunferencia c. Traza
una tangente a c en el punto A y halla el punto P de
corte de la perpendicular a la recta tangente trazada
desde Q. Halla el lugar geométrico de los puntos P
cuando A recorre la circunferencia. Lo obtenido se
llama Caracol de Pascal.
Ver qué ocurre con el lugar geométrico si movemos el
punto Q.
¿Qué ocurre si el punto queda dentro de la
circunferencia?
Si el punto Q pertenece a la circunferencia se obtiene la
cardioide.
Actividad 20: Cisoide de Diocles.
Sea la circunferencia c y A, B dos puntos de la circunferencia que son extremos de un
diámetro. Se traza la tangente a c en B, y sobre ella se coloca un punto P. Sea d la distancia
entre P y B. Se une P con A y se dibuja la circunferencia con centro en A y radio d. La
intersección con el segmento AP nos da un punto Q de este segmento que cumple que
d(AQ)=d(B,P). Halla el lugar geométrico del punto Q al mover P (Cisoide de Diocles).
Actividad 21: La Bruja de Agnesi.
Tenemos una circunferencia c de centro O que pasa por A. Sea B el extremo opuesto del
diámetro de extremo A. Se traza la tangente t a la circunferencia en A. Se dibuja un punto P
sobre c. Se traza la recta que pasa por B y P y sea Q el punto intersección con la tangente t.
Desde P se halla la paralela a la tangente t y desde Q la perpendicular a la misma tangente. Sea
M el punto intersección de la paralela y la perpendicular. Halla el lugar geométrico del punto
M cuando P recorre la circunferencia. Se obtiene la curva de Agnesi.
Actividad 22: El rastro de la Recta de Simson.
Hallar el lugar geométrico de la recta de Simson de P cuando P recorre la circunferencia
circunscrita.
Actividad 23: Cónica 1 por envolvente.
Dibujar una circunferencia de centro O y que pasa por A (ambos en el eje). Situar un punto F
en el segmento OA. Situar un punto P en la circunferencia y hallar la perpendicular r al
segmento FP en el punto P. Activar el rastro de r y recorrer la circunferencia con el punto P.
Solución: Se obtiene una elipse.
Actividad 24: Cónica 2 por envolvente.
Dibuja una recta y un punto exterior F cercano a ella. Sobre la recta se dibuja un punto A y se
halla la perpendicular r en A al segmento que FA. Activar el rastro de r y mover el punto A
sobre la recta.
Solución: En este caso obtenemos una parábola por envolventes.
3. Conclusiones
La mayoría de asistentes a estas jornadas conocemos las increíbles posibilidades
del programa Geogebra en muchos ámbitos: algebraico, numérico, gráfico, estadístico, etc.
Elementos tan potentes como la ventana algebraica o la hoja de cálculo permiten afrontar
problemas muy diversos. Y esto no es nada para la que se avecina en las versiones 4 y 5
que actualmente se encuentran en formato beta, donde podremos encontrarnos con cálculo
simbólico y las posibilidades de las 3D.
Sin embargo, el objetivo de este taller ha sido aplicar las herramientas básicas de
Geogebra para trabajar resultados curiosos y, a veces, inesperados del inmenso mundo
geométrico. Hemos intentado recoger construcciones que no necesitan grandes montajes
de forma que cualquier alumno de Secundaria con unos conocimientos mínimos pueden
afrontarlas. Es indiscutible que para poder resolver muchos de ellos hay que aplicar
propiedades geométricas que se deben manejar, es decir, hay que saber geometría para
resolver los retos planteados pues el programa por si solo no los va a solucionar. Quién
desconozca el hecho de que para que dos circunferencias sean tangentes, el centro de
ambas se debe encontrar en la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia, es
imposible que construya dicha circunferencia o que dibuje una circunferencia inscrita que
se mantenga al cambiar los vértices.
Por tanto las construcciones que hemos visto nos permiten ver si nuestros
alumnos, además de dominar las construcciones básicas, conocen los conceptos
geométricos que hay que utilizar para llegar a la solución.
Resumiendo, hemos intentado hacer matemáticas de una manera entretenida.
Esperamos haberlo conseguido.
Referencias
Agustín Carrillo (2009): Geogebra: Mucho más que Geometria Dinamica. Ed. Alfaomega.
Manuel Sada Alto (2011): Geometría dinámica. Explorando los triángulos y sus centros.
Material incluido en el proyecto Ven x + matemáticas del ITE (pendiente de publicación).
http://venxmas.fespm.es/temas/geometria-dinamica-explorando-los.html
Markus y Judith Hohenwarter (2009): Documento de Ayuda de Geogebra. Manual Oficial de
la versión 3.2. http://www.geogebra.org/help/docues.pdf