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Conjuntos
El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo simplemente como
una colección de objetos, así podemos hablar de un conjunto de personas, ciudades,
lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.
Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al
conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de
un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de la familia no esta bien
definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si o no de la familia,
no basta con tener un mismo apellido, también deben tener un origen en común.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien
diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Georg Cantor.
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos
elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos,
y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los
representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si
escribir:
es un conjunto, y
todos sus elementos, es común
para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto
llama notación por extensión
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos
"x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de
escribe
(léase no pertenece a ).
se
(léase
se
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el
conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números
enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es
el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse
explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que
estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto
previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto
vacío y que se denota por . Es decir
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos
posibles no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad,
misma que pueda ser expresada como una proposición
, con la indeterminada ,
usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El
símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser
remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto
donde el símbolo
puede definirse por:
representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto U es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en
contradicciones como ejemplo
Es decir, M es el conjunto donde cada elemento x satisface la propiedad
. Al
principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que
por lo tanto M no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que M es un
conjunto, cabe hacer la pregunta "¿
?" Si la respuesta es negativa (
)
entonces M cumple la propiedad
y por lo tanto
. Si por el contrario la
respuesta es afirmativa (
), entonces M no cumple con la propiedad
y
por esta razón
. Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja
del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y
Superconjuntos
Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe
si constan de los
mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en
B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
Subconjuntos y Superconjuntos
Un conjunto
elemento de
se dice que es subconjunto de otro
, es decir, cuando se verifique:
, si cada elemento de
es también
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe
.
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si
, se
cumpla
. Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto
pero si todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un
subconjunto propio de , lo que se representa por
. En otras palabras,
,
si y sólo si
,y
. Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de
todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí
mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que
se escribe
. Así pues
es un superconjunto de
, lo que
,
y también que:
,
significando
que
es superconjunto propio de
.
Por el principio de identidad, es siempre cierto
, para todo elemento
, por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que
es una relación de orden sobre un conjunto
de conjuntos, pues
(
es reflexiva)
(
es antisimétrica)
(
es transitiva)
Operaciones de conjuntos
Sean
y
dos conjuntos.
Unión
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como
el cual
contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S
existe otro conjunto denotado como
de manera que sus elementos son todos los
tales que
. De esta manera
es el caso especial donde
.
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a
es condición necesaria
y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces
Intersección
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y
, representado por
. Es decir,
es el conjunto que contiene a todos los
elementos de A que al mismo tiempo están en B:
.
Si dos conjuntos y
conjuntos disjuntos.
son tales que
, entonces
Es claro que el hecho de que
afirmar que
y
. Es decir
y
se dice que son
es condición necesaria y suficiente para
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Diferencia
A−BoB\A
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro
conjunto llamado diferencia de y , representado por A\ B . Es decir:
.
o dicho de otra manera:
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de
Una propiedad interesante de la diferencia es que
eso es porque
y
como
.
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a
algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por
. Es decir
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos
tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los
números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los
números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las
personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que
y
, entonces
,
de manera que
Pero también
de modo que
Pues bien dado este recordatorio analizaremos el caso de los conjuntos numéricos.
Conjuntos numéricos
Como el hombre ha tenido que satisfacer sus necesidades de control a través del
conteo y de clasificación por medio de conjuntos, vamos a definir distintos conjuntos de
números que se han inventamos a lo largo de la historia y con los que trabajaremos a
menudo.
Con el tiempo no sólo se definieron grupos, también se crearon operaciones y
propiedades que de igual modo analizaremos.
Conjunto de los Naturales
Postulados de Peano
Los Postulados de Peano describen de manera un tanto ambigua al conjunto de los
números naturales, que se denota por , de la siguiente forma:





Sea el número natural 1
Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1.
No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 1.
Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es:
si
, entonces
.
Si S es un subconjunto de los números naturales tal que
1. 1 está en S
2. n está en S implica que n + 1 está en S
entonces S es el conjunto de los números naturales
Propiedades de los números naturales
La suma y multiplicación son compatibles gracias a la propiedad distributiva que se
expresa como sigue:
Los números naturales están totalmente ordenados; La relación de orden
se
puede redefinir como
si y solo si existe otro número natural c que cumple: a + c
= b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas de esta manera:
si a, b y c son números naturales y
, entonces
y
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto
bien ordenado: esto es, cualquier conjunto compuesto de números naturales tiene un
elemento mínimo (uno más pequeño que los demás).
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Para cualesquiera dos
números naturales a y b, con b≠ 0 , podemos encontrar otros naturales q y r tales que
y r < b.
El número q lo llamamos el cociente y r el resto. Los números q y r están unívocamente
determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los
números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
Una propiedad interesante es que cualquier conjunto A es un conjunto isomorfo a
no vacío, totalmente ordenado por y cumple:
1. Para cualquier
2. Cualquier subconjunto
existe
si es
de manera que a < b
de A tiene un elemento máximo
Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para
describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con
el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez
se generaliza en el concepto de cardinal. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos
son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.
Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos no son el mismo.
Operatoria en los Naturales
Adición: los sumandos dan como resultado la suma. Es conmutativa y asociativa.
En el conjunto
no existe elemento neutro aditivo.
Sustracción: El sustraendo debe ser menor que el minuendo y el resultado de la
operación es la resta. No es conmutativa, ni asociativa.
Multiplicación: es la suma de muchos números iguales, donde, el número que se repite
y la cantidad de veces que se repite ese número se llaman factores y el resultado es el
producto. Es conmutativa y asociativa.
En el conjunto
multiplicativo.
no existe elemento absorbente (0), pero existe el elemento neutro
División: es fragmentar algo en partes iguales, lo que se fragmenta se llama dividendo,
el tamaño de los trozos es el divisor, la cantidad de trozos o resultado es el cociente y lo
que sobra es el resto.
Nota: la multiplicación con respecto a la suma es distributiva.
Números Primos
El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que
engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son divisibles
únicamente por sí mismos y por la unidad.
Los números primos menores que cien son 25, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.
El teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número natural mayor
que 1 siempre puede representarse como un producto de números primos, y esta
representación (factorización) es única.
Los números que no son primos se denominan compuestos
Números perfectos: Un número perfecto es un natural que es igual a la suma de sus
divisores propios positivos, sin incluirse él mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque
sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son
28, 496 y 8128.
Conjunto de los Cardinales
0
Es el conjunto de las naturales más el cero, por lo tanto aquí existe un elemento
neutro aditivo y un elemento absorbente.
Conjunto de los números Enteros 
Los números enteros son una generalización del conjunto de números
cardinales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro
mayor). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos
que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un
conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser
interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a
un mismo espacio entre sí desde menos infinito, ..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más
infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la
representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero,
entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los
números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El
hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos
que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van
a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse
convenientemente si a cada persona le toca una parte de las tres que tiene cada barra.
Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir
entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada
persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos
balines. Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no
pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:
8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en
consecuencia, un número entero.
Números pares e Impares
En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular,
cualquier número entero es par o impar.
Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es
número par si y solo si existe otro número entero n tal que:
m=2×n
Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos
un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, ..., y también: -2, -4,
-6 ... .
Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son
múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 ..., y también: -1, -3, 5, ... . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar.
Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.
Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal
que:
m=2×n+1
En matemática la paridad de un objeto se refiere a si éste es par o impar. En particular,
cualquier número entero es par o impar.
Un número par es un número entero múltiplo de 2, es decir, un número entero m es
número par si y solo si existe otro número entero n tal que:
m=2×n
Por lo tanto, si multiplicamos cualquier número entero por un número par obtendremos
un nuevo número par. Los siguientes son números pares: 0, 2, 4, 6, ..., y también: -2, -4,
-6 ... .
Los números impares son aquellos números enteros que no son pares y por tanto no son
múltiplos de 2. Los siguientes son números impares: 1, 3, 5, 7, 9 ..., y también: -1, -3, 5, ... . Sumando o restando 2 a un número impar se obtiene otro número impar.
Sumando o restando una unidad a un número impar se obtiene otro número par.
Se dice que un número entero, m, es impar si y solo si existe otro número entero, n, tal
que:
m=2×n+1
Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:
par + par = par
par + impar = impar
impar + impar = par
Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito
como 2n y cualquier número impar como 2n + 1, siendo n un número natural.
P1 + P2 = 2a + 2b = 2(a + b) = 2n
P1 + I1 = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 = 2n + 1
I1 + I2 = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) = 2n
Notas:
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el mayor de los
divisores comunes.
Para hallar el máximo común divisor de dos o más números, por ejemplo,
m.c.d. (12, 18), se siguen estos pasos:
1.° Se descompone cada número en producto de factores primos.
2.° El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el máximo
común divisor de los números dados. La respuesta es 6.
2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo
común distinto de cero.
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo,
m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:
1.° Se descompone cada número en producto de factores primos.
2.° El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no
comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados. La respuesta es 90.