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CAPÍTULO I
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Colocación de un sistema de coordenadas a un Ángulo
Recordamos que un ángulo es el conjunto de puntos del plano
comprendidos entre dos semirrectas con el extremo común.
Para poder colocar en él un sistema de coordenad as cartesia nas,
debemos indicar:
a)
b)
cuál de las 2 semirrectas es el primer lado, y cuál el
se gundo lado.
cuál de los 2 ángulos que las dos semirrectas limitan es el
que se define.
Una vez definidos a) y b), consideramos el ángulo como positivo si al girar
el primer lado alrededor de V (vértice), sin salirse del ángulo, el giro es de
sentido contrario al de las agujas del reloj; y negativo en caso contrario.
Colocaremos ahora un sistema de coordenadas cartesianas así:
a)
el origen O coincidiendo con el vér tic e V del ángulo.
b)
el eje de abscisas o eje
coincida con el 1er lado.
x
, de forma que su semieje positivo
En la fig. I -2, en a) hay un ángulo positivo cuyo 2º lado cae en el 1er
cuadrante (le llamaremos un ángulo del 1er cuadrante); en b) hay un ángulo
positivo del 2º cuadrante; y en c) un ángulo negativo del 3er cuadrante.
Definición de las Funciones Trigonométricas Seno y Coseno
1. Seno de un ángulo es la razón entre la ordenada y el radio vector de
un punto cualquiera del segundo lad o del ángulo. La ordenada se toma con su
signo y el radio vector es siempre positivo.
2. Coseno d e un ángulo es la razón entre la abscisa y el radio vector de
un punto cualquiera del 2º lado del ángulo. La abs cisa se toma con su signo y
el radio vector es positivo.
Teorema I - 1: El Seno y el coseno de un ángulo son independientes del
punto, concreto del 2º lado del ángulo que se emplee para calcularlos.
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En efecto:
HP
OP
=
H ' P'
OP '
y
OH
=
OP
OH '
OP '
por ser semejantes los triángulos OPH y
OP'H'.
Además, las dos abscisas OH y OH' tienen el mismo signo; también las dos ordenadas
HP y H' P'.
Otras Funciones Trigonométricas
− Tangente de un ángulo: es el cociente del seno dividido por el coseno.
− Cosecante de un ángulo: el número inverso del seno.
− Secante: el inverso del coseno.
− Cotangente: el inverso de la tangente.
Los símbolos usados para las funciones trigonométricas de un ángulo x son: senx,
cosx, tgx, cosecx, secx y cotx.
Circunferencia Trigonométrica
Es la circunferencia de centro el origen y radio la unidad de longitud.
Si para calcular el seno y el coseno se elige el punto P del 2º lado que pertenece
también a la circunferencia trigonométrica:
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Senx=
PH
= PH ; cosx = OH;
1
tgx =
PH
OH
=
QI
= QI
1
El seno y el coseno aparecen como las líneas PH y OH, en va lor y signo,
en la figura. También el segmento de tangente a la circunferencia en I hasta
cortar el 2º lado, coincide, en valor y signo, con la tangente trigonométrica: si IQ
va "hacia arriba" (en el sentido de las = y = positivas), la tangente es positiva; en
caso contrario, es negativa.
Por aparecer las 3 funciones citadas en forma de líneas (e igualmente se
pueden obtener representaciones de las 3 restantes), las funciones
trigonométricas son llamadas también "líneas trigonométricas".
Signos de las Líneas Trigonométricas
Según el cuadrante del 2º lado, los signos serán los indicados en la figura:
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Funciones Trigonométricas de Ángulos Especiales
El lector podrá deducir que:
Sen 0º = 0;
cos0º = 1 ;
Sen 30º = 1/2;
cos 30º =
tg0º = 0
3
1
;
tg30º =
3
2
Sen 45º = cos45º =
2
;
tg45 º = 1
2
Sen 90º = 1;
Sen 60º =
cos 90º = 0 ;
3 ; cos60º = 1
2
2
Sen 180º = 0 ;
cos 180º = - 1;
Sen 270º = - 1 ;
cos 270º = 0;
tg90º =
tg 60º
3
∞
(no esta definida)